2024-2025學(xué)年湖南省長沙市長沙縣高二上冊期末數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年湖南省長沙市長沙縣高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測試題本試題卷共4頁，分第I卷與第Ⅱ卷兩部分，全卷滿分150分，考試用時120分鐘.第I卷（選擇題共60分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.經(jīng)過、兩點的直線的傾斜角為（

）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出直線的斜率，利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，且，故.故選：B.2.在數(shù)列中，為前項和，若，，，則其公差（）A.3 B.4 C. D.【正確答案】A【分析】先根據(jù)題意得到為等差數(shù)列，再求出，進而結(jié)合即可求得其公差．【詳解】由數(shù)列滿足，則，所以為等差數(shù)列，又，則，即，又，則其公差為．故選：A．3.拋物線的焦點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式進行求解即可.【詳解】由，因此該拋物線的焦點在橫軸的正半軸上，且，所以該拋物線的焦點坐標(biāo)為故選：C4.如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，若，，，是的中點，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】直接利用向量的運算法則計算得到答案.【詳解】是的中點，.故選：B.5.若曲線表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)橢圓方程標(biāo)準(zhǔn)形式可得，從而得解.【詳解】若曲線表示橢圓，則，解得且，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：B．6.關(guān)于函數(shù)說法正確的是（）A.沒有最小值，有最大值 B.有最小值，沒有最大值C.有最小值，有最大值 D.沒有最小值，也沒有最大值【正確答案】A【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值即可【詳解】解：函數(shù)的定義域為，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，沒有最小值，故選：A7.是圓上恰有兩個點到直線的距離等于的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【正確答案】A【分析】首先計算圓心到直線的距離，再結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，以及充分，必要條件的定義，即可求解.【詳解】若，則圓心到直線的距離，則圓上恰有兩個點到直線的距離等于，反過來，若圓上恰有兩個點到直線的距離等于，則，即或，不一定，所以是圓上恰有兩個點到直線的距離等于的充分不必要條件.故選：A8.若，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析判斷.【詳解】因為，構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得；當(dāng)時，令，解得；可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；且，所以，即.故選：C.關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意構(gòu)建，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性比較大小.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，選對但不全對的得2分.9.下列命題為真命題的是（）A.若空間向量，，滿足，則B.若三個非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則，，必定共面C.若空間向量，，則D.對于任意空間向量，，必有【正確答案】BD【分析】令為零向量即可判斷A、C；由基底的概念判斷B；應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律、定義判斷D.【詳解】若為零向量，有，但不一定成立，A錯：三個非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則它們必共面，B對；若為零向量，，，但不一定成立，C錯：由，，而，所以，D對.故選：BD10.為了評估某治療新冠肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．已知該藥物在人體血管中藥物濃度隨時間的變化而變化，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間變化的關(guān)系如圖所示．則下列結(jié)論正確的是（）A.在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同B.在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同C.在這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同D.在和兩個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度平均變化率相同【正確答案】AC【分析】利用圖象可判斷A選項；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B選項；利用平均變化率的概念可判斷C選項；利用平均變化率的概念可判斷D選項.【詳解】選項A，在時刻，兩圖象相交，說明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，即選項A正確；選項B，在時刻，兩圖象的切線斜率不相等，即兩人的不相等，說明甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不相同，即選項B錯誤；選項C，由平均變化率公式知，甲、乙兩人在內(nèi)，血管中藥物濃度的平均變化率均為，即選項C正確；選項D，在和兩個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率分別為和，顯然不相同，即選項D不正確．故選：AC.11.已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是遞增數(shù)列C.數(shù)列的最小項為和 D.滿足的最大正整數(shù)【正確答案】ABD【分析】先根據(jù)求出，即可判斷選項A、B；再利用二次函數(shù)性質(zhì)可判斷選項C；最后根據(jù)解不等式即可判斷選項D.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；.數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項A、B正確；，當(dāng)或時最小，即數(shù)列的最小項為和，故選項C錯誤，令，得，，即滿足的最大正整數(shù)，故選項D正確.故選：ABD12.已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為4，過點的直線與拋物線交于兩點，，為線段的中點，為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的方程為 B.若，則點到軸的距離為6C.的最小值為5 D.若，則的面積為【正確答案】ACD【分析】對于A：直接根據(jù)焦點到準(zhǔn)線的距離可得；對于B：利用拋物線的定義以及梯形中位線的長度公式來求解；對于C：直接利用兩點之間線段最短來解答；對于D：利用焦半徑公式求出點坐標(biāo)，進而可用面積公式求解.【詳解】由焦點到準(zhǔn)線的距離為4可得，即拋物線的方程為，A正確；過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由拋物線的定義得，所以點到軸的距離為，B錯誤；根據(jù)圖像點的位置可得，C正確；設(shè)，不妨取，則，得，所以，D正確故選：ACD.第II卷（非選擇題共90分）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則__________.【正確答案】-2或-1【分析】利用截距的概念分類討論計算即可.【詳解】若該直線過原點，顯然符合題意，易得；若該直線不過原點，顯然時，直線不符合題意，當(dāng)時，令時，令時，依題意有：，解得：或（舍），綜上：或，故-2或-1.14.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為______．【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到在區(qū)間上恒成立，求出，從而得到.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上恒成立，即，又，故，即實數(shù)的取值范圍為.故15.已知分別是雙曲線的上、下焦點，過的直線交雙曲線于A、B兩點，若，則的值為____________．【正確答案】29【分析】根據(jù)雙曲線方程及已知有在雙曲線的下支上，應(yīng)用雙曲線定義及，即可求目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè)，故在雙曲線的下支上，如下圖示，根據(jù)雙曲線定義：，所以.故16.如圖，正方體的棱長為1，、分別為與的中點，則點到平面的距離為______.【正確答案】##【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點到平面距離公式進行計算.【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故平面的法向量為，又，則點到平面的距離為.故四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在遞增的等比數(shù)列中，，，其中.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.【正確答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）由及得，，進而的，可得通項公式；（2）利用分組求和即可，一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列.試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，又，∴，或，（舍）.∴，即.故（）.（2）由（1）得，.∴.18.已知圓經(jīng)過點，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）已知直線經(jīng)過點，直線與圓相交所得的弦長為8，求直線的方程．【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）借助待定系數(shù)法設(shè)出方程，代入計算即可得；（2）借助圓的弦長公式，設(shè)出直線方程計算即可得.【小問1詳解】設(shè)圓M的方程為，因為圓M經(jīng)過點，，且圓心在直線上，依題意有解得，，，所以圓M的方程為．【小問2詳解】設(shè)圓心到直線l的距離為d，則弦長，當(dāng)直線的斜率不存在時，，所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，即，，解得，，所以所求直線l的方程為或．19.如圖所示，在四棱錐中，平面平面，底面為矩形，，，，點M在棱上且．（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）先證明M是的中點，連接，與交于點O，連接，從而證明，從而可證明.（2）以D為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．利用向量法求解即可.【小問1詳解】因為平面平面，且平面平面，根據(jù)條件可知，所以平面，所以．所以，同理可得，又，所以是等邊三角形，因為，所以M是的中點．如圖，連接，與交于點O，連接，則O是的中點，所以，因為平面平面，所以平面．【小問2詳解】以D為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則．由（1）知是平面的一個法向量．設(shè)為平面的法向量．因為，所令，可得．設(shè)平面與平面的夾角為，則．20.在數(shù)列中，.（1）證明：數(shù)列為常數(shù)列.（2）若，求數(shù)列的前項和，并證.【正確答案】（1）證明見解析（2），證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件得到，又，即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)（1）得到，從而有，利用錯位相減法，即可得到，再利用，即可證明結(jié)果.【小問1詳解】令，得，則，因為①，所以②.①②得，即.又，得到，所以數(shù)列為常數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可得，所以是公差為1等差數(shù)列，所以.因為，所以③，④，③④得，所以，又因為，所以，得證.21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：()的左、右焦點分別為，且焦距為，橢圓C的上頂點為B，且．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l過點，且與橢圓C交于M，N兩點（不與B重合），直線BM與直線BN分別交直線于P，Q兩點．判斷是否存在定點G，使得點P，Q關(guān)于點G對稱，并說明理由．【正確答案】（1）；（2）存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，即可求解得結(jié)果.（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)出點的坐標(biāo)，求出點縱坐標(biāo)，結(jié)合韋達定理計算即可得解.【小問1詳解】依題意，，，則，解得，而半焦距，于是，所以橢圓C的方程為．小問2詳解】顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，由消去y得，，即，則，直線的方程為，直線的方程為，設(shè)兩點的縱坐標(biāo)分別為，于是，，顯然，因此所以存在，使得點P，Q關(guān)于點G對稱．思路點睛：解答直線與橢圓的題目時，常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系求解．22.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）存在且，使成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）．【分析】（1）先求，再由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）先轉(zhuǎn)化為在上存在減區(qū)間，即有解，分離參數(shù)得有解，只需即可．【小問1詳解】由題意得，令得，時，，在上單調(diào)遞增；時，，在上單調(diào)遞