（寒假）新高考數(shù)學一輪復習考點精講+鞏固訓練+隨堂檢測12 橢圓方程及其性質(zhì)（教師版）

第頁第12講橢圓方程及其性質(zhì)知識講解橢圓的定義數(shù)學表達式橢圓的標準方程焦點在軸上的標準方程橢圓標準方程為：焦點在軸上的標準方程橢圓標準方程為：橢圓中，，的基本關(guān)系橢圓的幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程范圍頂點坐標，，，，長軸長軸長，長半軸長短軸短軸長，短半軸長焦點，，焦距焦距，半焦距對稱性對稱軸為坐標軸，對稱中心為離心率離心率對橢圓的影響越大，橢圓越扁越小，橢圓越圓，圓通徑（過橢圓焦點與坐標軸垂直的直線截得的弦長）通徑長：，半通徑長：橢圓中的兩個周長問題考點一、橢圓的定義及其應(yīng)用【例1】方程的化簡結(jié)果是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由方程的幾何意義及橢圓定義得出結(jié)果即可.【詳解】方程的幾何意義為動點到定點和的距離和為10，并且，所以動點的軌跡為以兩個定點為焦點，定值為的橢圓，所以，，根據(jù)，所以橢圓方程為.故選：C.【變式1】的兩個頂點為,周長為16，則頂點C的軌跡方程為（

）.A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)題意,可知點C到A、B兩點的距離之和為10,故軌跡為橢圓,同時注意取值范圍.【詳解】由題知點C到A、B兩點的距離之和為10,故C的軌跡為以為焦點,長軸長為10的橢圓,.故.所以方程為.又故三點不能共線,所以故選A【變式2】已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P是橢圓C上的動點，，，則的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓定義得，再利用基本不等式求解最值即可.【詳解】因為點P是橢圓上的動點，，，所以，所以，當且僅當即時，等號成立.故選：A.考點二、橢圓的標準方程【例2】已知p：，q：表示橢圓，則p是q的（

）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由橢圓方程的定義化簡命題，根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷結(jié)論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得或，故：或，又p：，所以p是q的必要不充分條件，故選：C.【變式3】已知橢圓的左?右焦點分別是，是橢圓短軸的一個端點，且，則橢圓的長軸長是（

）A．B．4C．D．8【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，得到，即，求得，進而求得橢圓的長軸長.【詳解】由橢圓，可得，因為是橢圓短軸的一個端點，且，可得，即，可得，即，解得，所以，故橢圓的長軸長是.故選：C.

【變式4】已知橢圓的左頂點為A，上頂點為B，左、右焦點分別為，，延長交橢圓E于點P．若點A到直線的距離為，的周長為16，則橢圓E的標準方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出直線的方程，由點到直線的距離可得，再由的周長為16可得，解方程可求出，即可得出答案.【詳解】由題意，得，，，則直線的方程為，所以點A到直線的距離①．由的周長為16，得，即a+c=8②，聯(lián)立①②，解得③．因為，所以④．聯(lián)立②④，解得a=6，c=2，所以，故橢圓E的標準方程為是.故選：B．考點三、橢圓的幾何性質(zhì)【例3】已知，是橢圓的上、下頂點，為的一個焦點，若的面積為，則的長軸長為（

）A．3B．6C．9D．18【答案】B【分析】依題意可得且，即可求出，從而求出，即可得解.【詳解】由題可知，則，所以，所以，故的長軸長為．故選：B【變式5】已知以為焦點的橢圓與直線有且僅有一個公共點，則橢圓的長軸長為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先設(shè)橢圓方程與直線方程聯(lián)立，根據(jù)判別式等于0求得和的關(guān)系式，同時橢圓的焦點坐標求得半焦距得到和的另一個關(guān)系式，兩個關(guān)系式聯(lián)立方程即可求得和，則橢圓的長軸可得．【詳解】設(shè)橢圓方程為，直線代入橢圓方程，消得：，，整理，得又，由焦點在軸上，所以，聯(lián)立解得：，,故橢圓方程為，則長軸長為；故選：C【變式6】已知橢圓的左右焦點分別為，過的直線交于兩點，直線交軸于點，若，則橢圓的焦距為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由且，得到為的中點，得出軸，進而得到為等邊三角形，求得，即可求解.【詳解】如圖所示，因為且，所以為的中點，又因為為的中點，軸，所以軸，所以為等邊三角形，所以，可得，解得，所以橢圓的焦距為.故選：A.

考點四、橢圓的離心率【例4】設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A【變式7】已知橢圓的左右焦點分別是，過的直線交橢圓于兩點，若（為坐標原點），，則橢圓的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先根據(jù)題意設(shè)，得到.根據(jù)，得到，根據(jù)勾股定理得到，再求離心率即可.【詳解】如圖所示：

設(shè)，因為，所以.又因為，所以，即.因為，所以.因為，所以.在中，，解得，即，所以，即.所以，.故選：B【變式8】已知橢圓，焦點，，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點P，且軸，則該直線的斜率是，橢圓的離心率是.【答案】【分析】不妨假設(shè)，根據(jù)圖形可知，，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求出；再根據(jù)橢圓的定義求出，即可求得離心率．【詳解】如圖所示：不妨假設(shè)，設(shè)切點為，，所以,由，所以，，于是，即，所以．故答案為：；．考點五、橢圓中的最值問題【例5】已知是橢圓的兩個焦點，點在上，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓定義得到，將整理為，然后根據(jù)范圍求得范圍即可.【詳解】設(shè)，，則，，又，所以當時，，當時，.故選：C.【變式9】已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，A是C上一點，，則的最大值為（

）A．7B．8C．9D．11【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，利用可求的最大值.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，則，，如圖，連接，則，而，當且僅當共線且在中間時等號成立，故的最大值為.故選：A.【變式10】已知為橢圓上一點，若的右焦點的坐標為，點滿足，，若的最小值為，則橢圓的方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由得出，將最小值代入求解即可.【詳解】如圖，∵，∴，又∵，∴，即，∴，∴當點為橢圓的右頂點時，取最小值，，此時的最小值，解得（舍）或，∴，∴橢圓的方程為.故選：B.【基礎(chǔ)過關(guān)】1.設(shè)橢圓，的離心率分別為，，若，則（

）A．1B．2C．D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率的關(guān)系列方程，從而求得.【詳解】對于橢圓，有.因為，所以，解得．故選：B2.已知拋物線的焦點和橢圓的一個焦點重合，且拋物線的準線截橢圓的弦長為3，則橢圓的標準方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的焦點以及在橢圓上，即可求解的值.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，設(shè)橢圓的方程為，橢圓中，，當時，，故又，所以，故橢圓方程為，故選：B3.已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（

）A．6B．12C．D．【答案】C【分析】設(shè)，，由橢圓定義得，由余弦定理求出，從而利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓，得，，.

設(shè)，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.4.已知，是橢圓的左、右焦點，是的上頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】求得直線AP的方程，根據(jù)題意求得P點坐標，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．【詳解】由題意可知：，，，直線的方程為：，由，點在第三象限，，則，代入直線方程中得整理得，則，∴橢圓的離心率.故選：B.5.已知離心率為的橢圓的方程為，則（

）A．2B．C．D．3【答案】C【分析】由離心率公式先得，從而解決問題.【詳解】由題意，，即，可得，則.故選：C6.已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓的一個交點為，若，則的面積為（

）A．B．C．4D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓定義求出，再求出等腰三角形的面積作答.【詳解】橢圓中，，由及橢圓定義得，

因此為等腰三角形，底邊上的高，所以的面積為.故選：D7.橢圓的左、右焦點分別為，過點作的角平分線交橢圓的長軸于點，則點的坐標為.【答案】【分析】根據(jù)角平分線定理可得，利用坐標運算即可得答案.【詳解】

橢圓的左、右焦點分別為，又，由角平分線定理知，則，解得，所以點坐標為.故答案為：.8.設(shè)橢圓的左右焦點分別為和，離心率為，過左焦點且傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，且線段，則的內(nèi)切圓半徑等于.【答案】【分析】由已知條件表示出直線AB的方程，得到的面積，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，內(nèi)切圓半徑乘以三角形周長的一半等于三角形面積，結(jié)合離心率的值可得內(nèi)切圓半徑.【詳解】的周長為，∵，∴到直線的距離，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，又，∵，，∴，故答案為：9.已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．13B．12C．9D．6【答案】C【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當且僅當時，等號成立）．故選：C．10.設(shè)O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出的面積，即可得到點的坐標，從而得出的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．【詳解】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．課后訓練1.已知兩圓C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.動圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由兩圓外切和內(nèi)切，得出圓心距與兩圓的半徑和差的關(guān)系，設(shè)出動圓的半徑，消去，再由圓錐曲線的定義，可得動圓的圓心的軌跡，進一步求出其方程.【詳解】設(shè)動圓的圓心，半徑為，圓與圓:內(nèi)切，與C2：外切.所以.由橢圓的定義，的軌跡是以為焦點，長軸為16的橢圓.則，所以動圓的圓心的軌跡方程為：故選：D2.設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因為，，所以，因為，當，即時，，即，符合題意，由可得，即；當，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．3.已知橢圓的左、右焦點分別是，點是橢圓上位于第一象限的一點，且與軸平行，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由點坐標求得點坐標，然后代入橢圓的方程，化簡求得橢圓的離心率.【詳解】由令，得，由于與軸平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，將點坐標代入橢圓的方程得，，，所以離心率.故選：B

4.已知橢圓：，為橢圓的左焦點，為橢圓的右頂點，為橢圓上一點．若，則．【答案】【分析】由橢圓方程得的值，得左焦點和右頂點的坐標，可得和的值，由，所以為橢圓短軸的一個端點，可求.【詳解】橢圓：中，，，，則，，所以，由，得，由，所以為橢圓短軸的一個端點，所以．故答案為：.5.已知是橢圓的左、右焦點，P在橢圓上運動，則的最小值為．【答案】1【分析】利用橢圓的定義知，利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】因為是橢圓的左、右焦點，P在橢圓上運動，所以.所以，所以（當且僅當時等號成立）.所以.即的最小值為1.故答案為：16.已知橢圓的一個頂點為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當時，求k的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）依題意可得，即可求出，從而求出橢圓方程；（2）首先表示出直線方程，設(shè)、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，由直線、的方程，表示出、，根據(jù)得到方程，解得即可；【詳解】（1）解：依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；（2）解：依題意過點的直線為，設(shè)、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得.隨堂檢測1.已知的兩個頂點分別為的周長為18，則點的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)，利用橢圓的定義得到點的軌跡是以為焦點的橢圓求解.【詳解】由題意得，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓，設(shè)其標準方程為，則，從而．又三點不共線，∴點不在軸上，點的軌跡方程為．故選：A．2.“”是“方程表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)方程表示橢圓的條件求解.【詳解】方程表示橢圓，所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件，故選：B.3.若橢圓的焦距大于，則m的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由橢圓方程表示出焦距，解不等式即可.【詳解】橢圓化為標準方程為，則，若橢圓的焦距大于，則有，整理得，解得，故．故選：D4.已知橢圓：的左，右焦點分別為，，若橢圓上一點Р到焦點的最大距離為7，最小距離為3，則橢圓C的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)點在橢圓上得，且，再利用兩點距離求得，從而可確定的最大值與最小值，即可求得的值，即可得離心率的值.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，若橢圓上一點，則，且，又，，則由于，所以，于是可得，，所以橢圓C的離心率.故選：B.5.橢圓的左右焦點為，，點P為橢圓上不在坐標軸上的一點，點M，N滿足，，若四邊形的周長等于，則橢圓C的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)，，可得點為線段的中點，點為線段的中點，再根據(jù)四邊形的周長結(jié)合橢圓的離心率公式即可得解.【詳解】因為，所以點為線段的中點，因為，所以，即，所以點為線段的中點，又因點為線段的中點，所以且，且，所以四邊形的周長為，又因點P為橢圓上不在坐標軸上的一點，所以，所以，即，故橢圓C的離心率為.故選：C.

6.已知橢圓，，分別是的左頂點和上頂點，是的左焦點，若，則的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)，在和在求出，的正切值，由兩角差的正切公式求出的正切值，結(jié)合題目條件得，的關(guān)系，即求出橢圓的離心率.【詳解】由題意作出圖形，如下圖所示：

可知：，，，在中可得：，在中可得：，所以化簡得：因為，所以①，又，所以①整理可得：，即，解得，又，所以，故選：C.7.若，，點P到，的距離之和為10，則點P的軌跡方程是【答案】【分析】根據(jù)橢圓的第一定義，得到，得到，進而計算求解，可得答案.【詳解】因為，所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，其中，故點P的軌跡方程為.故答案為：8.