2023-2024學(xué)年遼寧省大連市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年遼寧省大連市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線(xiàn)l的傾斜角為π4，且過(guò)點(diǎn)(1,3)，則它在y軸上的截距為(

)A.2 B.?2 C.4 D.?42.(a+b)8的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是(

)A.第3項(xiàng) B.第4項(xiàng) C.第5項(xiàng) D.第6項(xiàng)3.從拋物線(xiàn)y2=2x上一點(diǎn)P作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M，設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，若△MPF是正三角形，則|PF|=(

)A.12 B.1 C.32 4.在空間中，“經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0,z0)，法向量為e=(A,B,C)的平面的方程(即平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)滿(mǎn)足的關(guān)系式)為：A(x?x0)+B(y?y0A.?23 B.23 5.用1，2，3，4，5，6寫(xiě)出沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，滿(mǎn)足相鄰的數(shù)字奇偶性不同的數(shù)有(????)個(gè)．A.18 B.36 C.72 D.866.三棱柱ABC?A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，∠BAA1=∠CAAA.33

B.66

C.7.已知雙曲線(xiàn)C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F作雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為A，并與雙曲線(xiàn)C交于點(diǎn)A.5 B.2 C.238.若橢圓C1和C2的方程分別為x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2a2+y2b2=λ(a>b>0,λ>0且λ≠1)，則稱(chēng)C1兩點(diǎn)，且PM+PN=0，則△MON的面積最大時(shí)，A.13 B.12 C.34二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知雙曲線(xiàn)C的方程為x29?yA.雙曲線(xiàn)C的實(shí)軸長(zhǎng)為6 B.雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=±34x

C.雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為4 D.雙曲線(xiàn)10.已知拋物線(xiàn)y=4x2的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)

B.若AF=λFB，則以AB為直徑的圓與直線(xiàn)y=?116相切

C.若直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)(0,14)，則以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O

D.若|AB|=2，則線(xiàn)段11.已知正方體ABCD?A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1的方向?yàn)锳.點(diǎn)B到平面B1CD1的距離為233

B.BB1在A1C上的投影向量是(?13,?13,13)12.已知fn(x)=(x+3)nA.若fn(?1)=an+3bn，an，bn∈Z，則a4+b4=12

B.fn(1)?三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知圓C1：x2+y2=1與圓C2：14.如圖所示，用一束與平面α成60°角的平行光線(xiàn)照射球O，在平面α上形成的投影為橢圓C及其內(nèi)部，則橢圓C的離心率為_(kāi)_____．15.將甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三項(xiàng)不同的公益活動(dòng)中，每人只參加一項(xiàng)活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)都需要有人參加，其中甲必須參加A活動(dòng)，則不同的分配方法有______種.(用數(shù)字作答)16.已知三棱錐P?ABC頂點(diǎn)均在一個(gè)半徑為5的球面上，AB⊥BC，AC=8，P到底面ABC的距離為5，則PA2+P四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知圓C的圓心坐標(biāo)為(2,1)，與直線(xiàn)x?y+1=0交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=22．

(Ⅰ)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)求過(guò)點(diǎn)P(4,4)的圓C18.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)(32,0)的距離比點(diǎn)M到直線(xiàn)x+1=0的距離大12．

(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(Ⅱ)直線(xiàn)l與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)為x+y?5=0，求線(xiàn)段19.(本小題12分)

三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，AB=2A1B1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB=3，BC=2，BB1=1，AE=2EB，A1C20.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為4，且過(guò)點(diǎn)M(6,1)．

(Ⅰ)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)已知點(diǎn)P(m,m2)，m>0，若存在過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)Q(0,2)21.(本小題12分)

在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，平面ABCD外動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：AP=2，點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的射影在直線(xiàn)AB上，BC//平面ADP．

(Ⅰ)證明：AD⊥平面ABP；

(Ⅱ)求AP與平面PCD所成角的正弦值的最大值．22.(本小題12分)

已知雙曲線(xiàn)C：x24?y2=1，點(diǎn)M(4,0)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)C于不同的兩點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)A、B分別作雙曲線(xiàn)C的切線(xiàn)，兩切線(xiàn)交于點(diǎn)E.(二次曲線(xiàn)Ax2+By2=1在曲線(xiàn)上某點(diǎn)(x0,y0)處的切線(xiàn)方程為Ax0x+By0y=1)

(Ⅰ)求證：點(diǎn)E恒在一條定直線(xiàn)L上；

(Ⅱ)若兩直線(xiàn)l與L交于點(diǎn)N，AN=λMA，BN=μMB，求λ+μ的值；

(Ⅲ)若點(diǎn)A、B都在雙曲線(xiàn)C的右支上，過(guò)點(diǎn)A、參考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.C

6.B

7.A

8.B

9.AC

10.BCD

11.BC

12.ACD

13.214.1215.50

16.186?817.解：(1)由題意圓心為(2,1)，直線(xiàn)x?y+1=0，

所以圓心到直線(xiàn)的距離d=|2?1+1|1+1=22=2，

又因?yàn)閨AB|=22，設(shè)圓的半徑為r，

根據(jù)勾股定理|AB|=2r2?d2，

所以22=2r2?2，

解得r2=4，

所以原C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?2)2+(y?1)2=4；

(2)易知點(diǎn)P(4,4)不在圓上，18.解：(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)M(x,y)，根據(jù)題意有|x+1|+12=(x?32)2+(y?0)2，

當(dāng)x<?1時(shí)，?x?1+12<?x+32≤(x?32)2+(y?0)2，不符合題意，

當(dāng)x≥?1時(shí)，化簡(jiǎn)得y2=6x，

所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2=6x；

(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中點(diǎn)C(x0,y0)，

由AB與直線(xiàn)l可知，直線(xiàn)AB的斜率k=y2?19.(Ⅰ)證明：因?yàn)锳B=2A1B1，

所以由三棱臺(tái)的性質(zhì)知，AC=2A1C1，且AC/?/A1C1，

所以△ACD∽△C1A1D，

所以ADDC1=ACA1C1=2，即AD=2DC1，

因?yàn)锳E=2EB，

所以DE//C1B，

又DE?平面A1BC1，C1B?平面A1BC1，

所以DE/?/平面A1BC1．

(Ⅱ)解：因?yàn)槠矫鍭A1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB，AB⊥BC，BC?平面ABC，

所以BC⊥平面AA1B1B，

因?yàn)锽B1?平面AA1B1B，所以BC⊥BB1，

又AC⊥BB1，BC∩AC=C，BC、AC?平面ABC，

所以BB1⊥平面ABC，

因?yàn)锳B?平面ABC，所以BB1⊥AB，

故AB，BC，BB1兩兩垂直，

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

20.解：(Ⅰ)由題意可得2c=46a2+1b2=1a2?b2=c2，解得a2=8，b2=4，

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x28+y24=1；

(Ⅱ)證明：(i)由題可知，直線(xiàn)l的斜率存在，

設(shè)l：y=kx+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

與橢圓聯(lián)立得：(2k2+1)x2+4ktx+2t2?8=0，

Δ=8(8k2+4?t21.解：(Ⅰ)證明：因?yàn)锽C/?/平面ADP，BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面ADP=AD，

所以BC/?/AD，

因?yàn)锳B⊥BC，所以AB⊥AD，

過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，

因?yàn)辄c(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的射影在直線(xiàn)AB上，

所以PQ⊥平面ABCD，

因?yàn)锳D?平面ABCD，所以PQ⊥AD，

因?yàn)锳B∩PQ=Q，AB，PQ?平面ABP，

所以AD⊥平面ABP；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)A作AM⊥平面ABCD，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AM的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P(x,0,z)，由AP=2，得x2+z2=4，

由題知，x∈(?2,2)，D(0,1,0)，C(1,2,0)，

所以DP=(x,?1,z)，DC=(1,1,0)，

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n=(x1,y1,z1)，

則有n?DP=xx1?y1+zz1=0n?DC=x1+y1=0，令x1=?z22.解：(Ⅰ)證明：設(shè)E(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由題意得：切線(xiàn)E