題型25 8類排列組合與4類二項(xiàng)式定理解題技巧（捆綁、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍縮、分組分配、直排環(huán)排、涂色、項(xiàng)、系數(shù)、三項(xiàng)展開(kāi)式、二項(xiàng)式乘積解題技巧）-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納

題型258類排列組合與4類二項(xiàng)式定理解題技巧技法01技法01捆綁、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍縮、分組分配、直排環(huán)排、涂色解題技巧技法02項(xiàng)、系數(shù)、三項(xiàng)展開(kāi)式、二項(xiàng)式乘積解題技巧技法01捆綁、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍縮、分組分配、直排環(huán)排、涂色解題技巧排列組合排列組合是新高考卷的?？純?nèi)容，一般會(huì)和分類加法原理與分步乘法原理結(jié)合在小題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).知識(shí)遷移求解排列應(yīng)用問(wèn)題方法匯總直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問(wèn)題除法處理對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列對(duì)于某些順序一定的元素(m個(gè))的排列問(wèn)題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個(gè))進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)Aeq\o\al(n,n)除以m個(gè)順序一定的元素之間的全排列數(shù)Aeq\o\al(m,m)，即得到不同排法種eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m))＝Aeq\o\al(n－m,n).間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法分組分配平均分組、部分平均分組1．對(duì)不同元素的分配問(wèn)題(1)對(duì)于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．(2)對(duì)于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組，就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．(3)對(duì)于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．隔板法將個(gè)相同元素放入個(gè)不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類問(wèn)題常用的方法是“隔板法”，因?yàn)樵叵嗤灾恍杩紤]每個(gè)盒子里所含元素個(gè)數(shù)，則可將這個(gè)元素排成一列，共有個(gè)空，使用個(gè)“擋板”進(jìn)入空檔處，則可將這個(gè)元素劃分為個(gè)區(qū)域，剛好對(duì)應(yīng)那個(gè)盒子環(huán)排問(wèn)題(1)把個(gè)不同的元素圍成一個(gè)環(huán)狀，排法總數(shù)為(2)個(gè)不同的元素圍成一圈，個(gè)元素相鄰，符合條件的排列數(shù)為(3)個(gè)不同的元素圍成一圈，個(gè)元素不相鄰，符合條件的排列數(shù)為涂色問(wèn)題涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問(wèn)題時(shí)，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對(duì)不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可。例1-1．（2023春·重慶·高三?？迹┯?名男生和2名女生排成一排，女生相鄰的不同排法有（

）A．36種 B．48種 C．72種 D．108種不同排法種數(shù)為種例1-2．（2023秋·黑龍江·高三?？迹┘住⒁?、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相鄰，排法種數(shù)為（）A．12 B．36 C．48 D．72先排丙、丁、戊三人，共有種排法，甲和乙不相鄰，再將甲、乙插空，共有種排法，故排法種數(shù)為．例1-3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）運(yùn)輸公司從5名男司機(jī)，4名女司機(jī)中選派出3名男司機(jī)，2名女司機(jī)，到，，，，這五個(gè)不同地區(qū)執(zhí)行任務(wù)，要求地只能派男司機(jī)，地只能派女司機(jī)，則不同的方案種數(shù)是（

）A．360 B．720 C．1080 D．2160第一步，先從5名男司機(jī)，4名女司機(jī)中選派出3名男司機(jī)，2名女司機(jī)，共有種方法，第二步，從抽取到的司機(jī)中，派1名男司機(jī)去地，派一名女司機(jī)去地，共有種方法，第三步，剩下3名司機(jī)隨機(jī)去，，三地，共有種方法，故不同方案種數(shù)為，例1-4．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）2022年在貴州省黔東南州臺(tái)盤鄉(xiāng)舉辦的貴州省“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽，經(jīng)由短視頻火爆全網(wǎng)，被稱為“村BA”，中國(guó)駐美大使及外交部發(fā)言人在海外媒體發(fā)文推薦．某高三班主任從網(wǎng)上找到6個(gè)與此相關(guān)的短視頻，，，，，，準(zhǔn)備從這6個(gè)短視頻中再選出3個(gè)向?qū)W生推薦，則，，至少選1個(gè)的方法種數(shù)為（

）A．8 B．18 C．19 D．24不同選法種數(shù)為.例1-5．（2023·甘肅·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校購(gòu)買了10個(gè)相同的籃球分配給高三年級(jí)6個(gè)班，要求每個(gè)班至少一個(gè)籃球，則不同的分配方法有（

）A．126種 B．84種 C．72種 D．48種將10個(gè)籃球排成一排，形成9個(gè)空，插入5個(gè)擋板將籃球分成6組，所以不同的分配方案有種.例1-6．（2023·浙江·高三統(tǒng)考）將甲、乙、丙等六位同學(xué)排成一排，且甲、乙在丙的兩側(cè)，則不同的排法種數(shù)共有(

)A． B． C． D．將甲、乙、丙等六位同學(xué)進(jìn)行全排可得種，甲、乙、丙的排列為種，因?yàn)榧?、乙在丙的兩?cè)，所以可能為甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法種數(shù)共有種．例1-7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知有6本不同的書(shū).分成三堆，每堆2本，有種不同的分堆方法.6本書(shū)平均分成3堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為.例1-8．（2022·安徽·高三?？迹┯?種不同顏色的涂料，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂色方法共有（

）A．1512種 B．1346種 C．912種 D．756種1、先涂A區(qū)域，則有4種方法，若B，D區(qū)域涂相同顏色，則有3種方法，C，E，F(xiàn)區(qū)域分別有3種方法，共有4×3×3×3×3=324種方法．2、先涂A區(qū)域，則有4種方法，若B，D區(qū)域涂不同顏色，則有3×2種方法，則E區(qū)域有2種方法，C，F(xiàn)分別有3種方法，共有4×3×2×2×3×3=432種方法．故不同的涂色方法共有756種．1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某社區(qū)活動(dòng)需要連續(xù)六天有志愿者參加服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，計(jì)劃依次安排到該社區(qū)參加服務(wù)，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（

）A．72種 B．81種 C．144種 D．192種2．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩個(gè)家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中甲家庭有2個(gè)大人和2個(gè)小孩，乙家庭有2個(gè)大人和3個(gè)小孩，他們9人在景區(qū)門口站成一排照相，要求每個(gè)家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的種數(shù)為（

）A．144 B．864 C．1728 D．28803．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）第屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)于月日至月日在成都舉辦，現(xiàn)在從男女共名青年志愿者中，選出男女共名志愿者，安排到編號(hào)為、、、、的個(gè)賽場(chǎng)，每個(gè)賽場(chǎng)只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編號(hào)為、的賽場(chǎng)，編號(hào)為的賽場(chǎng)必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種4．（2023·江蘇·高三校考）某校組織一次認(rèn)識(shí)大自然的活動(dòng)，有10名同學(xué)參加，其中有6名男生?4名女生，現(xiàn)要從這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去采集自然標(biāo)本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（

）A．192種 B．120種 C．96種 D．24種5．（2023·河北·高三?？茧A段練習(xí)）小明同學(xué)去文具店購(gòu)買文具，現(xiàn)有四種不同樣式的筆記本可供選擇（可以有筆記本不被選擇），單價(jià)均為一元一本，小明只有元錢且要求全部花完，則不同的選購(gòu)方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在一次學(xué)校組織的研究性學(xué)習(xí)成果報(bào)告會(huì)上，有共6項(xiàng)成果要匯報(bào)，如果B成果不能最先匯報(bào)，而A?C?D按先后順序匯報(bào)（不一定相鄰），那么不同的匯報(bào)安排種數(shù)為（

）A．100 B．120 C．300 D．6007．（2023·福建·高三校考階段練習(xí)）為提高教學(xué)質(zhì)量，教育廳派6位教研員，平均分成3組，去某地3所重點(diǎn)高中調(diào)研，且甲、乙兩位教研員不去同一所高中，則不同的調(diào)研安排方案有（

）種．A．66 B．72 C．85 D．968．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）7名同學(xué)坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰，不同的排法種數(shù)為.9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用四種顏色給下圖的6個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，若四種顏色全用上，則共有多少種不同的涂法（

）A．72 B．96 C．108 D．14410．（2023春·湖北武漢·高三武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）?？计谀┤鐖D，現(xiàn)要用5種不同的顏色對(duì)某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法？（

）

A．120 B．180 C．221 D．300技法02項(xiàng)、系數(shù)、三項(xiàng)展開(kāi)式、二項(xiàng)式乘積解題技巧二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理是新高考卷的常考內(nèi)容，一般會(huì)和項(xiàng)、系數(shù)、三項(xiàng)展開(kāi)式、二項(xiàng)式乘積等結(jié)合在小題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).知識(shí)遷移1．二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)；(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).若二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見(jiàn)結(jié)論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)．(2)h(r)是非負(fù)整數(shù)?Tr＋1是整式項(xiàng)．(3)h(r)是負(fù)整數(shù)?Tr＋1是分式項(xiàng)．(4)h(r)是整數(shù)?Tr＋1是有理項(xiàng)．注1．二項(xiàng)式的通項(xiàng)易誤認(rèn)為是第k項(xiàng)，實(shí)質(zhì)上是第k＋1項(xiàng)．注2．易混淆二項(xiàng)式中的“項(xiàng)”“項(xiàng)的系數(shù)”“項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”等概念，注意項(xiàng)的系數(shù)是指非字母因數(shù)所有部分，包含符號(hào)，二項(xiàng)式系數(shù)僅指Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱性與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即增減性當(dāng)k＜eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大；當(dāng)k＞eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小最大值當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項(xiàng)))的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n－1,2)＋1項(xiàng)和第\f(n＋1,2)＋1項(xiàng)))的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，最大值為或二項(xiàng)式系數(shù)和(a＋b)n的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝.例2-1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在的展開(kāi)式中，第四項(xiàng)為（

）A．160 B． C． D．在的展開(kāi)式中，第四項(xiàng)為.例2-2．（山東·統(tǒng)考高考真題）在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（

）A． B． C． D．第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，例2-3．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）．A． B． C．40 D．80的展開(kāi)式的通項(xiàng)為令得，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為例2-4．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B．10 C． D．30【詳解】可以看做個(gè)盒子，每個(gè)盒子中有，，三個(gè)元素，現(xiàn)從每個(gè)盒子中取出一個(gè)元素，最后相乘即可，所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，故展開(kāi)式中的系數(shù)為.例2-5．（全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為（

）A．5 B．10C．15 D．20展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為（且）所以的各項(xiàng)與展開(kāi)式的通項(xiàng)的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為所以的系數(shù)為1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為第_____項(xiàng)A．