第2章　第2講　函數(shù)的單調(diào)性與最值

第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第二講函數(shù)的單調(diào)性與最值知識梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點突破·互動探究提能訓練練案[7]知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點一函數(shù)的單調(diào)性1．單調(diào)函數(shù)的定義

單調(diào)遞增單調(diào)遞減定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I.?x1，x2∈D當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上_________當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上__________單調(diào)遞增單調(diào)遞減

單調(diào)遞增單調(diào)遞減圖象描述自左向右看圖象是__________自左向右看圖象是_________增(減)函數(shù)當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增(減)時，我們就稱它是增(減)函數(shù)上升的下降的2.單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)________，區(qū)間D叫做y＝f(x)的_________.單調(diào)性單調(diào)區(qū)間知識點二函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M(1)?x∈I，都有f(x)≥M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為函數(shù)y＝f(x)的__________M為函數(shù)y＝f(x)的_________最大值最小值歸

納

拓

展1．復合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)y＝f(u)，u＝φ(x)，在函數(shù)y＝f[φ(x)]的定義域上，如果y＝f(u)，u＝φ(x)的單調(diào)性相同，則y＝f[φ(x)]單調(diào)遞增；如果y＝f(u)，u＝φ(x)的單調(diào)性相反，則y＝f[φ(x)]單調(diào)遞減．××××××[解析]

(1)函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)了任意性，即對于單調(diào)區(qū)間上的任意兩個自變量值x1，x2，均有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，而不是區(qū)間上的兩個特殊值．(2)單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間，如y＝x在(－2,3)上是增函數(shù)，但它的單調(diào)遞增區(qū)間是R，而不是(－2,3)．(3)多個單調(diào)區(qū)間不能用“∪”符號連接，而應用“，”或“和”連接．(4)y′＝(x＋1)ex，因此y＝xex在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，增函數(shù)的積、商不一定具備單調(diào)性．題組二走進教材2．(必修1P85T1改編)設(shè)定義在[－1,7]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間為__________________.[－1,1]和[5,7]4．(必修1P86T7改編)已知f(x)＝－2x2＋x，x∈[－1,3]，則其單調(diào)遞減區(qū)間為____________；f(x)min＝_______.－15AD7．(2023·新課標Ⅰ，4,5分)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是(

)A．(－∞，－2] B．[－2,0)C．(0,2] D．[2，＋∞)D考點突破·互動探究函數(shù)的單調(diào)性ABC[分析]

(1)可用圖象法或化為分段函數(shù)或用化為復合函數(shù)求解；(2)復合函數(shù)求解；(3)導數(shù)法．y＝－(x＋1)2＋4(x<0)圖象開口向下，對稱軸為x＝－1，∴增區(qū)間為(－∞，－1)，減區(qū)間為(－1,0)；∴f(x)的增區(qū)間為(0,1)，(－∞，－1)，減區(qū)間為(1，＋∞)，(－1,0)．[引申1]本例(1)f(x)＝|－x2＋2x＋3|的增區(qū)間為_________________.[解析]

作出f(x)＝|－x2＋2x＋3|的圖象，由圖可知所求增區(qū)間為(－1,1)和(3，＋∞)．(－1,1)和(3，＋∞)[引申2]本例(2)f(x)＝log2(－x2＋4x＋5)的增區(qū)間為_______________.(－1,2]名師點撥：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(確定函數(shù)單調(diào)性)的方法1．利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知單調(diào)性的函數(shù)的和、差或復合函數(shù)，再求單調(diào)區(qū)間．2．定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義求解．3．圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象直接寫出它的單調(diào)區(qū)間．4．導數(shù)法：利用導數(shù)取值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．5．求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟是：(1)求函數(shù)的定義域；(2)求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，依據(jù)是“同增異減”．注意：1．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，定義域優(yōu)先．2．單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間應分別寫，不能用并集符號“∪”連接，也不能用“或”連接．AD[解析]

畫出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可得A，D中的函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，B，C中的函數(shù)在(0，＋∞)上不單調(diào)．故選AD.2.函數(shù)f(x)＝ln(－x2＋2x＋3)的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．(－1,1) D．(1,3)[解析]

設(shè)t＝－x2＋2x＋3，由－x2＋2x＋3>0可得－1<x<3，則y＝lnt，由于y＝lnt在t∈(0，＋∞)上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，可得要求函數(shù)f(x)＝ln(－x2＋2x＋3)的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求t＝－x2＋2x＋3(－1<x<3)的單調(diào)遞減區(qū)間．而t＝－x2＋2x＋3在(1,3)上單調(diào)遞減．D3．函數(shù)f(x)＝(a－1)x＋2在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)g(x)＝a|x－2|的單調(diào)遞減區(qū)間是____________.[解析]

由已知得a－1>0，∴a>1，∴g(x)＝a|x－2|減區(qū)間為q(x)＝|x－2|減區(qū)間，(－∞，2]，故填(－∞，2]．(－∞，2]B3(1，＋∞)角度4利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍名師點撥：函數(shù)單調(diào)性應用問題的常見類型及解題策略1．比較函數(shù)值的大小，應將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．2．利用函數(shù)單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的重要方法，特別是當函數(shù)圖象不易作出時，單調(diào)性法幾乎成為首選方法．3．解不等式．在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時應特別注意函數(shù)的定義域．4．利用單調(diào)性求參數(shù)時，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點間關(guān)系求參數(shù)．求解時注意函數(shù)定義域的限制，遇分段函數(shù)注意分點處左、右端點函數(shù)值的大小關(guān)系．B2．(角度2)(2024·江蘇模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝4x＋3x＋b(b為常數(shù))，則f(x)在[－3，－1]上的最大值為_______.[解析]

根據(jù)f(0)＝0求得b，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求得正確答案．依題意，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝1＋b＝0，b＝－1，即當x≥0時，f(x)＝4x＋3x－1，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值為f(1)＝4＋3－1＝6，所以f(x)在區(qū)間[－3，－1]上的最大值為－6.－63．(角度3)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，則實數(shù)x的取值范圍是_____________________________.4．(角度4)已知函數(shù)y＝loga(2－ax)在[0,1]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______.[解析]

設(shè)u＝2－ax，∵a>0且a≠1，∴函數(shù)u在[0,1]上是減函數(shù)．由題意可知函數(shù)y＝logau在[0,1]上是增函數(shù)，∴a>1.又∵u在[0,1]上要滿足u>0，∴2－a×1>0，得a<2.綜上得1<a<2.(1,2)[－3，－2]函數(shù)的最值——自主練透D名師點撥：利用單調(diào)性求最值，應先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)性質(zhì)求解．若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(b)，最小值為f(a)．若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(a)，最小值為f(b)．名師講壇·素養(yǎng)提升抽象函數(shù)的單調(diào)性問題[解析]

(1)證明：令x＝y(tǒng)＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)＝f(0)，從而f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)