山東專用2024新高考數(shù)學一輪復習第八章平面解析幾何8.3圓的方程學案含解析

PAGE第三節(jié)圓的方程課標要求考情分析1.駕馭確定圓的幾何要素，駕馭圓的標準方程與一般方程．2．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．1.圓的方程、與圓有關的最值問題、與圓有關的軌跡問題是近幾年高考命題方向方向的熱點．2．常與直線、橢圓、拋物線等學問結合考查．3．題型以選擇題、填空題為主，有時也會以解答題的形式出現(xiàn).學問點一圓的定義及方程1.假如沒給出r>0，則圓的半徑為|r|.2．當D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；當D2＋E2－4F<0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0沒有意義，不表示任何圖形．學問點二點與圓的位置關系點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圓內，則(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.1．思索辨析推斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”)(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的圓．(×)(2)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，－a))，半徑為eq\f(1,2)eq\r(－3a2－4a＋4)的圓．(×)(3)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)(4)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)解析：(1)t≠0時，方程表示圓心為(－a，－b)，半徑為|t|的圓．(2)a2＋(2a)2－4(2a2＋即－2<a<eq\f(2,3)時表示圓．(3)因為點M(x0，y0)在圓外，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(E,2)))2>eq\f(D2＋E2－4F,4)，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.(4)設M(x，y)是圓上異于直徑端點A，B的點，由eq\f(y－y1,x－x1)·eq\f(y－y2,x－x2)＝－1得(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．小題熱身(1)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標是(D)A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)(2)方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一個圓，則m的取值范圍是(A)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))(3)以線段AB：x－y－2＝0(0≤x≤2)為直徑的圓的方程為(B)A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝8D．(x－1)2＋(y＋1)2＝8(4)若點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內部，則實數(shù)a的取值范圍是(－1,1)．(5)過點A(0,1)和B(1,2)，且與x軸相切的圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x＋3)2＋(y－5)2＝25.解析：(1)圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標是(2，－3)．(2)由題1＋1＋4m>0，所以m>－eq\f(1,2).故選A.(3)∵線段AB：x－y－2＝0(0≤x≤2)的兩個端點為(0，－2)，(2,0)，∴圓心為(1，－1)．半徑為eq\f(\r(－22＋22),2)＝eq\r(2)，∴圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.(4)由條件知(1－a)2＋(1＋a)2<4，即2＋2a2<4.∴a2<1.即－1<a(5)本題主要考查待定系數(shù)法求圓的方程．設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因為圓過點A(0,1)和B(1,2)，且與x軸相切，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－a2＋1－b2＝r2，,1－a2＋2－b2＝r2，,|b|＝r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝5，,r＝5.))所以所求圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x＋3)2＋(y－5)2＝25.考點一求圓的方程【例1】(1)過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4(2)經(jīng)過A(4,2)，B(－1,3)兩點，且在兩坐標軸上的四個截距之和是2的圓的方程為____________．【解析】(1)方法1：設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋－1－b2＝r2，,－1－a2＋1－b2＝r2，,a＋b－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r＝2，))因此圓的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，故選C.方法2：AB的中垂線方程為y＝x，所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0))得圓心為(1,1)，所以半徑為2，因此圓的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，故選C.(2)設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，所以圓在x軸上的截距之和為x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圓在y軸上的截距之和為y1＋y2＝－E.由題設x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，即D＋E＝－2①.因為A(4,2)，B(－1,3)在圓上，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0②，1＋9－D＋3E＋F＝0③，由①②③解得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12，故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0.【答案】(1)C(2)x2＋y2－2x－12＝0方法技巧求圓的方程一般有兩種常用方法：1幾何法，通過探討圓的幾何性質，確定圓心坐標與半徑長，即得到圓的方程；2代數(shù)法，用待定系數(shù)法求解，其關鍵是依據(jù)條件選擇圓的方程，若已知圓上三點，則選用圓的一般方程，若已知條件與圓心及半徑有關，則選用圓的標準方程.1．(2024·浙江卷)已知圓C的圓心坐標是(0，m)，半徑長是r.若直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點A(－2，－1)，則m＝－2，r＝eq\r(5).解析：解法1：設過點A(－2，－1)且與直線2x－y＋3＝0垂直的直線方程為l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，則r＝eq\r(－2－02＋－1＋22)＝eq\r(5).解法2：因為直線2x－y＋3＝0與以點(0，m)為圓心的圓相切，且切點為A(－2，－1)，所以eq\f(m＋1,0－－2)×2＝－1，所以m＝－2，r＝eq\r(－2－02＋－1＋22)＝eq\r(5).2．已知圓C經(jīng)過P(－2,4)，Q(3，－1)兩點，且在x軸上截得的弦長等于6，則圓C的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.解析：設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，將P，Qeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20，①,3D－E＋F＝－10.②))又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③設x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，聯(lián)立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0.故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.考點二與圓有關的最值問題命題方向1利用幾何關系求最值【例2】直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]【解析】圓心(2,0)到直線的距離d＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以點P到直線的距離d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]．依據(jù)直線的方程可知A，B兩點的坐標分別為A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以△ABP的面積S＝eq\f(1,2)|AB|d1＝eq\r(2)d1.因為d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]，所以S∈[2,6]，即△ABP面積的取值范圍是[2,6]．【答案】A命題方向2利用函數(shù)關系求最值【例3】(1)若點P為圓x2＋y2＝1上的一個動點，點A(－1,0)，B(1,0)為兩個定點，則|PA|＋|PB|的最大值為()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)(2)已知圓C的方程為x2－2x＋y2＝0，直線l：kx－y＋2－2k＝0與圓C交于A，B兩點，則當△ABC面積最大時，直線l的斜率k＝()A．1 B．6C．1或7 D．2或6【解析】(1)易得|PA|2＋|PB|2＝4，由基本不等式得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PA|＋|PB|,2)))2≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝2，所以|PA|＋|PB|≤2eq\r(2).(2)圓C的標準方程為(x－1)2＋y2＝1，圓心為C(1,0)，半徑r＝1.直線l變形為y＝k(x－2)＋2，過定點(2,2)，記∠ACB＝θ，由面積公式，得S＝eq\f(1,2)r2sinθ＝eq\f(1,2)sinθ≤eq\f(1,2)，當θ＝eq\f(π,2)時，△ABC面積最大，此時，點C到直線l距離為d＝eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(2),2)，解得k＝1或7.【答案】(1)B(2)C方法技巧1利用幾何關系求最值,一般依據(jù)距離、斜率等學問的幾何意義，結合圓的幾何性質數(shù)形結合求解.2建立函數(shù)關系式求最值,依據(jù)已知條件列出相關的函數(shù)關系式，再依據(jù)關系式的特征選用基本不等式、函數(shù)單調性等方法求最值.1．(方向1)圓x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的點到直線x＋y－8＝0的最大距離與最小距離分別是(B)A．2eq\r(2)，eq\r(2) B．3eq\r(2)，eq\r(2)C．4,2 D．4eq\r(2)，2eq\r(2)解析：∵圓x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，∴圓心為(2,2)，半徑r＝eq\r(2).圓心到直線的距離d＝eq\f(|2＋2－8|,\r(2))＝2eq\r(2)，∴圓x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的點到直線x＋y－8＝0的最大距離與最小距離分別是d＋r＝3eq\r(2)，d－r＝eq\r(2)，故選B.2．(方向1)已知點P為直線y＝x＋1上的一點，M，N分別為圓C1：(x－4)2＋(y－1)2＝4與圓C2：x2＋(y－2)2＝eq\f(1,4)上的點，則|PM|－|PN|的最大值為(C)A．4 B.eq\f(9,2)C.eq\f(11,2) D．7解析：設C2(0,2)關于直線y＝x＋1的對稱點為C(m，n)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－2,m)＝－1，,\f(n＋2,2)＝\f(m,2)＋1，))解得C(1,1)．由對稱性可得|PC|＝|PC2|，則|PC1|－|PC2|＝|PC1|－|PC|≤|C1C|＝3，由于|PM|≤|PC1|＋2，|PN|≥|PC2|－eq\f(1,2)，∴|PM|－|PN|≤|PC1|－|PC2|＋eq\f(5,2)≤eq\f(11,2)，即|PM|－|PN|的最大值為eq\f(11,2)，故選C.3．(方向2)若直線ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圓(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面積相等的兩部分，則eq\f(1,2a)＋eq\f(2,b)的最小值為(B)A．10 B．8C．5 D．4解析：因為圓(x＋4)2＋(y＋1)2＝16的圓心坐標為(－4，－1)，直線ax＋by＋1＝0把圓分成面積相等的兩部分，所以該直線過點(－4，－1)，－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，eq\f(1,2a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)＋\f(2,b)))(4a＋b)＝4＋eq\f(8a,b)＋eq\f(b,2a)≥4＋2eq\r(\f(8a,b)×\f(b,2a))＝8，當且僅當a＝eq\f(1,8)，b＝eq\f(1,2)時取“＝”．考點三與圓有關的軌跡問題【例4】古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出了圓的另一種定義：平面內，到兩個定點A，B距離之比是常數(shù)λ(λ>0，λ≠1)的點M的軌跡是圓．若兩定點A，B的距離為3，動點M滿意|MA|＝2|MB|，則M點的軌跡圍成區(qū)域的面積為()A．π B．2πC．3π D．4π【解析】以A點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，則可取B(3,0)．設M(x，y)，依題意有，eq\f(\r(x2＋y2),\r(x－32＋y2))＝2，化簡整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，圓的面積為4π.故選D.【答案】D方法技巧求與圓有關的軌跡方程時，常用以下方法1干脆法：依據(jù)題設條件干脆列出