山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第六講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)學(xué)案含解析

PAGE12-第六講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問點一指數(shù)與指數(shù)運算1．根式(1)根式的概念根式的概念符號表示備注假如xn＝a，那么x叫做a的n次方根n>1且n∈N*當(dāng)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)eq\r(n,a)零的n次方根是零當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù)±eq\r(n,a)負數(shù)沒有偶次方根(2)兩個重要公式①eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0，,－aa<0，))n為偶數(shù).))②(eq\r(n,a))n＝a(留意a必需使eq\r(n,a)有意義)．2．分數(shù)指數(shù)冪(1)正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪是aeq\s\up7(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(2)正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪是a－eq\s\up7(\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(3)0的正分數(shù)指數(shù)冪是0,0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義．3．有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．學(xué)問點二指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)定義函數(shù)f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指數(shù)函數(shù)底數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)函數(shù)的定義域為R，值域為(0，＋∞)函數(shù)圖象過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1當(dāng)x>0時，恒有y>1；當(dāng)x<0時，恒有0<y<1當(dāng)x>0時，恒有0<y<1；當(dāng)x<0時，恒有y>1函數(shù)在定義域R上為增函數(shù)函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結(jié))eq\x(論)1．畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象時留意兩個關(guān)鍵點：(1，a)，(0,1)．2．底數(shù)a的大小確定了圖象相對位置的凹凸，不論是a>1，還是0<a<1，在第一象限內(nèi)底數(shù)越大，函數(shù)圖象越高，即“底大圖高”．3．f(x)＝ax與g(x)＝(eq\f(1,a))x(a>0且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對稱．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結(jié)論不正確的是(ABCD)A．eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*)B．a(chǎn)－eq\s\up7(\f(m,n))＝－aeq\s\up7(\f(m,n))(n，m∈N*)C．函數(shù)y＝3·2x，與y＝22x都不是指數(shù)函數(shù)D．若am<an(a>0，且a≠1)，則m<n[解析]對于A，n為奇數(shù)時正確，n為偶數(shù)時不肯定正確；對于B，不正確，a－eq\s\up7(\f(m,n))＝eq\f(1,a\f(m,n))；對于C，y＝22x＝4x是指數(shù)函數(shù)；對于D，當(dāng)a>1時m<n，當(dāng)0<a<1時m>n.題組二走進教材2．(必修1P59AT2改編)設(shè)a>0，將eq\f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分數(shù)指數(shù)冪，其結(jié)果是(C)A．a(chǎn)eq\s\up7(\f(1,2)) B．a(chǎn)eq\s\up7(\f(5,6))C．a(chǎn)eq\s\up7(\f(7,6)) D．a(chǎn)eq\s\up7(\f(3,2))[解析]由題意得eq\f(a2,\r(a·\r(3,a2)))＝a2eq\s\up7(－\f(1,2))eq\s\up7(－\f(1,3))＝aeq\s\up7(\f(7,6))，故選C．3．(必修1P60BT2改編)已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，則f(2a)等于(B)A．5 B．7C．9 D．11[解析]f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝[f(a)]2－2＝7.故選B．4．(必修1P82AT10改編)若函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過點P(2，eq\f(1,2))，則f(－1)＝eq\r(2).[解析]a2＝eq\f(1,2)，∴a＝eq\f(\r(2),2)，f(－1)＝(eq\f(\r(2),2))－1＝eq\r(2).

題組三考題再現(xiàn)5．(2024·北京，5分)已知函數(shù)f(x)＝3x－(eq\f(1,3))x，則f(x)(A)A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)[解析]因為f(x)＝3x－(eq\f(1,3))x，且定義域為R，所以f(－x)＝3－x－(eq\f(1,3))－x＝(eq\f(1,3))x－3x＝－[3x－(eq\f(1,3))x]＝－f(x)，即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．又y＝3x在R上是增函數(shù)，y＝(eq\f(1,3))x在R上是減函數(shù)，所以f(x)＝3x－(eq\f(1,3))x在R上是增函數(shù)，故選A．6．(2024·全國卷Ⅲ)已知a＝2eq\s\up7(\f(4,3))，b＝4eq\s\up7(\f(2,5))，c＝25eq\s\up7(\f(1,3))，則(A)A．b<a<c B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<a<b[解析]因為a＝2eq\s\up7(\f(4,3))＝16eq\s\up7(\f(1,3))，b＝4eq\s\up7(\f(2,5))＝16eq\s\up7(\f(1,5))，c＝25eq\s\up7(\f(1,3))，且冪函數(shù)y＝xeq\s\up7(\f(1,3))在R上單調(diào)遞增，指數(shù)函數(shù)y＝16x在R上單調(diào)遞增，所以b<a<c.KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點突破·互動探究考點一指數(shù)與指數(shù)運算——自主練透例1(1)(多選題)下列命題中不正確的是(ACD)A．eq\r(n,an)＝aB．a(chǎn)∈R，則(a2－a＋1)0＝1C．eq\r(3,x4＋y3)＝xeq\f(4,3)·yD．eq\r(3,－5)＝eq\r(6,－52)(2)(－eq\f(27,8))eq\s\up7(－\f(2,3))＋(0.002)eq\s\up7(－\f(1,2))－10(eq\r(5)－2)－1＋(eq\r(2)－eq\r(3))0＝－eq\f(167,9).(3)化簡：(eq\f(1,4))eq\s\up7(－\f(1,2))·eq\f(\r(4ab－1)3,\f(1,10)－1·a3·b－3\s\up7(\f(1,2)))＝eq\f(8,5).(4)已知aeq\s\up7(\f(1,2))＋aeq\s\up7(－\f(1,2))＝3，求下列各式的值．①a＋a－1；②a2＋a－2；③eq\f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1).[解析](1)若n是奇數(shù)，則eq\r(n,an)＝a；若n是偶數(shù)，則eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0，))所以A錯誤；因為a2－a＋1恒不為0，所以(a2－a＋1)0有意義且等于1，所以B正確；eq\r(3,x4＋y3)不能化簡為xeq\s\up7(\f(4,3))·y，所以C錯誤；因為eq\r(3,－5)<0，eq\r(6,－52)>0，所以eq\r(3,－5)≠eq\r(6,－52)，所以D錯誤．故選A、C、D．(2)原式＝(－eq\f(27,8))eq\s\up7(－\f(2,3))＋(eq\f(1,500))eq\s\up7(－\f(1,2))－eq\f(10,\r(5)－2)＋1＝(－eq\f(8,27))eq\s\up7(\f(2,3))＋500eq\s\up7(\f(1,2))－10(eq\r(5)＋2)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).故填－eq\f(167,9).(3)原式＝2×eq\f(23·a\s\up7(\f(3,2))·b\s\up7(－\f(3,2)),10·a\s\up7(\f(3,2))·b\s\up7(－\f(3,2))))＝21＋3×10－1＝eq\f(8,5).故填eq\f(8,5).(4)①將aeq\s\up7(\f(1,2))＋aeq\s\up7(－\f(1,2))＝3兩邊平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.②將a＋a－1＝7兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.③由①②可得eq\f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)＝eq\f(47＋1,7＋1)＝6.名師點撥?指數(shù)冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算．(2)先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù)．(4)若是根式，應(yīng)化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答．(5)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù)，形式力求統(tǒng)一．考點二指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)考向1指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用——師生共研例2(1)(2024·秦皇島模擬)函數(shù)f(x)＝21－x的大致圖象為(A)(2)(2024·湖北黃岡質(zhì)檢)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與y＝xb的圖象如圖，則下列不等式肯定成立的是(D)A．ba>0 B．a(chǎn)＋b>0C．a(chǎn)b>1 D．loga2>b(3)若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍是[－1,1].[分析](1)將函數(shù)化為f(x)＝2×(eq\f(1,2))x的形式，依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及過定點，并結(jié)合選項推斷；(2)由圖確定a、b的范圍求解；(3)分別在同始終角坐標系中作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解．[解析](1)解法一：函數(shù)f(x)＝21－x＝2×(eq\f(1,2))x，單調(diào)遞減且過點(0,2)，選項A中的圖象符合要求．解法二：(采納平移法)因為函數(shù)f(x)＝21－x＝2－(x－1)，所以先畫出函數(shù)y＝2－x的圖象，再將y＝2－x圖象的全部點的橫坐標向右平移1個單位，只有選項A符合．(2)由圖可知，y＝ax單調(diào)遞增，則a>1；y＝xb單調(diào)遞減，則b<0，A：ba>0不肯定成立，如a＝3，b＝－1；B：a＋b>0不肯定成立，如a＝2，b＝－3；C：ab>1不成立，ab<0時；故選D．(3)曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可得，假如|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b應(yīng)滿意的條件是b∈[－1,1]．[引申](1)f(x)＝a1－x＋3的圖象過定點(1,4).(2)若將本例(3)中“|y|＝2x＋1”改為“y＝|2x－1|”，且與直線y＝b有兩個公共點，b的取值范圍是(0,1).(3)若將本例(3)改為：函數(shù)y＝|2x－1|在(－∞，k]上單調(diào)遞減，則k的取值范圍是(－∞，0).[解析](1)當(dāng)x＝1時，y＝4，因此函數(shù)y＝a1－x＋3過定點(1,4)．(2)曲線y＝|2x－1|與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可得，假如曲線y＝|2x－1|與直線y＝b有兩個公共點，則b的取值范圍是(0,1)．(3)因為函數(shù)y＝|2x－1|的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范圍為(－∞，0]．名師點撥?指數(shù)函數(shù)圖象的畫法及應(yīng)用(1)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0,1)，(－1，eq\f(1,a))．由函數(shù)解析式推斷其圖象一般取特殊點驗證，從而作出推斷．(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的探討，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象．(3)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解．〔變式訓(xùn)練1〕(1)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(D)A．a(chǎn)>1，b<0B．a(chǎn)>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0(2)(多選題)已知實數(shù)a，b滿意等式(eq\f(1,2))a＝(eq\f(1,3))b，下列關(guān)系式中不行能成立的是(CD)A．0<b<a B．a(chǎn)<b<0C．0<a<b D．b<a<0(3)若方程3|x|－1＝m有兩個不同實根，求m的取值范圍．[解析](1)由f(x)＝ax－b的圖象可以視察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是在f(x)＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b<0.故選D．(2)在同一坐標系內(nèi)，作出函數(shù)y＝(eq\f(1,2))x和y＝(eq\f(1,3))x的圖象(如圖)．如圖：a>b>0時，(eq\f(1,2))a＝(eq\f(1,3))b可能成立．a(chǎn)<b<0時，(eq\f(1,2))a＝(eq\f(1,3))b可能成立．0<a<b時，明顯(eq\f(1,2))a>(eq\f(1,3))b.b<a<0時，明顯(eq\f(1,2))a<(eq\f(1,3))b.綜上可知：A、B可能成立，C、D不行能成立．故選C、D．(3)作出函數(shù)y＝3|x|－1與y＝m的圖象如圖所示，數(shù)形結(jié)合可得m>0.考向2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用——多維探究角度1比較指數(shù)冪的大小例3(1)設(shè)a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，則a，b，c的大小關(guān)系是(C)A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a[解析]∵函數(shù)y＝0.8x在R上是減函數(shù)，1>0.9>0.7>0，∴1＝0.80>0.80.7>0.80.9>0.81，即1>a>b.∵函數(shù)y＝1.2x在R上是增函數(shù)，0.8>0，∴1.20.8>1.20>1，即c>1.綜上，c>a>b.故選C．角度2利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解簡潔指數(shù)方程、不等式例4(2024·珠海模擬)若xlog52≥－1，則函數(shù)y＝4x－2x＋1－3的最小值為(A)A．－4 B．－3C．－1 D．0[解析]由xlog52≥－1得log52x≥log5eq\f(1,5)，即2x≥eq\f(1,5)，令t＝2x，則有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，因為t≥eq\f(1,5)，所以當(dāng)t＝1，即x＝0時，函數(shù)取得最小值為－4.故選A．角度3與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題例5若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)滿意f(1)＝eq\f(1,9)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(B)A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2][解析]由f(1)＝eq\f(1,9)得a2＝eq\f(1,9)，又a>0，所以a＝eq\f(1,3)，因此f(x)＝(eq\f(1,3))|2x－4|.∵y＝(eq\f(1,3))t為減函數(shù)，∴f(x)的減區(qū)間為t＝|2x－4|的遞增區(qū)間[2，＋∞)，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2，＋∞)．名師點撥?(1)簡潔的指數(shù)不等式的求解問題．解決此類問題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．要特殊留意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時進行分類探討．(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析推斷，最終將問題歸結(jié)為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決．(3)解指數(shù)方程的方法①同底法：把方程化為af(x)＝ag(x)的情形，然后得出f(x)＝g(x)．②化為ax＝b，利用對數(shù)定義求解x＝logab.③把方程化為f(ax)＝0的情形，然后換元，即設(shè)ax＝t，然后解方程f(t)＝0，留意只要t>0的解．(4)解指數(shù)不等式的方法同底法：把方程化為af(x)>ag(x)的情形，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性建立f(x)和g(x)的不等式．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)下列各式比較大小不正確的是(D)A．1.72.5<1.73 B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1<1.250.2 D．1.70.3<0.93.1(2)(角度2)(2024·衡陽模擬)當(dāng)x∈(－∞，－1]時，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(C)A．(－2,1) B．(－4,3)C．(－1,2) D．(－3,4)(3)(角度3)已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是(－∞，4].[解析](1)對于A、B明顯正確；對于C,0.8－0.1＝1.250.1，明顯正確；對于D,1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，∴D不正確，故選D．(2)原不等式變形為m2－m<(eq\f(1,2))x，∵函數(shù)y＝(eq\f(1,2))x在(－∞，－1]上是減函數(shù)，∴(eq\f(1,2))x≥(eq\f(1,2))－1＝2，當(dāng)x∈(－∞，－1]時，m2－m<(eq\f(1,2))x恒成立等價于m2－m<2，解得－1<m<2.故選C．(3)令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間[eq\f(m,2)，＋∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(－∞，eq\f(m,2)]上單調(diào)遞減．而y＝2t為R上的增函數(shù)，所以要使函數(shù)f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4]．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升指數(shù)函數(shù)中的分類與整合思想例6已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋b(a，b是常數(shù)且a>0，a≠1)在區(qū)間[－eq\f(3,2)，0]上有最大值3和最小值eq\f(5,2)，試求a，b的值．[分析]本題易出現(xiàn)的錯誤有兩個，一個是二次函數(shù)t＝x2＋2x在區(qū)間[－eq\f(3,2)，0]上的范圍求錯，干脆將端點值代入，二是不分類探討，干脆認為f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)．[解析]設(shè)t＝x2＋2x，x∈[－eq\f(3,2)，0]，由圖象得t∈[－1,0]．①當(dāng)a>1時，f(t)＝at＋b在[－1,0]上為增函數(shù)，值域為[eq\f(1,a