山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案54第八章解析幾何第五講橢圓含解析

PAGE1-[練案54]第五講橢圓A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2024·上海浦東新區(qū)模擬)方程kx2＋4y2＝4k表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(D)A．k>4 B．k＝4C．k<4 D．0<k<4[解析]橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1，焦點(diǎn)在x軸上，所以0<k<4.2．過點(diǎn)A(3，－2)且與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為(A)A．eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝1[解析]設(shè)所求橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則a2－b2＝c2＝5，且eq\f(9,a2)＋eq\f(4,b2)＝1，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝5，,\f(9,a2)＋\f(4,b2)＝1，))得a2＝15，b2＝10，故所球橢圓方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.3．(2024·河南中原名校模擬)已知點(diǎn)P(x1，y1)是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左、右焦點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2最大時(shí)，△PF1F2的面積是(B)A．eq\f(16\r(3),3) B．12C．16(2＋eq\r(3)) D．16(2－eq\r(3))[解析]∵橢圓的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，∴a＝5，b＝4，c＝eq\r(25－16)＝3，∴F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)．依據(jù)橢圓的性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)P與短軸端點(diǎn)重合時(shí)，∠F1PF2最大，此時(shí)△PF1F2的面積S＝eq\f(1,2)×(2×3)×4＝12，故選B.4．(2024·杭州模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為4eq\r(3)，則C的方程為(A)A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]由題意及橢圓的定義知4a＝4eq\r(3)，則a＝eq\r(3)，又eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，選A.5．(2024·惠州二模)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則eq\f(|PF2|,|PF1|)的值為(D)A．eq\f(5,14) B．eq\f(5,9)C．eq\f(4,9) D．eq\f(5,13)[解析]如圖，設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，因?yàn)镺是F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PF2，可得PF2⊥x軸，|PF2|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(5,3)，|PF1|＝2a－|PF2|＝eq\f(13,3)，eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(5,13)，故選D.6．(2024·青島月考)已知A1，A2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右頂點(diǎn)，P是橢圓C上異于A1，A2的隨意一點(diǎn)，若直線PA1，PA2的斜率的乘積為－eq\f(4,9)，則橢圓C的離心率為(D)A．eq\f(4,9) B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,9) D．eq\f(\r(5),3)[解析]設(shè)P(x0，y0)，則eq\f(y0,x0＋a)×eq\f(y0,x0－a)＝－eq\f(4,9)，化簡(jiǎn)得eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),\f(4a2,9))＝1，則eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9)，e＝eq\r(1－\f(b,a)2)＝eq\r(1－\f(4,9))＝eq\f(\r(5),3)，故選D.7．(2024·河北省衡水中學(xué)模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)和直線l：eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1，若過C的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)的直線與l平行，則橢圓C的離心率為(A)A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,5)[解析]直線l的斜率為－eq\f(3,4)，過C的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)的直線與l平行，所以eq\f(b,c)＝eq\f(3,4)，又b2＋c2＝a2?(eq\f(3,4)c)2＋c2＝a2?eq\f(25,16)c2＝a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，故選A.8．(2024·遼寧省大連市模擬)過橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的中心任作始終線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則△PFQ的周長(zhǎng)的最小值為(D)A．12 B．14C．16 D．18[解析]設(shè)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為F′，則|PF|＝|F′Q|，∴|PF|＋|FQ|＝|F′Q|＋|FQ|＝2a又|PQ|＝2|OQ|≥8(當(dāng)Q為短軸端點(diǎn)時(shí)取等號(hào))∴△PFQ周長(zhǎng)的最小值為8.故選D.9．(2024·廣西桂林期末)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的隨意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值為(C)A．2 B．3C．6 D．8[解析]設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，即yeq\o\al(2,0)＝3－eq\f(3x\o\al(2,0),4).又因?yàn)辄c(diǎn)F(－1,0)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x0(x0＋1)＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)＋x0＋3＝eq\f(1,4)(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2,2]，所以(eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→)))max＝6.10．(2024·南昌二模)已知橢圓C：eq\f(y2,9)＋x2＝1，過點(diǎn)P(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)P平分，則直線AB的方程為(B)A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0[解析]設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(y\o\al(2,1),9)＋xeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(y\o\al(2,2),9)＋xeq\o\al(2,2)＝1，兩式相減得eq\f(y1－y2y1＋y2,9)＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又y1＋y2＝1，x1＋x2＝1，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－9，∴直線AB的方程為y－eq\f(1,2)＝－9(x－eq\f(1,2))，即9x＋y－5＝0，故選B.二、多選題11．(2024·山東濟(jì)寧期末)已知P是橢圓C：eq\f(x2,6)＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓D：(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,5)上的動(dòng)點(diǎn)，則(BC)A．C的焦距為eq\r(5) B．C的離心率為eq\f(\r(30),6)C．圓D在C的內(nèi)部 D．|PQ|的最小值為eq\f(2\r(5),5)[解析]依題意可得c＝eq\r(6－1)＝eq\r(5)，則C的焦距為2eq\r(5)，e＝eq\f(\r(5),\r(6))＝eq\f(\r(30),6).設(shè)P(x，y)(－eq\r(6)≤x≤eq\r(6))，則PD2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－eq\f(x2,6)＝eq\f(5,6)(x＋eq\f(6,5))2＋eq\f(4,5)≥eq\f(4,5)>eq\f(1,5)，所以圓D在C的內(nèi)部，且PQ的最小值為eq\r(\f(4,5))－eq\r(\f(1,5))＝eq\f(\r(5),5)，故選BC.12．如圖，橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，且橢圓Ⅱ的右頂點(diǎn)為橢圓Ⅰ的中心．設(shè)橢圓Ⅰ與Ⅱ的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)分別為a1和a2，半焦距分別為c1和c2，離心率分別為e1，e2，則下列結(jié)論正確的是(ABD)A．a(chǎn)1＋c1>2(a2＋c2) B．a(chǎn)1－c1＝a2－c2C．a(chǎn)1c2>a2c1 D．e1＝eq\f(e2＋1,2)[解析]由橢圓Ⅱ的右頂點(diǎn)為橢圓Ⅰ的中心，可得2a2＝a1，由橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，可得a2＋c2＝c1；因?yàn)閍1＋c1＝2a2＋a2＋c2，且a2>c2，則a1＋c1＝2a2＋a2＋c2>2(a2＋c2)，所以A正確；因?yàn)閍1－c1＝2a2－(a2＋c2)＝a2－c2，所以B正確；因?yàn)閍1c2＝2a2c2，a2c1＝a2(a2＋c2)＝aeq\o\al(2,2)＋a2c2，則有a1c2－a2c1＝2a2c2－aeq\o\al(2,2)－a2c2＝a2(c2－a2)<0，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)閑1＝eq\f(c1,a1)＝eq\f(a2＋c2,2a2)＝eq\f(e2＋1,2)，所以D正確；故選三、填空題13．(2024·重慶一中、湖北鄂州期中)已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1(a>3)的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)且滿意∠F1PF2＝120°，則|PF1|·|PF2|的值為__36__.[解析]由題意知4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4(a2－c2)＝4b14．(2024·武漢質(zhì)檢)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，若—個(gè)橢圓通過A，B兩點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為點(diǎn)C，另一個(gè)焦點(diǎn)在AB上，則這個(gè)橢圓的離心率為eq\r(6)－eq\r(3).[解析]設(shè)另一個(gè)焦點(diǎn)為F，如圖所示，∵|AB|＝|AC|＝1，∴△ABC為等腰直角三角形．∴1＋1＋eq\r(2)＝4a，則a＝eq\f(2＋\r(2),4).∴|AF|＝2a－1＝eq\f(\r(2),2)，∴1＋(eq\f(\r(2),2))2＝4c2，∴c＝eq\f(\r(6),4)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(6)－eq\r(3).四、解答題15．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，離心率e＝eq\f(\r(3),2).(1)求此橢圓的方程；(2)設(shè)直線l：y＝x＋m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|等于橢圓的短軸長(zhǎng)，求m的值．(3)設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的斜率k的取值范圍．[解析](1)設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則c＝eq\r(3)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝2，b＝1，所求橢圓方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝x＋m))消去y，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，則Δ>0，得m2<5.(*)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(8m,5)，x1x2＝eq\f(4m2－1,5)，y1－y2＝x1－x2，|PQ|＝eq\r(2[－\f(8m,5)2－\f(16m2－1,5)])＝2.解得m＝±eq\f(\r(30),4)，滿意(*)，所以m＝±eq\f(\r(30),4).(3)明顯直線x＝0不滿意題設(shè)條件，可設(shè)直線l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,4)＋y2＝1))消去y，整理得(k2＋eq\f(1,4))x2＋4kx＋3＝0，∴x1＋x2＝－eq\f(4k,k2＋\f(1,4))，x1·x2＝eq\f(3,k2＋\f(1,4))，由Δ＝(4k)2－4(k2＋eq\f(1,4))×3＝4k2－3>0得，k>eq\f(\r(3),2)或k<－eq\f(\r(3),2).①又∠AOB為銳角，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))>0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2>0.又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝eq\f(3k2,k2＋\f(1,4))＋eq\f(－8k2,k2＋\f(1,4))＋4＝eq\f(－k2＋1,k2＋\f(1,4))，∴eq\f(3,k2＋\f(1,4))＋eq\f(－k2＋1,k2＋\f(1,4))>0，即k2<4，∴－2<k<2.②由①②得，－2<k<－eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),2)<k<2.B組實(shí)力提升1．(2024·河南洛陽(yáng)一模)已知橢圓eq\f(x2,11－m)＋eq\f(y2,m－3)＝1的長(zhǎng)軸在y軸上，且焦距為4，則m等于(C)A．5 B．6C．9 D．10[解析]由橢圓eq\f(x2,11－m)＋eq\f(y2,m－3)＝1的長(zhǎng)軸在y軸上，焦距為4，可得eq\r(m－3－11＋m)＝2，解得m＝9.故選C.2．(2024·安徽六校聯(lián)考)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，以F2為圓心的圓過橢圓的中心，且與橢圓交于點(diǎn)P，若直線PF1恰好與圓F2相切于點(diǎn)P，則橢圓的離心率為(A)A．eq\r(3)－1 B．eq\f(\r(3)＋1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(5)－1,2)[解析]由題意得：PF1⊥PF2，且|PF2|＝c，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2a－由勾股定理得：(2a－c)2＋c2＝4c2?e2＋2解得：e＝eq\r(3)－1，故選A.3．(2024·河北唐山一模)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2垂直x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若△AF1B為等邊三角形，則橢圓C的離心率為(D)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(\r(3),3)[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))得y＝±eq\f(b2,a)，由題意可知eq\f(b2,2ac)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(a2－c2,2ac)＝eq\f(\r(3),3)，即eq\f(1－e2,2e)＝eq\f(\r(3),3).解得e＝eq\f(\r(3),3)，故選D.4．(2024·年全國(guó))已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(B)A．eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]如圖，由已知可設(shè)|F2B|＝n，則|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由橢圓的定義有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n在△AF1B中，由余弦定理推論得cos∠F1AB＝eq\f(4n2＋9n2－9n2,2·