【九年級上冊】特殊的平行四邊形章末測試卷（培優(yōu)卷）（含答案）

第1章特殊的平行四邊形章末測試卷（培優(yōu)卷）【北師大版】考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2021春?長沙期末）下列敘述，錯誤的是（）A．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形 B．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形 C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 D．對角線相等的四邊形是矩形2．（3分）（2021春?隴縣期末）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，P為邊BC上一點，且2BP＝AC，則∠COP的度數(shù)為（）A．15° B．22.5° C．25° D．17.5°3．（3分）（2021?路北區(qū)二模）求證：直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半．已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點O是AC的中點．求證：OB=12證明：延長BO到D，使OD＝OB，連接AD、CD，中間的證明過程排亂了：①∵∠ABC＝90°；②∵OD＝OB，OA＝OC；③∴四邊形ABCD是平行四邊形；④∴四邊形ABCD是矩形．∴AC＝BD，∴OB=12BD=則中間證明過程正確的順序是（）A．①④②③ B．①③②④ C．②④①③ D．②③①④4．（3分）（2021春?任丘市期末）如圖，點E是△ABC內(nèi)一點，∠AEB＝90°，D是邊AB的中點，延長線段DE交邊BC于點F，點F是邊BC的中點．若AB＝6，EF＝1，則線段AC的長為（）A．7 B．152 C．8 5．（3分）（2021春?沂水縣期末）如圖所示，在菱形ABCD中，AC，BD相交于O，∠ABC＝50°，E是線段AO上一點，則∠BEC的度數(shù)可能是（）A．95° B．75° C．55° D．35°6．（3分）（2021春?五華區(qū)期末）如圖所示，點O為矩形ABCD對角線的交點，點E從點A出發(fā)沿AB向點B運動，移動到點B停止．延長EO交CD于點F，則四邊形AECF形狀的變化依次為（）A．一般平行四邊形→正方形→一般平行四邊形→矩形 B．一般平行四邊形→正方形→菱形→矩形 C．一般平行四邊形→菱形→一般平行四邊形→矩形 D．一般平行四邊形→菱形→正方形→矩形7．（3分）（2021春?寧鄉(xiāng)市期末）將2021個形狀、大小均相同的菱形按照如圖所示的方式排成一列，使得右側(cè)菱形的頂點與左側(cè)菱形的對角線交點重合，若這些菱形的邊長均為2，則陰影部分的周長總和等于（）A．4042 B．8076 C．8080 D．80848．（3分）（2021春?臨滄期末）如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接AP、EF，則下列結(jié)論中，不正確的是（）A．AP＝EF B．AP⊥EF C．PD＝2EC D．BP2+DP2＝2AP29．（3分）（2021春?淮陽區(qū)校級期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E為CD的中點動點P從A點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E運動，最終到達點E．若點P運動的時間為x秒，則當△APE的面積為5cm2時，x的值為（）A．5 B．3或5 C．103 D．1010．（3分）（2021春?德陽期末）如圖，將矩形ABCD放置在平面直角坐標系的第一象限內(nèi)，使頂點A，B分別在x軸、y軸上滑動，矩形的形狀保持不變，若AB＝2，BC＝1，則頂點C到坐標原點O的最大距離為（）A．1+2 B．1+3 C．3 二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2021春?長春期末）如圖，分別以點A、B為圓心，同樣長度為半徑作圓弧，兩弧相交于點C、D．連結(jié)AC、BC、AD、BD，則四邊形ADBC一定是．A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四邊形12．（3分）（2021春?老河口市期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點A作AH⊥BC于點H，連接OH，若OB＝6，菱形ABCD的面積為48，則OH的長為．13．（3分）（2021春?河東區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，AB＝AD，點E，點F分別是AC，BD的中點，EF＝3．則AC的長為．14．（3分）（2021春?霍林郭勒市期末）如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點，且△PBC是等邊三角形，則∠APD＝度．15．（3分）（2021春?米易縣期末）如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，若重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD中，AB＝3，AC＝2，則四邊形ABCD的面積為．16．（3分）（2021春?昭通期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，點E是CD的中點．點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A﹣B﹣C勻速運動，最終到達點C．若點P的運動時間為t秒時，三角形APE的面積為4cm2，則t＝秒．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2021春?撫順期末）如圖，BN、CM分別是△ABC的兩條高，點D、點E分別是BC、MN的中點，求證：DE⊥MN．18．（6分）（2021春?老河口市期末）如圖，在△ABC中，D是BC中點，E是AD，BF的中點，AB＝AC．求證：四邊形ADCF是矩形．19．（8分）（2021春?紅塔區(qū)期末）如圖，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO⊥AC于點O，點D是BO上一點，延長BO至點E，使OE＝OD，點C到AE的距離為d．（1）求證：四邊形ADCE是菱形；（2）若四邊形ADCE的周長為20，兩條對角線的和等于14，求d的值．20．（8分）（2021春?海東市期末）已知：P是正方形ABCD對角線BD上一點，PE⊥DC，PE⊥BC，垂足分別為E、F．（1）求證：AP＝CP；（2）若∠DAP＝30°，PD=2，求CP21．（8分）（2021春?遷安市期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，D、F分別為BC、AC的中點，連接DF并延長到點E，使DF＝FE，連接AE、AD、CE．（1）求證：四邊形AECD是矩形．（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AECD是正方形，并說明理由．22．（8分）（2021春?濱江區(qū)校級月考）已知菱形ABCD中，∠BAD＝120°，點E為邊AD上一點，點A關于BE的對稱點G位于對角線BD上．（1）求證：△EGD為直角三角形；（2）若AB＝4，求線段EG的長．23．（8分）（2021春?鞍山期末）如圖，在正方形ABCD中，邊長為3．點M，N是邊AB，BC上兩點，且BM＝CN＝1，連接CM，DN；（1）則DN與CM的數(shù)量關系是，位置關系是．（2）若點E，F(xiàn)分別是DN與CM的中點，計算EF的長；（3）延長CM至P，連接BP，若∠BPC＝45°，試求PM的長．第1章特殊的平行四邊形章末測試卷（培優(yōu)卷）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2021春?長沙期末）下列敘述，錯誤的是（）A．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形 B．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形 C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 D．對角線相等的四邊形是矩形【解題思路】由矩形的判定、菱形的判定、平行四邊形的判定以及菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解答過程】解：A、∵對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，∴選項A不符合題意；B、∵對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，∴選項B不符合題意；C、∵對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，∴選項C不符合題意；D、∵對角線相等的平行四邊形是矩形，∴選項D符合題意；故選：D．2．（3分）（2021春?隴縣期末）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，P為邊BC上一點，且2BP＝AC，則∠COP的度數(shù)為（）A．15° B．22.5° C．25° D．17.5°【解題思路】根據(jù)四邊形ABCD是正方形，可得∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，再根據(jù)2BP＝AC，即可求出∠COP的度數(shù)．【解答過程】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，AC＝BD＝2OB，∵2BP＝AC，∴BP＝OB，∴∠BOP＝∠BPO＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，∴∠COP＝90°﹣67.5°＝22.5°．故選：B．3．（3分）（2021?路北區(qū)二模）求證：直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半．已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點O是AC的中點．求證：OB=12證明：延長BO到D，使OD＝OB，連接AD、CD，中間的證明過程排亂了：①∵∠ABC＝90°；②∵OD＝OB，OA＝OC；③∴四邊形ABCD是平行四邊形；④∴四邊形ABCD是矩形．∴AC＝BD，∴OB=12BD=則中間證明過程正確的順序是（）A．①④②③ B．①③②④ C．②④①③ D．②③①④【解題思路】延長BO至點D，使OD＝OB，連接AD、CD，先證四邊形ABCD是平行四邊形，再證平行四邊形ABCD是矩形，得AC＝BD，即可得出結(jié)論．【解答過程】證明：延長BO至點D，使OD＝OB，連接AD、CD，∵OD＝OB，OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴OB=12ACBD=∴證明過程正確的順序是②③①④；故選：D．4．（3分）（2021春?任丘市期末）如圖，點E是△ABC內(nèi)一點，∠AEB＝90°，D是邊AB的中點，延長線段DE交邊BC于點F，點F是邊BC的中點．若AB＝6，EF＝1，則線段AC的長為（）A．7 B．152 C．8 【解題思路】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DE，由EF＝1，得到DF，再根據(jù)三角形中位線定理即可求出線段AC的長．【解答過程】解：∵∠AEB＝90°，D是邊AB的中點，AB＝6，∴DE=12∵EF＝1，∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．∵D是邊AB的中點，點F是邊BC的中點，∴DF是△ABC的中位線，∴AC＝2DF＝8．故選：C．5．（3分）（2021春?沂水縣期末）如圖所示，在菱形ABCD中，AC，BD相交于O，∠ABC＝50°，E是線段AO上一點，則∠BEC的度數(shù)可能是（）A．95° B．75° C．55° D．35°【解題思路】由菱形的性質(zhì)可得∠ABO＝25°，AC⊥BD，可得∠BAC＝65°，由三角形的外角性質(zhì)可求解．【解答過程】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝50°，∴∠ABO＝25°，AC⊥BD，∴∠BAC＝65°，∵∠BEC＝∠BAC+∠ABE，∴65°≤∠BEC≤90°，故選：B．6．（3分）（2021春?五華區(qū)期末）如圖所示，點O為矩形ABCD對角線的交點，點E從點A出發(fā)沿AB向點B運動，移動到點B停止．延長EO交CD于點F，則四邊形AECF形狀的變化依次為（）A．一般平行四邊形→正方形→一般平行四邊形→矩形 B．一般平行四邊形→正方形→菱形→矩形 C．一般平行四邊形→菱形→一般平行四邊形→矩形 D．一般平行四邊形→菱形→正方形→矩形【解題思路】根據(jù)對稱中心的定義，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得四邊形AECF形狀的變化情況．【解答過程】解：觀察圖形可知，四邊形AECF形狀的變化依次為平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形．故選：C．7．（3分）（2021春?寧鄉(xiāng)市期末）將2021個形狀、大小均相同的菱形按照如圖所示的方式排成一列，使得右側(cè)菱形的頂點與左側(cè)菱形的對角線交點重合，若這些菱形的邊長均為2，則陰影部分的周長總和等于（）A．4042 B．8076 C．8080 D．8084【解題思路】先通過菱形的性質(zhì)和三角形的中位線定理求得一個陰影菱形的邊長，再計算2020個陰影菱形的周長總和便可．【解答過程】解：根據(jù)題意知，將2021個形狀、大小均相同的菱形按照如圖所示的方式排成一列，得到2020個陰影菱形，且這些陰影菱形的大小完全一致，如圖，由題意知，OA＝OC，AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠BAD＝∠EOF，由菱形的對角線平分一組對角可知∠EOC＝∠DAO，∴OE∥AD，∴OE是△ACD的中位線．∴OE=12∴一個陰影菱形的周長為：1×4＝4，∴2020個陰影菱形的周長和為：4×2020＝8080，故選：C．8．（3分）（2021春?臨滄期末）如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接AP、EF，則下列結(jié)論中，不正確的是（）A．AP＝EF B．AP⊥EF C．PD＝2EC D．BP2+DP2＝2AP2【解題思路】連接PC，延長AP，F(xiàn)P交EF，AB于點G，H，結(jié)合正方形的對稱性和勾股定理進行求解．【解答過程】解：連接PC，延長AP，F(xiàn)P交EF，AB于點G，H，如圖，∵正方形ABCD關于BD對稱，∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵四邊形PECF為矩形，∴PC＝EF，∠FEC＝∠PCE，PF＝CE，∴AP＝EF，故A選項不符合題意，∵∠EPG+∠HPA＝∠HPA+∠BAP＝90°，∴∠EPG＝∠BAP＝∠BCP＝∠FEC，∵∠FEC+∠FEP＝90°，∴∠EPG+∠GEP＝90°，∴AP⊥EF，故B選項不符合題意，在Rt△PFD中，PF＝DF，∴PD=2PF=2CE，故在Rt△PBE和Rt△PFD中，BE＝PE，PF＝DF，∴BP2+DP2＝2PE2++2PF2＝2（PE2+PF2）＝2PC2＝2AP2.故選項D不符合題意，故選：C．9．（3分）（2021春?淮陽區(qū)校級期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E為CD的中點動點P從A點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E運動，最終到達點E．若點P運動的時間為x秒，則當△APE的面積為5cm2時，x的值為（）A．5 B．3或5 C．103 D．10【解題思路】分P在AB上、P在BC上、P在CE上三種情況，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【解答過程】解：①當P在AB上時，∵△APE的面積等于5cm2，∴12x解得：x=10當P在BC上時，∵△APE的面積等于5cm2，∴S矩形ABCD﹣S△CPE﹣S△ADE﹣S△ABP＝5，∴3×4?12（3+4﹣x）×2?12×解得：x＝5；③當P在CE上時，∵△APE的面積為5cm2，∴12（4+3+2﹣x解得：x=17綜上所述，x的值為103故選：D．10．（3分）（2021春?德陽期末）如圖，將矩形ABCD放置在平面直角坐標系的第一象限內(nèi)，使頂點A，B分別在x軸、y軸上滑動，矩形的形狀保持不變，若AB＝2，BC＝1，則頂點C到坐標原點O的最大距離為（）A．1+2 B．1+3 C．3 【解題思路】取AD的中點E，連接OE，CE，OC，求得CE=2，OE＝1，再根據(jù)OC≤CE+OE＝1+2，即可得到點C到原點O距離的最大值是1【解答過程】解：如圖，取AB的中點E，連接OE，CE，OC，∵∠AOB＝90°，∴Rt△AOB中，OE=12又∵∠ABC＝90°，AE＝BE＝CB＝1，∴Rt△CBE中，CE=1又∵OC≤CE+OE＝1+2∴OC的最大值為1+2即點C到原點O距離的最大值是1+2故選：A．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2021春?長春期末）如圖，分別以點A、B為圓心，同樣長度為半徑作圓弧，兩弧相交于點C、D．連結(jié)AC、BC、AD、BD，則四邊形ADBC一定是BD．A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四邊形【解題思路】根據(jù)題意得出AC＝AD＝BC＝BD，進而解答即可．【解答過程】解：由題意可知：AC＝AD＝BC＝BD，∴四邊形ADBC是菱形，也是平行四邊形，故答案為：BD．12．（3分）（2021春?老河口市期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點A作AH⊥BC于點H，連接OH，若OB＝6，菱形ABCD的面積為48，則OH的長為8．【解題思路】根據(jù)菱形面積＝對角線積的一半可求AC，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【解答過程】解：∵ABCD是菱形，∴BO＝DO＝6，AO＝CO，S菱形ABCD=AC×BD∴AC＝16，∵AH⊥BC，AO＝CO＝8，∴OH=12故答案為：8．13．（3分）（2021春?河東區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，AB＝AD，點E，點F分別是AC，BD的中點，EF＝3．則AC的長為6．【解題思路】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AF⊥BC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線得出EF=12【解答過程】解：連接AF，∵AB＝AD，F(xiàn)為BD的中點，∴AF⊥BD，即∠AFC＝90°，∵E為AC的中點，∴EF=12∵EF＝3，∴AC＝6，故答案為：6．14．（3分）（2021春?霍林郭勒市期末）如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點，且△PBC是等邊三角形，則∠APD＝150度．【解題思路】等邊三角形內(nèi)角為60°，且△ABP為等腰三角形，故可以求∠BAP，再求∠DAP，同理求∠ADP．根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°就可求∠APD．【解答過程】解：∵△BCP為等邊三角形，∴∠PBC＝60°，AB＝BP＝BC＝CD，∴∠ABP＝30°，∴∠BAP＝75°，∴∠DAP＝15°，同理∠ADP＝15°∴∠APD＝150°．故答案為：150．15．（3分）（2021春?米易縣期末）如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，若重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD中，AB＝3，AC＝2，則四邊形ABCD的面積為42．【解題思路】先證四邊形ABCD是菱形，再由勾股定理可求BO的長，然后由菱形的面積公式可求解．【解答過程】解：過點A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，連接AC，BD交于點O，如圖所示：∵兩條紙條寬度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵S?ABCD＝BC?AF＝CD?AE．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，∴AC＝2AO＝2，BO=AB2∴BD＝2BO＝42，∴菱形ABCD的面積=12AC×BD=12×故答案為：4216．（3分）（2021春?昭通期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，點E是CD的中點．點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A﹣B﹣C勻速運動，最終到達點C．若點P的運動時間為t秒時，三角形APE的面積為4cm2，則t＝83或6【解題思路】分為三種情況：畫出圖形，根據(jù)三角形的面積求出每種情況即可．【解答過程】解：①如圖1，當P在AB上時，∵△APE的面積等于4，∴12x∴x=8②當P在BC上時，∵△APE的面積等于5，∴S長方形ABCD﹣S△CPE﹣S△ADE﹣S△ABP＝4，∴3×4?12×（3+4﹣x）×2?12∴x＝6；③當P在CE上時，∴12×（4+3+2﹣∴x=15故答案為：83三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2021春?撫順期末）如圖，BN、CM分別是△ABC的兩條高，點D、點E分別是BC、MN的中點，求證：DE⊥MN．【解題思路】連接DM，DN，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DM=12BC，DN=12BC，可得到【解答過程】證明：如圖，連接DM，DN，∵BN、CM分別是△ABC的兩條高，∴BN⊥AC，CM⊥AB，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，∵D是BC的中點，∴DM=12BC，DN=∴DM＝DN，又∵E為MN的中點，∴DE⊥MN．18．（6分）（2021春?老河口市期末）如圖，在△ABC中，D是BC中點，E是AD，BF的中點，AB＝AC．求證：四邊形ADCF是矩形．【解題思路】先證四邊形ADCF是平行四邊形，再由等腰三角形的性質(zhì)得∠ADC＝90°，即可得出結(jié)論．【解答過程】解：∵D是BC的中點，E是BF的中點，∴DE是△BCF的中位線，∴DE∥FC，DE=12∵E是AD的中點，∴DE=12∴AD＝FC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，又∵D是BC的中點，AB＝AC，∴∠ADC＝90°，∴平行四邊形ADCF是矩形．19．（8分）（2021春?紅塔區(qū)期末）如圖，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO⊥AC于點O，點D是BO上一點，延長BO至點E，使OE＝OD，點C到AE的距離為d．（1）求證：四邊形ADCE是菱形；（2）若四邊形ADCE的周長為20，兩條對角線的和等于14，求d的值．【解題思路】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AO＝CO，AD＝CD，由菱形的判定可得結(jié)論；（2）利用勾股定理先求AC，DE的值，由面積法可求d的值．【解答過程】證明：（1）∵AB＝BC，BO⊥AC，∴AO＝CO，AD＝CD，又∵OE＝OD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵AD＝CD，∴平行四邊形ADCE是菱形；（2）∵菱形ADCE的周長為20，∴AE＝AD＝CD＝CE＝5，∵AC與DE的和等于14，∴AO+OE＝7，∵AO2+OE2＝AE2，∴（7﹣OE）2+OE2＝25，∴OE＝4，或OE＝3，∴OE＝8或6，∴AC＝6或8，∴菱形ADCE的面積=12×∴d=2420．（8分）（2021春?海東市期末）已知：P是正方形ABCD對角線BD上一點，PE⊥DC，PE⊥BC，垂足分別為E、F．（1）求證：AP＝CP；（2）若∠DAP＝30°，PD=2，求CP【解題思路】（1）證△ABP≌△CBP，推出AP＝CP即可；（2）先根據(jù)△ABP≌△CBP得出∠BAP＝∠BCP＝60°，∠PCE＝30°，再證△PFB是等腰直角三角形，求出PE的長度，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答過程】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，又∵DP＝DP，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝CP；（2）解：∵BD為正方形ABCD的對角線，∴∠ADP＝∠CDP＝45°，∵PE⊥DC，∴∠PED＝∠PEC＝90°，∴∠DPE＝45°，∴PE＝DE，∵PD=2且PE2+DE2＝PD2∴PE＝1，∵△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP＝30°，∴CP＝2PE＝2．21．（8分）（2021春?遷安市期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，D、F分別為BC、AC的中點，連接DF并延長到點E，使DF＝FE，連接AE、AD、CE．（1）求證：四邊形AECD是矩形．（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AECD是正方形，并說明理由．【解題思路】（1）利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AECD是平行四邊形，進而理由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADB＝90°，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD＝BD＝CD，進而利用正方形的判定得出即可．【解答過程】證明：（1）∵D、F分別為BC、AC的中點，使DF＝FE，∴CF＝FA，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四邊形AECD是矩形；（2）當∠BAC＝90°時，理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD＝BD＝CD，∵由（1）得四邊形AECD是矩形，∴矩形AECD是正方形．22．（8分）（