第三講絕對值講義2024-2025學年北師大版數(shù)學七年級上冊

第三講絕對值第第3講講絕對值及有理數(shù)加法通過對本節(jié)課的學習，你能夠：相反數(shù)的定義與性質(zhì).去括號.絕對值的定義與性質(zhì).有理數(shù)加法法則及簡便計算.有理數(shù)加法的實際應用.有理數(shù)加法解決數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值等問題.概述概述適用學科初中數(shù)學適用年級初中一年級適用區(qū)域北師大版區(qū)域課時時長（分鐘）120知識點1、相反數(shù)的定義與性質(zhì).2、去括號.3、絕對值的定義與性質(zhì).4、有理數(shù)加法法則及簡便計算.5、有理數(shù)加法的實際應用.6、有理數(shù)加法解決數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值等問題.教學目標1、掌握相反數(shù)的定義與性質(zhì).2、掌握絕對值的定義與性質(zhì).3、能準確的進行有理數(shù)加法運算，并能用運算律簡化運算.教學重點深刻理解相反數(shù)與絕對值的意義，準確的進行有理數(shù)加法運算.教學難點1、相反數(shù)與絕對值的性質(zhì).經(jīng)歷探索有理數(shù)加法法則的過程，理解并掌握有理數(shù)加法的法則.2、經(jīng)歷探索有理數(shù)加法法則的過程，理解并掌握有理數(shù)加法的法則.

教學過程教學過程一、導入一、導入絕對值部分一、創(chuàng)設情境，導入新課之前我們學習了負數(shù)，也學會了在數(shù)軸上表示有理數(shù)，如3和3，它們有什么相同點？如果兩個數(shù)只有符號不同，那么稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù).特別地，0的相反數(shù)是0.二、合作交流，解讀探究將3和3在數(shù)軸上表示出來，它們在數(shù)軸上所對應的點有什么關系？與同伴進行交流.在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點，位于原點的兩側(cè)，且與原點的距離相等.1、引入絕對值概念.在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.2、給出幾對相反數(shù)，讓學生求出它們的絕對值后，引導學生思考：互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值有什么關系？有理數(shù)加法部分一、創(chuàng)設情境，導入新課引言：在小學認識了算術數(shù)之后，我們又學習了加、減、乘、除四則運算，同樣我們學習了有理數(shù)的意義之后，將開始學習有理數(shù)的運算，這節(jié)課我們一起來學習有理數(shù)的加法。1、問題情境：一建筑工地倉庫記錄星期一和星期二水泥的進貨和出貨數(shù)量如下：進出貨情況庫存情況星期一+5－2星期二+3－4合計提問：面對這份表格，你能獲得什么信息？能否用式子表示？（此問培養(yǎng)學生處理表格信息的能力，給學生大膽發(fā)揮的空間，將教師控制課堂的預設過程變成師生共同建設，共同發(fā)展的過程。也借此引出有理數(shù)的加法。）回答1：兩天一共進貨8噸。（+5）+（+3）=+8回答2：兩天一共出貨6噸。（－2）+（－4）=－6歸納同號兩數(shù)相加的法則：（+5）+（+3）=+8(越進越多)（－2）+（－4）=－6（越出越多）二、合作交流，解讀探究1、（1）、同號兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號，并把絕對值相加。回答3：星期一的庫存量增加了3噸。（+5）+（－2）=+3回答4：星期二的庫存量減少了1噸。（+3）+（―4）=－1歸納異號兩數(shù)相加的法則：（+5）+（－2）=+3（+3）+（―4）=－1（有進有出會抵消）抵消意味著絕對值相減。（2）、異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。回答5：這兩天的庫存量合計增加了2噸。（+3）+（－1）=+2或（+8）+（－6）=+2提問：會不會出現(xiàn)和為零的情況？提示：可以聯(lián)系倉庫進出貨的具體情形?；卮?：如星期一倉庫進貨5噸，出貨5噸，則庫存量為零。（+5）+（－5）=02、同歸納法則（3）、互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零。提問：你能用加法法則來解釋法則3嗎？回答7：可用異號兩數(shù)相加的法則。一般地還有：一個數(shù)同零相加，仍得這個數(shù)。二、知識講解二、知識講解知識點1相反數(shù)的概念和性質(zhì)知識點1相反數(shù)的概念和性質(zhì)概念：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)相反數(shù)：1、要注意“只有”二字；2、互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上到原點的距離相等；3、0的相反數(shù)是0.4、a與b互為相反數(shù)a+b=0知識點2絕對值的概念知識點2絕對值的概念絕對值的幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，數(shù)a的絕對值記作“”絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的相反數(shù)仍是0知識點知識點3多重符號的化簡化簡規(guī)律：化簡一個非零有理數(shù)，結(jié)果與這個數(shù)前面的“”號有關，（奇負偶正）知識點4絕對值的求法和性質(zhì)應用知識點4絕對值的求法和性質(zhì)應用（1）要求一個數(shù)的絕對值，應先判斷這個數(shù)是正數(shù)，負數(shù)，還是0，再由絕對值的意義去確定絕對值符號后的結(jié)果。（2）絕對值具有如下性質(zhì)：①任何數(shù)都有絕對值，且只有一個，無論a取何有理數(shù)，都有≥0；②當=a時，a取正數(shù)和0；當=a時，a取負數(shù)和0；③互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等；絕對值相等的兩個數(shù)相等或互為相反數(shù)④在數(shù)軸上，一個數(shù)離原點越近，則它的絕對值越小；一個數(shù)離原點越遠，則它的絕對值越大；⑤一個有理數(shù)是由符號和絕對值兩個方面共同確定的；⑥若干個絕對值的和等于0，則這幾個絕對值均等于0.即若+=0，則=0且=0，即a=0且b=0.知識點知識點5有理數(shù)的加法法則有理數(shù)加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)?；橄喾磾?shù)的兩個數(shù)和為0，和為0的兩個數(shù)互為相反數(shù)。知識點知識點6有理數(shù)的簡便運算1、運算律：加法交換律：;加法結(jié)合律：簡便計算：類型一：同號優(yōu)先結(jié)合法；類型二：互為相反數(shù)優(yōu)先結(jié)合法；類型三：同形優(yōu)先結(jié)合法；類型四：湊整法；類型五：拆分法三、例題三、例題精析考點一：相反數(shù)的概念與性質(zhì)考點一：相反數(shù)的概念與性質(zhì)考點一：相反數(shù)的定義和性質(zhì)考點一：用正數(shù)、負數(shù)表示具有相反意義的量例題1例題11、－2020的相反數(shù)是（）?12020B．12020例題例題22、下列說法正確的個數(shù)是（）①任何數(shù)都不等于它的相反數(shù)；②符號相反的數(shù)互為相反數(shù)；③表示互為相反數(shù)的兩個數(shù)的點到原點的距離相等；④若有理數(shù)a，b互為相反數(shù)，那么a+b=0；⑤若有理數(shù)a，b互為相反數(shù)，則它們一定異號。⑥正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)A、1B、2C、3D、4例題例題3一個數(shù)的相反數(shù)是它本身，這個數(shù)是（）A、1B、1C、0D、正數(shù)例題例題4已知，則（）A、相等B、互為相反數(shù)C、相等D、相等例題例題5如果互為相反數(shù)，那么.例題例題6如圖，已知A、B、C、D四個點在數(shù)軸上.（1）若點A和點C表示的數(shù)互為相反數(shù)，則原點在點的位置；（2）若點B和點D表示的數(shù)互為相反數(shù)，則原點在點的位置；（3）若點B和點C表示的數(shù)互為相反數(shù)，請在數(shù)軸上表示出原點的位置．考點三：多重符號化簡及相反數(shù)的應用考點三：多重符號化簡及相反數(shù)的應用意義的量例題1例題11、化簡：=.例題例題22、的相反數(shù)是，則=.例題例題33、化簡下列各數(shù)的符號：（1）???19； 例題例題44、若互為相反數(shù)，是最小的非負數(shù)，是最小的正整數(shù)，求．例題例題55、在數(shù)軸上點A表示的數(shù)為7，B、C兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，且點C與點A之間的距離為2，那么點B與點C表示的數(shù)分別是多少？考點五：絕對值考點五：絕對值用意義的量例題1例題11、?5A.5 B.?5 C.15 D.例題例題22、下列說法正確的是（）A、是求的相反數(shù)；B、表示的意義是數(shù)軸上表示的點到原點的距離C、的意義是表示的點到原點的距離是；D、以上都不對例題例題33、下列說法中錯誤的個數(shù)是（）絕對值是它本身的數(shù)有兩個，它們是0和1；一個有理數(shù)的絕對值必為正數(shù)；2的相反數(shù)的絕對值2；任何有理數(shù)的絕對值都不是負數(shù).A、0B、1C、2D、3例題例題44、若，則；若，則；若，則；例題例題5已知那么a－b＝.考點六：絕對值的性質(zhì)考點六：絕對值的性質(zhì)大小用意義的量例題例題11、絕對值小于3的負整數(shù)是．例題例題22、若＝－a，則實數(shù)a在數(shù)軸上的對應點一定在（）A．原點左側(cè)B．原點或原點左側(cè)C．原點右側(cè)D．原點或原點右側(cè)例題例題3已知有理數(shù)滿足a?2+b例題例題44、式子的值隨的變化而變化，當為何值時，有最小值？最小值是多少？考點七：有理數(shù)的大小比較考點七：有理數(shù)的大小比較大小用意義的量例題例題11、比較大?。害?︱____（1）例題例題22、a>0，b<0，|b|>|a|，則a，?a，b，?b，0這五個數(shù)按從小到大的順序，用“<“號連接起來是__________考點八：絕對值的應用考點八：絕對值的應用大小用意義的量例題例題11、若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值為2，則的值是。例題例題22、某汽車配件廠生產(chǎn)一批零件，從中抽取6件進行檢驗，比標準直徑長的毫米數(shù)記作正數(shù)，比標準直徑短的毫米數(shù)記作負數(shù)，檢查結(jié)果記錄如下：序號123456誤差+0.50.15+0.100.10.2哪3件零件的質(zhì)量相對來講好一些，怎樣用學過的絕對值知識來說明這些零件的質(zhì)量好；若規(guī)定與標準直徑誤差不超過0.1毫米為優(yōu)等品，在0.1～0.3毫米（不含0.1毫米和0.3毫米）的為合格品，不小于0.3毫米的為次品，則6件產(chǎn)品中分別有幾件優(yōu)等品、合格品和次品？考點考點九：有理數(shù)的加法法則大小用意義的量例題1例題1（1）的和取號，和的絕對值為，和為；（2）的和取號，和的絕對值為，和為；（3）的和取號，和的絕對值為，和為；（4）的和取號，和的絕對值為，和為；【答案】（1）正，13,13；（2）負，13，13；（3）負，3，3；（4）正，3,3.【解析】根據(jù)有理數(shù)加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。例題例題22、計算：（1）（8）+（9）=（2）（39）+28=（3）39+（28）=（4）（17）+21=（5）（2.75）+（+1.25）=（6）（17）+17=（7）0+（7）=（8）（718）+（16）=（9）（+214）+（【答案】要有規(guī)范步驟（1）17；（2）11；（3）11；（4）4；（5）1.5；（6）0；（7）7；（8）59；（9）13【解析】略例題例題33、若0；若0；【答案】＜；＜.【解析】兩個負數(shù)之和是負數(shù)，負數(shù)小于0；一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)，負數(shù)加上0還是負數(shù)，負數(shù)小于0。例題例題44、若0.【答案】＜.【解析】異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。例題例題55、兩數(shù)相加，如果和小于每個加數(shù)，那么這兩個加數(shù)（）A、一個為0，一個為負數(shù)；B、都是負數(shù)；C、一個為正數(shù)一個為負數(shù)且負數(shù)的絕對值較大；D、這兩個數(shù)的符號不能確定.【答案】B.【解析】如果兩個數(shù)的和小于每一個加數(shù)，那么這兩個數(shù)都為負數(shù)；對于A選項：一個為0，一個為負數(shù)，這兩個加數(shù)的和等于這個負數(shù)，故錯誤；對于C選項，和會比正數(shù)小，比負數(shù)大，故錯誤；選項D錯誤.故選B.例題例題66、在數(shù)5、2、7、6中，任意三個不同的數(shù)相加，其中最小的和是（）【答案】3【解析】（2）+（6）+5=3考點十：有理數(shù)的加法運算律考點十：有理數(shù)的加法運算律大小用意義的量例題1例題11、計算：【答案】0.【解析】解：原式=（19+41）+（24+36） =60+60 =0例題例題22、計算：【答案】.【解析】解：原式=（12.43）+12.43+（74.0774.07）+1.4 =0+0+1.4 =1.4例題例題33、計算：【答案】【解析】解：原式=+1=(1)+…+(1)=50考點考點十一：有理數(shù)的加法的簡便計算大小用意義的量例題1例題1類型一：同號結(jié)合法：；【答案】【解析】解：原式=[(3)+(6)+(5)]+[(+4)+(+2)+7] =(14)+13 =1例題例題2類型二：互為相反數(shù)結(jié)合法：+1【答案】；【解析】解：原式=+ =0例題例題3類型三：同形結(jié)合法：45【答案】【解析】解：原式=[4 =2 =33例題例題4類型四：湊整法：（1）25.3+?（2）33.1+【答案】（1）；（2）43【解析】(1)解：原式==33+=12(2)解：原式=[ =56+(13) =43例題例題5類型五：拆分法：（1）10082+（2）?【答案】（1）.（2）=?5【解析】（1）解：原式=10082+ =10082+(10000)+(68)+(+10000)+(+94)+(10000)+(86)+(+10000)+(79)+(10082)=10082+(10082)+(+10000)+(10000)+(+10000)+(10000)+(+94)(79)(68)(86)=(1008210082)+(1000010000)+(1000010000)+(94+79)(68+86)=0+0+0+173154=19（2）解：原式=? =? =? =?考點考點十二：有理數(shù)的加法的應用大小用意義的量例題1例題11、某地某天最低氣溫是℃，最高氣溫比最低氣溫高8℃，求該地這天的最高氣溫.【答案】3℃.【解析】（5）+8=3例題例題22、出租司機小王某天下午營運，都在東西走向的同一直道上行駛，如果規(guī)定向東為正，向西為負，那么他這天下午的行程記錄如下（單位：千米）：.（1）將最后一名乘客送到目的地時，小王距下午出車時的出發(fā)點多遠？（2）將最后一名乘客送到目的地時，小王車內(nèi)里程表顯示的里程數(shù)比下午出車時增加了多少千米？【答案】（1）在出發(fā)點東邊29千米；（2）增加了53千米.【解析】（1）(+15)+(3)+(+4)+(4)+(+10)+(3)+(2)+(+12)=153+44+1032+12=29（千米）.所以將最后一名乘客送到目的地時，小王距下午出車時的出發(fā)點29千米.（2）|+15|+|3|+|+4|+|4|+|+10|+|3|+|2|+|+12|=15+3+4+4+10+3+2+12=53（千米）.所以將最后一名乘客送到目的地時，小王車內(nèi)里程表顯示的里程數(shù)比下午出車時增加了53千米.例題例題33、有5筐蔬菜，以每筐50千克為標準質(zhì)量，超過的千克數(shù)記為正數(shù)，不足的記為負數(shù)，稱重記錄如下：+3，6，4，+2，1.與標準質(zhì)量相比較，這5筐蔬菜的總質(zhì)量是超過還是不足？相差多少？這5筐蔬菜的總質(zhì)量是多少？【答案】與標準質(zhì)量相比較，這5筐蔬菜的總質(zhì)量不足，相差6千克，這5筐蔬菜的總質(zhì)量是244千克?！窘馕觥?+（6）+（4）+2+（1）=6（千克），所以與標準質(zhì)量相比較，這5筐蔬菜的總質(zhì)量不足。這5筐蔬菜的總質(zhì)量為50×5+（6）=244（千克）。故與標準質(zhì)量相比較，這5筐蔬菜的總質(zhì)量不足，相差6千克，這5筐蔬菜的總質(zhì)量是244千克。例題例題44、小明的父親是一位面包加工師，他父親今天購進了十袋面粉，標準質(zhì)量是每袋25千克，回到加工車間逐袋稱了一遍，其中只有三袋正好是25千克，另外七袋的實際質(zhì)量為（單位：千克）.（1）若把超過標準質(zhì)量的部分記為正數(shù)，不足的部分記為負數(shù)，請把這十袋面粉的質(zhì)量分別用正負數(shù)或0表示出來；（2）請你幫助小明的父親計算一下這十袋面粉的總質(zhì)量是多少千克？【答案】（1）這十袋面粉的質(zhì)量分別用正負數(shù)或0表示為（單位：千克）：；（2）這十袋面粉的總質(zhì)量是249千克.【解析】（1）依題意得24.825=0.2；23.525=1.525.225=0.225.325=0.325.625=0.624.925=0.124.725=0.32525=02525=02525=0故這10袋大米的質(zhì)量用正負數(shù)或0表示分別為（單位：千克）：0.2，1.5，0.2，0.3，0.6，0.1，0.3，0，0，0（2）25×10+（0.21.5+0.2+0.3+0.60.10.3+0+0+0）=250+（1）=249（千克）故這10袋大米的總質(zhì)量是249千克.例