小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)思維訓(xùn)練導(dǎo)引(講義)

小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)思維訓(xùn)練導(dǎo)引(講義)

第1講整數(shù)計(jì)算綜合

內(nèi)容概述

熟練運(yùn)用己學(xué)的各種方法解決復(fù)雜的整數(shù)四則運(yùn)算問(wèn)題；學(xué)會(huì)利用加減抵消、

分組計(jì)算方法處理各種數(shù)列的計(jì)算問(wèn)題。學(xué)會(huì)處理“定義新運(yùn)算”的問(wèn)題，初步體

會(huì)用字母表示數(shù)。

典型問(wèn)題

興趣篇

1.計(jì)算：(1)121X32+8;(2)4X(2504-8)(3)25X83X32X125

2.計(jì)算：(1)56X22+56X33+56X44(2)222X33+889X66.

3.計(jì)算：(1)37X47+36X53(2)123X76—124X75。

4.計(jì)算:100—99+98—97+96—95+???+12-11+10.

5.計(jì)算：50+49-48-47+46+45-44-43+---4-3+2+1.

6.計(jì)算：(1+3+5+7+???+199+201)—(2+4+6+8+…+198+200).

7.計(jì)算:1+2+3+4+???+48+49+50+49+48+???+4+3+2+1.

8.下面是一個(gè)叫做“七上八下”的數(shù)字游戲。游戲規(guī)則是：對(duì)一個(gè)給定的數(shù)，

按照由若干個(gè)7和8組成的口令進(jìn)行一連串的變換。口令“7”是指在這個(gè)數(shù)中

插入一個(gè)數(shù)字，使得新生成的數(shù)盡量大；口令“8”是指將這個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)字

去掉，也要使新生成的數(shù)盡量大。例如：給出的數(shù)是1995,口令是“8一7,”在

第一個(gè)口令“8”發(fā)出后變成995,在第二個(gè)口令“7”發(fā)出后變成9995。

如果給出數(shù)“6595”以及口令“8-7-8T7-8-8"，問(wèn)：變換后依次得到

的6個(gè)數(shù)的和是多少？

9.規(guī)定運(yùn)算為：avb=(a+1)X(b-l),請(qǐng)計(jì)算：(1)8710;(2)10v8.

10.規(guī)定運(yùn)算為：a?b=aXb-(a+b),請(qǐng)計(jì)算：

(1)5?8;(2)8?5;(3)(6?5)4;(4)6?(54)

拓展篇

1.計(jì)算:(1)72X27X884-(9X11X12);

2.(2)31X121-88X125^(1000^121).

3.計(jì)算：(1)555X445—556X444;

(2)42X137-804-15+58X138-70^15.

4.計(jì)算：20092009X2009-20092008X2008-20092008.

5.計(jì)算：1+2—3+4+5—6+7+8—9+...+97+98-99.

6.計(jì)算：100X99-99X98-98X97-97X96-96X95-95X94+-+4X3-3X2

-2X1.

6.在不大于1000的自然數(shù)中，A為所有個(gè)位數(shù)字為8的數(shù)之和，B為所有個(gè)位

數(shù)字為3的數(shù)之和.A與B的差是多少?

7.求圖1-1中所有數(shù)的和.

8.已知平方差公式：a2-b2=(a+b)x(a-b),計(jì)算:

202-192+182-172+162-152+---+22-12

9.計(jì)算：951X949-52X48.

10.規(guī)定運(yùn)算為：a?b=a+2b—2,計(jì)算：(1)(8。7)06;(2)80(706)

11.規(guī)定運(yùn)算“?！睘椋篴ob=(a+l)X(b-2).如果6o(口。5)=91,那么方格內(nèi)應(yīng)

該填入什么數(shù)？

12.規(guī)定：符號(hào)為選擇兩數(shù)中較大的數(shù)的運(yùn)算，為選擇兩數(shù)中較小的

數(shù)的運(yùn)算，例如：3A5=5,3V5=3請(qǐng)計(jì)算:1A2A3V4A5A6V7A-V100.

的順序是從左至右)

超越篇

1.觀察下面算式的規(guī)律：

2000+1991-1988—1982+1976+1970—1964—1958+1952+1946—1940一

1934+……一直這樣寫下去，那么最后4個(gè)自然數(shù)分別是哪4個(gè)？符號(hào)分別是加

還是減？算式最終的結(jié)果為多少？

2.從1,2,……,9,10中任意選取一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，并將兩數(shù)相乘，可以得

到一個(gè)乘積，把所有這樣的乘積全部加起來(lái)，總和是多少?

3.計(jì)算：1-3+6—10+15—21+28—……+4950.

4.已知平方差公式：a2-b2=(a+b)x(a-b),計(jì)算：

1002+992-982-972+962+952-942-932+??+42+32-22-12

5.a?b表示從a開始依次增加的b個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，例如：403=4+5+6=15,

504=5+6+7+8=26,請(qǐng)計(jì)算：(1)4。15(2)在算式(C07)011=1056中，方

框里的數(shù)應(yīng)該是多少？

6.定義兩種運(yùn)算：aQb=a-b+l,avb=aXb+1,用“C”、“V”和括號(hào)填入下面

的式子，使得等式成立(不能用別的計(jì)算符號(hào))：7345=2

7,現(xiàn)定義四種操作的規(guī)則如下：

①“一分為二”：如果一個(gè)自然數(shù)是偶數(shù)，就把它除以2；如果是奇數(shù)，就先加

±1,然后除以2.例如從16可以得到8,從27可以得到14.

②“丟三落四”：如果一個(gè)自然數(shù)中包含數(shù)字“3”或“4”，就將其劃掉，例如

從5304可以得到50,從408可以得到8.(不含數(shù)字3和4的自然數(shù)不能進(jìn)行

“丟三落四”操作)

③“七上八下”：如果一個(gè)自然數(shù)中包含數(shù)字“7”，就將所有“7”移到最左邊;

如果一個(gè)自然數(shù)中包含數(shù)字“8”，就將所有“8”移到最右邊。例如從98707可

以得到77908,從802可以得到28.(不含數(shù)字7和8的自然數(shù)不能進(jìn)行“七上

八下”操作)

④“十全十美”：將一個(gè)自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字換成0.例如從111可以得到110,從

905可以得到900.(個(gè)位是0的自然數(shù)不能進(jìn)行“十全十美”操作)

(1)請(qǐng)寫出對(duì)4176依次進(jìn)行③①③②④操作后的結(jié)果：

(2)從655687開始，最少經(jīng)過(guò)幾次操作以后可以得到0?

(3)一個(gè)三位數(shù)除了“丟三落四”外，其他三個(gè)操作各進(jìn)行一次之后得到的結(jié)果

是

8.求有多少個(gè)這樣的三位數(shù).

圖1-2是同學(xué)們都很熟悉的九九乘法口訣表，表中所有乘積的總和是多少?

——得.

一二府wra

一.二種三得六二三部九

?四削四二四得八三四十二四四十六

n和五:五一十三五，五四n斗五五二十五

AWA二六十--六十人網(wǎng)六一十四五六三十六六三十六

二七十四三七.十四七二十八五七二十五六七四十：七七四卜九

?八榭八二八十六三八二十四四八三十.五八四十六八囚十八七八五十六八八六tn

九將九-九十八三九二十t四九三十六五九四十五六九五十網(wǎng)七九六十三八九七I九九八?|

K1-2

第2講和差倍問(wèn)題三

內(nèi)容概述

數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，需要深入分析的和差倍問(wèn)題；由于數(shù)量大小改變，而產(chǎn)生倍數(shù)

關(guān)系變化的問(wèn)題；需要利用比較或分組的方法進(jìn)行分析的問(wèn)題。

典型問(wèn)題

興趣篇

1.有長(zhǎng)、短兩根竹竿，長(zhǎng)竹竿的長(zhǎng)度是短竹竿長(zhǎng)度的3倍.將它們插入水塘中,

插入水中的長(zhǎng)度都是40厘米，而露出水面部分的總長(zhǎng)為160厘米.請(qǐng)問(wèn)：短竹

竿露在外面的長(zhǎng)度是多少厘米？

2.李師傅某天生產(chǎn)了一批零件，他把它們分成了甲、乙兩堆.如果從甲堆中拿出

15個(gè)放到乙堆中，則兩堆零件的個(gè)數(shù)相等；如果從乙堆中拿出15個(gè)放到甲堆中,

則甲堆零件的個(gè)數(shù)是乙堆的3倍.問(wèn)：甲堆原來(lái)有零件多少個(gè)？李師傅這一天共

生產(chǎn)零件多少個(gè)？

3.一個(gè)六邊形廣場(chǎng)的邊界上插有336面紅旗和黃旗.六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處都插

有紅旗，每條邊上的紅旗數(shù)目一樣多，并且每?jī)擅婕t旗間插有相同數(shù)目的黃旗.

已知每條邊上黃旗比紅旗的2倍還多12面，那么每?jī)擅婕t旗間插有幾面共旗？

4.爸爸和冬冬一起搬磚，爸爸所搬的磚頭數(shù)是冬冬的3倍.冬冬覺得自己搬的

磚頭太少了，又搬了24塊磚頭，于是爸爸所搬的磚頭數(shù)是科科的2倍.請(qǐng)問(wèn)：

最后爸爸和冬冬各搬了多少塊磚？

5.四年級(jí)三班買來(lái)單價(jià)為5角的練習(xí)本若干.如果將這些練習(xí)本只分給女生，

平均每人可得15本；如果將這些練習(xí)本只分給男生，平均每人可得10本.請(qǐng)問(wèn):

將這些練習(xí)本平均分給全班同學(xué)，每人可以得到多少本？此時(shí)每人應(yīng)付多少

錢？

6.有甲、乙、丙三所小學(xué)的同學(xué)來(lái)參加幼苗杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，其中甲校參賽人數(shù)

比乙校多5人，比丙校多7人.如果乙、丙兩校一共有4()人參加比賽，那么三

所學(xué)校各有多少人參加比賽？

7.有三個(gè)箱子，如果兩箱兩箱地稱它們的重量，分別是83千克、85千克和86

千克.問(wèn)：其中最輕的箱子重多少千克？

8.小悅和媽媽一起去家具城挑選客廳的桌椅.她們看中了兩款，這兩款桌椅都

包含一張桌子和若干把椅子.其中桌子的價(jià)錢一樣，每把椅子的價(jià)錢也一樣.第

一款桌椅中有6把椅子，總價(jià)為700元；第二款桌椅中有9把椅子，總價(jià)為970

元.請(qǐng)問(wèn)：一張桌子的價(jià)錢是多少元？

9.小白兔與小黑兔一塊去森林里采摘了一些胡蘿卜，回家后它們就把胡蘿卜平

分了,小白兔當(dāng)天吃了4個(gè)胡蘿卜，小黑兔則一口氣吃了12個(gè)胡蘿卜.小白免

往后每天都吃4個(gè)胡蘿卜；小黑兔因?yàn)榈谝惶斐缘锰啵竺刻熘怀?個(gè)胡

蘿卜，最后它倆同時(shí)把自己的胡蘿卜吃完.小白兔與小黑兔一共采摘了多少個(gè)胡

蘿卜？

10.一家汽車銷售店有若干部福特汽車和豐田汽車等待銷售.福特汽車的數(shù)量

是豐田汽車的3倍.如果每周銷售2輛豐田汽車和4輛福特汽車，豐田汽車銷售

完時(shí)還剩下30輛福特汽車.請(qǐng)問(wèn)：原有豐田汽車和福特汽車各多少輛？

拓展篇

1.李師傅將甲、乙兩種零件加工成產(chǎn)品，開始時(shí)甲零件的數(shù)量乙零件的2倍，

每件產(chǎn)品需要5個(gè)甲零件和2個(gè)乙零件，生產(chǎn)30件產(chǎn)品后，剩下的甲、乙零件

數(shù)量相等，請(qǐng)問(wèn)：李師傅還可以生產(chǎn)幾件產(chǎn)品？

2.學(xué)校門口放有紅、黃、藍(lán)三種顏色的花.其中黃花的盆數(shù)最多，既是紅花盆

數(shù)的4倍，也是藍(lán)花盆數(shù)的3倍，如果藍(lán)花比紅花多20盆，請(qǐng)問(wèn)：學(xué)校門口一

共有多少盆花？

3.動(dòng)物園的飼養(yǎng)員給三群猴子分花生.如果只分給第一群，則每只猴子可得12

粒；如果只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如果只分給第三群，則每只猴

子可得20粒，試問(wèn)：現(xiàn)在將這些花生平均分給三群猴子，每只可得多少粒？

4.養(yǎng)雞場(chǎng)有東、西兩院，西院雞的只數(shù)是東院的3倍.一天有10只雞從西院跑

到東院，這時(shí)西院雞的數(shù)是是東院的2倍，那么現(xiàn)在東、西兩個(gè)院子各有多少

只雞？

5.爸爸和冬冬一起搬磚，原計(jì)劃爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的磚頭，父子

二人發(fā)現(xiàn)，如果爸爸幫冬冬搬10塊，那么爸爸所搬的磚頭數(shù)是冬冬的5倍；如

果冬冬幫爸爸搬10塊，那么爸爸所搬的磚頭數(shù)是冬冬的2倍.請(qǐng)問(wèn)：原計(jì)劃爸

爸搬多少塊磚，冬冬搬多少塊磚？

6.甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人.問(wèn)：甲班和

丁班共多少人？

7.小悅、冬冬、阿奇三人去稱體重，由于秤出了點(diǎn)問(wèn)題，只能準(zhǔn)確稱出60千克

與90千克之間的重量，因此他們?nèi)酥荒軆蓚€(gè)兩個(gè)稱重.如果小悅和冬冬一起

稱，總重量是73千克；冬冬和阿奇一起稱，總重量是80千克；阿奇和小悅一

起稱，總重量是75千克，三人的體重分別是多少千克？

8.四年級(jí)有甲、乙、丙、丁四個(gè)班，不算甲班，其余三個(gè)數(shù)的總?cè)藬?shù)是131人;

不算丁班，其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是134人；乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班

的總?cè)藬?shù)少1人.問(wèn)：這四個(gè)班共有多少人？

9.某學(xué)生到工廠勤工儉學(xué)，按合同規(guī)定，干滿30天，工廠將給他一套工作服和

70玩錢，但由于學(xué)校另有安排，他工作了20天后便中止了合同，工廠只給他一

套工作服和20元錢.請(qǐng)問(wèn)：這套工作服值多少元？

10.小悅和冬冬看同一本小說(shuō)，小悅打算第一天看50頁(yè)，接著每天看15頁(yè)；冬

冬則打算每天看22頁(yè)，最后兩人正好在同一天看完，這本小說(shuō)一共多少頁(yè)？

11.某食堂買來(lái)的大米的袋數(shù)是面粉的4倍，該食堂每天消耗面粉20袋，大米

60袋，幾天后面粉全部用完，大米還剩下200袋，這個(gè)食堂買來(lái)大米多少袋？

12.超市運(yùn)來(lái)一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的顆數(shù)比巧克力糖的3倍還多

10顆，售貨員將這些糖包裝成相同的小袋，每袋內(nèi)裝了3顆巧克力糖和7顆水

果糖，最后巧克力糖全部裝完，水里糖還剩下170顆.請(qǐng)問(wèn)：這批糖果共有幾顆

水果糖，幾顆巧克力糖？

超越篇

1.在一次速算比賽中，每道題的分?jǐn)?shù)是一樣的.前20道題中，小時(shí)做對(duì)了15

道；余下的題中，他做對(duì)的題僅是做錯(cuò)的一半，最后一共得了50分.如果滿分

是100分，那么小明做對(duì)了多少道題？

2.有四個(gè)數(shù)，其中每三個(gè)數(shù)的和分別是45、46、49、52,那么這四個(gè)數(shù)中最小

的一個(gè)數(shù)是多少？

3.小偉和小杰兩人玩游戲牌，第一輪過(guò)后，小偉贏了小杰13張牌，這時(shí)小偉的

牌數(shù)是小杰的2倍少10張；由于得意忘形，小偉在第二、三輪慘敗，輸了29

張牌，結(jié)果小杰的牌數(shù)反而是小偉的7倍少10張.求小偉和小杰原來(lái)各有多少

張牌？

4.費(fèi)叔叔買了一臺(tái)電視機(jī)，購(gòu)買時(shí)可以按以下兩種方式付款：第一個(gè)月付款750

元，以后每月付150元；或前一半時(shí)間每月付300元，后一半時(shí)間每月付100

元.兩種付款方式的付款總數(shù)及時(shí)間都相同.問(wèn)：這臺(tái)電視機(jī)的價(jià)格是多少元？

5.日、乙、丙三人乘坐飛機(jī)，三人所帶行李的重量都超過(guò)了免費(fèi)重量，超出部

分必須另付行李費(fèi).甲付20元，乙付40元，丙付60元,三人的行李共重150

千克，如果是一個(gè)人帶這些行李出行，就需要支付240元的超重費(fèi)用.請(qǐng)問(wèn)：每

人可以免費(fèi)攜帶多少千克的行李？

6.小楠的媽媽買回了若干個(gè)桔子和梨，其中桔子的個(gè)數(shù)是梨的3倍.如果全家

每天吃5個(gè)桔子和2個(gè)梨，那么一星期后，桔子的個(gè)數(shù)是梨的4倍少5個(gè).原來(lái)

桔子和梨分別有多少個(gè)？

7.小真、小想和小看在討論買《變形金剛》電影票的事，小真現(xiàn)有的錢數(shù)是小

想的3倍，是小看的2倍.

小真說(shuō)：“如果小想給我15元錢，我就可以買3張電影票

小想說(shuō)：“如果我給小真15元錢，剩下的錢恰好能買3個(gè)一樣的漢堡」

小看說(shuō)：“如果媽媽再給我35元錢，我就剛好能買2張電影票和2個(gè)漢堡

請(qǐng)問(wèn)：小真原有多少元錢？他們要買的電影票每張多少元？一個(gè)漢堡多少元？

8.現(xiàn)有三堆糖果，其中第一堆的塊數(shù)比第二堆多，第二堆的塊數(shù)比第三堆多.如

果從每堆糖果中各取出一塊，那么剩下的糖果中，第一堆的塊數(shù)是第二堆的3

倍；如果從每堆糖果中各取出同樣多塊，使得第一堆還剩下32塊，則第二堆剩

下的糖果數(shù)是第三堆的2倍.問(wèn)：原來(lái)三堆糖果總共最多有多少塊？

第3講還原問(wèn)題與年齡問(wèn)題

內(nèi)容概述

學(xué)會(huì)用逆推法求解還原問(wèn)題，處理多個(gè)對(duì)象時(shí)可采用列表的形式，在年齡問(wèn)題

中，通常采用和差倍問(wèn)題的分析方法，有時(shí)需注意任意兩人的年齡差保持不變。

典型問(wèn)題

興趣篇

1.某數(shù)加上6,再乘以6,再減去6,再除以6,其結(jié)果等于6,則這個(gè)數(shù)是

多少？

2.有一個(gè)人非常喜歡喝酒，他每經(jīng)過(guò)一個(gè)酒店都要買酒喝.這個(gè)人出門帶了一

個(gè)酒葫蘆，看到一個(gè)酒店就把酒葫蘆中的酒加一倍，然后喝下8兩酒，這天他

一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫蘆里的酒剛好喝完.問(wèn)：原來(lái)

酒葫蘆里有多少兩酒？

3.某人發(fā)現(xiàn)了一條魔道，下面有一個(gè)存錢的小箱子，當(dāng)他從魔道走過(guò)去的時(shí)候,

箱子里的一些錢會(huì)飛到人的身上使人身上的錢增加一倍，這人很高興；當(dāng)他從

魔道走回來(lái)時(shí)，身上的錢會(huì)飛到箱子里，使箱子里的錢增加一倍；這人一連走

了3個(gè)來(lái)回后，箱子里的錢和人身上的錢都是64枚一元的硬幣，那么原來(lái)這人

身上有多少元？箱子里有多少元？

4.三棵樹上共有48只鳥.后來(lái)，第一棵樹上有一半的鳥飛到了第二棵樹上；之

后，第二棵樹上又有與第三棵樹同樣數(shù)目的鳥飛到了第三棵樹上；最后，第三

棵樹上又有10只鳥飛到了第一棵樹上，此時(shí)三棵樹上的鳥一樣多.問(wèn)：一開始

三棵樹上各有幾只鳥？

5.1997年張伯伯45歲，小方9歲，在哪一年張伯伯的年齡是小方年齡的4倍?

6.今年，小明的年齡等于他父母的年齡差；4年后，小明的年齡等于他父母年齡差

的3倍.今年小明多少歲？

7.今年，父親年齡是兒子年齡的5倍；15年后，父親年齡是兒子年齡的2倍.問(wèn)：

現(xiàn)在父子的年齡各是多少？

8.兄弟兩個(gè)年齡之和是32歲.當(dāng)哥哥是弟弟現(xiàn)在這么大時(shí)，哥哥的年齡是當(dāng)時(shí)

弟弟年齡的3倍.求哥哥現(xiàn)在的年齡.

9.學(xué)生問(wèn)老師多少歲，老師說(shuō)：“當(dāng)我像你這么大時(shí)，你剛3歲；當(dāng)你像我這么

大時(shí)，我已經(jīng)39歲了求老師和學(xué)生現(xiàn)在的年齡.

10.今年，費(fèi)叔叔的年齡比小悅、冬冬、阿奇三人年齡的總和還多6歲，多少年

后，費(fèi)叔叔的年齡將比他們?nèi)四挲g的總和少6歲？

拓展篇

1.有一個(gè)數(shù)，把它加上37,再乘以18,減去323,得到的結(jié)果用23去除，商

是16,余數(shù)是11.這個(gè)數(shù)原來(lái)是多少?

2.果園里有一棵桃樹.有一天，三只猴子吃了兩個(gè)桃子并摘下了剩下桃子的一

半，最后第三只猴子吃了三個(gè)桃子并摘下了剩下桃子的一半.這時(shí)樹上剛好還有

四個(gè)桃子，原來(lái)樹上一共有幾個(gè)桃子？

3.地上有26地磚，兄弟二人爭(zhēng)著去挑.弟弟搶在前面，剛挑起一些磚，哥哥

趕到了，挑了剩下的磚.哥哥看弟弟挑得太多，就從弟弟那兒搶過(guò)一半.弟弟不

肯，又從哥哥那兒搶走一半.哥哥不服，弟弟只好再給哥哥5塊，這時(shí)哥哥比弟

弟多挑2塊，請(qǐng)問(wèn)：最初弟弟準(zhǔn)備挑多少塊磚？

4.日、乙各有糖若干塊，每操作一次是由糖多的人給糖少的人一些糖，使得糖

少的人的糖數(shù)增加一倍，經(jīng)過(guò)三次這樣的操作后，甲有5塊糖，乙有12塊糖，

兩個(gè)人原來(lái)的糖數(shù)分別是多少？

5.日、乙、丙三人的錢數(shù)各不相同，甲最多，他拿出一些錢給乙和丙，使乙和

丙的錢數(shù)都比原來(lái)增加了2倍，結(jié)果乙的錢最多；接著乙拿出一些錢給甲和丙,

使甲和丙的錢數(shù)各增加了2倍，結(jié)果丙的錢最多：最后丙又拿出一些錢給甲和

乙，使他們的錢數(shù)和增加2倍，結(jié)果三人的錢數(shù)一樣多，如果他們?nèi)斯灿?1

元，那么三人原來(lái)分別有多少錢？

6.今年張明15歲，他父親45歲，請(qǐng)問(wèn)：多少年后，父親年齡是張明年齡的2

倍？多少年前，父親年齡是張明年齡的4倍？

7.12年前，父親的年齡是女兒年齡的11倍；今年，父親的年齡是女兒年齡的3

倍,請(qǐng)問(wèn)：多少年后父親年齡是女兒年齡的2倍？

8.去年哥哥的年齡是明年兄弟二人年齡和的一半，前年哥哥的年齡是弟弟的2倍.求

哥哥和弟弟現(xiàn)在的年齡。

9.今年父親的年齡是48歲，哥哥的年齡是弟弟的2倍，當(dāng)?shù)艿荛L(zhǎng)到哥哥現(xiàn)在的

年齡時(shí)，父親的年齡恰好等于兄弟倆年齡之和，請(qǐng)問(wèn)：今年哥哥多少歲？

10.學(xué)生問(wèn)老師多少歲，老師說(shuō)：“當(dāng)我像你這么大時(shí)，你剛5歲：當(dāng)你像我這

么大時(shí)，我己經(jīng)50歲了?！扒罄蠋熀蛯W(xué)生現(xiàn)在的年齡。

11.有老師和甲、乙、丙三個(gè)學(xué)生，現(xiàn)在老師年齡恰為三個(gè)學(xué)生年齡之和；9年

后，老師年齡為甲、乙兩學(xué)生年齡之和；又過(guò)了3年，老師年齡為甲、丙學(xué)生

年齡之和；再過(guò)3年，老師年齡為乙、丙兩學(xué)生年齡之和，求現(xiàn)在各人的年齡。

12.1年前，父母的年齡和兄弟二人年齡和的7倍；4年后，父母的年齡和是兄

弟二人年齡和的4倍，已知爸爸比媽媽大2歲，媽媽今年多少歲？

超越篇

1.口渴的三個(gè)和尚分別捧著一個(gè)水罐，最初，老和尚的水最多，并且有一個(gè)和

尚沒(méi)水喝，于是，老和尚把自己的水全部平均分給了大、小兩個(gè)和尚；接著，

大和尚又把自己的水全部平均分給了老、小兩個(gè)和尚；然后，小和尚又把自己

的水全部平均分給了另外兩個(gè)和尚.就這樣，三人輪流謙讓了一陣，結(jié)果太陽(yáng)落

山時(shí)，老和尚的水罐里有10升水，小和尚的水罐則裝著20升水.請(qǐng)問(wèn)：最初大

和尚的水罐里有多少升水？

2.曰和乙各有若干塊糖，甲的糖數(shù)比乙少，每次操作由糖多的人給糖少的人一

些糖，使其糖數(shù)增加1倍；經(jīng)過(guò)2005次這樣的操作以后，甲有10塊糖，乙有8

塊糖，請(qǐng)問(wèn)：兩個(gè)人原來(lái)分別有多少塊糖？

3.哥哥對(duì)弟弟說(shuō)：“你長(zhǎng)到我這么大的時(shí)候，我恰好獲得博士學(xué)位；我在你這么

大的時(shí)候，你剛剛上幼兒園己知哥哥和弟弟現(xiàn)在的年齡和為32歲，哥哥獲得

博士學(xué)位的年齡是弟弟上幼兒園年齡的7倍，求哥哥獲得博士學(xué)位的年齡是多

少歲。

4.小明跟爺爺聊天，爺爺對(duì)小明說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)是你爸現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才5

歲呢.”小明對(duì)爺爺說(shuō)：“我的歲數(shù)是您現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，我爸都89歲了.”請(qǐng)問(wèn)：

小明的爸爸今年多少歲？

5.1996年時(shí)，父母的年齡之和是78歲，兄弟二人的年齡之和是17歲；4年后,

父親年齡是弟弟年齡的4倍，母親年齡是哥哥年齡的3倍，試問(wèn)：當(dāng)父親年齡

是哥哥年齡的3倍時(shí)是公元多少年？

6.全家4口人，父親比母親大3歲，姐姐比弟弟大2歲，4年前全家人的年齡

之和是58歲，而現(xiàn)在是73歲，問(wèn)：現(xiàn)在各人的年齡分別是多少歲？

7.老師在黑板上寫了三個(gè)不同的整數(shù)，小明每次先擦掉第一個(gè)數(shù)，然后在最后

寫上另兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，如此做了7次，這時(shí)黑板上三個(gè)數(shù)的和為159.如果開

始時(shí)老師在黑板上寫的三個(gè)數(shù)之和為2008,且所有寫過(guò)的數(shù)都是整數(shù).請(qǐng)問(wèn)：開

始時(shí)老師在黑板上寫的第一個(gè)數(shù)是多少？

8.；甲、乙、丙三人現(xiàn)在年齡的和是113歲，當(dāng)乙的歲數(shù)是丙的歲數(shù)的一半時(shí),

甲是17歲，請(qǐng)問(wèn)：乙現(xiàn)在多少歲？

第4講數(shù)陣圖初步

內(nèi)容概述

各種較為基本的數(shù)陣圖問(wèn)題，了解重?cái)?shù)的概念，并以此進(jìn)行分析；學(xué)會(huì)分析特

殊位置上的數(shù)值；某些情況下還需要考慮對(duì)稱性。

典型問(wèn)題

興趣篇

1.在圖4.1中的三個(gè)圓圈內(nèi)填入三個(gè)不同的自然數(shù)，使得三角形每條邊上的三

個(gè)數(shù)之和都等于11.

294-1EB4-2

2.請(qǐng)分別將1,2,4,6這四個(gè)數(shù)填在圖4.2中的各空白區(qū)域內(nèi)，使得每個(gè)圓圈

里四個(gè)數(shù)之和都等于15.

3.如圖4-3所示，請(qǐng)?jiān)谌齻€(gè)空白圓圈內(nèi)填入三個(gè)數(shù)，使得每條直線上三個(gè)數(shù)之

和都相等。

4.把1至8分別填入圖4-4的八個(gè)方格內(nèi)，使得各列上兩個(gè)數(shù)之和都相等，各

行四個(gè)數(shù)之和也相等。

5.把1至12分別填入圖4?5的圓圈內(nèi)，使圖中三個(gè)小三角形三條邊上的六個(gè)數(shù)

之和相等。

6.在如圖4-6所示的3義3方格表內(nèi)填入1、2、3這三個(gè)數(shù)字各三次，使得每行

7.把1至6分別填入圖4-7的六個(gè)圓圈內(nèi)，使得每個(gè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)之和

都為都

8.把1至6分別填入圖4-8的六個(gè)方格內(nèi)，使得橫行三個(gè)數(shù)之和與豎列四個(gè)數(shù)

之和相等.這個(gè)和最大是多少？最小是多少？

9.把1至7這七個(gè)數(shù)分別填入圖4-9中各圓圈內(nèi)，使每條直線上三個(gè)圓圈內(nèi)所

填數(shù)之和都相等，如果中心圓內(nèi)填入數(shù)相等，那么就視為同一種填法，請(qǐng)寫出

所有可能的填法。

10.在圖4.10的6個(gè)圓圈內(nèi)分別填入不同的自然數(shù)，使得每一個(gè)數(shù)都是與它相連

的上面兩個(gè)數(shù)之和，那么最下面那個(gè)數(shù)最小是幾？

拓展篇

1.將1至9分別填入圖4-11中的圓圈內(nèi)，可以使得圖中所有三角形（共七個(gè)）

的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)之和都等于15.現(xiàn)在己經(jīng)填好了其中三個(gè)，請(qǐng)你在圖中填出

剩下的數(shù).

2.在圖4-12中的八個(gè)圓圈內(nèi)分別填入八個(gè)不同的自然數(shù)，使得正方形每條邊上

三個(gè)數(shù)的和相等.現(xiàn)在如果已經(jīng)填好了五個(gè)數(shù)，那么每條邊上各數(shù)之和應(yīng)該是多

少？并將其補(bǔ)充完整。

圖4-12

3.圖4?13是由四個(gè)交疊的長(zhǎng)方形組成的，在交點(diǎn)處有八個(gè)小圓圈.請(qǐng)你把1、2、

3、4、5、6、7、8這八個(gè)自然數(shù)分別填入這些小圓圈內(nèi)，使得每個(gè)長(zhǎng)方形上的

四個(gè)數(shù)之和都相等。

4.在圖4-14中的方格內(nèi)填入三個(gè)0、兩個(gè)2、兩個(gè)3、兩個(gè)4,使得每個(gè)箭頭所

指的列中各方格內(nèi)數(shù)字之和都是6,并且使得從上到下第二行與第三行的數(shù)字之

和都是7.

5.請(qǐng)?jiān)趫D小15的每個(gè)小圓圈內(nèi)填入1或2,使得每個(gè)大圓圈上四個(gè)數(shù)之和兩兩不同,

那么所填數(shù)的總和是多少？

6.把1至8分別填入圖小￡的人工4圈內(nèi)，使得任意鱉建段直接投連的圓圈

內(nèi)的數(shù)字之差都不等于F.綠

7.在圖4.17的七個(gè)圓圈內(nèi)填入七個(gè)連續(xù)自然數(shù)，使得每?jī)蓚€(gè)相鄰圓圈內(nèi)所填數(shù)

之和都等于它們連線上的己知數(shù).請(qǐng)問(wèn)：標(biāo)有★的圓圈內(nèi)填的數(shù)是多少？

8.小悅是8月11日15點(diǎn)整出生的，她想把1,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)填

入圖4?18的七個(gè)方框里，每個(gè)數(shù)只填一次，使三條直線上的三個(gè)數(shù)之和恰好是

8,11,15,問(wèn)：在圓上的三個(gè)數(shù)的乘積最大可能是多少？

9.把1至6這六個(gè)數(shù)字填入圖4-19六個(gè)圓圈內(nèi)，使得三角形每條邊上三個(gè)數(shù)之

和都相等，那么這個(gè)和最小是多少？最大是多少？

10.把1至11填入圖4-20中“六一”圖形的十一個(gè)空格內(nèi)，使得每一條直線上的

兩個(gè)或三個(gè)數(shù)之和都相等。

11.請(qǐng)將1至6填入圖4.21的六個(gè)圓圈內(nèi)，使得四條直線上的數(shù)字之和都相等。

12.如圖4-22,有一座長(zhǎng)方形城堡，四周有十個(gè)掩體，守城的士兵有十件武器,

各種武器的威力數(shù)如下表.為了使城堡四條邊上的武器威力總數(shù)都相同，并且盡

量大，應(yīng)如何在十個(gè)掩體中配備武器？

武器手槍步槍自動(dòng)步槍沖鋒槍輕機(jī)槍

威力數(shù)12345

武器重機(jī)槍迫擊炮火箭筒加農(nóng)炮榴彈炮

威力數(shù)678910

超越篇

1.如圖4.23,四個(gè)圓共被分成十二個(gè)區(qū)域，其中已有六個(gè)區(qū)域內(nèi)填有數(shù)，請(qǐng)將

1至12中的另六個(gè)數(shù)填入其他區(qū)域內(nèi)，使得每個(gè)圓中四個(gè)數(shù)之和都是28.

2.如圖4.24,請(qǐng)?jiān)谌齻€(gè)圓圈內(nèi)分別填入三個(gè)數(shù)，使得每條直線上三個(gè)數(shù)之和都

等于大圓上三個(gè)數(shù)之和.

3.把1至8填入圖4?25中正方體八個(gè)頂點(diǎn)處的圓圈內(nèi)，使得正方體每個(gè)面上的

四個(gè)數(shù)之和都相等。

4.把1至12分別填入圖4-26所示六角星圖案的十二個(gè)圓圈內(nèi)，使得每條直線

上四個(gè)數(shù)之和都相等.現(xiàn)在已經(jīng)填好了六個(gè)數(shù)，那么每條直線上各數(shù)之和應(yīng)該是

多少？并把下圖補(bǔ)充完整

5.把1至8填入圖4.27的八個(gè)圓圈內(nèi)，使得每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字之和相

等，且小正方形頂點(diǎn)的數(shù)字之和膽罐顛點(diǎn)的數(shù)字之和I

6.圖4-28中一共有6條線段，請(qǐng)將九個(gè)連續(xù)的自然數(shù)（其中一個(gè)是6）填入其

中的九個(gè)圓圈內(nèi)，使得每條直線上圓圈內(nèi)的數(shù)加起來(lái)都等于23.

7.如圖4?29,5X5的方格表被分成了五塊，請(qǐng)你在每格中填入1、2、3、4、5

」和2）,使得每行、每列、每條對(duì)角線

圖4-29圖4-30

8.圖4-30是奧林匹克五環(huán)標(biāo)志，五個(gè)圓內(nèi)共分成了九個(gè)部分，請(qǐng)?jiān)谶@九個(gè)部分

中填入1至9這九個(gè)數(shù)，使得每個(gè)圓環(huán)內(nèi)的各數(shù)之和都相等，請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)和最

大是多少？最小是多少？

第5講豎式問(wèn)題

內(nèi)容概述

以字母或漢字表示數(shù)字的豎式問(wèn)題，學(xué)會(huì)選擇適當(dāng)?shù)耐黄瓶冢⒅鸩浇鉀Q問(wèn)題;

能夠?qū)⑽淖謹(jǐn)⑹龅念}目轉(zhuǎn)化為數(shù)字謎形式，便于直觀地解決問(wèn)題。

典型問(wèn)題

興趣篇

1.如圖5/所示，每個(gè)英文字母代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，其

AAB

中“G”代表“5”，代表“9”，“D”代表“0”，+代聲汴"呼“I”

代表的數(shù)字是多少？一丁DHI

圖5-1

2.(1)在圖5-2的加法豎式中，不同的漢字代表不同的數(shù)字，相同的漢字代表

相同的數(shù)字，那么每個(gè)漢字各代表什么數(shù)字？

⑵在圖5-3的減法豎式中仁念歐盟耳室集一不眄電算寶二也則勺證^

的數(shù)字，那么每個(gè)漢字各代,

3.在圖5-七的擘式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)

數(shù)子謎

字，如果23+解+數(shù)+字+謎=30,那么“

北京奧運(yùn)

4.圖5.5所示的豎式中，每個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字,

那么“”代表的四位數(shù)是多少?

5.已知圖5-6所示的乘法豎式成立，那么A8C0E是多少?

6.(1)在圖5-7的豎式中，相同的符號(hào)代表相同的數(shù)字，不同的符號(hào)代表不同的

數(shù)字，那么☆、△、。分別代表什么數(shù)字？

(2)在圖5-8的豎式中，相同的符號(hào)代表相同的數(shù)字,

字，那么☆、△、O分別代表什么數(shù)字？小八也

曼、「逢【

7.如圖5?9,相同的字母表示相同的數(shù)字，不同的字母表示不同的數(shù)字，那么十

個(gè)方框中數(shù)字之和是多少？

8.在圖5-10和圖5-11中的方格內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列除法豎式成立.

9.在圖5-12所示的除法豎式中填入合適的數(shù)字，使得豎式成立，那么其中的商

是多少?

10.有一個(gè)四位數(shù)，它乘以9后所得乘積恰好是將原來(lái)的四位數(shù)各位數(shù)字順序顛

倒而得的新四位數(shù)，求原來(lái)的四位數(shù).

拓展篇

1.在圖5?13和5?14中，相同的漢字代表相同的數(shù)字」不同的漢字代表不同的數(shù)字,

2.如圖5?15,在這個(gè)算式中，相同的字母代夫

同的數(shù)字，那么數(shù)字A、B、C分別超

3.在圖5?16的豎式中，相同的字母表示相同的數(shù)字，不同的字母表示不同的數(shù)

字，并且A<B<C<D.問(wèn)：豎式中的和是多少？

4.舍他翩豎式中‘相同的漢字表示相同的數(shù)字’不同的漢字表示貓魯數(shù)

字，那么“”所代表的七位數(shù)是多少?

5.小悅寫了一個(gè)四位數(shù)，冬冬把這個(gè)四位數(shù)的個(gè)位抹掉，變成了一個(gè)三位數(shù)，

阿奇又把這個(gè)三位數(shù)的個(gè)位抹掉，變成了一個(gè)兩位數(shù)，最后把這三個(gè)數(shù)加起來(lái),

結(jié)果剛好是7826.小悅原來(lái)寫的四位數(shù)是多少？

6.一個(gè)各位數(shù)字互不相同的三位數(shù)，用它的三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)最大的三位數(shù)，

再用這三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)最小的三位數(shù)，組成的這兩個(gè)三位數(shù)之差正好是原來(lái)

的三位數(shù).求原來(lái)的三位數(shù).

7.(1)一個(gè)自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字是4,將這個(gè)4移到左邊首位數(shù)字前面，所構(gòu)成的

新數(shù)恰好是原數(shù)的4倍，那么原數(shù)最小是多少？

(2)一個(gè)五位數(shù)，將它的各位數(shù)字順序顛倒就可以得到一個(gè)新的五位數(shù)，而且這

個(gè)新的五位數(shù)恰好是原數(shù)的4倍，那么原來(lái)的五位數(shù)是多少/

8.如圖5-18,每一個(gè)英文字母代表0,

表不同的數(shù)字，則字母A、Q、T、R、

9.圖5-19中的豎式里，“江”、“峽”、“美”三個(gè)漢字分別代表三個(gè)各不相同的

數(shù)字，請(qǐng)把這個(gè)豎式寫出來(lái).

10.請(qǐng)把如圖5-20所示的除法豎式中空缺的數(shù)字補(bǔ)上，其中的商是多少?

口口□□□

6□□□)□口方□□口

□□7口7

□□□□~□7□

□□61□□□

07

圖5-20S5-21

11.請(qǐng)把圖5-21中的除法豎式補(bǔ)充完整。

12.在圖5?22的字母豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，請(qǐng)?zhí)钔@個(gè)豎式.

超越篇

1.圖5-23是一個(gè)加法豎式，其中E、.F、I、N、O、R、S、T、X

9中的不同數(shù)字，且F、S不等倡，這蹩的結(jié)果是多少

2.澳門的拼音和英語(yǔ)寫法為AOMEN及MACAO,我們規(guī)定這些字母表示1

至9中的不同數(shù)字，那么圖5-24中豎式的計(jì)算結(jié)果最大是多少?

3.華羅庚在與錢三強(qiáng)、趙九章等幾位科學(xué)家聚會(huì)時(shí)對(duì)了一副美妙的對(duì)聯(lián)；三強(qiáng)

韓趙魏，九章色股弦.“三強(qiáng)”不但指戰(zhàn)國(guó)三強(qiáng)，還體現(xiàn)了錢三強(qiáng)的名字；“九

章”既指記錄勾股定理的數(shù)學(xué)著作，又體現(xiàn)了趙九章的名字，我們來(lái)用這副有

趣的對(duì)聯(lián)做下面的題目：

(1)在圖5-25的豎式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)

字，如果“三”代表3,“九”代表9,請(qǐng)將豎式補(bǔ)充完整.(只需要找出一種解答)

(2)在圖5-26的豎式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代霹j司的

數(shù)字，如果"”代表345,請(qǐng)將豎式補(bǔ)充完整.圖港蹩唱盤震

4.在圖5-27的豎式中，相同的字母表示相同的數(shù)字，不同的字母表示不同的數(shù)

字，那么A8CDEFG所代表的七位數(shù)是多少?

5.請(qǐng)把圖5.28中的除法豎式補(bǔ)充完

■ft

6.在圖5-29所示的除法豎式中，相同的字母表示相同的數(shù)字，不同的字母表示

不同的數(shù)字，請(qǐng)問(wèn)：被除數(shù)是多少？

7.在圖5-30的乘法豎式中，“二”代表除以3余2的數(shù)字，即2、5、8中的一

個(gè)；“一”代表除以3余1的數(shù)字，即1、4、7中的一個(gè)；“零”代表除以3余0

的數(shù)字，即0、3、6、9中的一個(gè)，請(qǐng)?zhí)畛鲞@個(gè)豎式.

蟋

8.在圖5-31的加法豎式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同

的數(shù)字，其中W=0.請(qǐng)用合適的數(shù)字替換字母，使得豎式成立.

第6講行程問(wèn)題一

內(nèi)容概述

掌握速度、路程、時(shí)間的概念，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，掌握基本相遇問(wèn)題

和基本追及問(wèn)題的解法；學(xué)會(huì)用比較的方法分析同一段路程上不同的運(yùn)動(dòng)過(guò)程.

重點(diǎn)掌握畫線段圖的分析方法.

典型問(wèn)題

興趣篇

1.A、B兩城相距240千米，一輛汽車原計(jì)劃用6小時(shí)從A城到B城，那么汽

車每小時(shí)應(yīng)該行駛多少千米？實(shí)際上汽車行駛了一半路程后發(fā)生故障，在途中

停留了1小時(shí),如果要按照原定的時(shí)間到達(dá)B城，汽車在后一半路程上每小時(shí)應(yīng)

該行駛多少千米？

2.A、B兩地相距4800米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行,

如果甲每分鐘走60米，乙每分鐘走100米，請(qǐng)問(wèn)：

(1)甲從A走到B需要多長(zhǎng)時(shí)間？

(2)兩個(gè)人從出發(fā)到相遇需要多長(zhǎng)時(shí)間？

3.在第2題中，如果甲、乙兩人的速度大小不變，但甲出發(fā)時(shí)改變方向，即兩

個(gè)人同時(shí)、同向出發(fā).請(qǐng)問(wèn)：乙出發(fā)后多久可以追上甲？

4.甲、乙兩地相距350千米，一輛汽車在早上8點(diǎn)從甲地出發(fā)，以每小時(shí)40千

米的速度開往乙地，2小時(shí)后另一輛汽車以每小時(shí)50千米的速度從乙地開往甲

地.問(wèn)：什么時(shí)候兩車在途中相遇？

5.小悅和冬冬分別從相距720米的兩地出發(fā)同向而行，且冬冬比小悅先出發(fā)2

分鐘，已知小悅的速度是每分鐘60米，冬冬的速度為每分鐘50米，試問(wèn)：當(dāng)

小悅追上冬冬的時(shí)候，冬冬已經(jīng)走了多少米？

6.一輛公共汽車和一輛小轎車從相距350千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，公

共汽車每小時(shí)行40千米，小轎車每小時(shí)行60千米，問(wèn)：

(1)2小時(shí)后兩車相距多少千米？

(2)經(jīng)過(guò)幾小時(shí)后兩車第一次相距50千米？

7.一輛公共汽車和一輛小轎車從相距300千米的兩地同時(shí)出發(fā)，同向而行，公共

汽車在前，每小時(shí)行40千米；小轎車在后，每小時(shí)行60千米，問(wèn)：

(1)經(jīng)過(guò)6小時(shí)后兩車相距多少千米？

(2)經(jīng)過(guò)幾小時(shí)后兩車第一次相距100千米？

8.甲、乙兩人分別在A地和B地，甲從A地到B地需要20分鐘，乙從B地到

A地需要30分鐘，如果兩個(gè)人同時(shí)出發(fā)相向而行，多長(zhǎng)時(shí)間可以相遇？

9.甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，已知甲車每小時(shí)行駛40千

米，兩車6小時(shí)后相遇，相遇后它們繼續(xù)前進(jìn)，又過(guò)了3小時(shí)，甲車到達(dá)B地,

問(wèn)：乙車還要過(guò)多久才能到達(dá)A地？

10.甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，已知甲每分鐘走50米，

乙走完全程要18分鐘，出發(fā)3分鐘后，甲、乙仍相距450米，問(wèn)：還要過(guò)多少

分鐘，甲、乙兩人才能相遇？

拓展篇

I.甲、乙兩地相距450千米，快車和慢車分別從甲、乙兩地出發(fā)相向而行，快

車每小時(shí)行60千米，慢車每小時(shí)行30千米，試問(wèn)：

(1)如果兩車同時(shí)出發(fā)，幾小時(shí)后相遇？

(2)如果慢車比快車早出發(fā)3小時(shí)，當(dāng)兩車相遇時(shí)快車走了多遠(yuǎn)?

2.A、B兩地相距400千米,甲、乙兩車分別從A、B同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲

車的速度為每小時(shí)60千米，乙車的速度為每小時(shí)40千米，請(qǐng)問(wèn):

(1)從出發(fā)算起，多久后甲、乙兩車第一次相距100千米？

(2)從出發(fā)算起，多久后甲、乙兩車第二次相距100千米？

3.甲、乙兩架飛機(jī)同時(shí)從機(jī)場(chǎng)起飛，向同一方向飛行，甲每小時(shí)飛行300千米,

乙每小時(shí)飛行340千米，4小時(shí)后它們相距多少千米？這時(shí)甲提高速度打算用2

小時(shí)追上乙，那么甲每小時(shí)應(yīng)該飛行多少千米？

4.冬冬步行上學(xué)，每分鐘行75米，冬冬離家12分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶文

具盒，馬上騎自行車去追，每分鐘行375米，求爸爸追上冬冬所需要的時(shí)間隔。

5.小轎車和大貨車上午9點(diǎn)同時(shí)同向從甲地出發(fā)，小轎車每小時(shí)開60千米，大

貨車每小時(shí)開48千米，請(qǐng)問(wèn)：下午幾點(diǎn)的時(shí)候小轎車領(lǐng)先大貨車72千米/

6.一輛公共汽車早上6點(diǎn)從A城出發(fā)，以每小時(shí)40千米的速度向B城駛?cè)ィ?

小時(shí)后一輛小轎車以每小時(shí)75千米的速度也從A城出發(fā)到B城，當(dāng)小轎車到達(dá)

B城后，公共汽車離B城還有160千米，問(wèn)：公共汽車什么時(shí)候到達(dá)B城？

7.甲、乙兩車同時(shí)從東、西兩地出發(fā)，相向而行，甲每小時(shí)行36千米，乙每小

時(shí)行30千米，兩車在距離中點(diǎn)9千米處相遇，求東、西兩地間的距離。

8.小悅一家開車去外地旅游，原計(jì)劃每小時(shí)行駛45千米，實(shí)際上，由于高速公

路堵車，汽車每小時(shí)只行駛30千米，這樣就晚到了2小時(shí)，請(qǐng)問(wèn)：小悅一家在

路上實(shí)際花了幾個(gè)小時(shí)？

9.甲從A地出發(fā)去B地辦事情，下午1點(diǎn)出發(fā)，晚上7點(diǎn)準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，如果他想

下午2點(diǎn)出發(fā)，晚上7點(diǎn)準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，每小時(shí)就必須多行2千米，求A、B兩地之

間的距離.

10.甲、乙兩人分別在A、B兩地同時(shí)出發(fā)，如果相向而行，1小時(shí)后兩人相遇,

如果同向而行，3小時(shí)后甲追上乙，問(wèn)：甲的步行速度是乙的幾倍？

11.甲、乙兩人分別由A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，A、B兩地相距48千米,

甲的速度是乙的3倍，請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)甲、乙相遇的時(shí)候，甲走了多遠(yuǎn)？

12.獵狗追兔子，獵狗的速度是兔子的2倍，兔子徑直往兔洞里跑，獵狗則緊隨

其后.現(xiàn)在，獵狗距離洞口還有1000米，當(dāng)獵狗跑到兔子現(xiàn)在的位置時(shí)，兔子

距離洞口將還剩100米，問(wèn)：現(xiàn)在兔子距離洞口多少米？最終兔子會(huì)被獵狗追

上嗎？

超越篇

L小悅、冬冬騎車從甲地同時(shí)出發(fā)，同向而行，小悅的速度比冬冬的速度每小

時(shí)快4千米，因此小悅比冬冬早20分鐘通過(guò)途中的乙地，當(dāng)冬冬到達(dá)乙地時(shí)，

小悅又前進(jìn)了8千米，求甲、乙兩地之間的距離.

2.甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，6小時(shí)后相遇在中點(diǎn)，如果甲延遲1

小時(shí)出發(fā)，乙每小時(shí)少走4千米，兩人仍在中點(diǎn)相遇，請(qǐng)問(wèn)：甲、乙兩地相距

多少千米？

3.冬冬平時(shí)每天上學(xué)都是先步行10分鐘后再跑步2分鐘，某天他步行6分鐘后

就開始跑步，結(jié)果比平時(shí)早到了2分鐘，請(qǐng)問(wèn)：冬冬跑步的速度是步行速度的

幾倍？

4.阿奇家離學(xué)校1000米，平時(shí)他步行25分鐘后準(zhǔn)時(shí)到校，有一天他晚出發(fā)10

分鐘，為避免遲到，阿奇先乘公共汽車，然后步行，結(jié)果仍然準(zhǔn)時(shí)到校，已知

公共汽車的速度是阿奇步行速度的6倍，請(qǐng)問(wèn)：阿奇這天上學(xué)步行了多少米？

5.甲、乙兩車分別從A、B兩站同時(shí)出發(fā)，相向而行，已知：甲車速度是乙車

的2倍，甲、乙到達(dá)途中C站的時(shí)刻依次為5：00和17：00.問(wèn)：兩車是在幾

點(diǎn)相遇的？

6.甲、乙兩人分別由A、B兩地同時(shí)出發(fā)，如果相向而行，1小時(shí)后兩人相遇:

如果同向而行，且乙先出發(fā)2小時(shí)，那么甲3小時(shí)后追上乙.請(qǐng)問(wèn)：甲的速度是

乙的幾倍？

7.如圖6?1所示，一條筆直的公路上有有個(gè)車站A1,A2,A3……A16,已知相

鄰兩站之間的距離都相等，有一天，甲、乙、丙三人都要從第1站去第16站.甲

先出發(fā)，當(dāng)甲到達(dá)第2站時(shí)，已出發(fā)，當(dāng)乙到達(dá)第3站時(shí)丙出發(fā)，如果丙在第4

站追上乙，甲和丙同時(shí)到達(dá)第16站，那么甲的速度是乙的速度的幾倍？

8.甲、乙兩人分別從相距24千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)同向而行，一段時(shí)間后

甲在C點(diǎn)追上乙，如果甲每小時(shí)多走1千米，而乙每小時(shí)少走1千米，則甲追

上乙的時(shí)間會(huì)少用2小時(shí)，且追上的地點(diǎn)與C點(diǎn)相距12千米，試問(wèn)：如果甲、

乙兩人以原速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，需要幾個(gè)小時(shí)相遇？

第7講

第8講抽屜原理一

內(nèi)容概述

理解抽屜原理的基本含義，并能利用抽屜原理對(duì)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行說(shuō)明，在考

慮某些問(wèn)題時(shí)，需要利用最不利原則進(jìn)行分析.

典型問(wèn)題

興趣篇

1.學(xué)校周末要組織四個(gè)班的同學(xué)去春游，有三個(gè)地點(diǎn)可供選擇：石景山游樂(lè)園、

植物園和動(dòng)物園，如果一個(gè)班只能去一個(gè)地點(diǎn)，試說(shuō)明：一定有兩個(gè)班要去同

一個(gè)地點(diǎn).

2.小悅，冬冬和阿奇到費(fèi)步步家玩，費(fèi)叔叔拿出許多巧克力來(lái)招待他們，他們

一數(shù)，共有19塊巧克力，如果把這些巧克力分給他們?nèi)?，試說(shuō)明：一定有人

至少拿到7塊巧克力，但不一定有人拿到8塊.

3.任意40個(gè)人中，至少有幾個(gè)人屬于同一生肖？

4.有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的小珠子放在同一個(gè)口袋里，每種顏色的珠子都

足夠多，一次至少要取幾顆珠子，才能保證其中一定有兩顆顏色相同？

5.某校的小學(xué)生中，年齡最小的6歲，最大的13歲，從這個(gè)學(xué)校中至少選幾個(gè)

學(xué)生，就能保證其中一定有三個(gè)學(xué)生的年齡相同？

6.有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的鉛筆各10支，拿的時(shí)候不許看鉛筆的顏色，那

么一次至少要拿多少支，才能保證其中一定有4支是同一種顏色的鉛筆？

7.口袋里裝有紅、黃、藍(lán)、綠這4種顏色的球，且每種顏色的球都有4個(gè)，小

華閉著眼睛從口袋里往外摸球，那么他至少要摸出多少個(gè)球，才能保證摸出的

球中每種顏色的球都有？

8.一副撲克牌共54張，其中有2張王牌，還有黑桃、紅心、草花和方塊4種花

色的牌各13張，那么：

（1）至少?gòu)闹忻龆嗌購(gòu)埮?，才能保證在摸出的牌中有黑桃？

（2）至少?gòu)闹忻龆嗌購(gòu)埮?，才能保證至少有3張牌是紅桃？

（3）至少?gòu)闹忻龆嗌購(gòu)埮疲拍鼙ＷC有5張牌是同一花色的？

9.把40塊巧克力放入A、B、C、D四個(gè)盒子內(nèi)，如圖8-1,A盒中放的最多,

放了13塊，且四個(gè)盒子內(nèi)裝的巧克

B

困8-1

（1）D盒最少可以裝幾塊?

（2）D盒最多可以裝幾塊?

10.圓桌周圍恰好有12把椅子，現(xiàn)在已經(jīng)有一些人在桌邊就坐，當(dāng)再有一人入

座時(shí)，就必須和已就坐的某個(gè)人相鄰，問(wèn)：已就坐的最少有多少人？

拓展篇

1.紅領(lǐng)巾小學(xué)今年入學(xué)的一年級(jí)新生中有370人是在同一年出生的.試說(shuō)明：

他們中一定有兩個(gè)人是在同一天出生的.

2.某公司決定派95名員工去8個(gè)不同的城市進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)查，是不是一定有12個(gè)

人會(huì)去同一城市？“一定有13個(gè)人去同一城市”這個(gè)說(shuō)法正確嗎？

3.一個(gè)盒子內(nèi)有四個(gè)格子，現(xiàn)在我們閉著眼睛，把棋子往格子里“瞎放”（沒(méi)有

放到格子外的），那么至少要放多少枚棋子，才能保證一定有兩枚棋子放在同一

格內(nèi)？

4.一個(gè)魚缸里有很多條魚，共有5個(gè)品種，至少要撈出多少條魚，才能保證其

中有5條相同品種的魚?

5.冬冬把一副圍棋子混裝在一個(gè)盒子中，然后每次從盒子中摸出4枚棋子，那

么他至少要摸幾次，才能保證其中有三次摸出棋子的顏色情況是相同的？(圍

棋子有黑、白兩種顏色)

6.在一個(gè)盒子里裝著形狀相同的3種口味的果凍，分別是蘋果口味的、草莓口

味的和牛奶口味的，每種果凍都有20個(gè)，現(xiàn)在閉著眼睛從盒子里拿果凍.請(qǐng)問(wèn)：

(1)至少要從中拿出多少個(gè)，才能保證拿出的果凍中有牛奶口味的？

(2)至少要從中拿出多少個(gè)，才能保證拿出的果凍中至少有兩種口味？

7.一個(gè)布袋里有大小相同顏色不同的一些木球，其中紅色的有10個(gè)，黃色的有

8個(gè)，藍(lán)色的有3個(gè)，綠色的有1個(gè)，請(qǐng)問(wèn)：

(1)一次至少要取出多少個(gè)球，才能保證取出的球至少有三種顏色？

(2)一次至少要取出多少個(gè)球，才能保證其中必有紅球和黃球？

8.一副撲克牌共54張，其中有2張王牌，還有黑桃、紅心、草花和方塊4種花

色的牌各13張，現(xiàn)在要從中隨意取出一些牌，如果要保證在取出來(lái)的牌中至少

包含三種花色，并且這三種花色的牌至少都有3張，那么最少要取出多少?gòu)埮疲?/p>

9.黑色、白色、黃色、紅色的筷子各有8根，混雜放在一起，在黑暗中取出一

些筷子.要使得這些筷子能夠搭配出兩雙筷子（兩根筷子顏色相同即為一雙），

那么最少要取多少根才能保證達(dá)到要求？

10.將1只白襪子、2只黑襪子、3只紅襪子、8只黃襪子和9只綠襪子放入一

個(gè)布袋里，請(qǐng)問(wèn)：

（1）一次至少要摸出多少只襪子才能保證一定有顏色相同的兩雙襪子？

（2）一次至少要摸出多少只襪子才能保證一定有顏色不同的兩雙襪子？（兩只

襪子顏色相同即為一雙）

11.31個(gè)同學(xué)圍成一個(gè)圓圈，坐好后發(fā)現(xiàn)任何兩個(gè)男生之間至少有兩個(gè)女生，那

么男生最多有多少人？

12.現(xiàn)有10把鑰匙分別能開10把鎖，但是不知道哪把鑰匙能開哪把鎖.最少要

試驗(yàn)多少次才能保證使全部的鑰匙和鎖相匹配？

超越篇

1.體育館里有足球、籃球和排球3種球，一個(gè)班的50名學(xué)生去借球，每人最少

借1個(gè)，最多可以借2個(gè)，請(qǐng)問(wèn)：最少有多少名學(xué)生借到球的數(shù)量和種類完全

一樣？

2.把31個(gè)桃子分給若干只猴子，每只猴子分得的桃子不超過(guò)3個(gè)，那么至少有

幾只猴子得到的桃子一樣多？

3.有37個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)為?；?.要求：當(dāng)把這些數(shù)以任意的方式排列在圓周上

時(shí)，總能找到6個(gè)1連排在一起，問(wèn)：其中最少有多少個(gè)數(shù)是1?

4.有一個(gè)大口袋，里面裝著許多球，每個(gè)球上寫著一個(gè)數(shù)字，其中寫0的有1

個(gè)，寫1的有2個(gè)，寫2的有3個(gè)，……，寫9的有10個(gè).如果閉著眼睛從袋

中取球，那么至少要取出多少個(gè)球，才能保證取出的球中必有3個(gè)，它們上面

的數(shù)字恰好組成678?（考慮"9”倒過(guò)來(lái)看是“6”）

5.一個(gè)袋子中有三種不同顏色的球共20個(gè)，其中紅球7個(gè)，黃球5個(gè)，綠球8

個(gè)，現(xiàn)在阿奇閉著眼睛從中取球，要保證有一種顏色的球不少于4個(gè)，則至少

要取出多少個(gè)球才能滿足要求？如果還要保證另一種顏色的球不少于3個(gè)，則

至少要取出多少個(gè)球？

6.50個(gè)蘋果分給8個(gè)小朋友，那么分到蘋果最多的小朋友至少分到多少個(gè)？如

果1號(hào)小朋友最多給2個(gè)，2號(hào)最多給4個(gè)，3號(hào)最多給6個(gè)，……8號(hào)最多給

16個(gè)，那么得到蘋果最多的小朋友至少分到多少個(gè)？

7.888名學(xué)生站成一個(gè)圓圈，如果任意連續(xù)32人中，至多有9名男生，那么男

生的人數(shù)最多有多少人？

8.新春佳節(jié)，商場(chǎng)舉辦抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱中有五種不同顏色的獎(jiǎng)券，分別有32、

30、28、26、24張，每次可以抽出任意多張，但每抽出一張就要付2