2025年中考數學一輪復習講義 第08講 一元一次不等式（組）及其應用（練習）（解析版）

第08講一元一次不等式（組）及其應用目錄TOC\o"1-2"\n\p""\h\z\u題型01利用不等式的性質判斷式子正負題型02根據點在數軸的位置判斷式子正負題型03利用不等式的性質比較大小題型04利用不等式的性質確定參數的取值范圍題型05不等式性質的應用題型06求一元一次不等式解集題型07利用數軸表示一元一次不等式解集題型08一元一次不等式整數解問題題型09根據含參數不等式解集的情況求參數的取值范圍與一元一次不等式有關的新定義問題題型11含絕對值的一元一次不等式題型12解一元一次不等式組題型13求不等式組整數解題型14由不等式組整數解求字母的取值范圍題型15由不等式組的解集求參數題型16由不等式組有關的新定義問題題型17根據程序圖解不等式組題型18不等式組與方程的綜合題型19利用一元一次不等式解決實際問題題型20利用一元一次不等式組解決實際問題題型01利用不等式的性質判斷式子正負1．（2021·浙江麗水·統考中考真題）若-3a>1，兩邊都除以-A．a<-13 B．a>-13【答案】A【分析】利用不等式的性質即可解決問題．【詳解】解：-3兩邊都除以-3，得a故選：A．【點睛】本題考查了解簡單不等式，解不等式要依據不等式的基本性質：（1）不等式的兩邊同時加上或減去同一個數或整式不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數不等號的方向改變．2．（2021·江蘇泰州·?？寄M預測）下列說法不正確的是（

）A．若a<b，則ax2<C．若a>b，則1-a<1-b【答案】A【分析】利用不等式的性質逐項判斷，得出答案即可．【詳解】解：A、若a<b，則axB、若a>b，則C、若a>b，則D、若a>b，則故選：A．【點睛】此題考查不等式的性質，解題關鍵是熟記不等式的性質：性質1、不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式，不等號的方向不變．性質2、不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變．性質3、不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數，不等號方向改變．3．（2022·內蒙古包頭·中考真題）若m>n，則下列不等式中正確的是（A．m-2<n-2 B．-1【答案】D【分析】根據不等式的性質：不等式的兩邊都加（或減）同一個數，不等號的方向不變，不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，可得答案．【詳解】解：A、∵m＞n，∴m-B、∵m＞n，∴-1C、∵m＞n，∴m-D、∵m＞n，∴1-2m故選：D．【點睛】本題考查了不等式的性質，不等式的基本性質是解不等式的主要依據，必須熟練地掌握．要認真弄清不等式的基本性質與等式的基本性質的異同，特別是在不等式兩邊同乘以（或除以）同一個數時，不僅要考慮這個數不等于0，而且必須先確定這個數是正數還是負數，如果是負數，不等號的方向必須改變．題型02根據點在數軸的位置判斷式子正負1．（2022·四川內江·統考中考真題）如圖，數軸上的兩點A、B對應的實數分別是a、b，則下列式子中成立的是（）A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0【答案】A【分析】根據數軸得出a＜b，根據不等式的性質對四個選項依次分析即可得到答案．【詳解】解：由題意得：a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴1﹣2a＞1﹣2b，∴A選項的結論成立；∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴B選項的結論不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴1<a<2∴a<∴a+b＞0，∴C選項的結論不成立；∵a∴a-∴D選項的結論不成立．故選：A．【點睛】本題考查數軸、不等式、絕對值的性質，解題的關鍵是熟練掌握數軸、不等式、絕對值的相關知識．2．（2022·北京東城·統考一模）實數a，b在數軸上對應的點的位置如圖所示，下列結論正確的是（

）A．a>b B．-a<b C【答案】D【分析】由數軸可知，-2<a<-1<0<b<1，可判斷A的正誤；根據b<1<-a<2，可判斷B的正誤；根據b<1<【詳解】解：由數軸可知，-2<∴a<b，故∵b<1<-∴-a>b∵b<1<∴a>b，故∵a<-1，a∴a+b<0故選D．【點睛】本題考查了利用數軸比較有理數的大小，根據點在數軸的位置判斷式子的正負，不等式的性質等知識．解題的關鍵在于明確-2<3．（2022·北京平谷·統考二模）實數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（

）A．a<-2 B．a<b C．-【答案】D【分析】先根據數軸的性質可得-2<【詳解】解：由數軸的性質得：-2<A、a>-2B、a>C、-aD、ab>0故選：D．【點睛】本題考查了數軸、絕對值、不等式的性質、有理數的乘法法則，熟練掌握數軸的性質是解題關鍵．題型03利用不等式的性質比較大小1．（2022·廣東深圳·模擬預測）如果m是一個不等于-1的負整數，那么m，1m，-m，-A．m<1mC．-m<-1【答案】B【分析】先求出m和1m的差，根據m的取值范圍確定m和1m的大小關系和正負，再根據不等式的性質確定-m【詳解】解：m-∵m是一個不等于-1∴m<0，m+1<0，m-1<0，∴m+1∴m∴m<∴-m∴m<故選：B．【點睛】本題考查不等式的性質，熟練掌握該知識點是解題關鍵．2．（2022·河北邯鄲·校聯考三模）如果a>b，那么一定有am<bA．－10 B．10 C．0 D．無法確定【答案】A【分析】根據不等式的性質3：不等式兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，進行求解．【詳解】解：對a>b左右兩邊同時除以m，得am故選：A．【點睛】本題考查了不等式的性質，熟練掌握不等式的性質是解題的關鍵．3．（2022·江蘇常州·統考中考真題）如圖，數軸上的點A、B分別表示實數a、b，則1a1b．（填“>”、“=”或【答案】>【分析】由圖可得：1<a【詳解】解：由圖可得：1<a由不等式的性質得：1a故答案為：>．【點睛】本題考查了數軸，不等式的性質，解題的關鍵是掌握不等式的性質．4．（2019·安徽合肥·統考二模）觀察下列不等式：①122<11×2；②根據上述規(guī)律，解決下列問題：（1）完成第5個不等式：___________；（2）寫出你猜想的第n個不等式：_____________(用含n的不等式表示)；（3）利用上面的猜想，比較n+2n+1【答案】（1）162<15×6；（2）1【分析】(1)根據給出的不等式寫出第5個不等式；(2)根據不等式的變化情況找出規(guī)律，根據規(guī)律解答；(3)根據(2)中的規(guī)律計算，即可比較大?。驹斀狻?1)①12②13③14?，則第5個不等式為：16故答案為：16(2)第n個不等式為：1n故答案為：1n+1(3)n+2其理由是：由(2)得：1n+12∴1n∴1n則n+2【點睛】本題考查了數字的變化規(guī)律，不等式的性質，分式的化簡計算，根據給出的不等式正確找出變化規(guī)律是解題的關鍵．5．（2023·浙江舟山·統考三模）觀察：12<1+12+1，13(1)猜想：當0<b<a時，ba______b+1a+1，ba______y=1(2)探究：當0<b<a時，ba與【答案】(1)<，<，<(2)ba【分析】（1）觀察已知條件中的式子規(guī)律，即可猜想得出結論；（2）根據不等式的性質，對0<b<a進行變形，即可得出ba與【詳解】（1）∵12<1+12+1，13∴猜想：當0<b<a時，ba<故答案是<，<，<；（2）ba∵0<b<a∴bn<∴ab+∴ba∴ba【點睛】本題主要考查了不等式的性質，熟練掌不等式的性質，利用性質對式子進行變形是解題的關鍵．6．已知(a+1)(b+2)?(a+1)(c（1）當b=-2,?c=3（2）當a<-2時，比較b和c的大?。?）若當a>-1時，b?c【答案】（1）a≤-1；（2）b<c；（【分析】（1）將b=-2,?c（2）當a<-2時，可知a+1<0，根據不等式的性質可得出b和（3）當a>-1時，可知a+1>0，根據不等式的性質可得b+2b?c-1可知b【詳解】解：（1）將b=-2,0≥(a+1)(3+1)（2）當a<-2時，不等式(a+1)(bb∴b∴b（3）當a>-1時，不等式(a+1)(bb∴b又∵b∴b∴b【點睛】本題考查不等式的基本性質，熟練掌握不等式的基本性質是解題的關鍵.題型04利用不等式的性質確定參數的取值范圍1.若am<an，且m>n，則A．17 B．-7 C．0.7 D【答案】B【分析】根據不等式的性質3得出a＜0，再得出選項即可．【詳解】解：由am＜an得出m＞n是不等式的兩邊都除以a，并且不等號的方向改變了，所以a＜0，∴只有選項B中的-7＜0，選項A、選項C、選項D中的數都大于0，即選項B符合題意，選項A、選項C、選項D都不符合題意，故選：B．【點睛】本題考查了不等式的性質，能熟記不等式的性質是解此題的關鍵，①不等式的性質1：不等式的兩邊都加（或減）同一個數或式子，不等號的方向不變，②不等式的性質2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變，③不等式的性質3：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．2．（2021·山東聊城·統考中考真題）若﹣3＜a≤3，則關于x的方程x＋a＝2解的取值范圍為（

）A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5【答案】A【分析】先求出方程的解，再根據﹣3＜a≤3的范圍，即可求解．【詳解】解：由x＋a＝2，得：x＝2-a，∵﹣3＜a≤3，∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5，故選A．【點睛】本題主要考查解一元一次方程以及不等式的性質，用含a的代數式表示x，是解題的關鍵．3．（2022·江蘇宿遷·統考三模）若不等式mx>3m，兩邊同除以m，得x>3，則m【答案】m【分析】由不等式的基本性質知m>0【詳解】解：若不等式mx>3m，兩邊同除以m，得x則m>0故答案為：m>0【點睛】本題考查了解一元一次不等式，解題的關鍵是掌握不等式的基本性質．題型05不等式性質的應用1．（2021·山東菏澤·統考三模）已知三個實數a，b，c滿足a-2b+cA．b<0，b2-ac≥0 BC．b>0，b2-ac≥0【答案】A【分析】先把a-2b+c=0變形為2b=a+c，然后整體代入a+2b【詳解】解：∵a-∴2b又a+2∴4b∴b<0∵2b∴b=∴b2故選：A.【點睛】此題考查了不等式的性質，完全平方公式等知識點，把b=a+c2．（2022·北京西城·統考一模）葉子是植物進行光合作用的重要部分，研究植物的生長情況會關注葉面的面積．在研究水稻等農作物的生長時，經常用一個簡潔的經驗公式S=abk來估算葉面的面積，其中a，b分別是稻葉的長和寬（如圖1），k是常數，則由圖1可知k1（填“＞”“＝”或“＜”）．試驗小組采集了某個品種的稻葉的一些樣本，發(fā)現絕大部分稻葉的形狀比較狹長（如圖2），大致都在稻葉的47處“收尖”．根據圖2進行估算，對于此品種的稻葉，經驗公式中【答案】>1.27【分析】根據葉面的面積<矩形的面積，即S=abk<ab，可求k>1；根據S葉子=【詳解】解：∵葉面的面積<矩形的面積，即S<ab∴S=abk∴k>1，∵S葉子S∴112∴k=故答案為：>，1.27．【點睛】本題考查了數據的處理和應用，涉及不等式的性質，方程等知識，理清題意，找到相等關系是解題的關鍵．3．（2022上·浙江溫州·八年級統考期中）若a>b，且6-xa<【答案】x【分析】根據不等式的基本性質解答即可．【詳解】解：∵a>b∴6-x解得x>6故答案為：x>6【點睛】本題考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性質是解答本題的關鍵．4．（2023下·江蘇南京·九年級南京鐘英中學?？茧A段練習）已知實數a，b滿足a2+b2=3+【答案】22【分析】將2a-3b2+a+2ba-2b化簡可得5【詳解】解：2=4=5將a2+b將a2+b得：a2+b∵a∴3+3ab≥0，即ab≥-1∴15-7∴原式的最大值為22．故答案為：22．【點睛】本題考查了完全平方公式，平方差公式，不等式的性質，根據完全平方公式得出ab的取值范圍是解題的關鍵．題型06求一元一次不等式解集1．（2022·浙江金華·統考中考真題）解不等式：2(3x【答案】x【分析】按照解不等式的基本步驟解答即可．【詳解】解：2(3x6x6x5x∴x>1【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握不等式解法的基本步驟是解題的關鍵．2．（2022·四川攀枝花·統考中考真題）解不等式：12(【答案】x【分析】按照去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1的步驟解答即可．【詳解】解：1去分母，得3(x去括號，得3x移項、合并同類項，得15x化系數為1，得x<【點睛】此題考查了一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題的關鍵．題型07利用數軸表示一元一次不等式解集1．（2022·遼寧沈陽·統考模擬預測）不等式2x+1>3的解集在數軸上表示正確的是（A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先解不等式，將不等式的解集表示在數軸上即可．【詳解】解：2移項合并得：2x系數化1得：x>1表示在數軸上為∶

故選：B．【點睛】本題考查一元一次不等式的解法，并把解集表示在數軸上，正確解出不等式是解答本題的關鍵．2．（2022·廣西·中考真題）解不等式2x＋3≥－5，并把解集在數軸上表示出來．【答案】原不等式的解集為x≥-4【分析】通過移項，合并同類項及不等式的兩邊同時除以2，進行求解并把解集在數軸上表示出來即可．【詳解】移項，得2x合并同類項，得2x不等式的兩邊同時除以2，得x≥-4所以，原不等式的解集為x≥-4如圖所示：．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，及將解集在數軸上表示出來，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關鍵．3．（2022上·江蘇蘇州·七年級統考期末）解不等式x-【答案】x＞135，【分析】根據解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1可得．【詳解】解：去分母，得：3（x﹣1）＜2（4x﹣5）﹣6，去括號，得：3x﹣3＜8x﹣10﹣6，移項，得：3x﹣8x＜﹣10﹣6+3，合并同類項，得：﹣5x＜﹣13，系數化為1，得：x＞135將不等式的解集表示在數軸上如下：【點睛】本題主要考查解一元一次不等式，解不等式的基本步驟是解題的關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數不等號方向要改變．題型08一元一次不等式整數解問題1．（2023·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學?？级＃┎坏仁?3x>-9【答案】2【分析】先求出不等式的解集，然后根據解集求其正整數解．【詳解】解：∵-3∴x<3∴正整數解是：1，2；共2個，故答案為：2【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法，解不等式的步驟有：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化成1，注意，系數化為1時要考慮不等號的方向是否改變．2．（2022上·廣東梅州·九年級校考開學考試）已知關于x的不等式2m(1)當m=1(2)m取何值時，該不等式有解，并求出其解集【答案】(1)1(2)當m≠-1時，不等式有解，當m>-1時，原不等式的解集為x<2；當【分析】（1）把m=1代入不等式，求出解集即可；（2）不等式去分母，移項合并整理后，根據有解確定出m的范圍，進而求出解集即可．【詳解】（1）當m=1時，原不等式為2-x去分母，得∶2-x解得x<2∴它的正整數解為1．（2）2m去分母，得∶2m移項，合并同類項，得∶m+1當m≠-1當m>-1時，原不等式的解集為x當m<-1時，原不等式的解為x【點睛】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式的基本性質是解本題的關鍵．3．（2022·北京朝陽·統考二模）解不等式x-【答案】x<32，不等式的所有非負整數解為【分析】去分母，移項、合并同類項，系數化為1即可，根據不等式的解集即可求得所有非負整數解．【詳解】解：3x3x2x<3x<3∴原不等式的所有非負整數解為0，1．【點睛】本題考查了解一元一次不等式及求其非負整數解，正確求解不等式是解題的關鍵．4．（2023·陜西咸陽·統考二模）解不等式1-8+【答案】x≥-2，【分析】去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化成1，即可得出答案．【詳解】解：1-8+去分母得：6-2(8+x去括號得：6-16-2x移項得：-2合并同類項得：-5x≥-2∴不等式的最小整數解為：-2【點睛】本題考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整數解，能求出不等式的解集是解此題的關鍵．5．（2023·陜西榆林·統考二模）解不等式：5x【答案】x≤13【分析】先移項，再根據不等式的性質系數化為1，然后再確定正整數解即可．【詳解】解：5移項，得5x合并同類項，得4解得x≤所以原不等式的正整數解為1．【點睛】本題主要考查了求一元一次不等式的正整數解，掌握一元一次不等式的解法是解答本題的關鍵．6.不等式x-2≤3+A．3個 B．4個 C．5個 D．無數個【答案】C【分析】求出不等式的解集，再根據非負整數解的條件求出特殊解．【詳解】解：去分母得：3(x－2)≤x＋3，去括號，得3x-6≤x+3，移項、合并同類項，得2x≤9，系數化為1，得x≤4.5，

則滿足不等式的“非負整數解”為：0，1，2，3，4，共5個，故選：C．【點睛】本題考查解不等式，解題的關鍵是理解題中的“非負整數”．7．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中學?？寄M預測）先化簡，再求值：1+1x-1÷【答案】x+1,【分析】先算括號里，再算括號外，然后把x的值代入化簡后的式子進行計算即可解答．【詳解】1+===∵2+x∴x∴此不等式的非負整數解有0，1，2，當x=0，1∴當x=2時，原式=2+1=3【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解是解題的關鍵．題型09根據含參數不等式解集的情況求參數的取值范圍1．（2020·甘肅天水·統考中考真題）若關于x的不等式3x+a≤2只有2個正整數解，則aA．-7<a<-4 B．-7≤a≤-4【答案】D【分析】先解不等式得出x?2-a3，根據不等式只有2個正整數解知其正整數解為1和【詳解】解：∵3x∴3x則x?∵不等式只有2個正整數解，∴不等式的正整數解為1、2，則2?解得：-7<故選：D．【點睛】本題主要考查一元一次不等式的整數解，解題的關鍵是熟練掌握解不等式的基本步驟和依據，并根據不等式的整數解的情況得出關于某一字母的不等式組．2.若不等式（m－2）x>2的解集是x<2m-2,則m的取值范圍是（A．m=2 B．m=0 C．m<2 D．m>2【答案】C【分析】先根據不等式的解集范圍判斷出（m-2）的正負性，再求出m的取值范圍即可．【詳解】解：∵不等式（m-2）x＞2的解集是x<2m根據“不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數不等號的方向改變”，∴m-2＜0，m＜2．故選C．【點睛】本題考查了不等式的性質：（1）不等式的兩邊同時加上或減去同一個數或整式不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數不等號的方向改變．題型103．（2023·全國·九年級專題練習）已知關于x的不等式3x-m【答案】12≤【分析】解不等式3x-m≤0,得x≤m3【詳解】解：解不等式3x得x≤由題意得4≤m解得12≤m【點睛】本題考查了一元一次不等式（組）的應用，根據題意列出不等式組是解題的關鍵．已知一個不等式的解集滿足特定要求，求字母參數的取值范圍時，我們可先解出這個含字母參數的不等式的解集，然后根據題意列出一個(或幾個)關于字母參數的不等式，從而可求出字母參數的取值范圍．與一元一次不等式有關的新定義問題1．（2021·內蒙古·統考中考真題）定義新運算“?”，規(guī)定：a?b=a-2b．若關于xA．-1 B．-2 C．1 D【答案】B【分析】題中定義一種新運算，仿照示例可轉化為熟悉的一般不等式，求出解集，由于題中給出解集為x>-1，所以與化簡所求解集相同，可得出等式2m+3=-1【詳解】解：由a?∴x?得：x>2∵x?m>3∴2∴m=-2故選：B．【點睛】題目主要考查對新運算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，難點是將運算轉化為所熟悉的不等式．2．定義一種新運算：當a>b時，a*b=ab+b；當a<A．-1<x<1或x<-2C．-2<x<1或x【答案】C【分析】分當3>x+2，即x<1時，當3<x+2【詳解】解：當3>x+2，即∵3*(x∴3(x∴3x∴x∴-2<x當3<x+2，即∵3*(x∴3(x∴2x∴x∴x綜上所述，-2<x<1故選：C．【點睛】本題主要考查了新定義下的實數運算，解一元一次不等式，正確理解題意并利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．3．（2020·浙江紹興·模擬預測）在實數范圍內定義一種新運算“⊕”，其運算規(guī)則為：a⊕b=2a-3bA．x<2 B．x<-2 C．x>2【答案】C【分析】已知不等式利用題中的新定義化簡，計算即可求出解集．【詳解】解：根據題中的新定義化簡得：2×4-3x＜2，移項合并得：3x＞6，解得：x＞2．故選：C．【點睛】此題考查了解一元一次不等式，以及實數的運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．4．（2022下·江蘇淮安·九年級統考期中）定義新運算：a*b＝3a+b，則不等式x*1＜-2的解集是．【答案】x【分析】根據新定義列出不等式，解不等式即可求解．【詳解】解：∵a*b＝3a+b，∴x*1=3x∴x*1＜-2即3x解得x<-1故答案為：x<-1【點睛】本題考查了新定義運算，解一元一次不等式，根據新定義列出不等式是解題的關鍵．5．（2021·河南南陽·統考三模）定義一種新運算：a?b＝b（a＜b）．若5x-42?1＝1，則【答案】x<6【分析】根據a?b＝b（a＜b），把5x-42?【詳解】解：由題意5x-42?1＝1所以5x-4<2,所以x<65故答案為x<65【點睛】本題考查了新定義和不等式的解法，把新定義轉化為不等式是解題的關鍵．6．（2023·河北滄州·模擬預測）定義新運算：對于任意實數m、n都有m☆n=(1)x☆2>4，求(2)若x☆-1(3)若方程x☆□=x-6，□【答案】(1)x(2)x(3)5【分析】（1）根據題意列出不等式進行計算即可；（2）根據題意列出方程進行計算即可；（3）設□中的常數為y，根據題意列出關于y的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：∵x☆∴2x解得：x>5（2）解：∵x☆∴-1解得：x=-9（3）解：設□中的常數為y，根據題意得：xy-∵此方程的一個解為x=1∴y-解得：y=【點睛】本題主要考查了新定義運算，解不等式，解一元一次方程，解題的關鍵是理解題意列出相應的不等式或方程．題型11含絕對值的一元一次不等式1.先閱讀，再完成練習一般地，數軸上表示數x的點與原點的距離，叫做數x的絕對值，記作x．x＜3，x表示到原點距離小于3的數，從如圖1所示的數軸上看：大于﹣3而小于3的數，它們到原點距離小于3，所以|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3；x＞3，x表示到原點距離大于3的數，從如圖2所示的數軸上看：小于﹣3的數或大于3的數，它們到原點距離大于3，所以x＞3的解集是x＜﹣3或x＞3．解答下面的問題：（1）不等式x＜5的解集為________，不等式x＞5的解集為________．（2）不等式x＜m（m＞0）的解集為________．不等式x＞m（m＞0）的解集為________．（3）解不等式x-3＜（4）解不等式x-5＞【答案】（1）﹣5＜x＜5、x＜﹣5或x＞5；（2）﹣m＜x＜m、x＜﹣m或x＞m；（3）﹣2＜x＜8；（4）x＞8或x＜2．【分析】（1）根據題意可得答案；（2）根據題意可得答案；（3）將x?3作為整體得?5＜x?3＜5，解之即可；（4）將x?5作為整體得x﹣5＞3或x﹣5＜﹣3，解之即可．【詳解】解：（1）不等式x＜5的解集為﹣5＜x＜5，不等式x＞5的解集為x＜﹣5或x＞5，故答案為：﹣5＜x＜5、x＜﹣5或x＞5；（2）不等式x＜m（m＞0）的解集為﹣m＜x＜m，不等式x＞m（m＞0）的解集為x＜﹣m或x＞m，故答案為：﹣m＜x＜m、x＜﹣m或x＞m；（3）x-3＜∴﹣5＜x﹣3＜5，∴﹣2＜x＜8；（4）x-5＞∴x﹣5＞3或x﹣5＜﹣3，∴x＞8或x＜2．【點睛】此題考查含絕對值的不等式，首先通過閱讀把握題目中解題規(guī)律和方法，然后利用這些方法解決所給出的題目，所以正確理解閱讀材料的解題方法才能比較好的解決問題．此題是一個絕對值的幾何意義問題，數形結合利用數軸來理解是關鍵．2.數和形是數學的兩個主要研究對象，我們經常運用數形結合、數形轉化的方法解決一些數學問題．下面我們來探究“由數思形，以形助數”的方法在解決代數問題中的應用．探究一：求不等式的解集（1）探究的幾何意義如圖①，在以O為原點的數軸上，設點A＇對應點的數為，由絕對值的定義可知，點A＇與O的距離為，可記為：A＇O=．將線段A＇O向右平移一個單位，得到線段AB，，此時點A對應的數為，點B的對應數是1，因為AB=A＇O，所以AB=．因此，的幾何意義可以理解為數軸上所對應的點A與1所對應的點B之間的距離AB．（2）求方程=2的解因為數軸上3與所對應的點與1所對應的點之間的距離都為2，所以方程的解為（3）求不等式的解集因為表示數軸上所對應的點與1所對應的點之間的距離，所以求不等式解集就轉化為求這個距離小于2的點所對應的數的范圍．請在圖②的數軸上表示的解集，并寫出這個解集探究二：探究的幾何意義（1）探究的幾何意義如圖③，在直角坐標系中，設點M的坐標為，過M作MP⊥x軸于P，作MQ⊥y軸于Q，則點P點坐標（），Q點坐標（），|OP|=，|OQ|=，在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，則因此的幾何意義可以理解為點M與原點O（0,0）之間的距離OM（2）探究的幾何意義如圖④，在直角坐標系中，設點A＇的坐標為，由探究（二）（1）可知，A＇O=，將線段A＇O先向右平移1個單位，再向上平移5個單位，得到線段AB，此時A的坐標為（），點B的坐標為（1,5）．因為AB=A＇O，所以AB=，因此的幾何意義可以理解為點A（）與點B（1,5）之間的距離．（3）探究的幾何意義請仿照探究二（2）的方法，在圖⑤中畫出圖形，并寫出探究過程．（4）的幾何意義可以理解為：_________________________.拓展應用：（1）+的幾何意義可以理解為：點A與點E的距離與點AA與點F____________（填寫坐標）的距離之和．（2）+的最小值為____________(直接寫出結果)【答案】探究一（3）解集為：探究二（3）（）拓展應用（1）（）（2）5【詳解】試題分析：探究一（3）：的解集就是數軸上所對應的點與1所對應的點之間的距離小于2的點所對應的數，利用數軸可知探究二（3）：根據題目信息，的幾何意義可以理解為點A（）與點B（）之間的距離．拓展應用：根據題目信息知是與點F（）的距離之和．+表示點A與點E的距離與點A與點F（）的距離之和．∴最小值為E與點F（）的距離5.試題解析：探究一（3）解集為：探究二（3）如圖⑤，在直角坐標系中，設點A＇的坐標為，由探究（二）（1）可知，A＇O=，將線段A＇O先向左平移3個單位，再向下平移4個單位，得到線段AB，此時A的坐標為（），點B的坐標為（）．因為AB=A＇O，所以AB=，因此的幾何意義可以理解為點A（）與點B（）之間的距離．拓展應用（1）（）（2）5題型12解一元一次不等式組1．（2022·山東濱州·統考中考真題）把不等式組x-3<2xA． B．C． D．【答案】C【分析】先解不等式組求出解集，再在數軸上表示出來即可．【詳解】x解①得x>-3解②得x≤5∴不等式組的解集為-3<，故選：C．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組及在數軸上表示解集，熟練掌握知識點是解題的關鍵．2．（2020·廣東·統考中考真題）不等式組2-3x≥-1xA．無解 B．x≤1 C．x≥-1 D【答案】D【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式2?3x≥?1，得：x≤1，解不等式x?1≥?2（x＋2），得：x≥?1，則不等式組的解集為?1≤x≤1，故選：D．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．3．（2022·遼寧阜新·統考中考真題）不等式組-x-1≤2A． B．C． D．【答案】A【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，則不等式組的解集為﹣3≤x＜3，故選：A．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．4．（2023·全國·九年級專題練習）用兩種不同的方法解不等式組：-1<【答案】-【分析】法1：轉化為解一元一次不等式組；法2：利用不等式的性質，進行求解即可．【詳解】解：方法1：原不等式組可化為下面的不等式組-解不等式①，得x>-1解不等式②，得x≤8所以不等式組的解集為-1<方法2：∵-1<∴-3<2∴-2<2∴-1<【點睛】本題考查不等式的性質，解一元一次不等式組．熟練掌握不等式的性質，解一元一次不等式組的步驟，是解題的關鍵．題型13求不等式組整數解1．（2022·江蘇揚州·統考中考真題）解不等式組x-2≤2【答案】3【分析】先解每個不等式，求得不等式組的解集，然后找出所有整數解求和即可．【詳解】解：x解不等式①，得x≥-2解不等式②，得x<4∴不等式組的解集為-2≤∴不等式組的所有整數解為：-2，-1，0，1，2，∴所有整數解的和為：-2+【點睛】本題考查了求不等式組的解集，正確地解每一個不等式是解題的關鍵．2．（2021·山東濟南·統考中考真題）解不等式組：{3(【答案】-2≤x【分析】分別解不等式①，②，進而求得不等式組的解集，根據不等式組的解集寫出所有整數解即可．【詳解】{解不等式①得：x解不等式②得：x∴不等式組的解集為：-它的所有整數解為：-【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，求不等式組的整數解，正確的計算是解題的關鍵．3．（2021·陜西·統考模擬預測）解不等式組x2【答案】-2≤x＜1；整數解為-2，-1，0【分析】求得x2≥x-13的解集為x≥-2，【詳解】∵x2≥x-13的解集為x≥-2，∴x2≥x-13所有的整數解為-2，-1,0．【點睛】本題考查了不等式組的解集，不等式組的解集的整數解，熟練解不等式，準確確定不等式組的解集是解題的關鍵．題型14由不等式組整數解求字母的取值范圍1．（2022·江蘇南通·統考二模）已知關于x的不等式組x-a<0,2x+3>0的解集中至少有A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】首先解不等式組求得不等式組的解集，然后根據不等式組的整數解的個數從而確定a的范圍，進而求得整數a最小值．【詳解】解：x-解①得x<解②得x>-則不等式組的解集是-3∵解集中至少有5個整數解∴整數解為：-1,0,1,2,3．∴a＞整數a的最小值是4．故選C．【點睛】本題考查一元一次不等式組的整數解，確定a的范圍是本題的關鍵．2．（2021·山東日照·?？家荒＃╆P于x的不等式組2x+53>x-5xA．-6<a<-112 B．-6≤【答案】C【分析】先解x的不等式組2x+53【詳解】解：不等式組2x解得：x<20∵不等式組只有5個整數解，即解只能是x=15，16，17，18，19∴a的取值范圍是：3-2解得：-6<故選：C．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數解，難度適中，關鍵是根據整數解的個數確定關于a的不等式組．3．（2020·山東濰坊·中考真題）若關于x的不等式組{3x-5?12A．0≤a≤2 B．0≤a<2 C．【答案】C【分析】先求出不等式組的解集（含有字母a），利用不等式組有三個整數解，逆推出a的取值范圍即可．【詳解】解：解不等式3x-5解不等式2x-a∴不等式組的解集為：2≤x∵不等式組{3∴三個整數解為：2，3，4，∴4<8+解得：0<a故選：C．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數解的應用，解此題的關鍵就是根據整數解的個數得出關于a的不等式組．4．（2023上·浙江寧波·八年級統考期末）關于x的不等式組6-3x<02x≤a恰好有A．a=10 B．10≤a<12 C．10<【答案】B【分析】先分別求出每一個不等式的解集，然后根據口訣“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到”并結合不等式組有3個整數解，得出關于a的不等式求解即可．【詳解】解：由6-3x＜0由2x≤a∵不等式組恰好有3個整數解，∴不等式組的整數解為3、4、5，∴5≤a2<6故選：B．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組、不等式組的整數解等知識點，掌握“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答本題的關鍵．5．（2021·四川瀘州·統考中考真題）關于x的不等式組{2x-3>0x-2【答案】0<【分析】首先解每個不等式，根據不等式組只有2個整數解，確定整數解的值，進而求得a的范圍．【詳解】解：{解①得x>解②得x<3+2不等式組的解集是32∵不等式組只有2個整數解，∴整數解是2，3．則3<3+2a∴0<故答案是：0<【點睛】本題考查的是一元一次不等式組的整數解，根據x的取值范圍，得出x的整數解．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．題型15由不等式組的解集求參數1．（2022·山東聊城·統考二模）若關于x的一元一次不等式組x-m≥02xA．m<1 B．m≤1 C．m>1【答案】D【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣“大大小小找不到”得出關于m的不等式，解之即可．【詳解】解：∵x-解得：x≥∵不等式無解，∴m≥故選：D【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．2．（2022牡丹區(qū)三模）關于x的不等式組3x-1>4(x-1)x【答案】a≥3【分析】先解第一個不等式得到x＜3，由于不等式組的解集為x＜3，則利用同大取大可得到a的范圍．【詳解】解：3x解①得x＜3，而不等式組的解集為x＜3，所以a≥3．故答案為：a≥3．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．3．（2023·黑龍江·校聯考一模）若關于x的不等式組5x-3<4x,【答案】m<4/【分析】先分別解出兩個不等式得x<3，x>5+【詳解】解：5由不等式①得x<3由不等式②得x>∵不等式組有解，∴5+m解得m<4故答案為：m<4【點睛】本題考查利用一元一次不等式組有解求字母參數的取值范圍，解題關鍵是列出關于字母參數的不等式．題型16由不等式組有關的新定義問題1．（2022·河南駐馬店·統考三模）定義一種新運算：a⊙b=ab+2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據新運算的定義將不等式組(-2)⊙x<2x【詳解】解：由題意可知：(-2)⊙x<2x解不等式組可知不等式組的解集為：-∴負整數解為：-2，-1，有故選：B【點睛】本題考查解不等式組中的整數解，解題的關鍵是將(-2)⊙x<2x2．（2023下·河南南陽·九年級統考階段練習）定義一種運算：a?b=a-ab，例如：【答案】2≤【分析】根據a?b=a-【詳解】解：由題意可得，不等式組2?x≥-4x解得2≤x故答案為：2≤x【點睛】本題考查解一元一次不等式組、新定義，解答本題的關鍵是明確新定義，會利用新定義轉化不等式組．3．（2021·河北·校聯考模擬預測）定義新運算“★”和“#”如下：a★b=ab+b，（1）計算：[(-1（2）已知{(-2)★x【答案】（1）-3736；（2）【分析】（1）根據a★b=（2）先根據a★b=【詳解】解：（1）[(-=[(-=(-=(-=-37（2）根據a★b=ab可化為：{解不等式①得：x>0解不等式②得：x≤4∴其解集為0<x∴該不等式組的整數解為1，2，3，4，數據1，2，3，4的中位數為2.5．【點睛】本題考查了新定義下實數的運算和解一元一次不等式組、一元一次不等式組的整數解，中位數等知識點，能讀懂題目，根據已知算式得出不等式組是解此題的關鍵．4．（2022·廣東揭陽·校考模擬預測）已知a，b為常數，對實數x，y定義，我們規(guī)定?-運算為：x?-y=ax-(1)求常數a，b的值；(2)若關于m的不等式組2m?-(5-4m【答案】(1)a=1(2)-【分析】（1）根據新定義的運算得出二元一次方程組，然后求解即可；（2）根據新定義運算得出不等式組，然后求解得出3c【詳解】（1）由題意得a+解得a=13（2）由題意得2m解得3c∵要使恰有2個整數解，∴-1≤解得-8【點睛】題目主要考查對新定義運算的理解，二元一次方程組的解法，不等式組的解法，理解題意，熟練掌握各個運算法則是解題關鍵．題型17根據程序圖解不等式組1．（2020下·山東德州·九年級校考期中）如圖，按下面的程序進行運算，規(guī)定程序運行到“判斷結果是否大于30”為一次運算．若運算進行了3次才停止，則x的取值范圍是（

）

A．518≤x≤394 B．51【答案】C【分析】根據程序運算進行了3次才停止，即可得出關于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍．【詳解】解：{2(2解得：518<故選：C．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用，找準等量關系，解題的關鍵是正確列出一元一次不等式組．2.如圖是一個數值轉換機，輸入數值后按三個方框中的程序運算，若第一次運算結果大于2，可以輸出結果，則稱該數字只要“算一遍”：若第一次運算無法輸出結果，且第二次運算結果大于2，可以輸出結果，則稱該數字需要“算兩遍”，依次類推．

(1)當輸入數字為2時，輸出的結果為______；(2)當輸入數字為______時，“算兩遍”的結果為5；(3)當輸入數x時，該數字需要算三遍，求x的取值范圍．【答案】(1)5(2)5(3)65【分析】（1）根據程序運算得到算式2×4-3=5計算即可；（2）根據程序運算得到方程44（3）根據第一次和第二次計算結果小于等于2，第三次計算結果大于2，列出不等式組，解之即可．【詳解】（1）解：設輸入的數字為x，則當x=2時，2×4-3=5則輸出的數字為5；（2）由“算兩遍”可得：44解得：x=（3）由題意可得：44解得：6564【點睛】本題考查了有理數的混合運算，解一元一次方程，解不等式組，解題關鍵是弄清題意，根據題意把輸入數代入，按程序一步一步計算．題型18不等式組與方程的綜合1．（2022下·重慶·九年級重慶巴蜀中學?？奸_學考試）已知關于x的分式方程mxx-2x-6+2xA．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】分式方程無解的情況有兩種，第一種是分式方程化成整式方程后，整式方程無解，第二種是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此確定m的值，不等式組整理后求出解集，根據有且只有三個偶數解確定出m的范圍，進而求出符合條件的所有m的和即可．【詳解】解：分式方程去分母得：mx+2(整理得：(m分式方程無解的情況有兩種，情況一：整式方程無解時，即m-∴m=1情況二：當整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，①當x=2時，代入(m-解得：得m=4．②當x=6時，代入(m-1)解得：得m=2．綜合兩種情況得，當m=4或m=2或m=1解不等式{m得：{根據題意該不等式有且只有三個偶數解，∴不等式組有且只有的三個偶數解為?8，?6，?4，∴?4<m?4≤?2，∴0<m≤2，綜上所述當m=2或m=1∴符合條件的整數m的乘積為2×1=2．故選B．【點睛】此題考查了分式方程的無解的問題，以及一元一次不等式組的偶數解，其中分式方程無解的情況有兩種情況，一種是分式方程化成整式方程后整式方程無解，另一種是化成整式方程后有解，但是解為分式方程的增根，易錯點是容易忽略某種情況；對于已知一元一次不等式組解，求參數的值，找到參數所表示的代數式的取值范圍是解題關鍵．2．（2022上·重慶·九年級重慶南開中學?？计谀┤绻P于x的不等式組{m-4x>52x+5≥xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】解不等式組和分式方程得出關于x的范圍，根據不等式組有且僅有非負整數解和分式方程的解為正整數解得出m的范圍，繼而可得整數m的個數．【詳解】解：解不等式m-4x解不等式2x+5≥x∵不等式組有且僅有三個非負整數解，∴2<m解得：12<m解關于y的分式方程my-my-(m得：y=∵分式方程有正整數解，∴6m-13>0，且解得：m>13且m綜上，13<m所以所有滿足條件的整數m的值為14，15，一共2個．故選：B．【點睛】本題主要考查分式方程的解和一元一次不等式組的解，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程和不等式組的能力，并根據題意得到關于m的范圍．3．（2021·重慶·統考中考真題）若關于x的一元一次不等式組{3x-2≥2(x+2)a-2x<-5A．5 B．8 C．12 D．15【答案】B【分析】先計算不等式組的解集，根據“同大取大”原則，得到5+a2<6解得a<7，再解分式方程得到y=a+52，根據分式方程的解是正整數，得到【詳解】解：{解不等式①得，x≥6解不等式②得，x∵不等式組的解集為：x∴∴解分式方程y+2y∴整理得y=∵y-1≠0,∴a∵分式方程的解是正整數，∴∴a>-5，且a+5∴-5<a<7，且a+5∴整數a的值為-1,1,3,5,∴-1+1+3+5=8故選：B．【點睛】本題考查解含參數的一元一次不等式、解分式方程等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．4．（2023·重慶·統考中考真題）若關于x的一元一次不等式組x+32≤42x-a≥2，至少有2【答案】4【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍a≤6，再把分式方程去分母轉化為整式方程，解得y=a【詳解】解：x解不等式①得：x≤5解不等式②得：x≥1∴不等式的解集為1+∵不等式組至少有2個整數解，∴1+解得：a≤6∵關于y的分式方程a-∴a解得：y=即a-12解得：a≥1且∴a的取值范圍是1≤a≤6∴a可以?。?，3，∴1+3=4，故答案為：4．【點睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解題關鍵．題型19利用一元一次不等式解決實際問題1．（2022·西藏·統考中考真題）某班在慶祝中國共產主義青年團成立100周年活動中，給學生發(fā)放筆記本和鋼筆作為紀念品．已知每本筆記本比每支鋼筆多2元，用240元購買的筆記本數量與用200元購買的鋼筆數量相同．(1)筆記本和鋼筆的單價各多少元？(2)若給全班50名學生每人發(fā)放一本筆記本或一支鋼筆作為本次活動的紀念品，要使購買紀念品的總費用不超過540元，最多可以購買多少本筆記本？【答案】(1)筆記本每本12元，鋼筆每支10元(2)最多購買筆記本20本【分析】（1）設鋼筆的價格為x元，則筆記本的價格為x+2元，根據題目中的等量關系列方程并求解即可；（2）設筆記本的數量為y本，則鋼筆的數量為50-ｙ支，根據題意列關于y的不等式，解不等式并找到最大整數解即為答案．【詳解】（1）設每支鋼筆x元，依題意得：240解得：x＝10，經檢驗：x＝10是原方程的解，故筆記本的單價為：10+2＝12（元），答：筆記本每本12元，鋼筆每支10元．（2）設購買y本筆記本，則購買鋼筆（50﹣y）支，依題意得：12y+10（50﹣y）≤540，解得：y≤20，故最多購買筆記本20本．【點睛】本題考查了用分式方程和一元一次不等式解決問題，找到題目中的等量關系并列出關于未知數的方程或不等式，仔細計算是本題的解題關鍵．2．（2022·寧夏·中考真題）某校購進一批籃球和排球，籃球的單價比排球的單價多30元．已知330元購進的籃球數量和240元購進的排球數量相等．(1)籃球和排球的單價各是多少元？(2)現要購買籃球和排球共20個，總費用不超過1800元．籃球最多購買多少個？【答案】(1)籃球的單價為110元，排球的單價為80元(2)最多購買6個籃球【分析】（1）設排球的單價為x元，則籃球的單價為（x+30）元，由題意：330元購進的籃球數量和240元購進的排球數量相等．列出分式方程，解方程即可；（2）設購買排球y個，則購買籃球（20-y）個，由題意：購買籃球和排球的總費用不超過1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【詳解】（1）設排球的單價為x元，則籃球的單價為x+30根據題意得：330x解得：x=80經檢驗，x=80∴x∴籃球的單價為110元，排球的單價為80元．（2）設購買籃球y個，則購買排球(20-y依題意得：110y解得y≤6即y的最大值為6，∴最多購買6個籃球．【點睛】此題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找準等量關系，正確列出一元一次不等式．3．（2022·廣西柳州·統考中考真題）習近平總書記在主持召開中央農村工作會議中指出：“堅持中國人的飯碗任何時候都要牢牢端在自己手中，飯碗主要裝中國糧．”某糧食生產基地為了落實習近平總書記的重要講話精神，積極擴大糧食生產規(guī)模，計劃投入一筆資金購買甲、乙兩種農機具，已知1件甲種農機具比1件乙種農機具多1萬元，用15萬元購買甲種農機具的數量和用10萬元購買乙種農機具的數量相同．(1)求購買1件甲種農機具和1件乙種農機具各需多少萬元？(2)若該糧食生產基地計劃購買甲、乙兩種農機具共20件，且購買的總費用不超過46萬元，則甲種農機具最多能購買多少件？【答案】(1)購買1件甲種農機具需要3萬元，1件乙種農機具需要2萬元；(2)甲種農機具最多能購買6件．【分析】（1）設購買1件乙種農機具需要x萬元，則購買1件甲種農機具需要（x+1）萬元，找出等量關系列方程求解即可；（2）設購買m件甲種農機具，則購買（20﹣m）件乙種農機具，根據購買的總費用不超過46萬元列不等式求解即可．【詳解】（1）解：設購買1件乙種農機具需要x萬元，則購買1件甲種農機具需要（x+1）萬元，依題意得：15解得：x＝2，經檢驗，x＝2是原方程的解，且符合題意，∴x+1＝2+1＝3．∴購買1件甲種農機具需要3萬元，1件乙種農機具需要2萬元．（2）解：設購買m件甲種農機具，則購買（20﹣m）件乙種農機具，依題意得：3m+2（20﹣m）≤46，解得：m≤6．∴甲種農機具最多能購買6件．【點睛】本題考查分式方程的應用，不等式的應用，（1）的關鍵是理解題意，找出等量關系列出分式方程，（2）的關鍵是根據購買的總費用不超過46萬元列出不等式．題型20利用一元一次不等式組解決實際問題1．（2022·山東泰安·統考模擬預測）某電子商品經銷店欲購進A、B兩種平板電腦，若用9000元購進A種平板電腦12臺，B種平板電腦3臺；也可以用9000元購進A種平板電腦6臺，B種平板電腦6臺．(1)求A、B兩種平板電腦的進價分別為多少元？(2)考慮到平板電腦需求不斷增加，該商城準備投入3萬元再購進一批兩種規(guī)格的平板電腦，已知A型平板電腦售價為700元/臺，B型平板電腦售價為1300元/臺．根據銷售經驗，A型平板電腦不少于B型平板電腦的2倍，但不超過B型平板電腦的2.8倍．假設所進平板電腦全部售完，為使利潤最大，該商城應如何進貨？【答案】(1)A、B兩種平板電腦的進價分別為500元、1000元(2)為使利潤最大，購進B種平板電腦13臺，A種平板電腦34臺．【分析】（1）設A和B的進價分別為x和y，臺數×進價=付款，可得到一個二元一次方程組，解即可．（2）設購買B平板電腦a臺，則購進A種平板電腦30000-1000a【詳解】（1）設A、B兩種平板電腦的進價分別為x元、y元．由題意得，12x解得x=500答：A、B兩種平板電腦的進價分別為500元、1000元；（2）設商店準備購進B種平板電腦a臺，則購進A種平板電腦30000-1000a由題意，得2a解得12.5≤a≤15，∵a為整數，∴a=13或14或15．設總利潤為w，則：w=（700-500）×30000-1000a500+（1300-1000）a=-100a∵-100＜0，∴w隨a的增大而減小，∴為使利潤最大，該商城應購進B種平板電腦13臺，A種平板電腦30000-1000×13500＝34答：購進B種平板電腦13臺，A種平板電腦34臺．【點睛】本題考查了一次函數的應用以及二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程組求解．2．（2023上·湖南長沙·九年級校聯考期末）北京時間12月18日晚23點，2022年卡塔爾世界杯決賽，阿根廷對戰(zhàn)法國.阿根廷最終戰(zhàn)勝法國，時隔36年再次奪得世界杯冠軍，這也是阿根廷隊歷史第3次在世界杯奪冠，梅西賽后接受采訪時說道，“我們受到了很多挫折，但我們做到了”，世界杯結束后，學生對于足球的熱情高漲.為滿足學生課間運動的需求，學校計劃購買一批足球，已知購買3個A品牌足球和2個B品牌足球共需480元；購買5個A品牌足球和2個B品牌足球共需640元(1)求A，B兩種品牌足球的單價；(2)若該校計劃從某商城網購A，B兩種品牌的足球共20個，其中購買A品牌的足球不少于3個且不多于B品牌的足球個數，求該校購買這些足球共有幾種方案？【答案】(1)A品牌足球單價為80元，B品牌足球單價為120元；(2)共有8種方案【分析】（1）根據購買3個A品牌足球和2個B品牌足球共需480元；購買5個A品牌足球和2個B品牌足球共需640元，可以列出相應的二元一次方程組，然后求解即可；（2）設購買A品牌足球a個，則購買B品牌足球20-a個，然后根據購買A品牌的足球不少于3個且不多于B【詳解】（1）解：設A.，B兩種品牌足球的單價分別為x元，y元，根據題意.，得3x解得x=80答：A品牌足球單價為80元，B品牌足球單價為120元；（2）解：設購買A品牌足球a個，則購買B品牌足球20-a根據題意.，得a≥3解得3≤a∵a為整數，∴a所以共有8種方案【點睛】本題考查二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組．3．（2023·廣東深圳·統考二模）某初三某班計劃購買定制鋼筆和紀念卡冊兩種畢業(yè)紀念禮物，已知購買1支定制鋼筆和4本紀念卡冊共需130元，購買3支定制鋼筆和2本紀念卡冊共需140元．(1)求每支定制鋼筆和每本紀念卡冊的價格分別為多少元？(2)該班計劃購買定制鋼筆和紀念卡冊共60件，總費用不超過1600元，且紀念卡冊本數小于定制鋼筆數量的3倍，那么有幾種購買方案，請寫出設計方案？【答案】(1)每支定制鋼筆的價格為30元，每本紀念卡冊的價格為25元(2)5種，見解析【分析】（1）設每支定制鋼筆和每本紀念卡冊的價格分別為x、y元，根據題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；（2）設購買定制鋼筆m支，則紀念卡冊有(60-m【詳解】（1）解：設每支定制鋼筆和每本紀念卡冊的價格分別為x、y元，依題意，得：x+4解得：x=30y答：每支定制鋼筆的價格為30元，每本紀念卡冊的價格為25元．（2）解：設購買定制鋼筆m支，則紀念卡冊有(60-m依題意，得：30解得：15<∵m∴m＝16，17，18，19，∴總共有5種方案，分別為：方案1：購買定制鋼筆16支，紀念卡冊44本；方案2：購買定制鋼筆17支，紀念卡冊43本；方案3：購買定制鋼筆18支，紀念卡冊42本；方案4：購買定制鋼筆19支，紀念卡冊41本；方案5：購買定制鋼筆20支，紀念卡冊40本．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，根據題意列出方程組和不等式組是解題的關鍵．1．（2022·江蘇南京·統考中考真題）已知實數a，b，a>b，下列結論中一定正確的是（A．a>b B．1a>1b【答案】D【分析】根據不等式的性質逐項分析即可．【詳解】解：A、由a>b不一定有a>b，例如a=0B、當ab=0時，1C、由a>b不一定有a2>b2，例如D、由a>b可以得到故選D．【點睛】本題考查了不等式的性質：①把不等式的兩邊都加(或減去)同一個整式，不等號的方向不變；②不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變；③不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變．2．（2023·北京·統考中考真題）已知a-1>0，則下列結論正確的是（A．-1<-a<C．-a<-1<a【答案】B【分析】由a-1>0可得a>1【詳解】解：a-1>0得a>1∴-a∴-a故選：B．【點睛】本題考查了不等式的性質，注意：當不等式兩邊同時乘以一個負數，則不等式的符號需要改變．3．（2023·山東臨沂·統考中考真題）在實數a,b,c中，若a+b=0,b-c>c-a>0A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據相反數的性質即可判斷①，根據已知條件得出b>c>a，即可判斷②③，根據b=-【詳解】解：∵a∴a=b，故∵a∴b>又a∴a<0,b>0，故∵a∴b∵b∴-∴-∴c<0，故④或借助數軸，如圖所示，故選：A．【點睛】本題考查了不等式的性質，實數的大小比較，借助數軸比較是解題的關鍵．4．（2023·山東濟南·統考中考真題）實數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，則下列結論正確的是（）

A．ab>0 B．C．a+3<b+3【答案】D【分析】根據題意可得-3<b【詳解】解：由題意可得：-3<b<-2,∴ab<0,觀察四個選項可知：只有選項D的結論是正確的；故選：D.【點睛】本題考查了實數與數軸以及不等式的性質，正確理解題意、得出-3<b5．（2023·安徽·統考中考真題）在數軸上表示不等式x-12A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先解不等式，然后在數軸上表示不等式的解集即可求解．【詳解】解：x解得：x<1數軸上表示不等式的解集

故選：A．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，在數軸上表示不等式的解集，數形結合是解題的關鍵．6．（2023·山東煙臺·統考中考真題）不等式組3m-2≥1,A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】用數軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．【詳解】解：3解不等式①得：m≥1解不等式②得：m<-1將不等式的解集表示在數軸上，如圖所示，

故選：A．【點睛】本題主要考查數軸上表示不等式的解集，熟練掌握數軸上表示不等式組的解集的方法是解題的關鍵．7．（2023·浙江·統考中考真題）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．從這個月開始，小霞每月存15元零花錢，小明每月存12元零花錢，設經過n個月后小霞的存款超過小明，可列不等式為（

）A．52+15n>70+12nC．52+12n>70+15n【答案】A【分析】依據數量關系式：小霞原來存款數+15×月數n＞小明原來存款數+12×月數n，把相關數值代入即可；【詳解】解：根據題意得，52+15n故選：A．【點睛】此題主要考查了一元一次不等式的應用，得到兩人存款數的關系式是解決本題的關鍵．8．（2023·浙江寧波·統考中考真題）不等式組x+1>0x-1≤0A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據一元一次不等式組的解法先求出不等式組的解集，再在數軸上表示即可得到答案．【詳解】解：x+1>0由①得x>-1由②得x≤1∴原不等式組的解集為-1<在數軸上表示該不等式組的解集如圖所示：

，故選：C．【點睛】本題考查一元一次不等式組解集的求法及在數軸上的表示，熟練掌握不等式組解集的求解原則“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了”是解決問題的關鍵．9．（2023·內蒙古·統考中考真題）關于x的一元一次不等式x-1≤m的解集在數軸上的表示如圖所示，則m

A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】先求出不等式的解集，然后對比數軸求解即可．【詳解】解：x-1≤m由數軸得：m+1=3解得：m=2故選：B．【點睛】題目主要考查求不等式的解集及參數，熟練掌握求不等式解集的方法是解題關鍵．10．（2023·四川眉山·統考中考真題）關于x的不等式組x>m+35x-2<4A．-5≤m<-4 B．-5<m≤-4【答案】A【分析】不等式組整理后，表示出不等式組的解集，根據整數解共有4個，確定出m的范圍即可．【詳解】解：x>由②得：x<3解集為m+3<由不等式組的整數解只有4個，得到整數解為2，1，0，-1∴-2≤∴-5≤故選：A．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數解等知識點的理解和掌握，能根據不等式組的解集得到-2≤11．（2023·四川遂寧·統考中考真題）若關于x的不等式組4x-1>3x-1A．a>3 B．a<3 C．a≥3 D【答案】D【分析】分別求出各不等式的解集，再根據不等式組的解集是x>3求出a【詳解】解：4解不等式①得：x>3解不等式②得：x>∵關于x的不等式組4x-1∴a≤3故選：D．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．12．（2023·湖北鄂州·統考中考真題）已知不等式組x-a>2x+1<A．0 B．-1 C．1 D．【答案】B【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，可得2+a<x<b-1，再結合已知可得2+【詳解】解：x-解不等式①得：x>2+解不等式②得：x<∴原不等式組的解集為：2+a∵不等式組的解集是-1<∴2+a=-1，∴a=-3，b∴a+故選：B．【點睛】本題考查了根據一元一次不等式組的解集求參數，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．13．（2023·廣東·統考中考真題）某商品進價4元，標價5元出售，商家準備打折銷售，但其利潤率不能少于10%，則最多可打【答案】8.8【分析】設打x折，由題意可得5×x【詳解】解：設打x折，由題意得5×x解得：x≥8.8故答案為8.8．【點睛】本題主要考查一元一次不等式的應用，熟練掌握一元一次不等式的應用是解題的關鍵．14．（2023·四川瀘州·統考中考真題）關于x，y的二元一次方程組2x+3y=3+ax+2【答案】7（答案不唯一）【分析】先解關于x、y的二元一次方程組的解集，再將x+y>2【詳解】將兩個方程相減得x+∵x+∴a-∴a>3+2∵4<8<9，∴2<22∴5<22∴a的一個整數值可以是7．故答案為：7（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式，整體代入的思想方法是解答本題的亮點．15．（2023·江蘇宿遷·統考中考真題）不等式x-2≤1的最大整數解是【答案】3【分析】根據一元一次不等式的解法即可得．【詳解】解：不等式x-2≤1的解集是則不等式x-2≤1的最大整數解是故答案為：3．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題關鍵．16．（2023·重慶·統考中考真題）若關于x的一元一次不等式組x+32≤42x-a≥2，至少有2【答案】4【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍a≤6，再把分式方程去分母轉化為整式方程，解得y=a【詳解】解：x解不等式①得：x≤5解不等式②得：x≥1∴不等式的解集為1+∵不等式組至少有2個整數解，∴1+解得：a≤6∵關于y的分式方程a-∴a解得：y=即a-12解得：a≥1且∴a的取值范圍是1≤a≤6∴a可以?。?，3，∴1+3=4，故答案為：4．【點睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解題關鍵．17．（2023·四川宜賓·統考中考真題）若關于x的不等式組2x+1>x+a①x【答案】2或-【分析】根據題意可求不等式組的解集為a-1<x【詳解】解：由①得：x>由②得：x≤5∴不等式組的解集為：a-∵所有整數解的和為14，①整數解為：2、3、4、5，∴1≤a解得：2≤a∵a為整數，∴a②整數解為：-1，0，1，2、3、4、5∴-2≤a解得：-1≤∵a為整數，∴a綜上，整數a的值為2或-故答案為：2或-1【點睛】本題考查了含參數的一元一次不等式組的整數解問題，掌握一元一次不等式組的解法，理解參數的意義是解題的關鍵．18．（2023·山東聊城·統考中考真題）若不等式組x-12≥x-2【答案】m≥-1/【分析】分別求出兩個不等式的解集，根據不等式組的解集即可求解．【詳解】解：x-解不等式①得：x≥-1解不等式②得：x≥∵不等式組的解集為：x≥∴m≥-1故答案為：m≥-1【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，根據不等式的解求參數的取值范圍，熟練掌握解不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小大小小大中間找，大大小小找不到（無解）是解題的關鍵．19．（2023·山東日照·統考中考真題）若點Mm+3,m-1【答案】-3<m【分析】根據第四象限的點橫坐標為正，縱坐標為負進行求解即可。【詳解】解：∵點Mm∴m+3>0解得-3<故答案為：-3<【點睛】本題主要考查了根據點所在的象限求參數，解一元一次不等式組，熟知第四象限內點的符號特點是解題的關鍵。20．（2023·黑龍江·統考中考真題）關于x的不等式組x+5>0x-m≤1有3【答案】-3≤m【分析】解不等式組，根據不等式組有3個整數解得出關于m的不等式組，進而可求得m的取值范圍．【詳解】解：解不等式組x+5>0x-∵關于x的不等式組x+5>0x-∴這3個整數解為-4，-3，∴-2≤解得：-3≤故答案為：-3≤【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數解，正確得出關于m的不等式組是解題的關鍵．21．（2023·黑龍江大慶·統考中考真題）若關于x的不等式組3(x-1)>x-【答案】-【分析】首先解不等式組求得解集，然后根據不等式組有三個整數解，確定整數解，則可以得到一個關于a的不等式組求得a的范圍．【詳解】解：解不等式3(x-1)>解不等式8-2x+2a∵不等式組有三個整數解，∴不等式組的整數解為-1，0、1則1≤a解得-3≤故答案為：-3≤【點睛】本題考查不等式組的解法及整數解的確定．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．22．（2023·江蘇揚州·統考中考真題）解不等式組2x【答案】-1<【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：2解不等式①得x>-1·解不等式②，得：x≤2把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：則不等式組的解集為：-1<【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式的解集，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．23．（2023·山東煙臺·統考中考真題）先化簡，再求值：a2-6a+9【答案】a-3【分析】先根據分式混合運算法則進行化簡，然后求出不等式的解集，得出正整數a的值，再代入數據計算即可．【詳解】解：a====a解不等式a-12∵a為正整數，∴a=1，2，3∵要使分式有意義a-∴a≠2∵當a=3時，a∴a≠3∴把a=1代入得：原式=【點睛】本題主要考查了分式化簡求作，分式有意義的條件，解不等式，解題的關鍵是熟練掌握分式混合運算法則，準確計算．24．（2023·江蘇揚州·統考中考真題）近年來，市民交