人教版八年級數(shù)學上冊軸對稱《最短路徑問題》公開課教學課件

第十三章軸對稱13.4最短路徑問題第4節(jié)課題學習1.利用軸對稱、平移等變化解決簡單的最短路徑問題.2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感受由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的思想.

學習目標重點難點問題1如圖，連接A、B

兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？路線②最短，兩點之間，線段最短.

新課引入問題2點P

是直線l

外一點，點P

與直線l上各點的連線中，哪條線段最短？為什么？PC最短，連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短問題1如圖，牧馬人從A

地出發(fā)，到一條筆直的河邊l

飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬可使所走的路徑最短？一

牧馬人飲馬問題你能將這個實際問題抽象成數(shù)學問題嗎？新知學習如圖，如果把河邊l近似地看成一條直線，C為直線l上的一個動點，那么，上面的問題可以轉(zhuǎn)化為:ABlC如右圖，點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A、點B的距離的和最短?由這個問題，我們可以聯(lián)想到下面的問題:BlA當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小.連接AB兩點，交直線l于點C，則點C即為所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依據(jù)：兩點之間，線段最短.BlAC你能利用兩點分別在直線兩側(cè)的解題思路，來解決兩點在直線同一側(cè)的問題嗎？思考如果我們能夠把點B移到l的另一側(cè)B′處，同時對直線l上的任意一點C，都保持BC=B′C，就可以將問題轉(zhuǎn)化為“兩點分別在直線兩側(cè)的情況”.你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到符合條件的點B'嗎?如圖，作出點B關(guān)于l的對稱點B′，利用軸對稱的性質(zhì)，可以得到BC=B′C.B′ABlC此時，問題轉(zhuǎn)化為：當點C在l的什么位置時，AC+B′C的值最??？CB′ABlC′如圖，在連接A，B'兩點的線中，線段AB'最短.因此，線段AB'與直線l的交點C的位置即為所求.你能證明這個結(jié)論嗎？CB′ABlC′證明證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質(zhì)可得：BC=B′C，BC′=B′C′，則AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+BC′.例1 如圖，已知點D，點E

分別是等邊三角形ABC

中BC、AB

邊的中點，AD=5，點F

是AD

邊上的動點，則BF+EF

的最小值為_____.分析：利用軸對稱轉(zhuǎn)移線段，將問題轉(zhuǎn)化為研究過的“牧馬人飲馬”問題.解：∵點B和點C關(guān)于直線AD對稱，∴BF=CF.求BF+EF最小值，只需CF+EF最小.連接EC，線段CE

的長即為BF+EF

的最小值.∵D、E

是等邊△ABC

中BC、AB

的中點，∴CE=AD=5.針對訓練1.兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點的位置.解：如圖，作點D關(guān)于AB的對稱點D′，連接D′C交AB于點E，則點E即為所求.二

造橋選址問題問題2如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）你能將這個實際問題抽象成數(shù)學問題嗎？如圖，我們可以把河的兩岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上的一個動點，MN垂直于直線b，交直線a于點M.這樣，上面的問題可以轉(zhuǎn)化為:ABab??MN由于河岸寬度是固定的，因此當AM＋NB最小時，AM+MN+BN最小.當點N在直線b的什么位置時，AM+MN＋NB最小?ABab??MN這樣，問題就進一步轉(zhuǎn)化為:能否通過圖形的變化（軸對稱、平移等)，把這個問題轉(zhuǎn)化為“牧馬人飲馬”的情況?當點N在直線b的什么位置時，AM+NB最小?將AM沿與河岸垂直的方向平移，點M移動到點N，點A移動到點A′，則AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.這樣問題轉(zhuǎn)化為：ABab??MNA′當點N在直線b的什么位置時，A′N+NB的值最??？如圖，在連接A'，B兩點的線中，線段A'B最短.因此，線段A'B與直線b的交點N的位置即為所求，即在點N處造橋MN，所得路徑AMNB是最短的.ABab??MNA′M′N′你能證明這個結(jié)論嗎？證明證明：在直線b上另外任意取一點N′，過點N′作N′M′⊥a，垂足為M′，連接AM′，A′N′，N′B.∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，∴A′N+NB<A′N′+BN′.即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′.∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′，即AM+NB+MN的值最小.ABab??MNA′M′N′

在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.歸納例2如圖，某河在CC1處直角拐彎，河寬均相同，現(xiàn)要在河流拐彎的兩旁分別造橋DD1，EE1，橋要與河垂直，問如何造橋可使ADD1E1EB的路程最短？ABB1A1DD1EE1CC1解：如圖，作

AA1⊥CD，且

AA1

=河寬，作

BB1⊥CE，且

BB1

=河寬，連接

A1B1，與內(nèi)河岸相交于

E1，D1.過

E1，D1作河岸的垂線段

EE1

、DD1，即為橋.1.如圖，在直角坐標系中，點

A，B

的坐標分別為(1,4)和(3,0)，點

C

是

y

軸上的一個動點，當△ABC

的周長最小時點

C

的坐標是（

）

A．(0，3)B．(0，2)

C．(0，1)D．(0，0)

隨堂練習此時△ABC

的周長最小.然后依據(jù)點

A

與點

B′

的坐標可得到

B′E、AE

的長，證明△B′EA為等腰直角三角形，再證明△B′OC′

為等腰直角三角形即可得出答案.B′C′E答案：A解析：如圖，作

B

點關(guān)于

y

軸對稱點

B′，連接

AB′，交

y

軸于點

C′，2.某大學建立分校,本部與分校隔著兩條平行的小河.如圖,小河甲的兩岸為l1,l2,且l1//l2,小河乙的兩岸為l3,l4,且l3//l4，A為