角（原卷版）2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)講義（人教版）

20242025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上學(xué)期同步復(fù)習(xí)講義（人教版）角教學(xué)目標(biāo)1．掌握角度制及角度的換算方法，了解角平分線、互余、互補(bǔ)的概念，掌握有關(guān)角平分線、互余、互補(bǔ)的求角度問題；2．經(jīng)歷自主探究的過程，提高計(jì)算能力，分析和解決問題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化的思想；3．體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：角的換算、方位角、角平分線、互余、互補(bǔ)的求角度問題；難點(diǎn)：鐘表上有關(guān)夾角問題及運(yùn)算，運(yùn)用補(bǔ)角和余角的性質(zhì)解決實(shí)際問題。教學(xué)內(nèi)容角角知識點(diǎn)二：角的度量1、角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊。此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.2、角的表示方法：一是用三個(gè)大寫英文字母表示；二是用角的頂點(diǎn)的一個(gè)大寫英文字母表示；三是用一個(gè)小寫希臘字母或一個(gè)數(shù)字表示.例如下圖：要點(diǎn)詮釋：①角的兩種定義是從不同角度對角進(jìn)行的定義；②當(dāng)一個(gè)角的頂點(diǎn)有多個(gè)角的時(shí)候，不能用頂點(diǎn)的一個(gè)大寫字母來表示.3、角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.要點(diǎn)詮釋：①度、分、秒的換算是60進(jìn)制，與時(shí)間中的小時(shí)分鐘秒的換算相同；②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式（即從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化）時(shí)用乘法逐級進(jìn)行；由度分秒的形式化成度（即低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化）時(shí)用除法逐級進(jìn)行；③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進(jìn)一，減一乘60。4、角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°<∠β<180°∠β=180°∠β=360°知識點(diǎn)三：角的比較與運(yùn)算1、角的比較方法:①度量法；②疊合法.2、角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，例如：如下圖，因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.知識點(diǎn)四：角的互余、互補(bǔ)關(guān)系1、余角、補(bǔ)角（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補(bǔ)角.其中∠1是∠2的補(bǔ)角，∠2是∠1的補(bǔ)角.（3）結(jié)論:同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等.要點(diǎn)詮釋：①余角（或補(bǔ)角）是兩個(gè)角的關(guān)系，是成對出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)角不能稱其為余角（或補(bǔ)角）.②一個(gè)角的余角（或補(bǔ)角）可以不止一個(gè)，但是它們的度數(shù)是相同的.③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān)．④“等角是相等的幾個(gè)角”，而“同角是同一個(gè)角”.知識點(diǎn)四：方位角以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.要點(diǎn)詮釋：（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的，所以在應(yīng)用中：一要確定其始邊是正北還是正南；二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西；三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小。（2）北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向。（3）方位角在航行、測繪等實(shí)際生活中的應(yīng)用十分廣泛?！究键c(diǎn)1：角的概念與表示方法】【例1】在下列四個(gè)圖形中，能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個(gè)角的圖形是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1、如圖，下列說法中不正確的是（）A．∠1與∠AOB是同一個(gè)角 B．∠α與∠COB是同一個(gè)角 C．∠AOC可以用∠O來表示 D．圖中共有三個(gè)角：∠AOB，∠BOC，∠AOC2、下列說法中，正確的有個(gè)①小于90°的角是銳角；②等于90°的角是直角；③大于90°的角是鈍角；④平角等于180°；⑤周角等于360°．3、如圖所示，回答下列問題：（1）寫出能用一個(gè)字母表示的角：________________；（2）寫出以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的角________________；（3）圖中共有______________個(gè)小于平角的角．【考點(diǎn)2：角的個(gè)數(shù)問題】【例2】如圖，已知∠MON，在∠MON內(nèi)畫一條射線時(shí)，則圖中共有3個(gè)角；在∠MON內(nèi)畫兩條射線時(shí)，則圖中共有6個(gè)角；在∠MON內(nèi)畫三條射線時(shí)，則圖中共有10個(gè)角；……．按照此規(guī)律，在∠MON內(nèi)畫20條射線時(shí)，則圖中角的個(gè)數(shù)是（）A．190 B．380 C．231 D．462【變式訓(xùn)練】1、如圖，在已知一個(gè)角內(nèi)部畫射線，畫1條射線，圖中共有3個(gè)角；畫2條射線，圖中共有6個(gè)角；畫3條射線，圖中共有10個(gè)角；求畫9條射線得的角的個(gè)數(shù)是（）A．10個(gè) B．18個(gè) C．45個(gè) D．55個(gè)2、歸納與猜想：（1）觀察上圖填空：圖1中有個(gè)角；圖2中有個(gè)角；圖3中有個(gè)角；（2）根據(jù)（1）題猜想：在一個(gè)角內(nèi)引n?2條射線可組成個(gè)角．

【考點(diǎn)3：角的單位與角度制】【例31】把7.26°用度、分、秒表示正確的是（）A．7°2'12″ B．7°2'6【例32】用度表示49°31′21″＝．【變式訓(xùn)練】1、30.12°＝°′″；100°12′36″＝°．2、（1）26.25°=°′；（2）57°27'=【考點(diǎn)4：角的四則運(yùn)算】【例4】計(jì)算：（1）180°?46°42'（2）28°36'（3）50°24'（4）49°28'5【變式訓(xùn)練】1、計(jì)算：（1）45°10′﹣21°35′20′′；（2）48°39′+67°31′﹣21°17′；（3）42°16′+18°23′×2．2、計(jì)算：（1）90°﹣36°12′15″；（2）32°17′53″+42°42′7″；（3）53°÷8．3、計(jì)算72°34′÷2+18°33′×4＝．【考點(diǎn)5：鐘表問題】【例5】上午8：30時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)鶌A銳角的度數(shù)是（）A．75° B．80° C．70° D．67.5°【變式訓(xùn)練】1、小亮研究鐘面角（時(shí)針與分針組成的角），2：15的鐘面角為度．2、下午3：40，時(shí)針和分針的夾角是（）A．130° B．135° C．140° D．145°3、時(shí)鐘在7時(shí)50分時(shí)，時(shí)針和分針的夾角為度．4、從8：13分到8：37分，時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度是（

）A．148° B．144° C．136° D．108°5、某同學(xué)晚上6點(diǎn)多鐘開始做作業(yè)，他家墻上時(shí)鐘的時(shí)針和分針的夾角是120°，他做完作業(yè)后還是6點(diǎn)多鐘，且時(shí)針和分針的夾角還是120°，此同學(xué)做作業(yè)大約用了（）A．40分鐘 B．42分鐘 C．44分鐘 D．46分鐘【考點(diǎn)6：方位角】【例6】如圖，在O點(diǎn)的觀測站測得漁船A位于東北方向，漁船B位于南偏西30°方向，為了減少相互干擾并取得較好的捕魚效益，漁船C恰好位于∠AOB的平分線上，則漁船C相對觀測站O的方向?yàn)椋ǎ〢．南偏東52.5° B．南偏東37.5° C．南偏東53.5° D．南偏東82.5°【變式訓(xùn)練】1、如圖，B地在A地的（）A．北偏東60°，相距200m處 B．北偏西60°，相距200m處 C．南偏西60°，相距200m處 D．北偏東30°，相距200m處2、如圖，PA，PB表示以P為起點(diǎn)的兩條公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏東56°，則這兩條公路的夾角∠APB＝°．【考點(diǎn)7：利用角平分線的定義求角度】【例7】如圖，點(diǎn)O在直線AB上，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝30°，求∠EOB的大?。咀兪接?xùn)練】1、O是直線AE上一點(diǎn)，∠BOD＝90°，OC平分∠BOE，∠COD＝25°．（1）求∠COE的度數(shù)；（2）求∠AOD的度數(shù)．2、如圖，直線AB經(jīng)過點(diǎn)O，OA平分∠COD，OB平分∠MON，若∠AON＝150°，∠BOC＝120°．（1）求∠MON的度數(shù)；（2）求∠DOM的度數(shù)．3、已知，如圖所示，OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線．（1）若∠AOB＝130°，則∠COE是多少度？（2）若∠COE＝65°，∠COD＝20°，則∠BOE是多少度？4、如圖，O為直線AB上的一點(diǎn)，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°①求∠BOD的度數(shù)；②OE是∠BOC的平分線嗎？為什么？【考點(diǎn)8：設(shè)未知數(shù)求角度】【例81】如圖，點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，OD平分∠AOC，∠BOE＝3∠COE，∠DOE＝81°，求∠BOE，∠AOD的度數(shù)．【例82】如圖，∠AOC與∠BOC的度數(shù)比為5：2，OD平分∠AOB，若∠COD＝15°，求∠AOB的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1、如圖，點(diǎn)O在直線AC上，OD平分∠AOB，∠COE＝2∠EOB，∠DOE＝70°，求∠EOC．2、如圖，已知∠AOC：∠BOC＝1：5，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度數(shù)．【考點(diǎn)9：余角、補(bǔ)角的性質(zhì)】【例91】若∠α與∠β互余，且∠α＝3∠β，則∠β＝（）A．22°30' B．22°50' C．25° D．45°【例92】已知∠α＝25°30'，則它的補(bǔ)角為（）A．25°30′ B．64°30' C．164°30' D．154°30′【變式訓(xùn)練】1、已知∠α＝60°36′，則∠α的余角是．（用度表示）2、如圖，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足是D，則圖中與∠B互余的角有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3、已知一個(gè)角的補(bǔ)角是115°，則這個(gè)角是度．【考點(diǎn)10：利用補(bǔ)角和余角計(jì)算求值】【例10】若一個(gè)角的補(bǔ)角比它的余角的2倍還多70°，則這個(gè)角的度數(shù)為多少度？【變式訓(xùn)練】1、若一個(gè)角的補(bǔ)角加上20°后等于這個(gè)角余角的3倍，則這個(gè)角的度數(shù)為（）A．25° B．35° C．45° D．55°2、若一個(gè)角的余角是它的補(bǔ)角的，則這個(gè)角的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．120° D．150°3、已知一個(gè)角的余角比它的補(bǔ)角的還少5°，求這個(gè)角．【考點(diǎn)11：補(bǔ)角、余角和角平分線綜合運(yùn)算】【例11】如圖，∠AOC和∠AOB分別是∠AOD的余角和補(bǔ)角，且OD是∠BOC的平分線．求∠AOD的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1、如圖，點(diǎn)A，O，B在一條直線上，∠AOC＝3∠COD，OE平分∠BOD．（1）若∠COD＝10°，求∠AOC的余角的度數(shù)；（2）若∠AOC＝45°，求∠COE的度數(shù)．2、如圖，已知O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．（1）求∠BOC，∠DOE的度數(shù)；（2）寫出∠BOE的余角．3、如圖，已知∠AOB的補(bǔ)角等于它的余角的10倍．（1）求∠AOB的度數(shù)；（2）若OD平分∠BOC，∠AOC＝3∠BOD，求∠AOD的度數(shù)．4、將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起．（1）若∠DCE＝35°，則∠ACB的度數(shù)為；（2）若∠ACB＝144°42′，則∠DCE的度數(shù)為；（3）猜想∠ACB與∠DCE的大小關(guān)系，并說明理由．【考點(diǎn)12：角的綜合問題】【例12】如圖所示，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如果∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，求∠MON的度數(shù)；（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β（α，β均為銳角，α＞β），其他條件不變，求∠MON的度數(shù)（用含α，β的式子表示）；（3）從（1）（2）的結(jié)果中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【變式訓(xùn)練】1、如圖1，∠AOB＝120°，射線OP以1°/秒的速度從OA出發(fā)，射線OQ以2