人教A版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第一章1.3.2空間向量運算的坐標表示課件

1.3.2空間向量運算的坐標表示第一章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運算的坐標表示整體感知[學習目標]

1．掌握空間向量運算的坐標表示．(數(shù)學運算)2．掌握空間兩點間的距離公式，并會用向量的坐標解決一些簡單的幾何問題．(數(shù)學運算、邏輯推理)

[討論交流]

問題1．如何用坐標來表示空間向量的運算？問題2．如何用坐標來表示空間向量平行和垂直的條件、模和夾角的計算公式？問題3．空間兩點間的距離公式是什么？[自我感知]

經(jīng)過認真的預習，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構(gòu)探究1空間向量的坐標運算探究問題1設平面向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a＋b，a－b，λa，a·b的運算結(jié)果分別是什么？[提示]

a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；a－b＝(a1－b1，a2－b2)；λa＝(λa1，λa2)；a·b＝a1b1＋a2b2.探究問題2你能由平面向量運算的坐標表示類比得出空間向量運算的坐標表示嗎？若能，請嘗試證明．[提示]

設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．證明如下：設{i，j，k}為空間的一個單位正交基底，則a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，所以a±b＝(a1±b1)i＋(a2±b2)j＋(a3±b3)k＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝λ(a1i＋a2j＋a3k)＝λa1i＋λa2j＋λa3k＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝(a1i＋a2j＋a3k)·(b1i＋b2j＋b3k)＝a1b1＋a2b2＋a3b3(由數(shù)量積的分配律及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0得)．[新知生成]1．設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量運算向量表示坐標表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λa(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3

【教用·微提醒】

(1)運用公式可以簡化運算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)向量線性運算的結(jié)果仍是向量；數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量．減去(x2－x1，y2－y1，z2－z1)

(－5，2，3)

(1，2，1)

反思領悟

空間向量坐標運算的規(guī)律(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定．(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算．(3)由條件求向量或點的坐標：把向量或點的坐標形式設出來，通過解方程(組)，求出其坐標．

探究2空間向量平行、垂直的坐標表示及應用探究問題3設平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b，a⊥b的充要條件分別是什么？對于空間向量是不是也有類似的結(jié)論？[提示]

a∥b?x1y2－x2y1＝0；a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．對于空間向量也有類似結(jié)論．[新知生成]設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則平行(a∥b)a∥b(b≠0)?a＝λb?_______________________________垂直(a⊥b)a⊥b?a·b＝0?_____________________(a，b均為非零向量)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

2．本例中，若點G是A1D的中點，點H在平面Dxy上，且GH∥BD1，試判斷點H的位置．

反思領悟

判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件；已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關系轉(zhuǎn)化為坐標關系，列方程(組)求解．[學以致用]

2．已知A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，點P(x，y，1)，若PA⊥平面ABC，則點P的坐標為___________．

(0，1，1)【鏈接·教材例題】例2如圖1.3-8，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點．求證EF⊥DA1.考向2

向量的平行、垂直關系在立體幾何證明中的應用

[典例講評]

3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G，H分別是CC1，BC，CD和A1C1的中點．求證：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面EFD．

反思領悟

利用向量的坐標運算證明平行或垂直，要建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求出相關向量的坐標，利用向量平行、垂直的充要條件證明．

(1)求AM的長．(2)求BE1與DF1所成角的余弦值．

[典例講評]

4．(源自湘教版教材)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點．(1)求證：EF⊥CF；(2)求CE的長；(3)求EF與CG所成角的余弦值．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

用空間向量的坐標運算解決夾角和距離問題的基本思路是什么？[提示]

(1)根據(jù)條件建立適當?shù)目臻g直角坐標系．(2)寫出相關點的坐標，用向量表示相關元素．(3)通過向量的坐標運算求夾角和距離．

[解]

如圖所示，以點C為原點，CA，CB，CC′所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．

應用遷移23題號41

√

23題號412．已知向量a＝(1，2，1)，b＝(1，－1，m)，且a·b＝－2，則m＝(

)A．－1

B．1C．－2

D．2√A

[由題意，可得a·b＝1×1＋2×(－1)＋1×m＝－2，解得m＝－1.故選A．]23題號41

√23題號41

23題號414．與a＝(2，－1，2)共線且滿足a·b＝－9的向量b＝_______________．

(－2，1，－2)

1．知識鏈：(1)向量的坐標運算．(2)向量的坐標表示的應用．2．方法鏈：直接法，類比、轉(zhuǎn)化，待定系數(shù)法．3．警示牌：(1)由兩向量共線直接得到兩向量對應坐標的比相等．(2)求異面直線所成的角時易忽略范圍，討論向量夾角易忽略向量共線的情況．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．如何用空間向量的坐標運算表示平行、垂直、模及夾角？

2．你是如何用空間向量的坐標運算來研究平行、垂直、夾角和距離的？[提示]

(1)根據(jù)條件建立適當?shù)目臻g直角坐標系；(2)求出相關點的坐標，用向量表示相關元素；(3)通過向量的坐標運算研究平行、垂直、夾角和距離．課時分層作業(yè)(六)空間向量運算的坐標表示題號1352468791011121314

√

題號1352468791011121314題號13524687910111213142．在平行四邊形ABCD中，A(1，－1，－3)，B(2，2，4)，C(0，3，6)，則點D的坐標為(

)A．(－1，3，3)

B．(1，0，－1)C．(3，－1，2)

D．(－1，0，－1)√題號1352468791011121314

題號3524687910111213141

√√題號3524687910111213141

題號3524687910111213141

√

題號3524687910111213141

√題號3524687910111213141

題號3524687910111213141

2

題號3524687910111213141

題號3524687910111213141

題號3524687910111213141

題號3524687910111213141三、解答題9．已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c.(1)求向量a，b，c；(2)求向量a＋c與b＋c所成角θ的余弦值．

題號3524687910111213141

題號3524687910111213141

√√

題號3524687910111213141

題號3524687910111213141題號3524687910111213141

√題號3524687910111213141

題號3524687910111213141

√題號3524687910111213141

題號3524687910111213141

題號3524687910111213141

題號3524687910111213