專題13 難點探究專題：利用一元一次方程解決實際問題壓軸題五種模型全攻略（原卷版）

專題13難點探究專題：利用一元一次方程解決實際問題壓軸題五種模

型全攻略

【考點導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】....................................................................................................................................................1

【類型一一元一次方程的應(yīng)用--古代問題】..................................................................................................1

【類型二一元一次方程的應(yīng)用--銷售問題】..................................................................................................3

【類型三一元一次方程的應(yīng)用--方案問題】..................................................................................................6

【類型四一元一次方程的應(yīng)用--電費和水費問題】.....................................................................................8

【類型五一元一次方程的應(yīng)用--數(shù)軸上的行程問題】...............................................................................11

【典型例題】

【類型一一元一次方程的應(yīng)用--古代問題】

例題：（2023秋·安徽淮北·七年級校考期末）我國明代珠算家程大位的名著《直指算法統(tǒng)宗》里有一道著名

算題：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？”意思是：有100個和尚分

100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完．試問大、小和尚各多少人？

【變式訓(xùn)練】

1．（2022·江西新余·統(tǒng)考一模）《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，其中記載的“蕩杯問題”很有

趣．《孫子算經(jīng)》記載“今有婦人河上蕩杯，津吏問曰：杯何以多？婦人曰：家有客．津吏曰：客幾何？婦

人曰：二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．不知客幾何？譯文：“2人同吃一碗飯，3人同吃

一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65個碗，問有多少客人？”設(shè)共有客人x人，可列方程為．

2．（2023秋·陜西西安·七年級西安市鐵一中學(xué)校考開學(xué)考試）《九章算術(shù)》中“盈不足術(shù)”有這樣的問題，“今

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有共買羊，人出六，不足四十五：人出八，不足三，問人數(shù)幾何？”題意是：若干人共同出資買羊，每人出

6元，則差45元；每人出8元，則差3元．則買單的人有個．

3．（2023秋·遼寧錦州·七年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，其中第六章《均輸》卷

記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問題：“今有鳧（讀fú，指野鴨）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今

鳧雁俱起，問何日相逢？”題目大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海．現(xiàn)

野鴨從南海、大雁從北海同時起飛（兩者的飛行路線相同），問經(jīng)過多少天相遇？

4．（2023秋·七年級課時練習(xí)）我國古代對于利用方程解決實際問題早有研究，《九章算術(shù)》中提到這么一

道“以繩測井”的題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾

何？這道題大致意思是：用繩子測量水井深度，如果將繩子折成三等份去測，那么繩子會多出四尺；如果

將繩子折成四等份去測，那么繩子會多出一尺．繩長和井深各多少尺？

5．（2023·安徽六安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）我國古代名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒

一斗直粟二斗，今持粟兩斛，問清、醐酒各幾何？”大意：現(xiàn)在一斗清酒價值8斗谷子，一斗醐酒價值2斗

谷子，拿20斗谷子共換了4斗酒，問清酒、醐酒各幾斗？

6．（2023秋·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（公元3～4世紀），是代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人之一．在

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他的墓碑上記載著：“他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，兩?長起了細細的胡須；又度過了一

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生的，他結(jié)婚了；再過5年，他有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他全部年齡的一半；兒子死后，

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他在極度痛苦中度過了4年，與世長辭了．”

(1)設(shè)丟番圖的壽命為x歲，根據(jù)題意得兒子出生時丟番圖的年齡為_________歲，兒子的壽命為_________

歲；

(2)用你喜歡的方式，求出丟番圖和兒子的壽命分別為多少歲？

【類型二一元一次方程的應(yīng)用--銷售問題】

例題：（2023春·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末）2023年4月16日至18日“金沙貢茶文化節(jié)”在巖孔貢茶古鎮(zhèn)舉

行，開幕式上12家茶企茶商代表進行了集中簽約．其中某采購商計劃購進甲、乙兩種茶葉商品．已知甲種

茶葉商品的每件進價比乙種茶葉商品的每件進價少20元．若購進甲種茶葉商品5件，乙種茶葉商品3件，

共需要700元．

(1)求甲、乙兩種茶葉商品每件的進價分別是多少元?

(2)該采購商購進了甲種茶葉商品300件，乙種茶葉商品200件．在銷售時，甲種茶葉商品的每件售價為110

元，要使得這500件茶葉商品所獲利潤率為30％，求每件乙種茶葉商品的售價是多少元?

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期末）某百貨超市經(jīng)銷甲、乙兩種服裝，甲種服裝每件進價120元，售價

150元；乙種服裝每件進價200元，售價320元．

(1)若該百貨超市同時購進甲、乙兩種服裝共40件，總進價用去6000元，購進甲種服裝多少件？

(2)在“雙11購物節(jié)”當天，該百貨超市實行“每滿100元減30元”的優(yōu)惠促銷（比如：某顧客購物120元，他

只需付款90元），張先生這天買了一件乙種服裝．到了第二天，百貨超市又推出：先打折，再參與“每滿100

元減30元”的讓利活動，他發(fā)現(xiàn)一件乙種服裝打折后的價錢在200元到299元之間此時購買反而要多付7.6

元．在該百貨超市第二天推出的讓利活動下，購買一件甲種服裝需要多少元？

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2．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）某水果店第一次購進西瓜400千克，由于天氣炎熱，很快賣完．該店馬上

又購進800千克西瓜，進貨價比第一次每千克少0.5元，兩次進貨共花費4400元．

(1)這兩次購進的西瓜進貨價分別是每千克多少元?

(2)在銷售過程中，兩次進的西瓜售價相同．由于西瓜是易壞水果，第一次購進的西瓜有4%的損耗，第二次

購進的西瓜有5%的損耗，該水果店售完這些西瓜共獲利3036元，每千克西瓜的售價為多少元?

3．（2023春·山東泰安·六年級?？奸_學(xué)考試）玉玲超市經(jīng)銷的甲、乙兩種商品，甲種商品每件售價80元，

利潤率60%；乙種商品每件進價40元，售價60元．

(1)每件甲種商品的進價為元；每件乙商品的利潤率為．

(2)若該商場同時購進甲、乙兩種商品共500件，總進價為21000元，求購進甲種商品多少件？

(3)“元旦”期間，該超市對乙商品進行如下優(yōu)惠促銷活動：

打折前一次性購物總金額優(yōu)惠措施

少于或等于450元不優(yōu)惠

超過450元，但不超過600元按購物總金額打九折

超過600元其中600元部分八五折優(yōu)惠，超過600元的部分打三折優(yōu)惠

按上述優(yōu)惠條件，若小華購買乙種商品實際付款564元，求小華在商場購買乙商品多少件？

4．（2023秋·江蘇鹽城·七年級?？计谀└鶕?jù)疫情防控有關(guān)部署和上級教育行政部門既有安排，結(jié)合我市中

小學(xué)幼兒園實際，為保護廣大師生安全健康，市教育局經(jīng)研究決定：2022年12月19日起，全市中小學(xué)本

學(xué)期剩余時間全部進行線上教學(xué)．七年級某班家委會決定在網(wǎng)上統(tǒng)一購買一批防藍光眼鏡，網(wǎng)上某店鋪的

標價為90元/副，優(yōu)惠活動如下：

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銷售量單價

不超過10副的部分每副立減14元

超過10副但不超過20副的部分每副立減22元

超過20副的部分每副立減30元

(1)①若該班級家委會購買了2副這種防藍光眼鏡，花了___________元；

②若該班級家委會購買了15副這種防藍光眼鏡，花了___________元；

③若該班級家委會購買了xx20副這種防藍光眼鏡，花了___________元；（用含x的代數(shù)式表示）

(2)若該班級家委會購買的這種防藍光眼鏡均價為69.6元，求他們購買的數(shù)量．

5．（2023秋·四川成都·七年級?？计谀┑?1屆世界大學(xué)生夏季運動會將于2023年7月28日在成都舉行，

某經(jīng)銷商銷售帶有“蓉寶”吉祥物標志的甲、乙兩種紀念品，若經(jīng)銷商購進30個甲類紀念品和40個乙類紀念

品共需要4300元．已知甲、乙兩種紀念品的進價和售價如表：

種類種類進價（元/件）售價（元/件）

甲a80

乙a2090

(1)甲、乙兩種紀念品每件進價各多少元？

(2)經(jīng)銷商第一次購進甲類和乙類紀念品共200個，全部售完后總利潤（利潤售價進價）為4700元，求

甲類和乙類紀念品分別購進多少個？

(3)經(jīng)銷商第二次購進了與第（2）問中第一次同樣多的甲類和乙類紀念品，由于兩類紀念品進價都比上次優(yōu)

惠了20%，甲類紀念品進行打折出售，乙類紀念品價格不變，全部售完后總利潤比上次還多賺1400元，求

甲類紀念品打了幾折？

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【類型三一元一次方程的應(yīng)用--方案問題】

例題：（2023秋·河南省直轄縣級單位·七年級校聯(lián)考期末）按照“雙減”政策，為豐富課后托管服務(wù)內(nèi)容，學(xué)

校準備訂購一批籃球和跳繩，經(jīng)過市場調(diào)查后發(fā)現(xiàn)籃球每個定價70元，跳繩每條定價10元．某體育用品

商店提供A、B兩種優(yōu)惠方案：

A方案：買一個籃球送一條跳繩；

B方案：籃球和跳繩都按定價的90%付款．

已知要購買籃球50個，跳繩x條（x50）

(1)若按A方案購買，一共需付款_________元（用含x的代數(shù)式表示）；若按B方案購買，一共需付款_________

元（用含x的代數(shù)式表示）．

(2)購買跳繩條數(shù)為多少時，兩種方案的收費相同？

(3)當x100時，你能設(shè)計出一種最省錢的購買方案嗎？請寫出你的購買方案，并計算需付款多少元？

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）暑假期間，甲、乙兩單位準備組織退休職工到某風(fēng)景區(qū)游玩，甲、

乙兩單位共102人，其中甲單位人數(shù)多于乙單位人數(shù)，且甲單位人數(shù)不夠100人．經(jīng)了解，該風(fēng)景區(qū)的門票

價格如下表：

數(shù)量(張)1~5051~100101張及以上

單價(元/張)60元50元40元

如果兩單位分別單獨購買門票，一共應(yīng)付5500元．

(1)甲、乙兩單位各有多少名退休職工準備參加游玩？

(2)如果甲單位有12名退休職工因身體原因不能外出游玩，那么你有幾種購買方案，通過比較，你該如何購

買門票才能最省錢？

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2．（2023秋·海南省直轄縣級單位·七年級統(tǒng)考期末）某學(xué)校計劃購買書柜20張和書架x只（x＞20），現(xiàn)從

A、B兩家超市了解到：書柜每張300元，書架每只80元．A超市的優(yōu)惠政策為每買一張書柜贈送一只書架；

B超市的優(yōu)惠政策為所有商品八折．

(1)若學(xué)校到同一家超市選購所有商品，則到A超市購買費用是______元（用含x的式子表示），到B超市購

買費用是_____元（用含x的式子表示）；

(2)在（1）的條件下，當購買書架x多少只時？到A、B兩家超市購買費用相等．

(3)學(xué)校要購買20張書柜和60只書架．

①若學(xué)校到同一家超市選購所有商品，則到A超市購買費用是______元，到B超市購買費用是____元；

②假如你是本次購買的負責(zé)人，且可到兩家超市自由選購，請你設(shè)計一種購買方案，使購買費用更少，并

求出購買費用是多少元？

3．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）2022年11月30日，神舟十五號載人飛船與中國空間站成功完

成全自主快速交會對接．中國首次實現(xiàn)空間站三船三艙構(gòu)型，以及6名航天員同時在軌駐留．正式開啟了

中國空間站常態(tài)化運營的新篇章．中國空間站模型在某商店價格規(guī)定如下表：

購買數(shù)量1—50套51—100套100套以上

每套價格13元11元9元

某校七年級（1）班和（2）班共104人計劃購買模型，其中（1）班有40

多人，不足50人，經(jīng)估算，如果兩個班以班為單位每人購買一套，則一共應(yīng)付1240元，問：

(1)兩班各有多少學(xué)生？

(2)如果兩班聯(lián)合起來，作為一個團體購買模型，可省多少錢？

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(3)如果七年級（1）班單獨組織去購買模型，作為組織者的你如何采購才最省錢？

4．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）有下列兩種移動電話計費方法：

月使用費/元主叫限定時間/min主叫超時費/（元/min）被叫

A套餐381000.2免費

B套餐985000.25免費

其中，月使用費固定收，主叫不超過限定時間不再收費，主叫超過部分加收超時費，被叫免費．

(1)小慧的爸爸6月份主叫時間200分鐘，則選用A套餐比選用B套餐節(jié)省_________元．

(2)小宇的爸爸選擇A套餐，小謙的爸爸選擇B套餐，7月份他們的通話費相等，小宇的爸爸比小謙的爸爸

主叫時間少20分鐘，求小宇的爸爸7月份的主叫時間．

(3)設(shè)主叫時間為t分鐘，直接寫出t滿足什么條件時，B套餐省錢．

【類型四一元一次方程的應(yīng)用--電費和水費問題】

例題：（2023秋·七年級課時練習(xí)）目前，某市“一戶一表”居民用電實行階梯電價，具體收費標準如下．

一戶居民一個月用電量（單位：度）電價（單位：元/度）

第1檔不超過180度的部分0.5

第2檔超過180度的部分0.6

(1)若該市某戶12月用電量為200度，該戶應(yīng)交電費________元．

(2)若該市某戶12月用電量為x度，請用含x的式子分別表示0x180和x180時該戶12月應(yīng)交電費多少

元．

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(3)若該市某戶12月應(yīng)交電費126元，則該戶12月用電量為多少度？

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）為鼓勵居民節(jié)約用電，某市電力公司實行“階梯電價”收費，收費標

準如下表：

每戶每月用電量（度）電費（元/度）

不超過200度0.5

超過200度且不超過500度的部分0.6

超過500度的部分0.8

(1)小明家今年3月份用電310度，求小明家3月份應(yīng)繳電費多少元？

(2)小明家今年7月份用電增大，7月份的平均電價為0.64元/度，求小明家今年7月份用電多少度？

2．（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）一家通訊公司推出兩種移動電話計費方法，如表所示：

計費方法A計費方法B

每月基本服務(wù)費（元/月）68元98元

每月免費通話時間（分）200分500分

超出后每分鐘收費（元/分）0.25元0.20元

(1)若月通話時間是5小時，則使用計費方法A的用戶話費為元，使用計費方法B的用戶話費為

元；

(2)若月通話時間是x分鐘x＞500，則按A、B兩種計費方法的用戶話費分別是多少？（用含x的代數(shù)式表

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示）

(3)當通話時間為多長時，按A、B兩種計費方法所需的用戶話費相等？

3．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）某地今年夏季降雨量大幅下降，水電發(fā)電量嚴重受限，再加上高溫

天氣持續(xù)，居民用電量居高不下，電力供需形勢十分嚴峻．已知該地為節(jié)約用電，利用價格調(diào)控的手段，

規(guī)定了居民生活用電的階梯收費標準如下：

價目表

每月用電量價格

不超過180千瓦時的部分0.5元/千瓦時

超過180千瓦時，但不超過280千瓦時的部分0.6元/千瓦時

超過280千瓦時的部分0.8元/千瓦時

(1)若小明家8月份用電200千瓦時，則應(yīng)繳多少電費；

(2)若小明家8月份用電a千瓦時（其中a280），則應(yīng)繳多少電費；（用含a的代數(shù)式表示，并化簡）

(3)若小明家8月份繳電費326元，求小明家8月份用電多少千瓦時．

4．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）某市為了加強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，采用價格調(diào)控的

手段以達到節(jié)水的目的，該市2022年自來水收費的價目表如下（注：水費按月份結(jié)算，m3表示立方米），

請根據(jù)表中的內(nèi)容解答下列問題：

每月用水量價格

價不超出12m3的部分2.5元/m3

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目超出12m3不超出20m3的部分4元/m3

表超出20m3的部分7.5元/m3

(1)若某用戶9月份用水10m3，則應(yīng)交水費__________元；

(2)若該用戶10月份應(yīng)收水費77元，則用水__________m3;

(3)若該用戶11月份和12月份兩個月共用水40m3（11月份用水量超過了12月份），設(shè)12月份用水xm3，

求該用戶11?12兩個月各交水費多少元．（用含x的代數(shù)式表示，并化簡）

5．（2023春·浙江杭州·七年級?？茧A段練習(xí)）國慶黃金周，某商場促銷方案規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標價的

80%出售，同時當顧客在商場內(nèi)一次性消費滿一定金額后，按下表獲得相應(yīng)的返還金額：

消費金額（元）小于或等于500元500～10001000～15001500以上

返還金額（元）060100150

注：500～1000表示消費金額大于500元且小于或等于1000元，其他類同．

根據(jù)上述促銷方案，顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠．例如，若購買標價為1200元的商品，則消費金

額為960元，獲得的優(yōu)惠額為1200180%60300（元）．

(1)購買一件標價為1800元的商品，顧客獲得的優(yōu)惠額是多少？

(2)若顧客在該商場購買一件標價x元x1250的商品，那么該顧客獲得的優(yōu)惠額為多少？（用含有x的代

數(shù)式表示）

(3)若顧客在該商場第一次購買一件標價x元x1250的商品后，第二次又購買了一件標價為800元的商品，

兩件商品的優(yōu)惠額共為768元，則這名顧客第一次購買商品的標價是多少？

【類型五一元一次方程的應(yīng)用--數(shù)軸上的行程問題】

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例題：（2023秋·全國·七年級課堂例題）[應(yīng)用意識]如圖，數(shù)軸上A,B兩點所表示的數(shù)分別為5,10,O為原點，

C為數(shù)軸上一動點且表示的數(shù)為x．點P以2個單位長度/秒的速度，點Q以3個單位長度/秒的速度，分別

自A,B兩點同時出發(fā)，相向而行，在數(shù)軸上運動．設(shè)運動時間為t秒．

(1)若點P,Q在點C處相遇，求點C所表示的數(shù)x；

(2)若OPOQ，求t的值；

(3)當PQ5時，求t的值；

(4)若同時一只寵物鼠以4個單位長度/秒的速度從點B出發(fā)，與點P相向而行，寵物鼠遇到點P后立即返回，

又遇到點Q后立即返回，又遇到點P后立即返回……直到點P,Q相遇為止．求寵物鼠在整個過程中所經(jīng)過的

路程．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023春·四川自貢·七年級四川省榮縣中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上點A表示的為8，B是數(shù)軸上

一點，點B在點A左邊且點A點B的距離AB14，動點P、Q分別從點A、B兩點同時向左移動，點P的

度為每秒3個單位長度，點Q的速度為每秒1個單位長度．

(1)求出數(shù)軸上點B表示的數(shù)；

(2)求經(jīng)過幾秒點P追上點Q？

(3)經(jīng)過幾秒，P、Q兩點的距離為6個單位長度，并求出此時點P表示的是多少？

2．（2023秋·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）問題提出：

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2

（1）如圖，點A,C在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是a,c，且滿足a12c100，則a______，c______．

問題探究：

（2）將小木棒AB,CD放到圖上的位置．AB長為3，CD長為6，將AB以2個單位長度/秒的速度向右運動，

同時CD以3個單位長度/秒的速度向左運動，求兩根木棒擦身而過，從點A與點C相遇到點B與點D相遇

經(jīng)歷的時間．

問題解決：

（3）有一條長為0.6千米的雙向多道隧道．某時刻從隧道兩端點分別駛來兩列高鐵（此時兩車車頭恰好在

隨道兩端點）．甲車長240米．乙車長200米，甲車車速為3千米/分鐘，乙車車速為2千米/分鐘．請直接

寫出甲、乙兩車從車頭相遇到車尾相遇所經(jīng)歷的時間．

3．（2023春·廣東梅州·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖將一條數(shù)軸在原點O，點B，點C，點D處各折一下，得

到一條“折線數(shù)軸”．圖中點A表示8，點B表示8，點C表示16，點D表示24，點E表示28，我們稱點

A和點E在數(shù)軸上相距36個長度單位．動點P從點A出發(fā)，以4單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向

運動，同時，動點Q從點E出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負方向運動，兩點上坡時速度均變?yōu)槌跏?/p>

速度的一半，下坡時速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊膬杀?，平地則保持初始速度不變．當點P運動至點