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文檔簡(jiǎn)介
第四部分三角形
專題12角、相交線與平行線(6大考點(diǎn))
核心考點(diǎn)一直線和線段
核心考點(diǎn)二角與角平分線
核心考點(diǎn)三相交線
核心考點(diǎn)
核心考點(diǎn)四平行線的判定
核心考點(diǎn)五利用平行線求角度或證明
核心考點(diǎn)六命題
新題速遞
核心考點(diǎn)一直線和線段
例1(2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題)互不重合的A、B、C三點(diǎn)在同一直線上,已知AC=2a+1,BC=a+4,
AB=3a,這三點(diǎn)的位置關(guān)系是()
A.點(diǎn)A在B、C兩點(diǎn)之間B.點(diǎn)B在A、C兩點(diǎn)之間
C.點(diǎn)C在A、B兩點(diǎn)之間D.無法確定
【答案】A
【分析】分別對(duì)每種情況進(jìn)行討論,看a的值是否滿足條件再進(jìn)行判斷.
【詳解】解:①當(dāng)點(diǎn)A在B、C兩點(diǎn)之間,則滿足BCACAB,
即a42a13a,
3
解得:a,符合題意,故選項(xiàng)A正確;
4
②點(diǎn)B在A、C兩點(diǎn)之間,則滿足ACBCAB,
即2a1a43a,
3
解得:a,不符合題意,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;
2
③點(diǎn)C在A、B兩點(diǎn)之間,則滿足ABBCAC,
即3aa42a1,
解得:a無解,不符合題意,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
故選項(xiàng)D錯(cuò)誤;
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故選:A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的和與差及一元一次方程的解法,分類討論并列出對(duì)應(yīng)的式子是解本題的關(guān)
鍵.
例2(2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題)如圖,在ABC中,∠ABC=90°,∠A=60°,直尺的一邊與BC重
合,另一邊分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.點(diǎn)B,C,D,E處的讀數(shù)分別為15,12,0,1,則直尺寬BD的長
為_________.
【答案】23
3
3
【分析】先求解AB=3,AD=,再利用線段的和差可得答案.
3
【詳解】解:由題意可得:DE=1,DC=15-12=3,
A60,ABC90,
BC3
\AB===3,
tan60°3
DE13
同理:AD===,
tan60°33
323
\BD=AB-AD=3-=,
33
故答案為:23
3
【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角的正切的應(yīng)用,二次根式的減法運(yùn)算,掌握“利用銳角的正切求解三角形的邊長”
是解本題的關(guān)鍵.
例3(2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題)如圖,ABC和DEF,點(diǎn)E,F(xiàn)在直線BC上,ABDF,
AD,BF.如圖①,易證:BCBEBF.請(qǐng)解答下列問題:
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(1)如圖②,如圖③,請(qǐng)猜想BC,BE,BF之間的數(shù)量關(guān)系,并直接寫出猜想結(jié)論;
(2)請(qǐng)選擇(1)中任意一種結(jié)論進(jìn)行證明;
若,,,,則,.
(3)AB6CE2F60SABC123BC______BF______
【答案】(1)圖②:BCBEBF;圖③:BEBCBF
(2)證明見解析
(3)8,14或18
【分析】(1)先判斷兩個(gè)三角形全等,再結(jié)合線段的和差求解即可;
(2)先證兩個(gè)三角形全等,再結(jié)合線段的和差求解即可;
(3)過點(diǎn)A作△ABC的高AG,求出AG的長,再根據(jù)三角形的面積求出BC的長,進(jìn)而求出BF即可.
【詳解】(1)解:圖②:BCBEBF.
圖③:BEBCBF.
(2)解:圖②中
在ABC和△DFE中,
ABDF
∵AD,
BF
∴ABC≌△DFE,
∴BC=FE,
∴BF=BC+CE+EF=BC+CE+BC,
即BCBEBF.
或圖③中,BEBCBF
在ABC和△DFE中,
ABDF
∵AD,
ABCDFE
∴ABC≌△DFE,
∴BC=FE,
BEBFEF,
BEBCBFEFBCBFBCBCBF
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即BEBCBF.
(3)解:過點(diǎn)A作AG⊥BC于G,
∵ABC≌△DFE,
∴∠B=∠F=60°,
在Rt△ABG中,
∵AB=6,∠B=60°,
∴AG=AB·sinB=6×sin60°=33,
又
SABC123
1
∴BCAG123
2
∴BC=8,
又∵CE2,
∴BF=BC+BE=8+8-2=14,或BF=BC+BE=8+8+2=18,
故答案為:8,14或18.
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì),線段的和差,三角形的面積,解直角三角形,解題關(guān)鍵是結(jié)
合圖形找到線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.
直線由無數(shù)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成,點(diǎn)動(dòng)成線。直線是面的組成成分,并繼而組成體。沒有端點(diǎn),向兩端無限延伸,
長度無法度量。直線是軸對(duì)稱圖形。
它有無數(shù)條對(duì)稱軸,對(duì)稱軸為所有與它垂直的直線(有無數(shù)條)。在平面上過不重合的兩點(diǎn)有且只有一
條直線,即不重合兩點(diǎn)確定一條直線。在球面上,過兩點(diǎn)可以做無數(shù)條類似直線。
構(gòu)成幾何圖形的最基本元素。在D·希爾伯特建立的歐幾里德幾何的公理體系中,點(diǎn)、直線、平面屬于
基本概念,由他們之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系和五組公理來界定。
線段指直線上兩點(diǎn)間的有限部分(包括兩個(gè)端點(diǎn))[1],有別于直線、射線
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【變式1】(2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))在下列說法中,正確的有()
①兩點(diǎn)確定一條直線;
②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行;
③垂直于同一條直線的兩條直線垂直;
④平行于同一條直線的兩條直線平行;
⑤過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直.
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)直線的性質(zhì),平行線公理,垂線的性質(zhì),以及平行線的性質(zhì)對(duì)各小題分析判斷即可得解.
【詳解】解:①兩點(diǎn)確定一條直線,正確;
②應(yīng)為過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行,故本小題錯(cuò)誤;
③應(yīng)為在同一平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩條直線平行,故本小題錯(cuò)誤;
④平行于同一條直線的兩條直線平行,正確;
⑤應(yīng)為在同一個(gè)平面內(nèi),過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直,故本小題錯(cuò)誤;
綜上所述,說法正確的有①④共2個(gè).
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì),直線的性質(zhì),平行公理以及垂線的性質(zhì),熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)
鍵.
【變式2】(2022·江蘇常州·??级#┤鐖D,矩形ABCD中AB3,AD4,點(diǎn)E在邊AD上,AE:ED1:3,
動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB運(yùn)動(dòng)到B停止,過點(diǎn)E作EF垂直PE交射線BC于點(diǎn)F,如果M是線段EF的中
點(diǎn),那么P在運(yùn)動(dòng)的過程中,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線長為()
A.5B.5.5C.4D.4.5
【答案】D
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【分析】如圖,當(dāng)P與A重合時(shí),點(diǎn)F與K重合,此時(shí)點(diǎn)M在H處,當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí),點(diǎn)F與G重合,
點(diǎn)M在N處,點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段HN.求出HN的長即可解決問題.
【詳解】解:如圖,連接EB,過點(diǎn)E作EKAE交BC于點(diǎn)K,過點(diǎn)E作EGBE交BC于點(diǎn)G,點(diǎn)H,N
分別為EK,EG中點(diǎn),并連接HN,則當(dāng)P與A重合時(shí),點(diǎn)F與K重合,此時(shí)點(diǎn)M在H處,當(dāng)點(diǎn)P與B重
合時(shí),點(diǎn)F與G重合,點(diǎn)M在N處,點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段HN.
AE:ED1:3,AD4,
AE1,
AB3,
1
tanABE,
3
BEEG,
EBGG90,
ABEEBG90,
1
GABE,tanG,
3
EKAB3,
EK3
KG9
tanG1,
3
點(diǎn)H,N分別為EK,EG中點(diǎn),
1
HNKG4.5,
2
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查軌跡、矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用、中位線的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)
M的運(yùn)動(dòng)軌跡,學(xué)會(huì)利用起始位置和終止位置尋找軌跡.
【變式3】(2021·廣西柳州·統(tǒng)考一模)建筑工人砌墻時(shí),經(jīng)常在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁,然后拉
一條直的參照線,用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是______.
【答案】?jī)牲c(diǎn)確定一條直線
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線,即可求解.
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【詳解】解:根據(jù)題意得:用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是兩點(diǎn)確定一條直線.
故答案為:兩點(diǎn)確定一條直線
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的性質(zhì),熟練掌握兩點(diǎn)確定一條直線是解題的關(guān)鍵.
【變式4】(2021·甘肅·模擬預(yù)測(cè))定義:數(shù)軸上給定兩點(diǎn)A、B以及一條線段PQ,當(dāng)線段AB的中點(diǎn)在線
段PQ上時(shí)(包含點(diǎn)P、Q),就稱點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于線段PQ徑向?qū)ΨQ,若A、P、Q三點(diǎn)在數(shù)軸上的位置
如圖所示,點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于線段PQ徑向?qū)ΨQ.則點(diǎn)B表示的數(shù)x的取值范圍是____.
【答案】1≤x≤5##5x1
【分析】設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B的中點(diǎn)為C,根據(jù)題意分點(diǎn)C與點(diǎn)P重合和點(diǎn)C與點(diǎn)Q重合兩種情況討論,分別求
出點(diǎn)B表示的數(shù)即可求解.
【詳解】解:設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B的中點(diǎn)為C,由題意得:
①當(dāng)點(diǎn)C剛好與點(diǎn)P重合時(shí),
則AC=BC=0﹣(﹣1)=1,
故點(diǎn)B表示的數(shù)為:x=1;
②當(dāng)點(diǎn)C剛好與點(diǎn)Q重合時(shí),
則AC=BC=2﹣(﹣1)=3,
故點(diǎn)B表示的數(shù)為:x=5,
綜上所述,點(diǎn)B表示的數(shù)的取值范圍是:1≤x≤5.
故答案為:1≤x≤5.
【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的表示方法以及線段中點(diǎn)的知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的表示方
法以及線段中點(diǎn)的知識(shí)點(diǎn).
【變式5】(2020·湖南邵陽·校聯(lián)考一模)如圖,點(diǎn)C在線段AB上,點(diǎn)M、N分別是AC,BC的中點(diǎn).
(1)若AC9cm,CB6cm,求線段MN的長;
(2)若C為線段AB上任一點(diǎn),滿足ACCBacm,其它條件不變,你能猜想MN的長度嗎?請(qǐng)直接寫出你
的答案.
(3)若C在線段AB的延長線上,且滿足ACBCbcm,M、N分別為AC,BC的中點(diǎn),你能猜想MN的長度
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嗎?請(qǐng)畫出圖形,寫出你的結(jié)論,并說明理由.
【答案】(1)7.5cm
1
(2)MNacm
2
1
(3)MNb,圖形見解析;結(jié)論理由見解析
2
11
【分析】(1)根據(jù)M、N分別是AC,BC的中點(diǎn),可得MC=AC,CN=BC,從而得到
22
111
MNMCCNACBCACBC,即可求解;
222
11
(2)根據(jù)M、N分別是AC,BC的中點(diǎn),可得MC=AC,CN=BC,從而得到
22
111
MNMCCNACBCACBC,即可求解;
222
11
(3)根據(jù)M、N分別是AC,BC的中點(diǎn),可得MC=AC,CN=BC,從而得到
22
111
MNMCCNACBCACBC,即可求解.
222
【詳解】(1)解∶∵M(jìn)、N分別是AC,BC的中點(diǎn),
11
∴MC=AC,CN=BC,
22
∵AC9cm,CB6cm,
1111
∴MNMCCNACBCACBC967.5cm;
2222
(2)解∶∵M(jìn)、N分別是AC,BC的中點(diǎn),
11
∴MC=AC,CN=BC,
22
∵ACCBacm,
1111
∴MNMCCNACBCACBCacm;
2222
1
(3)解∶MNb,理由如下∶
2
如圖,
∵M(jìn)、N分別是AC,BC的中點(diǎn),
11
∴MC=AC,CN=BC,
22
∵ACBCbcm,
第8頁共68頁.
1111
∴MNMCCNACBCACBCbcm.
2222
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算,明確題意,準(zhǔn)確得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
核心考點(diǎn)二角與角平分線
例1(2021·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題)如圖,一束光線AB先后經(jīng)平面鏡OM,ON反射后,反射光線CD
與AB平行,當(dāng)ABM40時(shí),DCN的度數(shù)為()
A.40B.50C.60D.80
【答案】B
【分析】過點(diǎn)B作BEOM,過點(diǎn)C作CEON,BE與CE相交于點(diǎn)E;根據(jù)余角性質(zhì)計(jì)算得CBE;根
據(jù)平行線性質(zhì),得BCD,結(jié)合角平分線性質(zhì),計(jì)算得DCE;再根據(jù)余角性質(zhì)計(jì)算,即可得到答案.
【詳解】如下圖,過點(diǎn)B作BEOM,過點(diǎn)C作CEON,BE與CE相交于點(diǎn)E
∵ABM40,CBEABE
∴CBEABE90ABM50
∴ABCABECBE100
∵CD與AB平行
∴BCD180ABC80
第9頁共68頁.
∵BCEDCE,BCEDCEBCD
1
∴BCEDCEBCD40
2
∴DCN90DCE50
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線、角平分線、垂線、余角的知識(shí);解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì),從而
完成求解.
例2(2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題)如圖,直線l1,l2,l3被直線l4所截,若l1∥l2,l2∥l3,∠1=126°32',
則∠2的度數(shù)是___________.
【答案】5328
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得23,34,根據(jù)等量等量代換得34,進(jìn)而根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)即可
求解.
【詳解】解:如圖
l1∥l2,l2∥l3,
23,34,
24,
∠1=12632,
241801263217960126325328,
第10頁共68頁.
故答案為:5328.
【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角,平行線的性質(zhì),掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
例3(2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題)如圖,BD是ABC的角平分線,DE∥BC,交AB于點(diǎn)E.
(1)求證:EBDEDB.
(2)當(dāng)ABAC時(shí),請(qǐng)判斷CD與ED的大小關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)見解析
(2)相等,見解析
【分析】(1)利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論;
(2)利用平行線的性質(zhì)可得ADEAED,則AD=AE,從而有CD=BE,由(1)得,EBDEDB,
可知BE=DE,等量代換即可.
【詳解】(1)證明:∵BD是ABC的角平分線,
∴CBDEBD.
∵DE∥BC,
∴CBDEDB,
∴EBDEDB.
(2)CDED.理由如下:
∵ABAC,
∴CABC.
∵DE∥BC,
∴ADEC,AEDABC,
∴ADEAED,
∴ADAE,
第11頁共68頁.
∴ACADABAE,即CDBE.
由(1)得EBDEDB,
∴BEED,
∴CDED.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),角平分線的定義等知識(shí),熟練掌握平
行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關(guān)鍵.
角在幾何學(xué)中,是由兩條有公共端點(diǎn)的射線組成的幾何對(duì)象。這兩條射線叫做角的邊,它
們的公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)。一般的角會(huì)假設(shè)在歐幾里得平面上,但在歐幾里得幾何中也可以
定義角。角在幾何學(xué)和三角學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用
從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線,把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的角,這條射線叫做這個(gè)角的
角平分線。
注:角平分線類型的題目,輔助線一般都是過角平分線上的向兩邊作垂線。
【變式1】(2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模)如圖,已知a∥b,直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上,若130,
則2等于()
A.70B.60C.50D.40
【答案】B
【分析】根據(jù)直角三角形的直角與平角之間的關(guān)系可得到3與1互余,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可知2的度
數(shù).
【詳解】解:如圖,
第12頁共68頁.
∵直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上,130
∴3903060
∵a∥b,
∴2360
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì),解題時(shí)注意:兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.
【變式2】(2022·江蘇南京·南京大學(xué)附屬中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))如圖,銳角三角形ABC中,直線l為BC的
中垂線,直線m為ABC的角平分線,l與m相交于P點(diǎn).若A60,DACP=24°,則ABP的度數(shù)是
()
A.24B.30C.32D.36
【答案】C
【分析】根據(jù)角平分線定義求出ABPCBP,根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)得出BPCP,求出
CBPBCP,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出方程3ABP2460180,求出方程的解即可.
【詳解】解:BP平分ABC,
ABPCBP,
直線l是線段BC的垂直平分線,
BPCP,
CBPBCP,
ABPCBPBCP,
AACBABC180,A60,ACP24,
第13頁共68頁.
3ABP2460180,
解得:ABP32,故C正確.
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,線段垂直平分線性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),角平分線的定義,能
求出ABPCBPBCP是解此題的關(guān)鍵,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
【變式3】(2022·湖南永州·統(tǒng)考二模)如圖,已知BAC60,AD是角平分線且AD20,作AD的垂直
平分線交AC于點(diǎn)F,作DEAC,則DEF的周長為______.
【答案】10103
【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出DE、根據(jù)勾股定理求出AE,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、
三角形的周長公式計(jì)算,得到答案.
【詳解】解:∵BAC60,AD是角平分線,
∴DAE30,
在RtDAE中,AD20,DAE30,
1
∴DEAD10,
2
由勾股定理得:AEAD2DE2103,
∵AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)F,
∴FAFD,
∴DEF的垂直DEEFFDDEEFFADEAE10103,
故答案為:10103.
【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì),掌握線段的垂直平分線上
的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.
【變式4】(2022·四川眉山·模擬預(yù)測(cè))如圖,AB8,AC7,PB、PC分別平分B、C,DE∥BC,
則VADE的周長是______.
第14頁共68頁.
【答案】15
【分析】先根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)證明△BDP和△CEP是等腰三角形,再由等腰三角形的性
質(zhì)得BDPD,CEEP,則VADE的周長ABAC15.
【詳解】解:PB平分ABC,PC平分ACB,
DBPPBC,ECPPCB,
DE//BC,
DPBPBC,EPCPCB,
DBPDPB,ECPEPC,
BDPD,CEEP(等角對(duì)等邊),
VADE的周長ADDPPEAEADBDCEAEABAC8715.
故答案為:15.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義.此題難度適中,注
意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
【變式5】(2022·浙江紹興·一模)(1)問題背景
如圖①,RtABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分線交直線AC于D,過點(diǎn)C作CE⊥BD,交直線
BD于E,C△E交直線BA于M.探究線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系得到的結(jié)論是________.
(2)類比探索
在(1)中,如果把BD改為ABC的外角∠ABF的平分線,其他條件均不變(如圖②),(1)中的結(jié)論還
成立嗎?若成立,請(qǐng)寫出證明△過程;若不成立,請(qǐng)說明理由.
(3)拓展延伸
1
在(2)中,如果ABAC,其他條件均不變(如圖③),請(qǐng)直接寫出BD與CE的數(shù)量關(guān)系為________.
2
第15頁共68頁.
【答案】(1)問題背景:BD=2CE(2)類比探索:結(jié)論BD=2CE仍然成立,證明見解析(3)拓展延伸:
BD=CE
【分析】(1)根據(jù)角平分線及全等三角形的判定和性質(zhì)得出△BME△BCE(ASA),CE=ME,結(jié)合圖形
得出∠ADB=∠M,sin∠ADB=sin∠M,再由正弦函數(shù)證明即可;
(2)根據(jù)題意,證明方法同(1)類似,證明即可;
ABAC
(3)根據(jù)②得,將線段間的數(shù)量關(guān)系代入即可得出結(jié)果.
BDCM
【詳解】(1)解:∵BE是∠ABC的平分線,
∴∠ABD=∠CBD,
在△BME和△BCE中,
ABDCBD
BEBE,
BEMBEC
∴△BME△BCE(ASA),
∴CE=ME,
∵CE⊥BD,∠BAC=90°,
∴∠ABD+∠M=90°,∠ADB+∠ABD=90°,
∴∠ADB=∠M,
∴sin∠ADB=sin∠M,
ABAC
即,
BDCM
∵AB=AC,
∴BD=CM,
∴BD=2CE;
(2)結(jié)論BD=2CE仍然成立.
第16頁共68頁.
證明:∵BD是∠ABF的平分線,
∴∠1=∠2,
∵∠1=∠3,∠2=∠4,
∴∠3=∠4,
在△CBE和△MBE中,
34
BEBE,
CEBMEB90
∴△CBE△MBE(ASA),
∴CE=ME,
∴CM=2CE,
∵∠D+∠DCM=∠M+∠DCM=90°.
∴∠D=∠M,
∴sin∠D=sin∠M,
ABAC
∴,
BDCM
∵AB=AC,
∴BD=CM=2CE;
ABAC
(3)解:同(2)可得,CE=ME,
BDCM
1
∵ABAC,
2
1
∴BDCM,
2
∴BD=CE.
第17頁共68頁.
故答案為:BD=CE.
【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì),解三角形的應(yīng)用,角平分線的計(jì)算等,理解題意,綜合
運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.
核心考點(diǎn)三相交線
例1(2022·河南·統(tǒng)考中考真題)如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,EO⊥CD,垂足為O.若∠1=54°,
則∠2的度數(shù)為()
A.26°B.36°C.44°D.54°
【答案】B
【分析】根據(jù)垂直的定義可得COE90,根據(jù)平角的定義即可求解.
【詳解】解:EO⊥CD,
COE90,
1COE2180,
2180905436.
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義,平角的定義,數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.
例2(2021·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題)如圖,AB與CD相交于點(diǎn)O,OE是AOC的平分線,且OC恰好
平分EOB,則AOD_______度.
第18頁共68頁.
【答案】60
【分析】先根據(jù)角平分線的定義、平角的定義可得COB60,再根據(jù)對(duì)頂角相等即可得.
【詳解】解:設(shè)AOC2x,
OE是AOC的平分線,
1
AOEEOCAOCx,
2
OC平分EOB,
COBEOCx,
又AOEEOCCOB180,
xxx180,
解得x60,即COB60,
由對(duì)頂角相等得:AODCOB60,
故答案為:60.
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、平角的定義、對(duì)頂角相等,熟練掌握角平分線的定義是解題關(guān)鍵.
例3(2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題)如圖,在RtABC中,ABC90,E是邊AC上一點(diǎn),且BEBC,
過點(diǎn)A作BE的垂線,交BE的延長線于點(diǎn)D,求證:△ADE∽△ABC.
【答案】見解析
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠BEC,又由對(duì)頂角相等可證得∠AED=∠C,再由
∠D=∠ABC=90°,即可得出結(jié)論.
【詳解】證明:∵BEBC
第19頁共68頁.
∴∠C=∠BEC,
∵∠BEC=∠AED,
∴∠AED=∠C,
∵AD⊥BD,
∴∠D=90°,
∵ABC90,
∴∠D=∠ABC,
∴△ADE∽△ABC.
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定,熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判
定定理是解題的關(guān)鍵.
在同一平面內(nèi),兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種。如果兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)
時(shí),稱這兩條直線相交。
相交線會(huì)形成三線八角
【變式1】(2022·廣西百色·統(tǒng)考一模)如圖,已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O,OE平分∠COB,若∠BOD=70°,
則∠COE的度數(shù)是()
A.45°B.70°C.55°D.110°
【答案】C
1
【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得∠COB=110°,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)課可得∠COE=∠COB,進(jìn)而得到
2
答案.
【詳解】解:∵∠BOD=70°,
第20頁共68頁.
∴∠COB=110°,
∵OE平分∠COB,
1
∴∠COE=∠COB=55°,
2
故選:C.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了對(duì)頂角,鄰補(bǔ)角,關(guān)鍵是掌握鄰補(bǔ)角互補(bǔ).
【變式2】(2023·山東泰安·??家荒#┤鐖D,等邊ABC的邊長為4,點(diǎn)D是邊AC上的一動(dòng)點(diǎn),連接BD,
以BD為斜邊向上作等腰Rt△BDE,連接AE,則AE的最小值為()
A.1B.2C.2D.221
【答案】B
【分析】過點(diǎn)B作BHAC于H點(diǎn),作射線HE,可證點(diǎn)B,點(diǎn)D,點(diǎn)H,點(diǎn)E四點(diǎn)共圓,可得
BHEBDE45,則點(diǎn)E在AHB的角平分線上運(yùn)動(dòng),即當(dāng)AEEH時(shí),AE的長度有最小值,由直角
三角形的性質(zhì)可求解.
【詳解】解:如圖,過點(diǎn)B作BHAC于H點(diǎn),作射線HE,
ABC是等邊三角形,BHAC,
AH2CH,
BEDBHD90,
點(diǎn)B,點(diǎn)D,點(diǎn)H,點(diǎn)E四點(diǎn)共圓,
BHEBDE45,
點(diǎn)E在AHB的角平分線上運(yùn)動(dòng),
第21頁共68頁.
當(dāng)AEEH時(shí),AE的長度有最小值,
AHE45,
AH2AE2,
AE的最小值為2,
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),垂線段最短,四點(diǎn)共圓,圓周角定理等知識(shí),解題的
關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題,屬于中考??碱}型.
【變式3】(2021·吉林長春·??级#┤鐖D,在ABC中,BAC45,ABAC4,P為AB邊上一
動(dòng)點(diǎn),以PA,PC為鄰邊作平行四邊形PAQC,則對(duì)角線PQ的最小值為__.
【答案】22
【分析】過C作CDAB于D,依據(jù)ACD是等腰直角三角形,即可得出CDAD22,依據(jù)AP∥CQ,
即可得到當(dāng)PQAP時(shí),PQ的最小值等于CD的長,進(jìn)而得到答案.
【詳解】解:如圖所示,過C作CDAB于D,
BAC45,ABAC4,
ACD是等腰直角三角形,
CDAD22,
四邊形PAQC是平行四邊形,
AP∥CQ,
當(dāng)PQAP時(shí),PQ的最小值等于CD的長,
對(duì)角線PQ的最小值為22,
故答案為:22.
第22頁共68頁.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),勾股定理,垂線段最短,掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【變式4】(2022·陜西西安·??寄M預(yù)測(cè))如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=23,點(diǎn)P是對(duì)角線
AC上的動(dòng)點(diǎn),連接PD,則PA+2PD的最小值________.
【答案】6
1
【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°,再將原式變形,進(jìn)而得出PA+PD最小值,進(jìn)而得出答案.
2
【詳解】過點(diǎn)A作∠CAN=30°,過點(diǎn)D作DM⊥AN于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)P,
∵在矩形ABCD中,AB=2,BC=23,
23
∴tan∠CAB=3,
2
∴∠CAB=60°,
則∠DAC=30°,
1
∵PA+2PD=2(PA+PD),
2
13
PAPDPMPDDMADsin60233,
22
1
此時(shí)PA+PD最小,
2
∴PA+2PD的最小值是2×3=6.
故答案為:6.
第23頁共68頁.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了胡不歸問題,正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.
【變式5】(2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè))如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,BCD130,BE平分ABC
交AD于點(diǎn)E,交CD的延長線于點(diǎn)F.
(1)求ABE的大??;
(2)若ADC48,求DEF的大?。?/p>
【答案】(1)25°
(2)23°
【分析】(1)先由平行線的性質(zhì)求出∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°,再根據(jù)解平分線的定義求解即可;
∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出
(2)先由平行線的性質(zhì)求出∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=23°,最后由對(duì)頂角性質(zhì)得解.
【詳解】(1)解:∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°,
∵BE平分ABC
11
∴∠ABE=∠ABC=50=25°;
22
(2)解:∵AB∥CD,
∴∠BAD+∠ADC=180°,
∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°,
∵∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°,
又由(1)知:∠ABE=25°,
第24頁共68頁.
∴∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=180°-132°-25°=23°,
∴∠DEF=∠AEB=23°.
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì),角平分線定義,三角形內(nèi)角和定理,對(duì)頂角性質(zhì),熟練掌握平行線的性
質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
核心考點(diǎn)四平行線的判定
例1(2020·江西·統(tǒng)考中考真題)如圖,1265,335,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()
A.AB//CDB.B30C.C2EFCD.CGFG
【答案】C
【分析】由12可對(duì)A進(jìn)行判斷;根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可對(duì)B進(jìn)行判斷;求出∠C,根據(jù)大角對(duì)大邊,
小角對(duì)小邊可對(duì)D進(jìn)行判斷;求出C,EFC可對(duì)C進(jìn)行判斷.
【詳解】1265,
AB//CD,故選項(xiàng)A正確;
335,
EFB35,
又1EFBB,
B1EFB653530,故選項(xiàng)B正確;
AB//CD,
CB30,
3530,
3C
CGFG,故選項(xiàng)D正確;
335,EFC3180
EF1C18035145,
第25頁共68頁.
而C2306595145
C2EFC,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
故選C.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì),三角形外角的性質(zhì)等知識(shí),熟練掌握性質(zhì)與判定是解答此
題的關(guān)鍵.
例2(2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題)如圖,木棒AB、CD與EF分別在G、H處用可旋轉(zhuǎn)的螺絲鉚住,
∠EGB=100°,∠EHD=80°,將木棒AB繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與木棒CD平行的位置,則至少要旋轉(zhuǎn)___°.
【答案】20
【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行,得出當(dāng)∠EHD=∠EGN=80°,MN//CD,再得出旋轉(zhuǎn)角∠BGN的度數(shù)
即可得出答案.
【詳解】解:過點(diǎn)G作MN,使∠EHD=∠EGN=80°,
∴MN//CD,
∵∠EGB=100°,
∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°,
∴至少要旋轉(zhuǎn)20°.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定,以及圖形的旋轉(zhuǎn),熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
例3(2020·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題)如圖,將ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到DBE,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)
點(diǎn)E恰好落在AB的延長線上,連接AD.
(1)求證:BC//AD;
第26頁共68頁.
(2)若AB=4,BC=1,求A,C兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的路徑長之和.
5
【答案】(1)見解析;(2)
3
【分析】(1)先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABD為等邊三角形,則可證DAB60,即CBEDAB,再根
據(jù)平行線的判定證明即可.
(2)利用弧長公式分別計(jì)算路徑,相加即可求解.
【詳解】(1)證明:由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得:ABCDBE,ABDCBE60
ABBD,ABD是等邊三角形
所以DAB60
CBEDAB,
∴BC//AD;
(2)依題意得:AB=BD=4,BC=BE=1,
6046015
所以A,C兩點(diǎn)經(jīng)過的路徑長之和為.
1801803
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、弧長公式等知識(shí),熟練掌握
這些知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系及弧長公式是解答的關(guān)鍵.
平行線判定的五種方法:
在同一平面內(nèi),兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行。也
可以簡(jiǎn)單的說成:
1.同位角相等,兩直線平行。
在同一平面內(nèi),兩條直線被第三條直線所截,如果內(nèi)錯(cuò)角相等,那么這兩條直線平行。也
可以簡(jiǎn)單的說成:
2.內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行。
第27頁共68頁.
在同一平面內(nèi),兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內(nèi)角互補(bǔ),那么這兩條直線平行。
也可以簡(jiǎn)單的說成:
3.同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行。
4、在同一平面內(nèi),兩條直線同時(shí)垂直于第三條直線,則這兩條直線互相平行;
5、兩條直線同時(shí)平行于第三條直線,這兩條直線互相平行;
【變式1】(2022·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖所示,直線a、b被c、d所截,下列條件中能說明a∥b的
是()
A.12B.24180C.3=4D.14180
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可.
【詳解】34,
∴a∥b(同位角相等,兩直線平行),
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定,解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定定理并靈活運(yùn)用.
【變式2】(2021·福建廈門·??级#┤鐖D,已知AOB,按以下步驟作圖:①在射線OA上取一點(diǎn),以
點(diǎn)O為圓心,OC長為半徑作PQ,交射線OB于點(diǎn)D;②連接CD,分別以點(diǎn)C、D為圓心,CD長為半徑
作弧,交PQ于點(diǎn)M、N;③連接OM,MN.根據(jù)以上作圖過程及所作圖形,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()
第28頁共68頁.
A.COMCODB.點(diǎn)M與點(diǎn)D關(guān)于直線OA對(duì)稱
C.若AOB20,則2OMMND.MN//CD
【答案】C
【分析】根據(jù)等弧所對(duì)圓周角相等可以判斷A;根據(jù)平行線的判定可以判斷D;根據(jù)CMCD,OMOD,
可得OA垂直平分MD,可以判斷B;根據(jù)AOBAOMBON20,得MON60,由OMON,可
得OMN為等邊三角形,進(jìn)而可以判斷C.
【詳解】解:由作法得CMCD,
CMCD,
COMCOD,所以A選項(xiàng)的結(jié)論正確;
連接MD,
MCDN,
DMNMDC,
CD//MN,所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確;
QCMCD,OMOD,
OA垂直平分MD,
點(diǎn)M與點(diǎn)D關(guān)于OA對(duì)稱,所以B選項(xiàng)的結(jié)論正確;
第29頁共68頁.
AOBAOMBON20,
MON60,
OMON,
OMN為等邊三角形,
OMMN,所以C選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤.
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖:復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖,一般是結(jié)合了幾
何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)合幾何圖形的基本性
質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖,逐步操作.也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系和垂徑定理.
【變式3】(2022·新疆阿克蘇·統(tǒng)考一模)如圖,將木條a,b與c釘在一起,250,若要使木條a與b
平行,則1的度數(shù)應(yīng)為______.
【答案】50°##50度
【分析】根據(jù)同位角相等,兩直線平行,求出∠1的度數(shù).
【詳解】解:∵∠1=∠2時(shí),a∥b,
∴若要使木條a與b平行,∠1=∠2=50°,
故答案為:50°.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定,熟記平行線的性質(zhì)定理與判定定理是解題的關(guān)鍵.
【變式4】(2021·云南昆明·統(tǒng)考一模)如圖,小紅看到工人師傅用角尺畫出工件邊緣AB的垂線a和b,即
可得到a//b.請(qǐng)你幫小紅從下列真命題中找到工人師傅畫圖的一個(gè)依據(jù).真命題為:①連接直線外一點(diǎn)與
直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短;②在同一平面內(nèi),如果兩條直線都垂直于同一條直線,那么這兩
條直線平行(選自人教版初中數(shù)學(xué)教科書七年級(jí)下冊(cè)第14頁例);③在同一平面內(nèi),過一點(diǎn)有一條而且僅
有一條直線垂直于已知直線;④經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行.”這個(gè)依據(jù)是
__________.(只需填序號(hào))
第30頁共68頁.
【答案】②
【分析】根據(jù)垂直于同一條直線的兩條直線平行判斷即可.
【詳解】解:由題意:a⊥AB,b⊥AB,
∴a//b(在同一平面內(nèi),如果兩條直線都垂直于同一條直線,那么這兩條直線平行),
故答案為:②.
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定,平行公理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是理解題意,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.
【變式5】(2023·湖北武漢·??家荒#┤鐖D,點(diǎn)A,B,C,D在一條直線上,CE與BF交于點(diǎn)G,AFBC,
CE∥DF,E50.
(1)求證:AE∥BF;
(2)求F的度數(shù).
【答案】(1)見解析
(2)50
【分析】(1)根據(jù)同位角相等,兩直線平行可得AE∥BF;
(2)根據(jù)AE∥BF可得EBGC,根據(jù)CE∥DF可得FBGC,因?yàn)镋50,根據(jù)等量代換即
可求出F50.
【詳解】(1)證明:AFBC,
AE∥BF;
(2)解:AE∥BF,CE∥DF,E50,
EBGC50,F(xiàn)BGC,
F50.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì),熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
第31頁共68頁.
核心考點(diǎn)五利用平行線求角度或證明
例1(2022·內(nèi)蒙古·中考真題)如圖,直線ab,截線c,d相交成30°角,114633,則2的度數(shù)
是()
A.6327B.6427C.6433D.6333
【答案】A
【分析】由鄰補(bǔ)角的定義可求得3=3327,再由平行線的性質(zhì)可得4=3=3327,利用三角形的外角
性質(zhì)即可求∠2.
【詳解】解:如圖,
∵1=14633,
∴3=1801=3327,
∵ab,
∴4=3=3327,
∵∠A=30°,∠2=∠4+∠A,
∴2=3327+30=6327,故A正確.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì),解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì):兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.
例2(2022·寧夏·中考真題)如圖,直線a∥b,AOB的邊OB在直線b上,AOB55,將AOB繞點(diǎn)
第32頁共68頁.
△
O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75至A1OB1,邊A1O交直線a于點(diǎn)C,則1______.
【答案】50
∠∠
【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BOB1AOA175,再由平角的定義求出A1OD的度數(shù),即可利用平
行線的性質(zhì)得到答案.
△
【詳解】解:將AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75至A1OB1,
∠∠
∴BOB1AOA175,
∵∠AOB=55°,
∠∠∠
∴A1OD180AOBAOA150,
ab,
1A1OD50,
故答案為:50.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),平行線的性質(zhì),熟練掌握兩直線平行,同位角相等和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是
解題的關(guān)鍵.
例3(2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題)已知:△ABC中,D為BC邊上的一點(diǎn).
第33頁共68頁.
(1)如圖①,過點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E,若AB=5,BD=9,DC=6,求DE的長;
(2)在圖②,用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點(diǎn)F,使∠DFA=∠A;(保留作圖痕跡,不要求寫作法)
1
(3)如圖③,點(diǎn)F在AC邊上,連接BF、DF,若∠DFA=∠A,△FBC的面積等于CDAB,以FD為半徑
2
作⊙F,試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)2
(2)圖見詳解
(3)直線BC與⊙F相切,理由見詳解
CD2CD2
【分析】(1)由題意易得,則有,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解;
BD3CB5
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