專題40 中考最值難點突破費馬點問題（解析版）

專題40中考最值難點突破費馬點問題（解析版）

模塊一典例剖析+針對訓練

費馬點問題解題技巧：旋轉變換．

類型一費馬點模型

典例1（2020秋?倉山區(qū)校級期中）如圖（1），P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝

120°，則點P叫做△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的和最小，稱為△ABC的費馬距離．

（1）若點P是等邊三角形三條高的交點，點P是（填是或不是）該三角形的費馬點．

（2）如圖（2），分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點．求證：P點

為△ABC的費馬點．

（3）若圖（2）中，AB＝5，AC＝4，BC＝a，BD＝b，則△ABC的費馬距離＝b．

思路引領：（1）依據等腰三角形三線合一的性質可知：MB平分∠ABC，則∠ABP＝30°，同理∠BAP＝

30°，則∠APB＝120°，同理可求得∠APC，∠BPC的度數，然后可作出判斷；

（2）如圖2所示：首先證明△ACE≌△ABD，則∠1＝∠2，由∠3＝∠4可得到∠CPD＝∠5，由∠CPD

＝60°可證明∠BPC＝120°，然后證明△ADF∽△CFP，由相似三角形的性質和判定定理再證明△AFP

∽△CDF，故此可得到∠APF＝∠ACD＝60°，然后可求得∠APC＝120°，接下來可求得∠APB＝120°．

（3）如圖2﹣1中，在PD上取一點T，使得PT＝CP．利用全等三角形的性質證明PA+PC＝PD的，再

證明PA+PB+PC＝BD即可．

解：（1）如圖1所示：

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∵AB＝BC，BM是AC的中線，

∴MB平分∠ABC．

同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA．

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABP＝30°，∠BAP＝30°．

∴∠APB＝120°．

同理：∠APC＝120°，∠BPC＝120°．

∴P是△ABC的費馬點．

故答案為：是．

（2）設AC交BD于點F，如圖2所示：

∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，

∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，

∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，

在△ACE和△ABD中，

，

??=??

∠???=∠???

∴?△?=AC?E?≌△ABD（SAS），

∴∠1＝∠2，

∵∠3＝∠4，

∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；．

∵△ADF∽△CPF，

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∴AF?PF＝DF?CF，

∵∠AFP＝∠CFD，

∴△AFP∽△CDF．

∴∠APF＝∠ACD＝60°，

∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，

∴∠BPC＝120°，

∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，

∴P點為△ABC的費馬點．

（3）如圖2﹣1中，在PD上取一點T，使得PT＝CP．

∵∠CPT＝60°，PT＝CP，

∴△CPT是等邊三角形，

∴CP＝PT，∠PCT＝60°，

∵CA＝CD，∠ACD＝60°，

∴∠ACD＝∠PCT，

∴∠ACP＝∠DCT，

∴△ACP≌△DCT（SAS），

∴PA＝DT，

∵PD＝PT+DT，

∴PD＝PA+PC，

∴PA+PB+PC＝PB+PD＝BD＝b，

故答案為：B．

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總結提升：本題屬于三角形專題，主要考查的是相似三角形的綜合應用，解答本題主要應用了等邊三角

形的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的性質和判定、相似三角形的性質和判定等知識，證得∠5

＝∠6、△AFP∽△CDF是解答本題的關鍵．

針對訓練

1．（2021春?濱?？h期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B

點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM．

（1）求證：△AMB≌△ENB；

（2）當M點在何處時，2AM的值最小，并說明理由；

（3）當M點在何處時，2AM+BM的值最小，并說明理由．

思路引領：（1）由旋轉的性質可得MB＝NB，∠MBN＝60°＝∠ABE，由“SAS”可證△AMB≌△ENB；

（2）由“SAS”可證△ABM≌△CBM，可得AM＝CM，即AM+CM＝2AM，根據“兩點之間線段最短”，

可得：當M點落在BD的中點時，2AM的值最小；

（3）根據“兩點之間線段最短”，當M點位于BD與CE的交點處時，2AM+BM的值最小．

（1）證明：∵△ABE是等邊三角形，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°．

∵將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，

∴∠MBN＝60°＝∠ABE，BM＝BN，

∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．

即∠MBA＝∠NBE．

在△AMB和△ENB中，

，

??=??

∠???=∠???

∴?△?A=M?B?≌△ENB（SAS）；

（2）解：當M點落在BD的中點時，2AM的值最小，

∵四邊形ABCD是正方形，

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∴AB＝BC，∠ABM＝∠CBM＝45°，

又∵BM＝BM，

∴△ABM≌△CBM（SAS），

∴AM＝CM，

∴AM+CM＝2AM，

∴當點A，點M，點C三點共線，即點M在BD的中點時，2AM的值最??；

（3）解：如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，2AM+BM的值最?。?/p>

理由如下：連接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，

∴AM＝EN，

∵∠MBN＝60°，MB＝NB，

∴△BMN是等邊三角形．

∴BM＝MN．

∴2AM+BM＝EN+MN+CM．

根據“兩點之間線段最短”可知，當E、N、M、C在同一條直線上時，EN+MN+CM＝2AM+MN能取得

最小值．

總結提升：本題考查了四邊形的綜合題，考查了正方形性質，全等三角形的判定與性質和旋轉的性質，

靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．

2．（2021春?歷下區(qū)期末）【操作發(fā)現】

（1）如圖1，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上．

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①請按要求畫圖：將ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B'，點C的對應點為C′；

②連接BB′，此時∠ABB′＝45°；

【問題解決】

在某次數學興趣小組活動中，小明同學遇到了如下問題：

（2）如圖2，在等邊△ABC中，點P在內部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長．

經過同學們的觀察、分析、思考、交流，對上述問題形成了如下想法：將△APC繞點A按順時針方向旋

轉60°，得到△ABP′，連接PP′，尋找PA、PB、PC三邊之間的數量關系．…請參考他們的想法，

完成該問題的解答過程；

【學以致用】

（3）如圖3，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內一點，且PA＝5，PC＝2，∠BPC

＝135°，求PB；2

【思維拓展】

（4）注意：從以下①②中，你任意選擇一道題解答即可．

①等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內部一點，若BC＝4，則AP+BP+CP的最小值＝

22；

②2如+圖46，若點P是正方形ABCD外一點，PA＝3，PB，PC，求∠APB的度數．

思路引領：（1）①由題意畫出圖形；=3=15

②由旋轉的性質得出AB＝AB′，∠B′AB＝90°，則可得出結論；

（2）將△APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△AP'B，由旋轉的性質得出AP'＝AP＝3，∠P'AP＝

60°，P'B＝PC＝4，得出△APP'是等邊三角形，由勾股定理可求出答案；

（3）將△BCP繞點C順時針旋轉90°得到△ACP'，連接PP'，由旋轉的性質得出∠PCP'＝90°，

，AP'＝BP，∠AP'C＝∠BPC＝135°，得出△CPP'是等腰直角三角形，由勾股定理可求出答??案′=；

?（?4=）①22由旋轉得到結論PA+PB+PC＝P1A1+P1B+PC，只有，A1、P1、P、C四點共線時，（P1A+P1B+PC）

最短，即線段A1C最短，根據勾股定理，即可．

②將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP'A，連接PP'，證明△BPP'是等腰直角三角形，由等腰直

角三角形的性質可得出答案．

（1）解：①如圖1所示，△AB'C'即為所求；

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②連接BB′，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，如圖1所示：

∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，

∴∠AB′B＝45°，

故答案為：45°；

【問題解決】（2）如圖2，

∵將△APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△AP'B，

∴AP'＝AP＝3，∠P'AP＝60°，P'B＝PC＝4，

∴△APP'是等邊三角形，

∴PP'＝3，∠AP'P＝60°，

∵∠AP'B＝∠APC＝150°，

∴∠BP'P＝∠AP'B﹣∠AP'P＝90°，

∴．

2222

【學??以=致用?′】?+?′?=4+3=5

（3）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ACB＝90°，AC＝BC，

將△BCP繞點C順時針旋轉90°得到△ACP'，連接PP'，

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則∠PCP'＝90°，，AP'＝BP，∠AP'C＝∠BPC＝135°，

∴△CPP'是等腰直角??三′=角?形?，=22

∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，，

22

∴∠AP'P＝∠AP'C﹣∠CP'P?＝?1′3=5°﹣??4′5°+＝??90°=，4

∴．

2222

【思??維=拓?展?′】=?????′=5?4=3

（4）①如圖4，

∵Rt△ABC是等腰三角形，

∴AB＝BC．

以B為中心，將△APB逆時針旋轉60°得到△A1P1B．則A1B＝AB＝BC＝4，PA＝P1A1，PB＝P1B＝P1P，

∴PA+PB+PC＝P1A1+P1P+PC．

∵當A1、P1、P、C四點共線時，（P1A+P1B+PC）最短，即線段A1C最短，

∴A1C＝PA+PB+PC，

∴A1C長度即為所求．

過A1作A1D⊥CB延長線于D．

∵∠A1BA＝60°（由旋轉可知），

∴∠A1BD＝30°．

∵A1B＝4，

∴A1D＝2，BD＝2，

∴CD＝4+2；3

3

在Rt△A1DC中，A1C22．

2222

1

故答案為．=??+??=2+(4+23)=2+6

22+26

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②將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP'A，連接PP'，

∴∠PBP'＝90°，，，

∴△BPP'是等腰直角??三′=角?形?，=15??=??′=3

∴∠BPP'＝45°，，

22

又∵AP＝3，??′=，??+??′=6

∴AP2+PP'2＝?A?P′'2=，15

∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，

∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．

總結提升：本題是幾何變換綜合題，考查了正方形的性質，勾股定理，等邊三角形的性質和判定，等腰

直角三角形的判定與性質，旋轉的性質，正確作輔助線并能根據旋轉的性質進行證明是解此題的關鍵．

3．（2019春?金水區(qū)校級期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，點P為△ABC內一點．

（1）如圖1，連接PB，PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點B，C，P的對應點分別為

點D，A，E，連接CE．如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，則CE＝3．

（2）如圖2，連接PA，PB，PC，當AC＝BC＝8時，求PA+PB+PC的3最小值．

思路引領：（1）連接BD、CD，構造矩形ACBD和Rt△CDE，根據矩形的對角線相等以及勾股定理進行

計算，即可求得CE的長；

（2）以點A為旋轉中心，將△ABP順時針旋轉60°得到△AMN，連接BN．根據△PAM、△ABN都是

等邊三角形，可得PA+PB+PC＝CP+PM+MN，最后根據當C、P、M、N四點共線時，由CA＝CB，NA

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＝NB可得CN垂直平分AB，進而求得PA+PB+PC的最小值．

解：（1）如圖1，連接BD、CD，

∵△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，

∴BC∥AD且BC＝AD，

∵∠ACB＝90°，

∴四邊形BCAD是矩形，

∴CD＝AB＝6，

∵BP＝3，

∴DE＝BP＝3，

∵BP⊥CE，BP∥DE，

∴DE⊥CE，

∴在Rt△DCE中，CE3；

22

故答案為：3．=?????=27=3

（2）如圖2所3示，以點A為旋轉中心，將△ABP順時針旋轉60°得到△AMN，連接BN．

由旋轉可得，△AMN≌△ABP，

∴MN＝BP，PA＝AM，∠PAM＝60°＝∠BAN，AB＝AN，

∴△PAM、△ABN都是等邊三角形，

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∴PA＝PM，

∴PA+PB+PC＝CP+PM+MN，

當AC＝BC＝8時，AB＝8，

當C、P、M、N四點共線時2，

由CA＝CB，NA＝NB可得CN垂直平分AB，

∴AQAB＝4CQ，NQAQ＝4，

1

∴此時=C2N＝CP+2PM=+MN＝PA=+PB3+PC＝464．

即PA+PB+PC的最小值為4．2+6

總結提升：本題考查旋轉變換2，+解4直6角三角形，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添

加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．

類型二費馬點模型變式

典例2（2021春?碑林區(qū)校級期中）[問題發(fā)現]如圖①，在△OAB中，OB＝3，若將△OAB繞點O逆時針

旋轉120°得△OA′B′，連接BB'．則BB'＝3．

[問題探究]如圖②，已知△ABC是邊長為4的等邊3三角形，以BC為邊向外作等邊△BCD，P為△ABC

內一點，將線段CP繞點C逆時針旋轉60°，3P的對應點為Q．求PA+PB+PC的最小值．

[實際應用]如圖③，在長方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800，點P是長方形內一動點，且S△PAD

＝2S△PBC，點Q為△ADP內的任意一點，是否存在一點P和一點Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存

在，請求出這個最小值，并求出此時PQ的長度，若不存在，請說明理由．

思路引領：（1）如圖1，過點O作OE⊥BB′于點E，根據旋轉的性質和勾股定理即可求得答案．

（2）如圖2，連接PQ，AD，根據等邊三角形性質、旋轉的性質得出∠CAD＝∠CDA＝30°，BC⊥AD，

設垂足為F，利用勾股定理可求得AD＝12，利用SAS證明△BCP≌△DCQ，由PA+PB+PC＝PA+PQ+QD，

可知當且僅當A、P、Q、D四點在同一條直線上時，PA+PB+PC的值最小，即可求得答案．

（3）如圖3，過點P作EF∥AD交AB于點E，交CD于點F，將△ADQ繞點A逆時針旋轉60°，得△

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AD′Q′，連接DD′，QQ′，D′P，設D′P交AD于點G，由S△PAD＝2S△PBC，可得AE＝2BE，進

而求得AE＝400，當D′P⊥EF時，D′P取最小值，運用勾股定理即可求得答案．

解：（1）如圖1，過點O作OE⊥BB′于點E，

∵將△OAB繞點O逆時針旋轉120°得△OA′B′，

∴OB′＝OB＝3，∠BOB′＝120°，

∴∠OBB′＝∠OB′B＝30°，

∵OE⊥BB′，

∴∠OEB＝90°，BE＝B′E，

∴OEOB，

13

=2=2

在Rt△BOE中，BE，

2223233

=?????=3?()=

∴BB′＝2BE＝23；22

33

故答案為：3.×2=3

（2）如圖2，3連接PQ，AD，

∵△ABC、△BCD都是等邊三角形，

∴∠ACB＝∠BCD＝60°，AC＝BC＝DC＝4，

∵將線段CP繞點C逆時針旋轉60°，P的對3應點為Q，

∴∠PCQ＝60°，CP＝CQ，

∵∠ACP+∠BCP＝60°，∠BCP+∠BCQ＝60°，∠BCQ+∠DCQ＝60°，

∴∠ACP＝∠DCQ＝∠BCP＝∠BCQ＝30°，

∴∠ACD＝120°，BC⊥AD，設垂足為F，

∴∠CAD＝∠CDA＝30°，

∴CFAC＝2，

1

=23

∴AF6，

2222

∴AD=＝2A?F?＝?2×??6＝=12，(43)?(23)=

∵△PCQ是等邊三角形，

∴PQ＝PC，

在△BCP和△DCQ中，

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，

??=??

∠???=∠???

∴??△=BC?P?≌△DCQ（SAS），

∴PB＝QD，

∴PA+PB+PC＝PA+PQ+QD，當且僅當A、P、Q、D四點在同一條直線上時，PA+PB+PC的值最小，

此時，PA+PB+PC的最小值為12.

（3）存在一點P和一點Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值．

如圖3，過點P作EF∥AD交AB于點E，交CD于點F，將△ADQ繞點A逆時針旋轉60°，得△AD′

Q′，

連接DD′，QQ′，D′P，設D′P交AD于點G，

由（2）知，當P、Q、Q′、D′在同一條直線上時，AQ+DQ+PQ有最小值，最小值為D′P，

在長方形ABCD中，AB＝600，AD＝800，

∴BC＝AD＝800，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，

∵EF∥AD，

∴∠AEF＝∠EFD＝90°，

∴四邊形ADFE是矩形，

∴EF＝AD＝800，

∵S△PAD＝2S△PBC，

∴AD?AE＝2BC?BE，

11

×

∴2AE＝2BE，2

∵AE+BE＝AB＝600，

∴AE＝400，

∵點P在EF上，

∴當D′P⊥EF時，D′P取最小值，

∵AD∥EF，

∴D′P⊥AD，

∵△ADD′是等邊三角形，

∴AD′＝AD＝800，AGAD＝400，∠AGD′＝90°，

1

=2

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∴D′G400，

2222

∵∠EAG=＝∠??A′EP?＝?∠?EP=G＝8090°?，400=3

∴四邊形AEPG是矩形，

∴GP＝AE＝400，

∴D′P＝D′G+GP＝400400，

∴AQ+DQ+PQ的最小值為430+0400；

∵△AQQ′是等邊三角形，AD⊥3Q+Q′，

∴∠GAQ＝30°，AQ＝2GQ，

在Rt△AGQ中，AG2+GQ2＝AQ2，

∴4002+GQ2＝（2GQ）2，

解得：GQ，

4003

=

∴PQ＝GP﹣GQ3＝400．

4003

?3

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總結提升：本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形性質，全等三角形判定和性質，兩點之間線段

最短及點到直線的距離垂線段最短的應用，矩形性質，勾股定理等知識，解題關鍵是添加輔助線構造全

等三角形，確定線段和取最小值的位置．

針對訓練

1．（2021?雁塔區(qū)校級模擬）【問題情境】

如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，則△ABC的外接圓的半徑值為5．

【問題解決】3

如圖2，點P為正方形ABCD內一點，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．

【問題解決】

如圖3，正方形ABCD是一個邊長為3cm的隔離區(qū)域設計圖，CE為大門，點E在邊BC上，CEcm，

點P是正方形ABCD內設立的一個活動3崗哨，到B、E的張角為120°，即∠BPE＝120°，點=A、3D為

另兩個固定崗哨．現需在隔離區(qū)域內部設置一個補水供給點Q，使得Q到A、D、P三個崗哨的距離和

最小，試求QA+QD+QP的最小值．（保留根號或結果精確到1cm，參考數據1.7，10.52＝110.25）．

3≈

思路引領：（1）作出三角形的外接圓O，證明△OBA是等邊三角形，利用三線合一性質計算即可；

（2）點P在以BC為直徑的圓上，根據圓心，P，A三點共線時AP最小，計算即可；

（3）如圖3，設∠BPE所在圓的圓心為點O，根據（1）可得∠BPE所在圓的半徑，以點D為旋轉中心，

將△DQA順時針旋轉60°，得到△DFN，當N，F，Q，P，O共線時，QA+QD+QP最小，構造直角三

角形求解即可．

解：（1）如圖1，作△ABC的外接圓O，作直徑AD，連接OB，

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∵AB＝AC，

∴AO⊥BC，∠BAO＝60°，

∵OA＝OB，

∴△OBA是等邊三角形，

∴AB＝OA＝OB，

設AD與BC交于點E，BEBC，

153

在直角三角形ABE中，=2=2

∵sin∠BAO，

??

=??

∴sin60°，

53

23

∴AB＝5，=??=2

∴OA＝5，

故答案為：5；

（2）如圖2，

∵∠BPC＝90°，

∴點在以BC為直徑的圓上，設圓心為點O，

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則OPBC＝2，

1

∴O，=P，2A三點線時AP最小，

在直角三角形ABO中，

AO2，

22

∵P=O＝?2?，+??=5

∴AP的最小值為：AO﹣PO＝22；

5?

（3）如圖3，設∠BPE所在圓的圓心為點O，根據（1）可得∠BPE所在圓的半徑為232，以點D為

2

3=

旋轉中心，將△DQA順時針旋轉60°，得到△DFN，當N，F，Q，P，O共線時，Q2A+QD+QP最小，

過點N作NG⊥AB交BA的延長線于點G，連接AN，則△AND是等邊三角形，過點O作OM⊥GN于M

交BC于點H，連接OB，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC∥GN，

∴OH⊥BC，

∵BE＝2，

∴BH3，

∴OH=31，

22

∵AD＝=DN?，?∠?A?D?N＝=60°，

∴△AND是等邊三形，且AN＝3，∠NAD＝60°，

∴∠GAN＝30°，3

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∴GN＝ANsin30°，AG＝ANcos30°，

339

==

∴OM＝OH+AB+AG21+33，2MN＝GN﹣BH，

911333

=2+3=2+3=2?3=2

∴ON11，

2211232

∴QA+=QD?+?QP+最?小?值為=：(112﹣+2＝393（)cm+）(．2)≈

總結提升：本題考查了正方形的性質、圓中半徑相等，點與圓位置關系中的最值問題，費馬點最值問題，

旋轉的思想，銳角三角函數，解題的關鍵是正確構造輔助圓，旋轉60°處理費馬點問題

模塊二2023中考押題預測

一．選擇題

1．（2017秋?義烏市月考）已知點P是△ABC內一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫

△ABC的費馬點（Fermatpoint）．已經證明：在三個內角均小于120°的△ABC中，當∠APB＝∠APC＝

∠BPC＝120°時，P就是△ABC的費馬點．若點P是腰長為的等腰直角三角形DEF的費馬點，則

PD+PE+PF＝（）2

A．2B．1C．6D．3

思路引3領：根據題意首先畫+出圖3形，過點D作DM⊥EF于點M，在△BD3E內部過E、F分別作∠MEP

＝∠MFP＝30°，則∠EPF＝∠FPD＝∠EPD＝120°，點P就是費馬點，求出PE，PF，DP的長即可

解決問題；

解：如圖：過點D作DM⊥EF于點M，在△BDE內部過E、F分別作∠MEP＝∠MFP＝30°，則∠EPF

＝∠FPD＝∠EPD＝120°，點P就是費馬點，

在等腰Rt△DEF中，DE＝DF，DM⊥EF，

∴EFDE＝2=2

∴EM=＝D2M＝1，

故cos30°，

??

=??

解得：PE，則PM，

233

==

故DP＝13，同法可得P3F

323

?3=3

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則PD+PE+PF＝211．

233

故選：B．×3+?3=3+

總結提升：此題主要考查了解直角三角，正確畫出圖形進而求出PE的長是解題關鍵．

2．（2022春?山亭區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠CAB＝65°，將△ABC在平面內繞點A旋轉到△AB′C′

的位置，使CC′∥AB，則旋轉角的度數為（）

A．40°B．30°C．50°D．65°

思路引領：根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ACC′＝∠CAB，根據旋轉的性質可得AC＝AC′，然

后利用等腰三角形兩底角相等求∠CAC′，再根據∠CAC′、∠BAB′都是旋轉角解答．

解：∵CC′∥AB，

∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，

∵△ABC繞點A旋轉得到△AB′C′，

∴AC＝AC′，

∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，

∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°．

故選：C．

總結提升：本題考查了旋轉的性質，等腰三角形兩底角相等的性質，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．

二．填空題

3．（2019秋?開福區(qū)校級月考）法國數學家費馬提出：在△ABC內存在一點P，使它到三角形頂點的距離之

和最?。藗兎Q這個點為費馬點，此時PA+PB+PC的值為費馬距離．經研究發(fā)現：在銳角△ABC中，費

馬點P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點P為銳角△ABC的費馬點，且PA＝3，PC＝4，

∠ABC＝60°，則費馬距離為7+2．

3

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思路引領：根據相似三角形的判定和性質，即可求解．

解：

如圖：

∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，

∴∠1+∠3＝60°，∠1+∠2＝60°，∠2+∠4＝60°，

∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，

∴△BPC∽△APB

∴，

????

2=

即?P?B＝?1?2

∴PB＝2．

∴PA+PB+3PC＝7+2

故答案為：7+2．3

總結提升：本題考3查了軸對稱﹣最短路線問題，解決本題的關鍵是利用相似三角形的判定和性質．

4．（2019秋?梁溪區(qū)期末）如圖，已知正方形ABCD內一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為1，

則這個正方形的邊長為．+3

2

思路引領：以A為旋轉中心，將△ABE順時針旋轉60°得到△AMN，連NE，MB，過M作MP⊥BC交

CB的延長線于P點，根據旋轉的性質得MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°，則△ANE為等邊三角形，

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得AE＝NE，所以AE+EB+EC＝MN+NE+EC，當AE+EB+EC取最小值時，折線MNEC成為線段，則MC，

=2

易得△ABM為等邊三角形，則∠MBC＝150°，則∠PBM＝30°，在Rt△PMC中，設BC＝x，PMx，

1

然后利用勾股定理即可求出x．=2

解：以A為旋轉中心，將△ABE順時針旋轉60°得到△AMN，連NE，MB，過M作MP⊥BC交BC的

延長線于P點，如圖，

∴MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°，

∴△ANE為等邊三角形，

∴AE＝NE，

∴AE+EB+EC＝MN+NE+EC，

當AE+EB+EC取最小值時，折線MNEC成為線段，則MC＝1，

∵AB＝AM，∠BAM＝60°，+3

∴△ABM為等邊三角形，

∴∠MBC＝150°，則∠PBM＝30°，

在Rt△PMC中，設BC＝x，PMx，

1

=2

∴（1）2＝（x）2+（x+x）2

13

+3

所以x，22

∴BC=2，

即正方=形2的邊長為，

故答案為：．2

2

總結提升：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于

旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了正方形和等邊三角形的性質以及勾股定理．

5．（2021?丹東）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果△ABC是銳角（或

直角）三角形，則其費馬點P是三角形內一點，且滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°．（例如：等邊三

角形的費馬點是其三條高的交點）．若AB＝AC，BC＝2，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC＝

=73

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5；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC＝2．

思路引領：①作3出圖形，過B，C分別作∠DBP＝∠DCP＝30°，勾股定理解直角7三角形即可；

②作出圖形，將△APC繞點A逆時針旋轉60°，P為△ABC的費馬點則B，P，P'，C'四點共線，即PA+PB+PC

＝BC'，再用勾股定理求得即可．

解：如圖，過A作AD⊥BC，垂足為D，

過B，C分別作∠DBP＝∠DCP＝30°，則PB＝PC，P為△ABC的費馬點，

∵AB＝AC，BC＝2，

∴=7，3

1

??=??=??=3

∴2，

??3

∴P??D?＝301°，=??=3

∴，

??

∴??=???30°=2，

22

∴P?A?+=PB+?P?C＝?5?；?=7?3=2

②如圖：

∵AB＝2，BC＝2，AC＝4，

∴AB2+BC32＝16，AC2＝16，

∴AB2+BC2＝AC2，∠ABC＝90°，

∵，

??1

∴∠???B∠A?C?＝?3=0°??，=2=???30°

將△APC繞點A逆時針旋轉60°，

由旋轉可得：△APC≌△AP'C'，

∴AP'＝AP，PC＝P'C'，AC＝AC'，∠CAC'＝∠PAP'＝60°，

∴△APP′是等邊三角形，

∴∠BAC'＝90°，

∵P為△ABC的費馬點，

即B，P，P'，C'四點共線時候，PA+PB+PC＝BC'，

∴PA+PB+PC＝BP+PP'+P'C'＝BC'，

2222

=??+??′=(23)+4=27

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故答案為：5，．

27

總結提升：本題考查了勾股定理，旋轉的性質，銳角三角函數，等腰三角形性質，作出旋轉的圖形是解

題的關鍵．本題旋轉△PAB，△PBC也可，但必須繞頂點旋轉．

6．（2022秋?洪山區(qū)校級期中）如圖，以等邊△ABC的一邊BC為底邊作等腰△BCD，已知AB＝3，

，且∠BDC＝120°，在△BCD內有一動點P，則PB+PC+PD的最小值為．??=??=

323

思路引領：將△PBC繞點B逆時針旋轉60°后，得到△P′BA，連接PP′、AD，根據旋轉性質可得∠

PBP′＝60°，PB＝P′B，PC＝P′A，以此得到PB＝PP′，根據兩點之間線段最短得PB+PC+PD＝

PP′+P′A+PD≥AD，根據等邊三角形和等腰三角形的性質得到∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝90°，再根

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據勾股定理即可求解．

解：如圖，將△PBC繞點B逆時針旋轉60°后，得到△P′BA，連接PP′、AD，

根據旋轉的性質得，∠PBP′＝60°，PB＝P′B，PC＝P′A，

∴△PBP′為等邊三角形，

∴PB＝PP′，

∴PB+PC+PD＝PP′+P′A+PD，

∵PP′+P′A+PD≥AD，

∴當A、P′、P、D四點共線時，PB+PC+PD有最小值，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC＝60°，

∵△BCD為等腰三角形，∠BDC＝120°，

∴∠CBD＝30°，

∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝90°，

在Rt△ABD中，AB＝3，BD，∠ABD＝90°，

=3

由勾股定理得AD．

2222

∴PB+PC+PD的最=小值??為+??．=3+(3)=23

故答案為：．23

總結提升：2本題3主要考查旋轉的性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、兩點之間線段最短、勾

股定理，正確作出輔助線，利用兩點之間線段最短得到PB+PC+PD≥AD是解題關鍵．

7．（2022秋?大冶市期末）如圖，D是等邊三角形ABC外一點，連接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，

則當線段AD的長度最小時，

①∠BDC＝60°；

②AD的最小值是5．

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思路引領：以BD為邊向外作等邊三角形BDE，連接CE，判定△ABD≌△CBE，即可得出CE＝AD，再

根據C，D，E三點共線時，CE有最小值，即可得到AD的最小值為5，此時∠BDC＝60°．

解：如圖所示，以BD為邊向外作等邊三角形BDE，連接CE，

∵△BDE，△ABC均為等邊三角形，

∴BE＝BD，AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝60°，

∴∠ABD＝∠CBE，

在△ABD和△CBE中，

，

??=??

∠???=∠???

∴?△?A=B?D?≌△CBE（SAS），

∴CE＝AD，

∵BE＝BD＝DE＝8，CD＝3，

∴當C，D，E三點共線時，CE有最小值，

∴CE＝DE﹣CD＝8﹣3＝5，

∴AD的最小值為5，此時∠BDC＝60°．

故答案為：①60°；②5．

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總結提升：本題主要考查了旋轉的性質以及等邊三角形的性質以及全等三角形的判定與性質的運用，解

決問題的關鍵是以BD為邊向外作等邊三角形BDE，依據全等三角形的性質得出結論．

三．解答題

8．（2009?湖州）自選題：若P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做

△ABC的費馬點．

（1）若點P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，則PB的值為2；

（2）如圖，在銳角△ABC外側作等邊△ACB′連接BB′．求證：BB′過△ABC的費馬點P3，且BB′

＝PA+PB+PC．

思路引領：（1）由題意可得△ABP∽△BCP，所以PB2＝PA?PC，即PB＝2；

（2）在BB'上取點P，使∠BPC＝120°，連接AP，再在PB'上截取PE＝PC3，連接CE．由此可以證明

△PCE為正三角形，再利用正三角形的性質得到PC＝CE，∠PCE＝60°，∠CEB'＝120°，而△ACB'

為正三角形，由此也可以得到AC＝B'C，∠ACB'＝60°，現在根據已知的條件可以證明△ACP≌△B'CE，

然后利用全等三角形的性質即可證明題目的結論．

解：（1）∵∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，

∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，

∴∠PAB＝∠PBC，

又∵∠APB＝∠BPC＝120°，

∴△ABP∽△BCP，

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∴，

????

2=

∴?P?B＝P?A??PC＝12，

∴PB＝2；

3

（2）證明：在BB'上取點P，使∠BPC＝120°．連接AP，再在PB'上截取PE＝PC，連接CE．

∠BPC＝120°，

∴∠EPC＝60°，

∴△PCE為正三角形，

∴PC＝CE，∠PCE＝60°，∠CEB'＝120°．

∵△ACB'為正三角形，

∴AC＝B′C，∠ACB'＝60°，

∴∠PCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECB′＝60°，

∴∠PCA＝∠ECB′，

∴△ACP≌△B′CE，

∴∠APC＝∠B′EC＝120°，PA＝EB′，

∴∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，

∴P為△ABC的費馬點．

∴BB'過△ABC的費馬點P，且BB'＝EB'+PB+PE＝PA+PB+PC．

總結提升：此題考查了等腰三角形與等邊三角形的性質及三角形內角和為180°等知識；此類已知三角

形邊之間的關系求角的度數的題，一般是利用等腰（等邊）三角形的性質得出有關角的度數，進而求出

所求角的度數．

9．問題探究：

（1）如圖1，已知，在四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，則對角線AC、BD的位置關系是AC

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⊥BD．

（2）如圖2，已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．△ABC內一動點E到A、B、C三點的距離

之和的最小值為2，求AC的長．

問題解決：

（3）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，△ABC三個頂點的坐標分別為A（﹣6，0），B（6，0），C（0，

4），延長AC至點D，使CDAC，過點D作DE⊥y軸于點E．設G為y軸上一點，點P從點E出

1

發(fā)，3先沿y軸到達G點，再沿G=A2到達A點．若點P在直線GA上運動速度為定值v，在y軸上運動速

度為2v，試確定點G的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短，并求此時點G的坐標．

思路引領：（1）結論：AC⊥BD．證明BD垂直平分線段AC可得結論；

（2）如圖2中，將△BCE繞點B逆時針旋轉60°得到△BKT，連接ET，AK，過點K作KH⊥AC交AC

的延長線于點H．證明當A，E，T，K共線時，AE+EC+EB的值最小，最小值為AK＝2．設AC＝BC＝m，

則HKm，CHm，利用勾股定理構建方程求出m即可；

13

==

（3）由題2意點P在A2G上的運動速度為v，點P在y軸上的運動速度為2v則點P到達點A的時間為t

??

=2?+

（AG），證明GH，利用垂線段最短解決問題．

??1????

=+=

解?：（1?）結2論：AC⊥BD．2

理由：∵BA＝BC，DA＝DC，

∴點B，點D在線段AC的垂直平分線上，

∴BD垂直平分線段AC，

∴AC⊥BD；

（2）如圖2中，將△BCE繞點B逆時針旋轉60°得到△BKT，連接ET，AK，過點K作KH⊥AC交AC

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的延