2025年高考一輪復(fù)習(xí) 專題15 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（十一大題型+模擬精練）（解析版）

專題15導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（十一大題型+模擬精練）目錄：01函數(shù)極值的辨析02求已知函數(shù)的極值03根據(jù)極值求參數(shù)04函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）圖像與極值的關(guān)系05由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值06已知函數(shù)最值求參數(shù)07根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)08由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值（含參）09恒成立問題10零點(diǎn)問題11導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用01函數(shù)極值的辨析1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列函數(shù)中，存在極值的函數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)極值的定義進(jìn)行求解即可.【解析】A：因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，所以函數(shù)沒有極值；B：因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，所以函數(shù)沒有極值；C：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間、上是減函數(shù)，所以函數(shù)沒有極值；D：因?yàn)?，所以該函?shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因此是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意，故選：D2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．若在上有極大值，則極大值一定是上的最大值．B．若在上有極小值，則極小值一定是上的最小值．C．若在上有極大值，則極大值一定是在和處取得．D．若在上連續(xù)，則在上存在最大值和最小值．【答案】D【分析】根據(jù)極值和最值的定義逐一分析判斷即可.【解析】函數(shù)在上的極值不一定是最值，最值也不一定是極值，故AB錯(cuò)誤；函數(shù)在上的極值一定不會(huì)在端點(diǎn)處取得，故C錯(cuò)誤；若在上連續(xù)，則在上存在最大值和最小值，故D正確.故選：D.3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷即可.【解析】由導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象知在x＝－2處f′(－2)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左正右負(fù)，x＝－2是極大值；在x＝－1處f′(－1)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左負(fù)右正，x＝－1是極小值；在x＝－3處f′(2)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左正右負(fù)，x＝2是極大值；所以f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查極值點(diǎn)的定義以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4．（22-23高二上·河南許昌·期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）

A．為函數(shù)的零點(diǎn)B．是函數(shù)的最小值C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．為函數(shù)的極大值點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)的圖象，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)和極值，以及零點(diǎn)的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解析】由的圖象，可得：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，A中，是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，不一定是函數(shù)的零點(diǎn)，所以A不正確；B中，是函數(shù)一個(gè)極小值，不一定是函數(shù)的最小值，所以B錯(cuò)誤；C中，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以C正確；D中，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤.故選：C.02求已知函數(shù)的極值5．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性，并求出的極小值．【答案】(1)(2)在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增；0.【分析】（1）欲求曲線在點(diǎn)處的切線方程，只需求出斜率和的值，利用直線的點(diǎn)斜式方程求解切線的方程；（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，又知，所以在點(diǎn)處的切線方程為．（2）因?yàn)?，令，則或，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，．綜上，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；所以．6．（23-24高二下·湖南·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由已知結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求解；（2）先化簡(jiǎn)的解析式，對(duì)其求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性及極值的關(guān)系即可求解.【解析】（1）定義域：．由已知：函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，解得．（2）由（1）得：，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以．令，解得．變化情況如下表：0＋單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因此的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，有極小值，并且極小值為，無(wú)極大值.03根據(jù)極值求參數(shù)7．（22-23高二下·北京·期中）若函數(shù)恰好有兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)恰好有兩個(gè)極值，說明導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，從而求出a的取值范圍.【解析】因?yàn)?，所以，由函?shù)恰好有兩個(gè)極值，得有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則，且，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.8．（2023·貴州遵義·三模）已知函數(shù)在處取得極值0，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的意義，列式求解.【解析】，有，得，所以.故選：B9．（21-22高三下·廣西·階段練習(xí)）已知函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間上有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值，由已知建立不等式，求解即可.【解析】解：，令，即，解得，且，；，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴有極大值，∴，∴，故選：A.04函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）圖像與極值的關(guān)系10．（23-24高二下·江西贛州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)至少有2個(gè)極值點(diǎn)C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在處取得極大值【答案】D【分析】根據(jù)的圖象判斷其符號(hào)，進(jìn)而可知的單調(diào)性和極值，結(jié)合選項(xiàng)分析判斷即可.【解析】由的圖象可知：當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合選項(xiàng)可知：ABC正確；D錯(cuò)誤；故選：D.11．（23-24高二下·四川廣元·期中）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的是（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞減C．在上存在極小值點(diǎn) D．在上有最大值【答案】B【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系，以及題圖即可得解.【解析】時(shí)，，時(shí)，，故在上不單調(diào)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，B選項(xiàng)正確；時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)，C選項(xiàng)不正確；時(shí)，，在上單調(diào)遞增，雖然確定了的單調(diào)性，但沒有的解析式，故無(wú)法確定在上是否有最大值，D選項(xiàng)不正確．故選：B．05由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值12．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函數(shù)，，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，設(shè)，則，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)求出即可．【解析】設(shè)，則，所以，令，則，令，函數(shù)單調(diào)遞減，令，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即的最小值為．故選：A13．（2024·江西鷹潭·二模）已知函數(shù)，，則下列命題不正確的是（

）A．有且只有一個(gè)極值點(diǎn) B．在上單調(diào)遞增C．存在實(shí)數(shù)，使得 D．有最小值【答案】C【分析】由條件可得函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，然后求導(dǎo)判斷其單調(diào)性與極值，即可得到結(jié)果.【解析】由得，令，則函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以與單調(diào)性、圖象變換等基本一致，，由得，列表如下：－0＋由表知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在時(shí)，取得極小值（最小值），所以在上單調(diào)遞增，即B正確；在時(shí)，取得唯一極值（極小值，也是最小值），即A、D都正確，C錯(cuò)誤.故選：C14．（23-24高二下·北京海淀·期中）關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的解集是 B．是極小值，是極大值C．沒有最小值，也沒有最大值 D．有最大值，沒有最小值【答案】C【分析】解不等式判斷A；利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值、最值判斷BCD.【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于A，，解得，即的解集是，A正確；對(duì)于BCD，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此是極小值，是極大值，B正確；顯然當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，，而當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，而，因此有最大值，沒有最小值，C錯(cuò)誤，D正確.故選：C06已知函數(shù)最值求參數(shù)15．（23-24高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意，得到，即可求解.【解析】由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，要使得函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則滿足，即，因?yàn)?，可得，即，解得，所以，即?shí)數(shù)的取值為.故選：D.16．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在最值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可得其在何處取得最值，即可得解.【解析】，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得最值，則有，解得.故選：C.17．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若，且的最小值為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出的大致圖象，令，結(jié)合圖象得到的范圍，再將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可得解.【解析】因?yàn)?，作出的大致圖象，如圖，

令，由圖象可得，因?yàn)?，所以，即，則，令，則，令，解得，當(dāng)，即時(shí)，，則，單調(diào)遞減，則，解得，符合；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，解得，不符合；綜上，.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查雙變量問題的函數(shù)與方程的應(yīng)用，解決這種題的常見方法是利用換元法將變量轉(zhuǎn)化為只有1個(gè)變量，注意利用數(shù)形結(jié)合考慮變量的取值范圍.07根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)18．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析得導(dǎo)函數(shù)必有2個(gè)零點(diǎn)，并且1必為小的零點(diǎn)，據(jù)此列不等式求解.【解析】令，則或，明顯函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，所以方程必有根，設(shè)為，即的根為或，又是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，即，所以，得.故選：B.19．（23-24高三上·河南南陽(yáng)·期末）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，令，求導(dǎo)，分和兩種情況，得到其單調(diào)性，極值和最值情況，從而得到不等式，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，極值最值情況，求出答案.【解析】由題意得有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，令，定義域?yàn)镽，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，在R上單調(diào)遞增，不會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去，當(dāng)時(shí)，令得，，令得，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，則，即，令，，則，令得，令得，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，又，故的解集為，此時(shí)當(dāng)趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí)，趨向于正無(wú)窮，當(dāng)趨向于正無(wú)窮時(shí)，趨向于正無(wú)窮，滿足有2個(gè)變號(hào)零點(diǎn).故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對(duì)多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方20．（22-23高三下·江西贛州·階段練習(xí)）已知函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的為（

）A． B．C．若，則 D．【答案】D【分析】由題可得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的大致圖象，然后結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，由，得，顯然，由函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，得方程，即兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，于是函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)分別為，求導(dǎo)得，由得，由得，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于A，要使函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)為，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的圖象知，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，得，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，又，則，，有，即，因此，D正確．故選：D【點(diǎn)睛】函數(shù)由極值、極值點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)極值或極值點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)極值或極值點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.08由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值（含參）21．（23-24高二下·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求，令，，求解即可；（2）先求，令，在定義域內(nèi)解得，討論的取值范圍，通過判斷函數(shù)在的單調(diào)性，即可求得最小值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，，令，得或（舍），?dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，綜上.22．（2024·山西呂梁·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)求在區(qū)間上的最大值.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，極大值為，沒有極小值；(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、、、四種情況討論，得到函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，函數(shù)的極大值為，沒有極小值.（2）由題意得.若，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為；若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)的最大值為；若，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)的最大值為；若，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為.綜上可得，.09恒成立問題23．（2024·山東煙臺(tái)·一模）已如曲線在處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)斜率關(guān)系，即可求導(dǎo)求解，（2）求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值求解.【解析】（1）由于的斜率為，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范圍為24．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為常數(shù).(1)過原點(diǎn)作圖象的切線，求直線的方程；(2)若，使成立，求的最小值.【答案】(1)(2).【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)得出切線方程，代入原點(diǎn)，求出參數(shù)即得切線方程；（2）由題意，將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為在有解，即只需求在上的最小值，利用導(dǎo)數(shù)分析推理即得的最小值.【解析】（1）

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過原點(diǎn)，所以，解得，

所以切線的斜率為，所以的方程為.（2），，即成立，則得在有解，故有時(shí)，.

令，，，

令得；令得，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，

則，故的最小值為.10零點(diǎn)問題25．（23-24高三下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)答案見解析(2)2【分析】（1）求導(dǎo)得到，令即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)得到，因無(wú)法輕易求得的解，故根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)將的取值范圍分為三段分別討論，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可求解零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】（1）∵，故，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）因?yàn)椋?，則．①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減．所以．所以在上無(wú)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，且，，所以存在，使．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且．所以．設(shè)，，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．所以，得．所以．所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)．所以在有2個(gè)零點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以在上無(wú)零點(diǎn)．綜上所述，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理有關(guān)三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題的主要手段有：（1）分段處理：利用三角函數(shù)的有界性與各不同區(qū)間的值域分段判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)；（2）高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：討論端點(diǎn)（特殊點(diǎn)）與單調(diào)性的關(guān)系，注意高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，能清楚判斷所討論區(qū)間的單調(diào)性是關(guān)鍵；（3）關(guān)注三角函數(shù)的有界性與常用不等式放縮.26．（22-23高二下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）已知函數(shù)．(1)函數(shù)在處的切線與x軸平行，求a的值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)代入得即可求出值；（2）首先排除的情況，在時(shí)，根據(jù)，解出范圍，再利用零點(diǎn)存在性定理證明此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn).【解析】（1），則由題意得，解得.（2）定義域?yàn)?，，令，解得：，?dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增；則至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意;當(dāng)時(shí)，若時(shí)，；若時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得.因?yàn)?，且，由零點(diǎn)存在定理可知，存在使得，又因?yàn)?，設(shè)，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增，故，即，因?yàn)?，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得.綜上可得的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用，解出的范圍，再利用零點(diǎn)存在性定義證明此時(shí)滿足題意即可.11導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用27．（2024·江蘇·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)若在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的值域即可證明；（2）求導(dǎo)，令，再求導(dǎo)，利用放縮可知，得到在單調(diào)遞增，，分類討論和時(shí)的正負(fù)，從而確定是否有極值點(diǎn)以及極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，.要證，只需證：當(dāng)時(shí)，.令，則，則在單調(diào)遞增，所以，即.（2），令，則.所以在單調(diào)遞增，，①時(shí)，，.則在為增函數(shù)，在上無(wú)極值點(diǎn)，矛盾.②當(dāng)時(shí)，.由（1）知，，，則，則使.當(dāng)時(shí)，，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，則在上單調(diào)遞增.因此，在區(qū)間上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.28．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知函數(shù)為的極值點(diǎn)．(1)求的最小值；(2)若關(guān)于的方程有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．【答案】(1)1(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)的定義可得，代入，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可（2）由，然后分離參數(shù)得，設(shè)，求出單調(diào)區(qū)間和極值即可【解析】（1），依題意，，所以，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值為1；（2）由（1）可知，，令，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，所以．29．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)，求證：在上單調(diào)遞減；(3)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)列出不等式，求得答案；（2）寫出，利用其導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可；（3）采用逆推分析的方法，將證明成立，轉(zhuǎn)化為證明成立，繼而根據(jù)在上單調(diào)遞減，需證，結(jié)合（2）的結(jié)論，即可證明．【解析】（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，，可取到負(fù)的無(wú)窮小值，當(dāng)時(shí)，，也可取到負(fù)的無(wú)窮小值，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2），，，令，，，又時(shí)有，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，從而，在上單調(diào)遞減；（3）由（1）知，，要證，只需證，在上單調(diào)遞減，只需證，，只需證，其中，只需證，其中，由（2）知，當(dāng)時(shí)，，，．一、單選題1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的極小值點(diǎn)為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而可得極小值點(diǎn).【解析】因?yàn)?，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故極小值點(diǎn)為2．故選：A2．（2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知的一個(gè)極值點(diǎn)為，若tan，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．﹣3 B． C．3 D．【答案】B【分析】由正弦函數(shù)的圖像和極值點(diǎn)列方程求出實(shí)數(shù)a的值.【解析】函數(shù)的圖像連續(xù)，且所以若為的一個(gè)極值點(diǎn)，由正弦函數(shù)的圖像可得：，解得：.而tan，所以，所以.故選：B3．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1【答案】D【分析】先利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值計(jì)算即可.【解析】由題意可知：，所以當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，所以.故選：D.4．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．為增函數(shù) B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．的最大值為2e D．的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合選項(xiàng)依次計(jì)算，即可求解.【解析】A：，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在R上沒有零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；C：由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的最小值為，故C錯(cuò)誤；D：，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.故選：D5．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討最值可得，再結(jié)合已知及不等式性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.【解析】對(duì)于A，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，即，而，因此，A正確；對(duì)于B，由，得，則，顯然，否則，，于是，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，C正確；對(duì)于D，，即，因此，D正確.故選：B6．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）在半徑為的實(shí)心球中挖掉一個(gè)圓柱，再將該圓柱重新熔成一個(gè)球，則球的表面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求出球的半徑，設(shè)圓柱的底面半徑為，則高為，寫出圓柱的體積，利用基本不等式求最值，即可得到滿足條件的值,結(jié)合球的體積以及表面積公式即可求解.【解析】由球的半徑為，如圖，設(shè)圓柱的底面半徑為，則高為，．當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，上式取等號(hào),此時(shí)圓柱的體積為，（或者令，當(dāng)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故當(dāng)取最大值4，故當(dāng)時(shí)，取最大值4）要使熔成一個(gè)球的表面積最大，則半徑最大，則體積最大即可,因此熔成的球的體積也是，故球的半徑為,所以球的表面積為故選：D．7．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為6，則a的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】方程因式分解得，所以或，根據(jù)函數(shù)的草圖，判斷的解的個(gè)數(shù)，從而確定解的個(gè)數(shù)，可得的取值范圍.【解析】當(dāng)時(shí)，，由此可知在單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，如圖所示．得，即或，由與有兩個(gè)交點(diǎn)，則必有四個(gè)零點(diǎn)，即，得.故選：C8．（2024·福建莆田·二模）對(duì)于函數(shù)和，及區(qū)間，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立，則稱在區(qū)間上“優(yōu)于”．有以下四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上“優(yōu)于”；②在區(qū)間上“優(yōu)于”；③在區(qū)間上“優(yōu)于”；④若在區(qū)間上“優(yōu)于”，則．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】對(duì)于①②：根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)圖象分析判斷；對(duì)于③：構(gòu)建函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，可證；對(duì)于④：根據(jù)結(jié)合公切線可得，并檢驗(yàn).【解析】對(duì)于①：若在區(qū)間上恒成立，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象可知：，若，此時(shí)與必有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知：不恒成立，即不存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：對(duì)于，，結(jié)合正切函數(shù)圖象可知，不存在在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：構(gòu)建，則，令，解得；，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；構(gòu)建，則，令，解得；，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；綜上所述：，即存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立，所以在區(qū)間上“優(yōu)于”，故③正確；對(duì)于④：因?yàn)椋?，若在區(qū)間上“優(yōu)于”，可知符合條件的直線應(yīng)為在處的公切線，則，可得，則切線方程為，構(gòu)建在即內(nèi)恒成立，可得；由③可知：，可得;綜上所述：.所以符合題意，故④正確；故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于③：通過構(gòu)建函數(shù)證明；對(duì)于④：根據(jù)，結(jié)合題意分析可得，即可得，注意檢驗(yàn).二、多選題9．（2024·貴州安順·一模）設(shè)函數(shù)，則（

）A．有個(gè)極大值點(diǎn)B．有個(gè)極小值點(diǎn)C．是的極大值點(diǎn)D．是的極小值點(diǎn)【答案】ABD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以?dāng)或時(shí)，當(dāng)或時(shí)，所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，在處取得極大值，在處取得極小值.故選：ABD10．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則在上遞增B．若為奇函數(shù)，則C．若是的極值點(diǎn)，則D．若和都是的零點(diǎn)，在上具有單調(diào)性，則的取值集合為【答案】BCD【分析】用整體思想結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷A；由奇函數(shù)即可判斷B；根據(jù)已知條件計(jì)算出即可判斷C；由已知求出范圍，即可判斷D．【解析】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闀r(shí)單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若為奇函數(shù)，則，則，又，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，又是的極值點(diǎn)，所以，即，又，則，經(jīng)檢驗(yàn)為的極值點(diǎn)，故，故C正確；對(duì)于D，由和都是的零點(diǎn)得，，兩式相減得，由在上具有單調(diào)性且和都是的零點(diǎn)得，，解得，所以的取值集合為，故D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于D選項(xiàng)中求的范圍，一是根據(jù)和是的零點(diǎn)得出，二是結(jié)合在具有單調(diào)性，即區(qū)間左端點(diǎn)為零點(diǎn)，得出.11．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為B．函數(shù)有極小值且極小值為C．若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的曲線的切線方程為【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值、方程的根與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，依次判斷選項(xiàng)即可.【解析】對(duì)A：由題意可知的定義域?yàn)?，，令，解得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，取得極大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由上分析可作出的圖象，要使方程有兩個(gè)不等實(shí)根，只需要與有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故C正確.對(duì)D：設(shè)曲線在處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則切線斜率，得，解得，所以切線斜率，所以切線方程為，故D正確.故選：ACD三、填空題12．（2023·廣東汕頭·一模）函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為1，則的極大值是．【答案】4【分析】由極值點(diǎn)定義得到，求出，進(jìn)而得到或時(shí)，，時(shí)，，得到函數(shù)單調(diào)性和極大值.【解析】定義域?yàn)镽，，由題意得，，解得，故，令，解得，令得，或，單調(diào)遞增，令得，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，極大值為.故答案為：413．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值，作出函數(shù)大致圖象，數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【解析】由題意，得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取最大值．作出函數(shù)的大致圖象，如圖．由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：.14．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】依題意關(guān)于的方程恰有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，令，則（且），令（且），依題意可得與有兩個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于，另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)位于之間，即可求出參數(shù)的取值范圍.【解析】令，則，即，依題意關(guān)于的方程恰有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，令，則（且），則（且），令（且），因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞增，所以在，上單調(diào)遞增，又，，要使關(guān)于的方程恰有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則與有兩個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于，另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)位于之間，則，解得，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是將函數(shù)的公共點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的解，從而轉(zhuǎn)化為常數(shù)函數(shù)的定函數(shù)的交點(diǎn)問題.四、解答題15．（2024·湖南衡陽(yáng)·二模）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的最值．【答案】(1)(2)的最小值為，最大值為.【分析】（1）利用極值定義可求得，可得解析式；（2）利用導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，比較端點(diǎn)處的值可得結(jié)論.【解析】（1）依題意可得，又當(dāng)時(shí)，取得極值，所以，即；解得；所以；（2）由（1）可知，令，可得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表所示：?jiǎn)握{(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，在區(qū)間上，的最小值為，最大值為.16．（2024·河南·三模）已知函數(shù)，且在處的切線方程是．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】(1)，(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程組，解得即可；（2）由（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值.【解析】（1）因?yàn)?，所以，又在處的切線方程為，所以，，解得，．（2）由（1）可得定義域?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則在處取得極小值，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，因此極小值為，無(wú)極大值．17．（2024·江蘇南京