專題11 二次函數(shù)-胡不歸求最小值（解析版）

第十一講二次函數(shù)--胡不歸求最值

目錄

必備知識點.......................................................................................................................................................1

考點一PA+k?PB...............................................................................................................................................2

考點二PA+QB+k?PQ......................................................................................................................................33

知識導(dǎo)航

必備知識點

從前，有一個小伙子在外地當(dāng)學(xué)徒，當(dāng)他得知在家鄉(xiāng)的年老父親病危的消息后，便立即啟程日

夜趕路。由于思念心切，他選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A--B（如圖所示：A是出發(fā)地，B是目

的地，AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)全是沙礫地帶），當(dāng)他趕到父親眼前時，老人已去世

了，鄰舍告訴小伙子時告訴說，老人在彌留之際還不斷喃喃地叨念：胡不歸?胡不歸？

一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，

ACBC

點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。?/p>

V2V1

ACBC1VV

=BC1AC，記k1，

V2V1V1V2V2

即求BC+kAC的最小值．

構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

第1頁共62頁.

將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH

取到最小值，即BC+kAC最小．

在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為

“PA+PC”型．

胡不歸模型問題解題步驟如下：

bbb

1、將所求線段和改寫為“PA+PB”的形式（<1，若>1，提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1

aaa

的形式解決）。

b

2、在PB的一側(cè)，PA的異側(cè)，構(gòu)造一個角度α，使得sinα=

a

3、最后利用兩點之間線段最短及垂線段最短解題

考點一PA+k?PB

1．如圖1，拋物線y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）與x軸交于A，B兩點（A在B左邊），與y軸交

于點C．連接AC，BC．且△ABC的面積為8．

（1）求m的值；

第2頁共62頁.

（2）在（1）的條件下，在第一象限內(nèi)拋物線上有一點T，T的橫坐標(biāo)為t，使∠ATC＝60°．求

（t﹣1）2的值．

（3）如圖2，點P為y軸上一個動點，連接AP，求CP+AP的最小值，并求出此時點P的坐

標(biāo)．

【解答】解：（1）y＝x2+（m﹣2）x一2m＝（x﹣2）（x+m），

令y＝0，則x＝2或x＝﹣m，

∵m＞0，

∴﹣m＜0，

∴A（﹣m，0），B（2，0），

∴AB＝2+m，

令x＝0，則y＝﹣2m，

∴C（0，﹣2m），

∵△ABC的面積為8，

∴×（2+m）×（2m）＝8，

解得m＝2或m＝﹣4（舍）；

（2）當(dāng)m＝2時，y＝x2﹣4，

∵的橫坐標(biāo)為t，

∴T（t，t2﹣4），

過點C作EF∥x軸，過點T作TF⊥EF交于F點，過點C作CD⊥CT交直線AT于點D，過點D

作DE⊥EF交于E點，

∵∠DCT＝90°，

第3頁共62頁.

∴∠DCE+∠TCF＝90°，

∵∠DCE+∠CDE＝90°，

∴∠TCF＝∠CDE，

∴△CED∽△TFC，

∴＝＝，

∵∠ATC＝60°，

∴＝，

∵C（0，﹣4），

∴CF＝t，TF＝t2，

∴DE＝t，CE＝t2，

∴D（﹣t2，t﹣4），

設(shè)直線AT的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得，

∴y＝（t﹣2）x+2t﹣4，

∴t﹣4＝（t﹣2）（﹣t2）+2t﹣4，

∴（t﹣1）2＝；

（3）過點B作BG⊥AC交于G點，交y軸于點P，

∵A、B關(guān)于y軸對稱，

∴AP＝BP，

∵∠GBA+∠BAC＝∠ACO+∠CAO＝90°，

∴∠ABG＝∠ACO，

∵AO＝2，CO＝4，

∴AC＝2，

∴sin∠ACO＝，

∴＝，

第4頁共62頁.

∴CP＝GP，

∵CP+AP＝（CP+AP）＝（GP+AP）≥BG，

∵cos∠ACO＝＝＝，

∴BG＝，

∴CP+AP的最小值為8，

∵tan∠ACO＝＝＝，

∴OP＝1，

∴P（0，﹣1）．

2．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸相交于點C（0，﹣2），與x軸分別交于點B（3，

0）和點A，且tan∠CAO＝1．

第5頁共62頁.

（1）求拋物線解析式．

（2）拋物線上是否存在一點Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，請求出點Q坐標(biāo)，若不存在，

請說明理由；

（3）拋物線的對稱軸交x軸于點D，在y軸上是否存在一個點P，使PC+PD值最小，若存

在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）∵C（0，﹣2），

∴OC＝2，

∵tan∠CAO＝1，

∴＝1，

∴OA＝2，A（﹣2，0），

將A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：

，解得，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣2；

（2）存在一點Q，使得∠BAQ＝∠ABC，理由如下：

過A作AM∥BC交y軸于M，交拋物線于Q，作M關(guān)于x軸的對稱點M'，作直線AM'交拋物線

于Q'，如圖：

第6頁共62頁.

∵AM∥BC，

∴∠QAB＝∠ABC，即Q是滿足題意的點，

∵B（3，0），C（0，﹣2），

∴直線BC解析式是y＝x﹣2，

設(shè)直線AM解析式為y＝x+m，將A（﹣2，0）代入得﹣+m＝0，

∴m＝，

∴直線AM解析式為y＝x+，M（0，），

解得（與A重合，舍去）或，

∴Q（5，），

∵M、M'關(guān)于x軸對稱，

∴∠Q'AB＝∠QAB＝∠ABC，M'（0，﹣），

∴Q'是滿足題意的點，

設(shè)直線AQ'為y＝kx﹣，將A（﹣2，0）代入得﹣2k﹣＝0，

∴k＝﹣，

∴直線AQ'為y＝﹣x﹣，

解得（舍去）或，

第7頁共62頁.

∴Q（1，﹣2）；

綜上所述，點Q坐標(biāo)是（5，）或（1，﹣2）；

（3）在y軸上存在一個點P，使PC+PD值最小，理由如下：

過P作PH⊥AC于H，過D作DH'⊥AC于H'，交y軸于P'，如圖：

∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，

∴拋物線對稱軸是直線x＝，

∴D（，0），

∵OA＝OC＝2，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∴∠OCA＝45°＝∠OAC，

∴△PCH是等腰直角三角形，

∴PH＝PC，

∴PC+PD最小即是PH+PD最小，

∴當(dāng)P運動到P'，H和H'重合時，PC+PD的最小，最小值是DH'，

∵∠OAC＝45°，DH'⊥AC，

∴△ADH'是等腰直角三角形，

∴DH'＝AD，

∵A（﹣2，0），D（，0），

∴AD＝，

∴DH'＝，即PC+PD的最小值是．

第8頁共62頁.

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于點A、B，交y軸于

點C，其頂點為D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．

（1）求二次函數(shù)的表達式及其頂點D的坐標(biāo)；

（2）點M是線段BC上方拋物線上的一個動點，點N是線段BC上一點，當(dāng)△MBC的面積最大

時，求：

①點M的坐標(biāo)，說明理由；

②MN+BN的最小值；

（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P，使得以點P、A、C為頂點的三角形為直角三角形？若

存在，求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）∵∠ABC＝45°，

∴OB＝OC，

∵OA：OB＝1：3，AB＝4，

∴OA＝1，OB＝3，

∴OC＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），

將A、B、C代入y＝ax2+bx+c中，

∴，

解得，

∴y＝﹣x2+2x+3，

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）；

第9頁共62頁.

（2）①設(shè)BC的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得，

∴y＝﹣x+3，

過點M作MG∥y軸交BC于點G，

設(shè)M（t，﹣t2+2t+3），則G（t，﹣t+3），

∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，

22

∴S△MBC＝×3×（﹣t+3t）＝﹣（t﹣）+，

∵0＜t＜3，

∴當(dāng)t＝時，S△MBC有最大值，

此時M（，）；

②過點M作MH⊥x軸交于H，交BC于N，

∵∠OBC＝45°，

∴NH＝BN，

∴MN+BN＝MN+NH≥MH，

∵M（，），

∴MH＝，

∴MN+BN的最小值為，

故答案為：；

（3）存在點P，使得以點P、A、C為頂點的三角形為直角三角形，理由如下：

設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），

如圖2，當(dāng)∠ACP＝90°時，

過點C作EF∥x軸，過點A作AE⊥EF交于E，過點P作PF⊥EF交于F，

∴∠ECA+∠FCP＝90°，

∵∠ACE+∠EAC＝90°，

∴∠FCP＝∠EAC，

第10頁共62頁.

∴△ACE∽△CPF，

∴＝，

∴＝，

解得m＝0（舍）或m＝，

∴P（，）；

如圖3，當(dāng)∠CAP＝90°時，過點A作MN⊥x軸，過點C作CM⊥MN交于M，過點P作PN⊥

MN交于N，

∵∠MAC+∠NAP＝90°，∠MAC+∠MCA＝90°，

∴∠NAP＝∠MCA，

∴△ACM∽△PAN，

∴＝，

∴＝，

解得m＝﹣1（舍）或m＝，

∴P（，﹣）；

綜上所述：P點坐標(biāo)為（，）或（，﹣）．

第11頁共62頁.

4．如圖1，拋物線與x軸分別交于A，B兩點（點B位于點A的右側(cè)），

與y軸交于C點，連接BC．

（1）求直線BC的解析式：

（2）如圖1，點P是線段BC下方拋物線上任意一點，點F是y軸上一點，當(dāng)△PBC面積最大時，

求PF+FO的最小值；

（3）如圖2，拋物線的對稱軸與x軸交于點M，點Q是直線BC上一動點，連接MQ，將△BMQ

沿MQ折疊至△B′MQ，其中點B的對應(yīng)點為點B′，連接AB'，CB′，當(dāng)△ACB′為等腰三角

第12頁共62頁.

形時，求點Q的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）∵拋物線與y軸交于C點，

∴C點坐標(biāo)為（0，），

∵當(dāng)y＝0時，＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6

又∵拋物線與x軸分別交于A，B兩點（點B位于點A的右側(cè)），

∴A（﹣2，0）、B（6，0）．

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則，

解得：，

∴直線BC的解析式為：．

（2）如圖1，過P點作PG∥y軸，交BC于G點，

設(shè)P點坐標(biāo)為（x，），則則G點為（x，），

PG＝（）﹣（）＝，

∴當(dāng)x＝3時，PG最大，

∵S△PBC＝，BO＝6，

∴當(dāng)PG最大時，△PBC面積最大，此時P點坐標(biāo)為（3，）．

過O點作∠MOC＝30°，過F點作HF⊥OM垂足為H，

∴HF＝，

∴PF+FO＝HF+PF，

∴當(dāng)P、F、H三點在一條直線，即PH⊥OM時，HF+PF最小，

過P點作PQ⊥y軸，

∴∠FPQ＝30°，PQ＝3，

∴QF＝，PF＝2，

∴OF＝OQ﹣QF＝＝，

第13頁共62頁.

∴PF+FO的最小值＝＝；

（3）∵C點坐標(biāo)為（0，），拋物線對稱軸為x＝2，

∴M點坐標(biāo)為（2，0），

∴CM＝4，AC＝4，

由折疊性質(zhì)可知BM＝B′M＝4，又有AM＝4，

∴故A、B、C、B′四點在以M點為圓心，4為半徑的圓上，

∵tan∠CBO＝，

∴∠CBO＝30°，＝60°，

當(dāng)△ACB′為等腰三角形時有四種情況，

Ⅰ．如圖2﹣1，當(dāng)AC＝B'C＝4時，

∴，

∴B′C∥x軸，∠B′MB＝60°，

∵∠MB'Q1＝∠MBQ1＝30°，

∴BQ1⊥x軸，

當(dāng)x＝4時，代入得y＝．

即Q1點坐標(biāo)為（4，）

Ⅱ．如圖2﹣2，當(dāng)AC＝B'C＝4時，

B′點恰好是C點關(guān)于x軸的對稱點，

∴∠AMB′＝60°，

∵∠MB'Q2＝∠MBQ2＝30°，

∴B′Q與y軸重合，

∴Q2點與C點重合，

即Q2點坐標(biāo)為（0，）；

Ⅲ．如圖2﹣3，當(dāng)AB′＝B'C時，即B′在AC的垂直平分線上，

第14頁共62頁.

∴∠AMB′＝30°，

∵∠MB'Q2＝∠MBQ2＝30°，

∴B′Q3∥x軸，B′縱坐標(biāo)為﹣2，

即Q3縱坐標(biāo)為﹣2，當(dāng)y＝﹣2時，代入解得x＝6﹣2，

即Q3點坐標(biāo)為（6，﹣2）；

Ⅳ．如圖2﹣4，當(dāng)AB′＝B'C時，即B′在AC的垂直平分線上，

∴∠AB′M＝15°，

∴∠BMB′＝30°，

∵∠MB'Q4＝∠MBQ4＝150°，

∴B′Q4∥x軸，B′縱坐標(biāo)為2，

即Q4縱坐標(biāo)為2，當(dāng)y＝2時，代入解得x＝6+2，

即Q4點坐標(biāo)為（6，2）；

綜上所述：當(dāng)△ACB′為等腰三角形時，點Q的坐標(biāo)為（4，）、（0，）；（6，

﹣2）；（6，2）；

．

第15頁共62頁.

第16頁共62頁.

5．已知：如圖所示，拋物線y＝﹣x2﹣x+c與x軸交于A、B兩點，與y軸的正半軸交于點C，

點A在點B的左側(cè)，且滿足tan∠CAB?tan∠CBA＝1．

（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；

（2）若點P是拋物線y＝﹣x2﹣x+c上一點，且△PAC的內(nèi)切圓的圓心正好落在x軸上，求

點P的坐標(biāo)；

（3）若M為線段AO上任意一點，求MC+AM的最小值．

【解答】解：（1）設(shè)點A、B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，

令y＝0可得﹣x2﹣x+c＝0，

∴x1?x2＝﹣2c，

∵tan∠CAB?tan∠CBA＝1，即＝1，

2

∴OC＝OA?OB＝（﹣x1）?x2＝2C，

即c2＝2c，

解得c1＝0（舍去），c2＝2，

第17頁共62頁.

∴拋物線y＝﹣x2﹣x+2，

令y＝0解得，x1＝﹣4，x2＝1，

故點A（﹣4，0），點B（1，0）；

（2）△PAC的內(nèi)切圓圓心正好落在x軸上，則x軸為∠CAP的角平分線，

作點C關(guān)于x軸的對稱點C'（0，﹣2），

設(shè)直線AC'的解析式為y＝kx+b，將點A（﹣4，0），C'（0，﹣2）代入，

得，

解得，

∴直線AC'的解析式為y＝x﹣2，

聯(lián)立拋物線與直線得，

解得，，

故點P坐標(biāo)（2，﹣3）；

（3）過點A作直線AD，使sin∠OAD＝，過點M作ME⊥AD于點E，如圖，

第18頁共62頁.

在Rt△MAE中，sin∠OAD＝，

∴ME＝AM，

∴MC+AM＝MC+ME，當(dāng)點M、C、E三點共線時，MC+ME最小為CE，

∵∠OMC＝∠EMA．∠MEA＝∠COM，

∴∠EAM＝∠OCM，

在Rt△OCM中，sin∠OCM＝sin∠OAD＝，OC＝2，

∴tan∠OCM＝＝＝，cos∠OAD＝＝，

∴OM＝1，CM＝，

∴AM＝4﹣1＝3，

在Rt△AEM中，sin∠OAD＝，AM＝3，

∴EM＝3?sin∠OAD＝，

∴MC+ME＝+＝．

故MC+AM的最小值．

6．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣6x+7交x軸于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），交y軸于點C，

直線y＝x+7經(jīng)過點A、C，點M是線段AC上的一動點（不與點A，C重合）．

（1）求A，B兩點的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點P，C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱時，求PM+AM的最小值及此時點M的坐標(biāo)；

（3）連接BC，當(dāng)△AOM與△ABC相似時，求出點M的坐標(biāo)．

第19頁共62頁.

【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣6x+7中，令y＝0得：

﹣x2﹣6x+7＝0，解得x＝﹣7或x＝1，

∴A（﹣7，0），B（1，0）；

（2）過P作PN⊥x軸于N，交AC于M，如圖：

拋物線y＝﹣x2﹣6x+7的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣3，

在y＝﹣x2﹣6x+7中，令x＝0得y＝7，

∴C（0，7），

∴AC＝＝7，

∴sin∠CAB＝＝＝，

在Rt△AMN中，MN＝AM?sin∠CAB＝AM，

第20頁共62頁.

∴PM+AM最小，即是PM+MN最小，由垂線段最短可知PM+AM的最小值即為PN的長，

∵點P，C（0，7）關(guān)于拋物線的對稱軸直線x＝﹣3對稱，

∴PN與OC關(guān)于拋物線y＝﹣x2﹣6x+7的對稱軸直線x＝﹣3對稱，P（﹣6，7），

∴PN＝OC＝7，即PM+AM的最小值為7，

由A（﹣7，0），C（0，7）得直線AC解析式為y＝x+7，

在y＝x+7中，令x＝﹣6得y＝，

∴M（﹣6，）；

（3）過M作MH⊥x軸于H，過M'作M'G⊥x軸于G，如圖：

∵A（﹣7，0），B（1，0），C（0，7），

∴AB＝8，AC＝7，

∵∠MAO＝∠BAC，

∴△AOM與△ABC相似，分兩種情況：

①當(dāng)△ABC∽AMO時，＝，

∴＝，

∴AM＝，

∵MH⊥x軸，

∴MH∥OC，

∴△AMH∽△ACO，

第21頁共62頁.

∴＝＝，即＝＝，

∴AH＝，MH＝，

∴OH＝OA﹣AH＝，

∴M（﹣，），

②當(dāng)△ABC∽△AOM'時，

∴＝，即＝，

∴AM'＝，

同理可得＝＝，

∴＝＝，

∴AG＝，M'G＝，

∴OG＝OA﹣AG＝，

∴M'（﹣，），

綜上所述，當(dāng)△AOM與△ABC相似時，M坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣，）．

7．如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點

C，經(jīng)過點B的直線y＝﹣x+與拋物線的另一交點為D，且點D的橫坐標(biāo)為﹣5．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若點P（x，y）在該二次函數(shù)的圖象上，且S△BCD＝S△ABP，求點P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)F為線段BD上的一個動點（異于點B和D），連接AF．是否存在點F，使得2AF+DF

的值最??？若存在，分別求出2AF+DF的最小值和點F的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

第22頁共62頁.

【解答】解：把x＝﹣5代入y＝﹣x+，

解得y＝3，

∴D（﹣5，3），

把D（﹣5，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣8a，

解得a＝，

∴拋物線的解析式為；

（2）設(shè)直線BD與y軸交于點E，

∴E（0，），

由可得A（﹣2，0），B（4，0），C（0，），

由S△BCD＝S△ABP，

∴CE?|xB﹣xD|＝AB?|yP|，

∴（﹣）×（4+5）＝（4+2）×|yP|，

∴|yP|＝，

∴yP＝±，

∵拋物線的頂點為（1，﹣），

∴yP＝，

∴P點坐標(biāo)為或；

（3）存在點F，使得2AF+DF的值最小，理由如下：

過點D作DM平行于x軸，故∠BDM＝30°，過F作FH⊥DM于H，

∴sin30°＝＝，

第23頁共62頁.

∴HF＝DF，

∴2AF+DF＝2（AF+DF）＝2（AF+HF）＝2AH，

當(dāng)A、F、H三點共線時，即AH⊥DM時，2AF+DF取最小值，

∵A（﹣2，0），

∴F（﹣2，2），

∵D（﹣5，3），

∴AH＝3，

∴2AF+DF的最小值為6．

8．已知拋物線y＝ax2﹣4ax﹣12a與x軸相交于A，B兩點，與y軸交于C點，且OC＝OA．設(shè)拋

物線的頂點為M，對稱軸交x軸于點N．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點E（m，n）為拋物線上的一點，且0＜m＜6，連接AE，交對稱軸于點P．點F

為線段BC上一動點，連接EF，當(dāng)PA＝2PE時，求EF+BF的最小值．

（3）如圖2，過點M作MQ⊥CM，交x軸于點Q，將線段CQ向上平移t個單位長度，使得線

段CQ與拋物線有兩個交點，求t的取值范圍．

【解答】解：（1）在y＝ax2﹣4ax﹣12a中，令y＝0得ax2﹣4ax﹣12a＝0，

第24頁共62頁.

解得x1＝﹣2，x2＝6，

∴OA＝2，

∵OC＝OA，

∴OC＝3，即C（0，3），

將C（0，3）代入y＝ax2﹣4ax﹣12a得a＝﹣，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+3；

（2）過E作EH⊥x軸于H，交BC于F'，過F作FQ⊥x軸于Q，如圖：

∵y＝﹣x2+x+3對稱軸為直線x＝2，

∴P橫坐標(biāo)為2，即ON＝2，

∴AN＝2﹣（﹣2）＝4，

∵AP＝2PE，

∴AN＝2NH，

∴NH＝2，

∴E橫坐標(biāo)為4，在y＝﹣x2+x+3中令x＝4得y＝3，

∴E（4，3），

由（1）可知：OC＝3，OB＝6，

Rt△BOC中，BC＝＝3，

∴sin∠CBO＝＝＝，

∵EH⊥x軸，

∴Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝，

第25頁共62頁.

∴FQ＝BF，

而EF+BF＝（EF+BF），

∴EF+BF最小即是EF+BF最小，也是EF+FQ最小，此時E、F、Q共線，即F與F'

重合，Q與H重合，EH的長度即是EF+BF的最小值，

∵EH＝|yE|＝3，

∴EF+BF的最小值為3，

∴EF+BF的最小值為；

（3）將線段CQ向上平移，當(dāng)Q落到拋物線上的Q1處時，線段CQ與拋物線有兩個交點，繼續(xù)

將線段向上平移，當(dāng)線段與拋物線只有一個交點，Q移動到Q2處，如圖：

∵y＝﹣x2+x+3頂點M（2，4），

又C（0，3），

∴CM的解析式為y＝x+3，

由MQ⊥CM，設(shè)MQ解析式為y＝﹣2x+b，將M（2，4）代入得：4＝﹣2×2+b，

∴b＝8，

∴MQ解析式為y＝﹣2x+8，

在y＝﹣2x+8中令y＝0得x＝4，

∴Q（4，0），

而C（0，3），

∴CQ解析式為y＝﹣x+3，

將線段CQ向上平移t個單位長度，與C1Q1重合時，則Q1（4，t），

第26頁共62頁.

代入y＝﹣x2+x+3得：t＝﹣×16+4+3＝3，

將線段CQ向上平移t個單位長度，與C2Q2重合時，C2Q2解析式為y＝﹣x+3+t，

由只有一個解，可得﹣x2+x﹣t＝0的判別式Δ＝0，即（）2﹣4×（﹣）

?（﹣t）＝0，

解得t＝，

∴將線段CQ向上平移t個單位長度，使得線段CQ與拋物線有兩個交點，3≤t＜．

9．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸為直線x

＝1，點A（﹣1，0），過B的直線交y軸于點D，交拋物線于E，且．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線第四象限的圖象上找一點P，使得△BDP的面積最大，求出點P的坐標(biāo)；

（3）點M是線段BE上的一點，求的最小值，并求出此時點M的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A、B兩點，拋物線的對稱軸為直線x＝1，點

A（﹣1，0），

∴B（3，0），

∴，

解得．

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．

第27頁共62頁.

（2）∵B（3，0），，

∴OD＝4，即D（0，4）．

∴直線BE的解析式為：y＝﹣x+4．

如圖，過點P作PH⊥x軸，交AB于點H，

設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），則H（m，﹣m+4），

∴PH＝﹣m+4﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+7，

∴S△BDP＝×PH×3

＝﹣m2+m+

＝﹣（m﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴當(dāng)m＝時，即P（，﹣）時△BDP的面積最大．

（3）如圖，過點M作MS∥y軸，過點E作ES∥x軸，過A作AT⊥ES于點T，

第28頁共62頁.

∵ES∥x軸，

∴∠SEM＝∠EBA，

∵tan∠EBA＝，

∴tan∠MES＝，

∴sin∠MES＝＝，

∴SM＝EM，

∴AM+EM＝AM+SM≥SA≥AT，

∴AM+EM的最小值為AT．

令x2﹣2x﹣3＝﹣x+4，

解得x＝3（舍）或x＝﹣，

∴E（﹣，），

∴AM+EM的最小值，此時M（﹣1，）．

10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），

交y軸于點C，點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E．

（1）填空：a＝﹣1，點B的坐標(biāo)是（3，0）；

（2）連接BD，點M是線段BD上一動點（點M不與端點B，D重合），過點M作MN⊥BD，交

拋物線于點N（點N在對稱軸的右側(cè)），過點N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點F，點P是

線段OC上一動點，當(dāng)△MNF的周長取得最大值時，求FP+PC的最小值；

第29頁共62頁.

（3）在（2）中，當(dāng)△MNF的周長取得最大值時，F(xiàn)P+PC取得最小值時，如圖2，把點P向

下平移個單位得到點Q，連接AQ，把△AOQ繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（0°＜＜

360°），得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標(biāo)軸于點G．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存α在一點Gα，

使得GQ′＝OG？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q′的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）將點A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，得a+2a+3＝0，

解得，a＝﹣1，

∴y＝﹣x2+2x+3，

當(dāng)y＝0時，﹣x2+2x+3＝0，

解得，x1＝﹣1，x2＝3，

∴點B的坐標(biāo)是（3，0）；

故答案為：﹣1，（3，0）；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3

＝﹣（x﹣1）2+4，

∴點C（0，3），點D（1，4），

設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b（k≠0），將B（3，0），D（1，4）代入得：

，

解得，，

∴y＝﹣2x+6，

設(shè)點F（m，﹣2m+6），N（m，﹣m2+2m+3），

由圖形可知，∠MNF＝∠DBE，

第30頁共62頁.

∵sin∠DBE＝，cos∠DBE＝，

∴MN+MF＝NF+NF＝NF，

∴C△MNF＝NF+NF

＝NF

＝×（﹣m2+2m+3+2m﹣6）

＝×（﹣m2+4m﹣3）

＝×[﹣（m﹣2）2+1]，

∴當(dāng)m＝2時，C△MNF最大，此時F（2，2），HF＝2，

在x軸上取點K（﹣，0），則∠OCK＝30°，過F作CK的垂線段FG交y軸于點P，此時

PG＝PC，

∴PF+PC＝FP+PG，

∴當(dāng)點F，P，G三點共線時，PF+PC有最小值為FG，

而此時點P不在線段OC上，故不符合題意，

∴FP+PC的最小值為FC的長度，

∵點C（0，3），點F（2，2），

∴CF＝＝，

∴當(dāng)△MNF的周長取得最大值時，F(xiàn)P+PC的最小值為；

（3）存在．

第31頁共62頁.

由（2）可知，OP＝2tan30°+2＝+2，則點P（0，+2），

將點P向下平移個單位得到點Q，

∴點Q（0，2），

在Rt△AOQ中，OA＝1，OQ＝2，則AQ＝，

取AQ的中點G，則有OG＝GQ，

∴△A′OQ′在旋轉(zhuǎn)過程中，只需使AG的中點G在坐標(biāo)軸上即可使得GQ′＝OG，

如圖所示，當(dāng)點G在y軸正半軸上時，過點Q'作Q'I⊥x軸，垂足為I，

∵GQ′＝OG，

∴∠GOQ'＝∠GQ'O

∵OG∥IQ，

∴∠GOQ'＝∠IQ'O，

∴∠IQ'O＝∠GQ'O，

設(shè)Q'（x，y），則有：

sin∠IQ'O＝sin∠AQ'O

＝

＝，

∴x＝，則點Q'（，），

同理可知，當(dāng)點G在x軸正半軸上時，點Q'（，﹣）；

當(dāng)點G在y軸負(fù)半軸上時，點Q'（﹣，﹣）；

當(dāng)點G在x軸負(fù)半軸上時，點Q'（﹣，）．

綜上，點Q'的坐標(biāo)為（，），（，﹣），（﹣，﹣），（﹣，）．

第32頁共62頁.

考點二PA+QB+k?PQ

11．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交

于點C，點E與點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱，拋物線的對稱軸與x軸交于點G．

（1）求直線AE的解析式及△ACE的面積．

（2）如圖1，連接AE，交y軸于點D，點P為直線AE上方拋物線一點，連接PD、PE，直線l

過點B且平行于AE，點F為直線l上一點，連接FD、FE，當(dāng)四邊形PDFE面積最大時，在y

軸上有一點N，連接PN，過點N作NM垂直于拋物線對稱軸于點M，求的最小

值．

（3）連接AC，將△AOC向右平移得△A'O'C'，當(dāng)A'C'的中點恰好落在∠CAB的平分線上時，將

△A'O'C'繞點O'旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為△A″O′C″，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線A″C″與y軸交

于點K，與直線AC交于點H，在平面中是否存在一點Q，使得以C、K、H、Q為頂點的四邊形

是以KH為邊的菱形，若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

第33頁共62頁.

【解答】解：（1）作O與y軸夾角是60°角的直線l2，作PS∥y軸交AE于點S，交l2于點J，

作NT⊥l2于點T，設(shè)直線FB與y軸交于點I，連接IE，IE，如圖：

∵＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣（x﹣1）2+，

令y＝0得x＝﹣1或x＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

令x＝0得y＝，

∴C（0，），

∵拋物線對稱軸為直線x＝1，C、E關(guān)于對稱軸對稱，

∴E（2，），

設(shè)直線AE解析式為y＝kx+b，

第34頁共62頁.

則，解得，

∴直線AE的解析式為：y＝x+，

∴D（0，），

∴CD＝．

∴SSSSSSS△ACE＝CD?（xE﹣xA）＝×?[2﹣（﹣1）]＝．

（2）∵AE∥BF，B（3，0）

∴直線BF的解析式為：y＝x﹣，

∴I（0，﹣），

∴S△DEF＝S△DEI＝DI?xE＝×（+）×2＝，

設(shè)P（m，﹣m2+m+），（﹣1＜m＜2），則S（m，m+），

∴PS＝（m﹣m2+m+）﹣（m+）＝﹣m2+m+）＝﹣（m

﹣）2+，

22

∴S△PDE＝PS?（xE﹣xD）＝×[﹣（m﹣）+]×2＝﹣（m﹣）+，

當(dāng)m＝時，S△PDE有最大值，S四邊形PDFE取得最大值，此時P（，），

∵NM⊥MG，MG⊥OG，OG⊥ON，

∴∠NMG＝∠MGO＝∠GON＝90°，

∴四邊形NMGO為矩形，

∴NO＝MG，

∴PN+NM+MG＝PN+1+NO＝PN+1+NO?sin∠NOT＝PN+1+NT≥1+PT，

∴當(dāng)P，N，T三點共線且PT⊥l2時，PN+NM+MG取得最小值，

∵直線l2過原點且∠NOT＝60°，

∴直線l2的解析式為：y＝﹣x，

∴J（，﹣），

第35頁共62頁.

∴PJ＝+＝，

∴PN+NM+MG的最小值為1+?sin∠PJT＝1+＝；

（3）存在，理由如下：

設(shè)A′C′的中點為L，AL平分∠OAC，作LX⊥OB于點X，如圖2：

∵OC＝，OA＝1，

∴tan∠OAC＝＝，

∴∠OAC＝∠O′A′C′＝60°，

∵AL平分∠OAC，

∴∠A′AL＝∠A′LA＝30°，

∴A′A＝A′L，

∵L為A′C′的中點，

∴LX＝C′O′＝，

∴A′L＝＝1，

∴A′A＝A′L＝1，即O，A′重合，O′（1，0）

①當(dāng)HC＝HK時，設(shè)直線A′′C′′與x軸交于點Y，如圖3：

將△HCK沿y軸翻折可得菱形CHKQ，

第36頁共62頁.

∴∠HKC＝∠HCK＝∠ACO＝30°，

∴∠O′YA′′＝∠O′A′′Y＝60°，

∴O′Y＝O′A′′＝1，

∴Y（2，0），

∵kA′′C′′＝﹣，

∴由待定系數(shù)法直線A′′C′′的解析式為：y＝﹣x+2，

∵A（﹣1，0），C（0，），

∴直線AC的解析式為：y＝x+，

令﹣x+2＝x+，

解得x＝，

∴H（，），

∴Q（﹣，）．

如圖4：

同理可得：∠HKC＝∠HCK＝30°，

∴∠YHA＝∠YAH＝60°，

∴∠O′YA′′＝∠O′A′′Y＝60°，kA′′C′′＝﹣，

∴O′Y＝O′A′′＝O′O＝1，

∴O，K，Y重合，

∴直線A′′C′′的解析式為：y＝﹣x，

令x+＝﹣x，

解得x＝﹣．

第37頁共62頁.

∴H（﹣，），

∴Q（，）．

②當(dāng)KH＝KC時，作QZ⊥OC于點Z，如圖5：

∵∠KHC＝∠KCH＝30°，∠CAY＝60°，

∴∠CKY＝60°，∠O′YC′′＝∠O′C′′Y＝30°，

∴kA′′C′′＝，O′Y＝O′C′′＝，

∴Y（1+，0），

∴由待定系數(shù)法得直線A′′C′′的解析式為：y＝x﹣﹣1，

∴K（0，﹣﹣1），

在菱形CKHQ中，CQ＝CK＝++1＝，

∵∠QCZ＝2∠KCH＝60°，

∴CZ＝CQ?cos∠QCZ＝，QZ＝CQ?sin∠QCZ＝，

∴OZ＝OC﹣CZ＝﹣＝，

∴Q（﹣，）．

如圖6：

第38頁共62頁.

∵∠KHC＝∠KCH＝30°，∠CAO＝60°

∴∠C′′YO′＝∠AYH＝∠O′C′′A′′＝30°

∴O′Y＝O′C′′＝，kAkA′′C′′＝，

∴Y（1﹣，0），

∴由待定系數(shù)法得直線A′′C′′的解析式為：y＝x﹣+1，

∴K（0，﹣+1），

在菱形CKHQ中，CQ＝CK＝+﹣1＝，

∴CZ＝CQ?cos∠QCZ＝，QZ＝CQ?sin∠QCZ＝，

∴OZ＝OC﹣CZ＝﹣＝，

∴Q（，）．

綜上所述，點Q的坐標(biāo)為：（﹣，）或（，）或Q（﹣，）或（，

）．

12．如圖，拋物線的解析式為y＝﹣x+5，拋物線與x軸交于A、B兩點（A點在B點的

左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線對稱軸與直線BC交于點D．

（1）E點是線段BC上方拋物線上一點，過點E作直線EF平行于y軸，交BC于點F，若線段

CD長度保持不變，沿直線BC移動得到C'D'，當(dāng)線段EF最大時，求EC'+C'D'+D'B的最小值；

（2）Q是拋物線上一動點，請問拋物線對稱軸上是否存在一點P是△APQ為等邊三角形，若存

在，請直接寫出三角形邊長，若不存在請說明理由．

第39頁共62頁.

【解答】解：（1）因為y＝﹣x2+x+5＝﹣（x﹣5）（x+），

∴A（﹣，0），B（5，0），C（0，5），拋物線對稱軸為x＝＝2，

由B、C坐標(biāo)可求得直線BC的解析式為y＝﹣x+5，

令x＝2，則y＝﹣×2+5＝3，

∴D（2，3），

∴CD＝C'D'＝4．

設(shè)E（m，﹣m2+m+5），則F（m，﹣m+5），

222

∴EF＝y(tǒng)E﹣yF＝﹣m+m+5+m﹣5＝﹣m+m＝﹣（m﹣）+，

∴當(dāng)m＝時，EF取得最大值，此時E（，）．

如圖1，作平行四邊形EC'D'E'，則EC'＝E'D'，E'（，）．

作D'G⊥OB于G，E'H⊥OB于H．

∵tan∠CBO＝＝＝，所以∠CBO＝30°，

∴D'G＝D'B，

∴EC'+C'D'+D'B＝C'D'+E'D'+D'G≥C'D'+E'H，

第40頁共62頁.

當(dāng)且僅當(dāng)E'、D'、G