專題04 二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系（解析版）

第四講二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系

目錄

必備知識(shí)點(diǎn).......................................................................................................................................................1

考點(diǎn)一二次函數(shù)各系數(shù)之間的關(guān)系.............................................................................................................1

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)圖像和系數(shù)的關(guān)系

1.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?/p>

當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口

就越?。?/p>

2.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右．（簡(jiǎn)

稱：左同右異）

3.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)．拋物線與y軸交于（0，c）．

4.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（1）△=b2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)

（2）△=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)

（3）△=b2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)

考點(diǎn)一二次函數(shù)各系數(shù)之間的關(guān)系

1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：

①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．

其中正確的有（）

第1頁(yè)共26頁(yè).

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【解答】解：∵圖象開口向下，

∴a＜0，

∵對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a＞0，

∵圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，

∴①說法錯(cuò)誤，

∵﹣＝1，

∴2a＝﹣b，

∴2a+b＝0，

∴②說法錯(cuò)誤，

由圖象可知點(diǎn)（﹣1，0）的對(duì)稱點(diǎn)為（3，0），

∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，

∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＜0，

∴9a+3b+c＜0，

∴③說法錯(cuò)誤，

∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴b2﹣4ac＞0，

∴b2＞4ac，

∴④說法正確；

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，

第2頁(yè)共26頁(yè).

∴a+c＜b，

∴⑤說法正確，

∴正確的為④⑤，

故選：B．

2．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，現(xiàn)有下列結(jié)論：①abc＞0；②3a+c＝0；③4a

﹣2b+c＜0；④a+b＞m（am+b）其中m是不等于1的實(shí)數(shù)．則其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是多少個(gè)

（）

A．1B．2C．3D．4

【解答】解：①由圖象可知：a＜0，c＞0，

∵對(duì)稱軸為x＝1，

∴＞0，

∴b＞0，

∴abc＜0，故①不符合題意．

②由＝1可知：b＝﹣2a，

∵拋物線過（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，

∴3a+c＝0，故②符合題意．

③由圖象可知：x＝﹣2時(shí)，y＜0，

即4a﹣2b+c＜0，故③符合題意．

④由圖象可知：x＝1時(shí)，y的最大值為a+b+c，

∴當(dāng)x＝m時(shí)（m≠1），

∴am2+bm+c＜a+b+c，

第3頁(yè)共26頁(yè).

∴a+b＞m（am+b），故④符合題意．

故選：C．

3．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①abc＞0；②2c＜3b；③a+2b

＞m（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為2．其中，正確結(jié)論

的個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

【解答】解：①、由圖象可知：＝1＞0，a＜0，c＞0，

∴a＜0，b＞0，c＞0，

∴abc＜0，故①不符合題意．

②、由①知：b＝﹣2a，

由圖象可知：x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，

∴a+2a+c＜0，

∴3a+c＜0，

∴2c﹣3b＝2c+6a＝2（3a+c）＜0，

即2c＜3b，故②符合題意．

③由圖象可知：當(dāng)x＝1時(shí)，y的最大值為a+b+c，

∴當(dāng)x＝m（≠1）時(shí)，

am2+bm+c＜a+b+c，

∴m（am+b）＜a+b，

∵a+b﹣a﹣2b＝﹣b＜0，

∴a+b＜a+2b，

∴a+2b＞m（am+b），故③符合題意．

2

④若方程|ax+bx+c|＝1有四個(gè)根，分別設(shè)為x1，x2，x3，x4，

22

其中x1，x2是方程ax+bx+c＝1的兩個(gè)根，x3，x4是方程ax+bx+c＝﹣1的兩個(gè)根，

則x1+x2＝2，x3+x4＝2，

即這四個(gè)根的和為4，故④不符合題意．

第4頁(yè)共26頁(yè).

故選：B．

4．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，已知其對(duì)稱軸為x＝1，則下列結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)bc＜0B．2a﹣b＝0C．5a+3b+2c＜0D．4ac﹣b2＞0

【解答】解：∵拋物線開口向上，

∴a＞0，

∵拋物線對(duì)稱軸在x軸正半軸，

∴﹣＞0，

∴a、b異號(hào)，

∴b＜0，

∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸，

∴c＜0，

∴abc＞0，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，

∴﹣＝1，即b＝﹣2a．

∴2a+b＝0，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

由題圖可得，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c＜0，

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，

∴當(dāng)x＝2時(shí)，與x＝0時(shí)拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱．即（2，4a+2b+c）與（0，c）關(guān)于

對(duì)稱軸對(duì)稱．

∴4a+2b+c＝c．

∵c＜0，

∴4a+2b+c＜0．

∴（a+b+c）+（4a+2b+c）＜0，即5a+3b+2c＜0．故選項(xiàng)C正確；

∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

第5頁(yè)共26頁(yè).

∴b2﹣4ac＞0．

∴4ac﹣b2＜0故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

故選：C．

5．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（6，0），與y軸相交于點(diǎn)C，小紅同

學(xué)得出了以下結(jié)論：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③當(dāng)y＞0時(shí)，﹣2＜x＜6；④a+b+c＜0．其

中正確的個(gè)數(shù)為（）

A．4B．3C．2D．1

【解答】解：由圖象可得，

該拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則b2﹣4ac＞0，故①正確；

∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（6，0），

∴該拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝＝2，

∴﹣＝2，

∴b+4a＝0，故②正確；

由圖象可得，當(dāng)y＞0時(shí)，x＜﹣2或x＞6，故③錯(cuò)誤；

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c＜0，故④正確；

故選：B．

6．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，其頂點(diǎn)為（，1），有下列結(jié)論：①ac＜

0；②函數(shù)最大值為1；③b2﹣4ac＜0；④2a+b＝0．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

第6頁(yè)共26頁(yè).

【解答】解：∵拋物線開口向下，

∴a＜0，

∵拋物線與y軸交于正半軸，

∴c＞0，

∴ac＜0，①正確．

∵拋物線開口向下，頂點(diǎn)為（，1），

∴函數(shù)最大值為y＝1，②正確．

∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴b2﹣4ac＞0，③錯(cuò)誤．

∵﹣＝，

∴b＝﹣a，

∴a+b＝0，④錯(cuò)誤．

故選：B．

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖所示，根據(jù)圖象判斷，下

列結(jié)論中正確的是（）

A．a(chǎn)bc＜0B．b2﹣4a＞4acC．a(chǎn)+b+c＞0D．2a+b＜0

【解答】解：∵拋物線開口向上，

∴a＞0，

∵拋物線對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，

∴﹣＞0，即b＜0，

∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸下方，

第7頁(yè)共26頁(yè).

∴c＜0，

∴abc＞0，選項(xiàng)A錯(cuò)誤．

∵拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)小于﹣1，

∴＜﹣1，

∴b2﹣4ac＞4a，

∴b2﹣4a＞4ac，選項(xiàng)B正確．

由圖象可得x＝1時(shí)，y＝a+b+c＜0，

∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤．

∵0＜﹣＜1，a＞0，

∴﹣b＜2a，

∴2a+b＞0，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

故選：B．

8．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖，給出下列列結(jié)論：

①a﹣b+c＜0②2a+b＞0③b＞a＞c④3|a|+|c|＜2|b|．

其中，正確結(jié)論的結(jié)論是（）

A．①②③B．①③C．②④D．①②④

【解答】解：由圖象可得x＝﹣1時(shí)，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，①正確．

∵拋物線開口向下，

∴a＜0，

由拋物線對(duì)稱軸的位置可得﹣＞1，

∴b＞﹣2a＞0，即2a+b＞0，②正確．

2

設(shè)拋物線y＝ax+bx+c與x軸的交點(diǎn)為（x1，0），（x2，0），則x1x2＝，

由圖象不能判斷x1x2與1的大小關(guān)系，

∴a與c的大小關(guān)系不能確定，③錯(cuò)誤．

第8頁(yè)共26頁(yè).

∵x＝1時(shí)，y＝a+b+c＞0，2a+b＞0，

∴3a+2b+c＞0，

∴3a+c＞﹣2b，﹣3a﹣c＜2b，

∵a＜0，b＞0，c＜0，

∴3|a|+|c|＝﹣3a﹣c＜2b，④正確．

故選：D．

9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x＝1，現(xiàn)有下列結(jié)論：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③a

＜﹣；④a+b＞n（an+b）（n≠1）；⑤2c＜3b．其中正確的有（）

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

【解答】解：由圖可知，開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝1，圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸上，

∴a＜0，b＞0，1＜c＜2，且﹣＝1，

∴abc＜0，故①錯(cuò)誤，不符合題意；

由圖象可知，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＞0，故②錯(cuò)誤，不符合題意；

∵b＝﹣2a，﹣2＜﹣c＜﹣1，

由圖象可知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，

∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a＜﹣c＜﹣1，

∴a＜﹣，故③正確，符合題意；

由圖象可知，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最大值，

∴a+b+c＞an2+bn+c（n≠1），

∴a+b＞n（an+b）（n≠1），故④正確，符合題意；

∵x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，

∴﹣2a+2b﹣2c＞0，

∵b＝﹣2a，

第9頁(yè)共26頁(yè).

∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＞0，

∴2c＜3b，故⑤正確，符合題意；

∴正確的結(jié)論有3個(gè)，

故選：B．

10．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）

A．a(chǎn)bc＜0B．a(chǎn)+b＞m（am+b）（m≠1）

C．4a﹣2b+c＜0D．3a+c＝1

【解答】解：∵拋物線開口向下，

∴a＜0，

∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a＞0，

∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，

選項(xiàng)A正確；

當(dāng)x＝m（m≠1）時(shí)，y＝am2+bm+c，

當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值為a+b+c，

∴am2+bm+c＜a+b+c，

∴am2+bm＜a+b，

∴a+b＞m（am+b）（m≠1），

故選項(xiàng)B正確；

由圖象知，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＜0，

即4a﹣2b+c＜0，

故選項(xiàng)C正確；

由圖象知，拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)大于﹣1小于0，對(duì)稱軸為x＝1，

第10頁(yè)共26頁(yè).

∴拋物線與x軸另一交點(diǎn)的等坐標(biāo)大于2小于3，

∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＜0，

∴9a+3b+c＜0，

∵b＝﹣2a，

∴3a+c＜0，

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

故選：D．

11．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為x＝﹣1，有下列結(jié)論：①abc＞0；②a+b

＜﹣c；③4a﹣2b+c＞0；④3b+2c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）（其中m為任意實(shí)數(shù)），其中正確結(jié)

論的個(gè)數(shù)有（）

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

【解答】解：∵開口向下，

∴a＜0，

∵拋物線和y軸的正半軸相交，

∴c＞0，

∵對(duì)稱軸為x＝﹣＝﹣1，

∴b＝2a＜0，

∴abc＞0，故①正確；

當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，則a+b+c＜0，

∴a+b＜﹣c，故②正確；

由圖象可知，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＞0，

∴4a﹣2b+c＞0，故③正確；

∵當(dāng)x＝1時(shí)，a+b+c＜0，b＝2a，

∴a＝b，

第11頁(yè)共26頁(yè).

∴b+b+c＜0，

∴3b+2c＜0，故④正確；

∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，二次函數(shù)有最大值，

所以當(dāng)m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，有a﹣b+c≥am2+bm+c，

所以a﹣b≥m（am+b），故⑤錯(cuò)誤．

故選：C．

12．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示．下列結(jié)論：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③m

222

為任意實(shí)數(shù)，則a+b＞am+bm；④3a+c＜0；⑤若ax1+bx1＝ax2+bx2且x1≠x2，則x1+x2＝2．其

中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【解答】解：①圖象開口向下，與y軸交于正半軸，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，能得到：a＜0，c＞0，

﹣＞0，b＞0，∴abc＞0，錯(cuò)誤；

②∵對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸交點(diǎn)在（3，0）左邊

∴二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）與（0，0）之間，

∴a﹣b+c＜0，∴②錯(cuò)誤；

③∵對(duì)稱軸是直線x＝1，圖象開口向下，

∴x＝1時(shí)，函數(shù)最大值是a+b+c；

∴m為任意實(shí)數(shù)，則a+b+c≥am2+bm+c，∴③錯(cuò)誤；

④∵﹣＝1，

∴b＝﹣2a

由②得a﹣b+c＜0，

∴3a+c＜0，∴④正確；

22

⑤∵ax1+bx1＝ax2+bx2，

22

∴ax1+bx1﹣ax2﹣bx2＝0，

第12頁(yè)共26頁(yè).

∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，

∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，

∵x1≠x2，

∴a（x1+x2）+b＝0，

∵x1+x2＝﹣，b＝﹣2a，

∴x1+x2＝2，∴⑤正確；

故選：B．

13．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b

＜0；③a﹣b+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中正確的是（）

A．①③④B．①②③C．①③D．②③

【解答】解：由拋物線的開口向上，得到a＞0，

∵﹣＞0，

∴b＜0，

由拋物線與y軸交于負(fù)半軸，得到c＜0，

∴abc＞0，選項(xiàng)①正確；

∵對(duì)稱軸為直線x＝1，

∴﹣＝1，即b＝﹣2a，

∴2a+b＝0，選項(xiàng)②錯(cuò)誤；

根據(jù)圖象知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＞0，

即a﹣b+c＞0．選項(xiàng)③正確；

∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，

∴x＝3與x＝﹣1時(shí)函數(shù)值相等，

又∵x＝﹣1時(shí)，y＞0，

第13頁(yè)共26頁(yè).

∴x＝3時(shí)，y＝9a+3b+c＞0，選項(xiàng)④錯(cuò)誤．

則其中正確的選項(xiàng)有①③．

故選：C．

14．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：

①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④a+c＜1；正確的個(gè)數(shù)是（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【解答】解：①∵開口向上，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，

∴a＞0，b＞0，c＜0，

∴abc＜0，故①錯(cuò)誤，不符合題意；

②由圖可知，函數(shù)圖象與x軸由2個(gè)交點(diǎn)，

∴b2﹣4ac＞0，

∴b2＞4ac，故②正確，符合題意；

③由圖象可知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，故③正確，符合題意；

④由圖象可知，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，

∴a+b+c＝2，

∴b＝2﹣a﹣c，

∵a﹣b+c＜0，

∴a﹣（2﹣a﹣c）+c＜0，

∴a+c＜1，故④正確，符合題意，

∴正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，

故選：C．

15．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x＝1，現(xiàn)有下列結(jié)論：

①abc＞0；

第14頁(yè)共26頁(yè).

②a＜﹣；

③4a+2b+c＜0；

④a+b＞n（an+b）（n≠1）；

⑤2c＜3b．

正確的個(gè)數(shù)是（）

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

【解答】解：由圖可知，開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝1，圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸上，

∴a＜0，b＞0，1＜c＜2，且﹣＝1，

∴abc＜0，故①錯(cuò)誤，不符合題意；

b＝﹣2a，﹣2＜﹣c＜﹣1，

由圖象可知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，

∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a＜﹣c＜﹣2，

∴a＜﹣，故②錯(cuò)誤，不符合題意；

由圖象可知，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＞0，故③錯(cuò)誤，不符合題意；

由圖象可知，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最大值，

∴a+b+c＞an2+bn+c（n≠1），

∴a+b＞n（an+b）（n≠1），故④正確，符合題意；

∵x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，

∴﹣2a+2b﹣2c＞0，

∵b＝﹣2a，

∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＞0，

∴3b＞2c，故⑤正確，符合題意；

∴正確的結(jié)論有2個(gè)，

故選：A．

第15頁(yè)共26頁(yè).

16．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c給出下列結(jié)論：①abc＜0，②4a+2b+c＜0，③a+c＞b，④

a+b≤t（at+b）（t是任意一個(gè)實(shí)數(shù)），⑤當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減少．其中結(jié)論正確的個(gè)

數(shù)是（）

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

【解答】解：∵拋物線開口向上，

∴a＞0，

∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a＜0，

∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸下方，

∴c＜0，

∴abc＞0，①錯(cuò)誤．

∵x＝0時(shí)y＜0，拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，

∴x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＜0，②正確．

∵x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＞0，

∴a+c＞b，③正確．

∵x＝1時(shí)y取最小值，

∴a+b+c≤at2+bt+c，即a+b≤t（at+b），

∴④正確．

由圖象可得x＜1時(shí)y隨x增大而減小，

∴當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減少，⑤正確．

故選：C．

17．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a＜0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），其對(duì)稱軸為直線x＝1，

有下列結(jié)論：

①c＞0；

②9a+3b+c＞0；

第16頁(yè)共26頁(yè).

2

③若方程ax+bx+c+1＝0有解x1、x2，滿足x1＜x2，則x1＜﹣2，x2＞4；

④拋物線與直線y＝x交于P、Q兩點(diǎn)，若PQ＝，則a＝﹣1；

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）個(gè)．

A．4B．3C．2D．1

【解答】解：∵a＜0，

∴拋物線y＝ax2+bx+c的開口方向向下．

∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），其對(duì)稱軸為直線x＝1，

∴由拋物線的對(duì)稱性可得拋物線經(jīng)過點(diǎn)（4，0）．

綜上拋物線y＝ax2+bx+c的大致圖象如下：

由圖象可知：拋物線與y軸交于正半軸（0，c），

∴c＞0．

∴①的結(jié)論正確；

由圖象可知：當(dāng)﹣2＜x＜4時(shí)，函數(shù)值y＞0，

∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＝9a+3b+c＞0．

∴②的結(jié)論正確．

作直線y＝﹣1，交拋物線于兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，如圖，

第17頁(yè)共26頁(yè).

2

則x1，x2是方程ax+bx+c＝﹣1的兩根，

2

即方程ax+bx+c+1＝0的解為x1、x2，

由圖象可知：滿足x1＜x2，則x1＜﹣2，x2＞4，

∴③的結(jié)論正確；

如圖，分別過點(diǎn)P，Q作坐標(biāo)軸的平行線，它們交于點(diǎn)H，

則△PHQ為等腰直角三角形，

∴PH＝HQ，PQ＝HQ．

∴．

∴ax2+（b﹣1）x+c＝0．

設(shè)點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為m，n，

∴m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的兩根，

∴m+n＝，mn＝．

∴HQ＝|m﹣n|＝＝．

∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），其對(duì)稱軸為直線x＝1，

∴．

∴．

∴HQ＝．

∵PQ＝，

∴?＝．

第18頁(yè)共26頁(yè).

解得：a＝﹣1或．

∴④的結(jié)論不正確；

綜上所述，正確結(jié)論有：①②③，

故選：B．

18．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列說法：

①abc＜0；

2

②方程ax+bx+c＝0的根為x1＝﹣1、x2＝3；

2

③若直線y＝2與y＝ax+bx+c的圖象相交于A（x3，y1），B（x4，y2），（x3＜x4）兩點(diǎn)則x1、x2、

x3、x4的大小關(guān)系是x1＜x2＜x3＜x4；

④當(dāng)y＞0時(shí)，﹣1＜x＜3；

⑤a﹣b+c＞0，

其中正確的說法有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【解答】解：①由題意函數(shù)的圖象開口向下，與y軸的交點(diǎn)大于0，

∴a＜0，c＞0，

函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝1，

∴﹣＝1＞0，

∴b＞0，

∴abc＜0，正確；

②∵函數(shù)圖象知函數(shù)與x軸交于點(diǎn)為（﹣1，0）、（3，0），

2

∴方程ax+bx+c＝0的根為x1＝﹣1、x2＝3，正確；

2

③若直線y＝2與y＝ax+bx+c的圖象相交于A（x3，y1），B（x4，y2），（x3＜x4）兩點(diǎn)則x1、x2、

x3、x4的大小關(guān)系是x1＜x3＜x4＜x2，錯(cuò)誤；

④由函數(shù)圖象知，當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y＞0，正確；

第19頁(yè)共26頁(yè).

⑤∵﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∵函數(shù)圖象知函數(shù)與x軸交于點(diǎn)為（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，

∴c＝﹣3a，

∴a﹣b+c＝+a﹣3a＝﹣a＞0，正確；

綜上①②④⑤正確，

故選：D．

19．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸負(fù)半軸交于（﹣，0），對(duì)稱軸為直線x＝1．有

以下結(jié)論：①abc＞0；②3a+c＞0；③若點(diǎn)（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函數(shù)圖象上，則

y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的兩根為x1，x2且x1＜x2，則x1＜﹣＜＜x2；

⑤點(diǎn)M，N是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，若在x軸下方的拋物線上存在一點(diǎn)P，使得PM⊥PN，

則a的范圍為a≥﹣4．其中結(jié)論正確的有（）

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

【解答】解：∵對(duì)稱軸為直線x＝1，函數(shù)圖象與x軸負(fù)半軸交于（﹣，0），

∴x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

由圖象可知a＞0，c＜0，

∴b＝﹣2a＜0，

∴abc＞0，故①正確；

由圖可知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＞0，

∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正確；拋物線開口向上，離對(duì)稱軸水平距離越大，y值越大；

第20頁(yè)共26頁(yè).

又|﹣3﹣1|＝4，|3﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，

∴y1＞y2＞y3；故③錯(cuò)誤；

由拋物線對(duì)稱性可知，拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為（，0），

∴拋物線解析式為：y＝a（x+）（x﹣），

令a（x+）（x﹣）＝，

則a（2x+1）（2x﹣5）＝1，

如圖，作y＝，

由圖形可知，x1＜﹣＜＜x2；故④正確；

由題意可知：M，N到對(duì)稱軸的距離為，

當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)到x軸的距離不小于時(shí)，

在x軸下方的拋物線上存在點(diǎn)P，使得PM⊥PN，

即≤﹣，

∵y＝a（x+）（x﹣）＝ax2﹣2ax﹣a，

∴c＝﹣a，b＝﹣2a，

∴≤﹣，

解得：a≥，故⑤錯(cuò)誤；

故選：B．

2

20．二次函數(shù)y＝ax+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4a），點(diǎn)A（4，y1）是

該拋物線上一點(diǎn)，若點(diǎn)D（x2，y2）是拋物線上任意一點(diǎn)，有下列結(jié)論：

第21頁(yè)共26頁(yè).

①4a﹣2b+c＞0；

②若y2＞y1，則x2＞4；

③若0≤x2≤4，則0≤y2≤5a；

④若方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2，且x1＜x2，則﹣1＜x1＜x2＜3．

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【解答】解：①∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4a），

∴x＝，且﹣4a＝a+b+c，

∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，

∴4a﹣2b+c＝4a+4a﹣3a＝5a＞0（∵拋物線開口向上，則a＞0），

于是①的結(jié)論正確；

②∵點(diǎn)A（4，y1）關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)為（﹣2，y1），

∴當(dāng)y2＞y1，則x2＞4或x2＜﹣2，

于是②錯(cuò)誤；

③當(dāng)x＝4時(shí)，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a，

∴當(dāng)0≤x2≤4，則﹣4a≤y2≤5a，

于是③錯(cuò)誤；

④∵方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2，且x1＜x2，

∴拋物線y＝a（x+1）（x﹣3）與直線y＝﹣1交點(diǎn)的坐標(biāo)（x1，﹣1）和（x2，﹣1），

∵拋物線y＝a（x+1）（x﹣3）＝0時(shí)，x＝﹣1或3，

即拋物線y＝a（x+1）（x﹣3）＝0與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（﹣1，0）和（3，0），

∴﹣1＜x1＜x2＜3，

于是④正確．

第22頁(yè)共26頁(yè).

故選：B．

21．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，

它的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，有下列結(jié)論：

22

①abc＜0；②4ac﹣b＜0；③c﹣a＞0；④當(dāng)x＝﹣n﹣2時(shí)，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是

2

方程ax+bx+c＝0的兩根，則方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的兩根m，n（m＜n）滿足m＜x1

且n＞x2；其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

【解答】解：①∵開口向上，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，

∴a＞0，b＞0，c＞0，

∴abc＞0，故①錯(cuò)誤，不符合題意；

②∵函數(shù)圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，

∴b2﹣4ac＞0，

∴4ac﹣b2＜0，故②正確，符合題意；

③∵對(duì)稱軸為x＝﹣1，

∴＝﹣1，

∴b＝2a，

∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝