專題09二次函數(shù)與正方形存在性問題（原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題09二次函數(shù)與正方形存在性問題

二次函數(shù)與正方形存在性問題

1.作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質(zhì)，因此坐標(biāo)系中的正方形存在性問題變化更加

多樣，從判定的角度來說，可以有如下：（1）有一個角為直角的菱形；

（2）有一組鄰邊相等的矩形；（3）對角線互相垂直平分且相等的四邊形．依據(jù)題目給定的已知條件選擇恰

當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ纯纱_定所求的點坐標(biāo)．

2.對于二次函數(shù)與正方形的存在性問題，常見的處理思路有：

思路1：從判定出發(fā)若已知菱形，則加有一個角為直角或?qū)蔷€相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或

對角線互相垂直；若已知對角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件．

思路2：構(gòu)造三垂直全等若條件并未給關(guān)于四邊形及對角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個頂點中任

取3個，必是等腰直角三角形，若已知兩定點，則可通過構(gòu)造三垂直全等來求得第3個點，再求第4個點．

3.示例：在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B的坐標(biāo)，在平面中求C、D使得以A、B、C、D

為頂點的四邊形是正方形．

如圖，一共6個這樣的點C使得以A、B、C為頂點的三角形是等腰直角三角形．

第1頁共21頁.

【例1】（2022?齊齊哈爾）綜合與探究

如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖象交點為A（﹣1，0），B（4，5）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點C為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)AC與BC的和最小時，點C的坐標(biāo)為；

（3）點D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動點，過點D作DE⊥x軸，交線段AB于點E，求線段

DE長度的最大值；

（4）在（2）條件下，點M為y軸上一點，點F為直線AB上一點，點N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，若

以點C，M，F(xiàn)，N為頂點的四邊形是正方形，請直接寫出點N的坐標(biāo)．

第2頁共21頁.

【例2】．（2022?揚州）如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣AB在x軸上，且

AB＝8dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為y軸，高度OC＝8dm．現(xiàn)計劃將此余料進(jìn)行切割：

（1）若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大，求此正方形的面積；

（2）若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣AB上且周長最大，求此矩形的周長；

（3）若切割成圓，判斷能否切得半徑為3dm的圓，請說明理由．

第3頁共21頁.

【例3】（2022?海南）如圖1，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點A（﹣1，0）、C（0，3），并交x軸于另一點B，

點P（x，y）在第一象限的拋物線上，AP交直線BC于點D．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)點P的坐標(biāo)為（1，4）時，求四邊形BOCP的面積；

（3）點Q在拋物線上，當(dāng)?shù)闹底畲笄摇鰽PQ是直角三角形時，求點Q的橫坐標(biāo)；

（4）如圖2，作CG⊥CP，CG交x軸于點G（n，0），點H在射線CP上，且CH＝CG，過GH的中點

K作KI∥y軸，交拋物線于點I，連接IH，以IH為邊作出如圖所示正方形HIMN，當(dāng)頂點M恰好落在y

軸上時，請直接寫出點G的坐標(biāo)．

第4頁共21頁.

【例4】（2022?長春）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣bx（b是常數(shù)）經(jīng)過點（2，0）．點A在拋物線

上，且點A的橫坐標(biāo)為m（m≠0）．以點A為中心，構(gòu)造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x軸．

（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點B是拋物線上一點，且在拋物線對稱軸左側(cè)．過點B作x軸的平行線交拋物線于另一點C，連

結(jié)BC．當(dāng)BC＝4時，求點B的坐標(biāo)；

（3）若m＞0，當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時，或者y隨x的增大而減小

時，求m的取值范圍；

（4）當(dāng)拋物線與正方形PQMN的邊只有2個交點，且交點的縱坐標(biāo)之差為時，直接寫出m的值．

1．（2020?樂平市一模）如圖，拋物線y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的頂點為A，對稱軸與x軸交于點C，當(dāng)以

AC為對角線的正方形ABCD的另外兩個頂點B、D恰好在拋物線上時，我們把這樣的拋物線稱為美麗拋

物線，正方形ABCD為它的內(nèi)接正方形．

（1）當(dāng)拋物線y＝ax2+1是美麗拋物線時，則a＝；當(dāng)拋物線y＝+k是美麗拋物線時，則k

＝；

（2）若拋物線y＝ax2+k是美麗拋物線時，則請直接寫出a，k的數(shù)量關(guān)系；

（3）若y＝a（x﹣h）2+k是美麗拋物線時，（2）a，k的數(shù)量關(guān)系成立嗎？為什么？

2

（4）系列美麗拋物線yn＝an（x﹣n）+kn（n為小于7的正整數(shù)）頂點在直線y＝x上，且它們中恰有

兩條美麗拋物線內(nèi)接正方形面積比為1：16．求它們二次項系數(shù)之和．

第5頁共21頁.

2．（2016秋?西城區(qū)校級期中）我們規(guī)定：在正方形ABCD中，以正方形的一個頂點A為頂點，且過對角

頂點C的拋物線，稱為這個正方形的以A為頂點的對角拋物線．

（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點在軸正半軸上，點C在y軸正半軸上．

①如圖1，正方形OABC的邊長為2，求以O(shè)為頂點的對角拋物線；

②如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長為a，其以O(shè)為頂點的對角拋物線的解析式

為y＝x2，求a的值；

（2）如圖3，正方形ABCD的邊長為4，且點A的坐標(biāo)為（3，2），正方形的四條對角拋物線在正方形

ABCD內(nèi)分別交于點M、P、N、Q，直接寫出四邊形MPNQ的形狀和四邊形MPNQ的對角線的交點坐標(biāo)．

3．（2022?隴縣二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），

兩點，且與y軸交于點C，點B是該拋物線的頂點．

（1）求拋物線L1的表達(dá)式；

（2）將L1平移后得到拋物線L2，點D，E在L2上（點D在點E的上方），若以點A，C，D，E為頂點

的四邊形是正方形，求拋物線L2的解析式．

第6頁共21頁.

2

4．（2022?臨潼區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L1：y＝ax+bx+c經(jīng)過A（﹣2，0），B（1，﹣）

兩點，且與y軸交于點C，點B是該拋物線的頂點．

（1）求拋物線L1的表達(dá)式；

（2）將L1平移后得到拋物線L2，點D，E在L2上（點D在點E的上方），若以點A，C，D，E為頂點

的四邊

形是正方形，求拋物線L2的解析式．

5．（2022?松陽縣一模）如圖，拋物線與x軸，y軸分別交于A，D，C三點，已知點A（4，0），點C（0，4）．若

該拋物線與正方形OABC交于點G且CG：GB＝3：1．

（1）求拋物線的解析式和點D的坐標(biāo)；

（2）若線段OA，OC上分別存在點E，F(xiàn)，使EF⊥FG．

已知OE＝m，OF＝t

①當(dāng)t為何值時，m有最大值？最大值是多少？

②若點E與點R關(guān)于直線FG對稱，點R與點Q關(guān)于直線OB對稱．問是否存在t，使點Q恰好落在拋

物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

第7頁共21頁.

6．（2022?香坊區(qū)校級開學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，點A、C分別在x軸、y軸正半軸上，

四邊形OABC是正方形，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點B、C，OA＝18．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點D是OA的中點，經(jīng)過點D的直線交AB于點E、交y軸于點F，連接BD，若∠EDA＝

2∠ABD，求直線DE的解析式；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點G在OD上，連接GC、GE，點P在AB右側(cè)的拋物線上，點Q為

BP中點，連接DQ，過點B作BH⊥BP，交直線DP于點H，連接CH、GH，若GC＝GE，DQ＝PQ，

求△CGH的周長．

第8頁共21頁.

7．（2021?咸豐縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸正半軸交于點A，且點

A的坐標(biāo)為（3，0），過點A作垂直于x軸的直線l，P是該拋物線上一動點，其橫坐標(biāo)為m，過點P作

PQ⊥l于點Q，M是直線l上的一點，其縱坐標(biāo)為．以PQ，QM為邊作矩形PQMN．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點Q與點M重合時，求m的值；

（3）當(dāng)矩形PQMN是正方形，且拋物線的頂點在該正方形內(nèi)部時，求m的值；

（4）當(dāng)拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時，求m的取值范圍．

8．（2021?云南模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點A，B（點

A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，且經(jīng)過點D（5，6）．

（1）求拋物線的解析式及點A，B的坐標(biāo)；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在點P，使△APD是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出符

合條件的所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）在直線AD下方，作正方形ADEF，并將沿對稱軸平移|t|個單位長度（規(guī)定向上平

移時t為正，向下平移時t為負(fù)，不平移時t為0），若平移后的拋物線與正方形ADEF（包括正方形的內(nèi)

部和邊）有公共點，求t的取值范圍．

第9頁共21頁.

9．（2019秋?溫州校級月考）如圖1所示，動點A、B同時從原點O出發(fā)，運動的速度都是每秒1個單位，

動點A沿x軸正方向運動，動點B沿y軸正方向運動，以O(shè)A、OB為鄰邊建立正方形OACB，拋物線y

＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點，假設(shè)A、B兩點運動的時間為t秒．

（1）當(dāng)t＝3秒時，求此時拋物線的解析式；此時拋物線上是否存在一點D，使得S△BCD＝6？若存在，

求出點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（2）如圖2，在（1）的條件下，有一條平行于y軸的動直線l，交拋物線于點E，交直線OC于點F，

若以O(shè)、B、E、F四個點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，求點F的坐標(biāo)；

（3）在動點A、B運動的過程中，若正方形OACB內(nèi)部有一個點P，且滿足OP＝，CP＝，∠OPA

＝135°，直接寫出此時AP的長度．

第10頁共21頁.

10．（2021?峨眉山市模擬）如圖，已知直線y＝與坐標(biāo)軸交于A，B兩點，以線段AB為邊向上作正

方形ABCD，過點A，D，C的拋物線與直線的另一個交點為E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若正方形以每秒個單位長度的速度沿射線AB下滑，直至頂點D落在x軸上時停止，設(shè)正方形

落在x軸下方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上C，E兩點間的拋物線弧所

掃過的面積．

第11頁共21頁.

2

11．（2021?深圳模擬）如圖1，拋物線C1：y＝ax+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且頂點

為C，直線y＝kx+2經(jīng)過A，C兩點．

（1）求直線AC的表達(dá)式與拋物線C1的表達(dá)式；

（2）如圖2，將拋物線C1沿射線AC方向平移一定距離后，得到拋物線為C2，其頂點為D，拋物線C2

與直線y＝kx+2的另一交點為E，與x軸交于M，N兩點（M點在N點右邊），若S△MDE＝S△MAE，求

點D的坐標(biāo)；

（3）如圖3，若拋物線C1向上平移4個單位得到拋物線C3，正方形GHST的頂點G，H在x軸上，頂

點S，T在x軸上方的拋物線C3上，P（m，0）是射線GH上一動點，則正方形GHST的邊長為，

當(dāng)m＝時，有最小值．

第12頁共21頁.

12．（2021?社旗縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c過（1，0），（3，0），（0，6）三點，邊長為4的正方形

OABC的頂點A，C分別在x軸上，y軸上．

（1）求拋物線解析式，并直接寫出當(dāng)﹣1≤x≤4時，y的最大值與最小值的差．

（2）將正方形OABC向右平移，平移距離記為h，

①當(dāng)點C首次落在拋物線上，求h的值．

②當(dāng)拋物線落在正方形內(nèi)的部分，滿足y隨x的增大而減小時，請直接寫出h的取值范圍．

13．（2021?越秀區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+與x軸正半軸交于點A，

且點A的坐標(biāo)為（3，0），過點A作垂直于x軸的直線l．P是該拋物線上的任意一點，其橫坐標(biāo)為m，

過點P作PQ⊥l于點Q；M是直線l上的一點，其縱坐標(biāo)為﹣m+，以PQ，QM為邊作矩形PQMN．

（1）求b的值．

（2）當(dāng)點Q與點M重合時，求m的值．

（3）當(dāng)矩形PQMN是正方形，且拋物線的頂點在該正方形內(nèi)部時，求m的值．

（4）拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分稱為被掃描部分．請問該拋物線是否全部被掃描？若是，請說明理

由，若否，直接寫出拋物線被掃描部分自變量的取值范圍．

第13頁共21頁.

14．（2020秋?新?lián)釁^(qū)期末）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C，

P為y軸上的動點，連接AP，以AP為對角線作正方形AMPN．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)正方形AMPN與△AOP面積之比為5：2時，求點P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)正方形AMPN有兩個頂點在拋物線上時，直接寫出點P的坐標(biāo)．

15．（2020?雁塔區(qū)校級一模）如圖，拋物線y＝x2+2x的頂點為A，與x軸交于B、C兩點（點B在點C的

左側(cè)）．

（1）請求出A、B、C三點的坐標(biāo)；

（2）平移拋物線，記平移后的拋物線的頂點為D，與y軸交于點E，F(xiàn)為平面內(nèi)一點，若以A、D、E、

F為頂點的四邊形是正方形，且平移后的拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，請求出滿足條件的平移后拋物線

的表達(dá)式．

第14頁共21頁.

16．（2020?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+與x軸正半軸交于點A，且點A的

坐標(biāo)為（3，0），過點A作垂直于x軸的直線l．P是該拋物線上的任意一點，其橫坐標(biāo)為m，過點P作

PQ⊥l于點Q，M是直線l上的一點，其縱坐標(biāo)為﹣m+．以PQ，QM為邊作矩形PQMN．

（1）求b的值．

（2）當(dāng)點Q與點M重合時，求m的值．

（3）當(dāng)矩形PQMN是正方形，且拋物線的頂點在該正方形內(nèi)部時，求m的值．

（4）當(dāng)拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時，直接寫出m的取值范圍．

17．（2020?雁塔區(qū)校級模擬）已知拋物線L：y＝﹣ax2+2ax+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），

且AB＝4．

（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；

（2）將拋物線L沿x軸翻折后得到的新拋物線記為L'，且記L和L'的頂點分別記為M、M'，要使點A、

B、M、M'為頂點的四邊形是正方形，請求拋物線L的解析式．

第15頁共21頁.

18．（2021?龍馬潭區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣2，0）和B（4，0）兩點，與y

軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點P為直線BC下方拋物線上一動點（不與點B、C重合），PM⊥BC于點M，PD⊥AB于點D，

交直線BC于點N，當(dāng)P點的坐標(biāo)為何值時，PM+PN的值最大？

（3）點P在第四象限的拋物線上移動，以PC為邊作正方形CPEF、當(dāng)拋物線的對稱軸經(jīng)過點E時，求

出此時點P的坐標(biāo)．

第16頁共21頁.

19．（2020?海淀區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P的坐標(biāo)為（x1，y1），點Q的坐標(biāo)為（x2，y2），

且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直．則稱該矩形為

點P，Q的相關(guān)矩形“．如圖為點P，Q的“相關(guān)矩形”的示意圖．

（1）已知點A的坐標(biāo)為（1，0）．

①若點B的坐標(biāo)為（2，5），求點A，B的“相關(guān)矩形”的周長；

②點C在直線x＝3上，若點A，C的“相關(guān)矩形”為正方形，已知拋物線y＝x2+mx+n經(jīng)過點A和點C，

求拋物線y＝x2+mx+n與y軸的交點D的坐標(biāo)；

（2）O的半徑為4，點E是直線y＝3上的從左向右的一個動點．若在O上存在一點F，使得點E，

F的“⊙相關(guān)矩形”為正方形，直接寫出動點E的橫坐標(biāo)的取值范圍．⊙

第17頁共21頁.

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個交點為A，B（點A在點B的

左側(cè)），在線段AB上取兩點M、N（點M不與點A重合），點M、N關(guān)于這條拋物線的對稱軸對稱，點

M在點N的左側(cè)，分別過點M、N作x軸的垂線交拋物線于點P、Q，我們稱這樣的四邊形MPQN為這

條拋物線的“拋物線矩形．”

（1）若拋物線y＝2（x+1）（x﹣3）的拋物線矩形MPQN的頂點M的坐標(biāo)為（0，0），則點N的坐標(biāo)

為，點P的坐標(biāo)為，點Q的坐標(biāo)為．

（2）當(dāng)拋物線y＝﹣x2+bx的拋物線矩形MPQN為正方形時，若點M的坐標(biāo)為（﹣2，0），求b的值．

（3）設(shè)拋物線y＝x2+4x﹣6的拋物線矩形MPQN的周長為C．點M的橫坐標(biāo)為m，求C與m之間的函

數(shù)關(guān)系式．

（4）將拋物線y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的拋物線矩形MPQN繞點P順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，邊

MN恰好落在y軸上，若MN＝2，直接寫出a的值．

21．（2022?撫順縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）與x軸交于點A

（1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式和點D的坐標(biāo)；

（2）求△BCD的面積；

（3）點M為拋物線上一動點，點N為平面內(nèi)一點，以A，M，I，N為頂點作正方形，是否存在點