專題05 圓中的重要模型之圓中的翻折模型解讀與提分精練（北師大版）

專題05圓中的重要模型之圓中的翻折模型圓中的翻折模型是將一個(gè)圓形的紙片沿著一條直線翻折，使得紙片的邊緣與直線重合，從而形成新的圓形或圓環(huán)。翻折前后，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分。這種模型可以用于創(chuàng)建各種不同的圖形和圖案，是一種非常有趣的幾何模型。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.圓中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 19【知識(shí)儲(chǔ)備】1、翻折變換的性質(zhì)：翻折前后，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分；2、圓的性質(zhì)：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧、弦相等；同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；3、等圓相交：如圖，圓O和圓G為兩個(gè)相等的圓，圓O和圓G相交，相交形成的弦為AB，則弦AB為整個(gè)圖形的對(duì)稱軸，圓心O和圓心G關(guān)于AB對(duì)稱，弧ACB和弧ADB為等弧，且關(guān)于AB對(duì)稱；4、弧翻折（即等圓相交）：如圖，以弦BC為對(duì)稱軸，將弧BC翻折后交弦AB于點(diǎn)D，那么弧CDB所在的圓圓G與圓O是相等的圓，且兩個(gè)圓關(guān)于BC對(duì)稱，故圓心O、G也關(guān)于BC對(duì)稱。模型1.圓中的翻折模型（弧翻折必出等腰）1）條件：如圖，以圓O的一條弦BC為對(duì)稱軸將弧BC折疊后與弦AB交于點(diǎn)D，結(jié)論：CD=CA2）條件：特別地，弧BC折疊后過圓心，結(jié)論：CD=CA，∠CAB=60°1）證明：如圖，設(shè)折疊后的所在的圓心是G，連接AC，CD.由題意得（折疊）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD，∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。2）證明：如圖，連接AC，CD，CO；由1）中證明知：CO=CA，∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC為等邊三角形，∴∠CAB=60°。例1．（23-24九年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如圖，在中，AB為直徑，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦翻折交AB于點(diǎn)，連結(jié)CD．若點(diǎn)與圓心不重合，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（23-24九年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，是的內(nèi)接三角形，將劣弧沿折疊后剛好經(jīng)過弦的中點(diǎn)D．若，，則的半徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．例3．（2023·山東青島·一模）如圖，在中，，，以為直徑的交于點(diǎn)D，弧沿直線翻折后經(jīng)過點(diǎn)O，那么陰影部分的面積為．例4．（23-24九年級(jí)上·河南駐馬店·期末）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點(diǎn)D，再將沿AB翻折交BC于點(diǎn)E．若，AB＝4，則的長(zhǎng)度為．例5．（2024·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，且，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，將沿直線翻折．若翻折后的圓弧恰好經(jīng)過點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．例6．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，使折疊后的弧恰好經(jīng)過圓心O，點(diǎn)P是優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與A、B兩點(diǎn)不重合），若⊙O的半徑是2cm，則△APB面積的最大值是cm2例7．（23-24九年級(jí)上·浙江金華·期中）在中，為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦翻折交于點(diǎn)D，連接．(1)如圖1，若點(diǎn)D與圓心O重合，，求的半徑r；(2)如圖2，若點(diǎn)D與圓心O不重合，，請(qǐng)求出的度數(shù)．(3)如圖2，如果，，求的長(zhǎng)．例8．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考三模）綜合實(shí)踐：在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，第一小組同學(xué)展示了如下的操作及問題：如圖1，同學(xué)們先畫出半徑為的，將圓形紙片沿著弦折疊，使對(duì)折后劣弧恰好過圓心，同學(xué)們用尺子度量折痕的長(zhǎng)約為，并且同學(xué)們用學(xué)過的知識(shí)驗(yàn)證度量的結(jié)果是正確的．驗(yàn)證如下：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，并延長(zhǎng)交虛線劣弧于點(diǎn)，∴，由折疊知，，連接，在中，，根據(jù)勾股定理得，，∴，通過計(jì)算：，同學(xué)們用尺子度量折痕的長(zhǎng)約為是正確的．請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)一步研究以下問題：(1)如圖2，的半徑為，為的弦，，垂足為點(diǎn)，劣弧沿弦折疊后經(jīng)過的中點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)如圖3，在中劣弧沿弦折疊后與直徑相交于點(diǎn)，若，，求弦的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．1．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）如圖，AB是的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，將劣弧BC沿弦BC折疊交直徑AB于點(diǎn)D，連接CD，若，則下列式子正確的是（

）

A． B． C． D．2．（2023·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知MN是⊙O的直徑，點(diǎn)Q在⊙O上，將劣弧沿弦MQ翻折交MN于點(diǎn)P，連接PQ，若∠PMQ＝16°，則∠PQM的度數(shù)為（）A．32° B．48° C．58° D．74°3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，∠BAC＝20°，將劣弧沿弦AC所在的直線翻折，交AB于點(diǎn)D，則弧的度數(shù)等于（）A．40° B．50 C．80° D．1004．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，、為的兩條弦，，，將折疊后剛好過弦的中點(diǎn)D，則的半徑為（

）

A． B． C．5 D．5．（2022秋·福建莆田·九年級(jí)校考期末）如圖，在中，點(diǎn)在優(yōu)弧上，將弧沿折疊后剛好經(jīng)過的中點(diǎn)．若的半徑為5，，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．6．（23-24九年級(jí)下·福建福州·階段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點(diǎn)D，再將沿AB翻折交BC于點(diǎn)E．若，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．22.5° B．30° C．45° D．60°7．（2024·廣東珠?！ば？家荒＃┤鐖D，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC＝8，將弧AB沿弦AB翻折后恰好經(jīng)過弦AC的中點(diǎn)D，則弦BC的長(zhǎng)為，⊙O的半徑為．8．（2023·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將沿弦折疊交直徑于圓心O，則度．

9．（2023·浙江金華·三模）在綜合實(shí)踐課上，小慧將圖①中圓形紙片沿直徑AB向上對(duì)折得到圖②，再沿弦向下翻折得到圖③，最后沿弦BD向上翻折得到圖④．（1）若點(diǎn)E是弧BD的中點(diǎn)，則；（2）若，則．（用關(guān)于n的代數(shù)式表示）10．（23-24九年級(jí)上·山東威?！て谀⒌牧踊⊙叵艺郫B、剛好落在半徑的中點(diǎn)C處，已知，則．11．（2023·廣東惠州·?？级＃┤鐖D，，是的弦（不是直徑），將沿翻折交于點(diǎn)，若，．若，則．

12．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）如圖，是的弦（不是直徑），將沿翻折交于點(diǎn)．若，，則＝．13．（2022秋·廣西南寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB是的直徑，BC是的弦，先將弧BC沿BC翻折交AB于點(diǎn)D，再將弧BD沿AB翻折交BC于點(diǎn)E，若，設(shè)，則為°．14．（2024·河南南陽(yáng)·二模）如圖，在扇形中，，半徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，連接，沿將扇形折疊，使得點(diǎn)A落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)D處，連接，則圖中陰影部分面積為(結(jié)果保留π)．15．（2023·河北·九年級(jí)校聯(lián)考專題練習(xí)）已知⊙O的直徑AB=4，點(diǎn)C在⊙O上，連接AC，沿AC折疊劣弧，記折疊后的劣弧為．（1）如圖1，當(dāng)經(jīng)過圓心O時(shí)，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，當(dāng)與AB相切于A時(shí)．①畫出所在的圓的圓心P．②求出陰影部分弓形的面積．

16．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，為⊙O的直徑，且，與為圓內(nèi)的一組平行弦，弦交于點(diǎn)H．點(diǎn)A在上，點(diǎn)B在上，．(1)求證：．(2)求證：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直線作劣弧的軸對(duì)稱圖形，使其交直徑于點(diǎn)G．若，求的長(zhǎng)．

17．（2023·江蘇·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，為直徑，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦翻折交于點(diǎn)，連結(jié)．（