家家學(xué)網(wǎng)絡(luò)名師小班輔導(dǎo)教學(xué)導(dǎo)案因式分解拓展篇

1、家家學(xué)網(wǎng)絡(luò)名師小班輔導(dǎo)教案一 因式分解拓展篇 作者: 日期: 2 第四講 因式分解拓展篇 中考要求） 板塊 考試要求 A級要求 B級要求 C級要求 因式分解 了解因式分解的意義 及其與整式乘法之間 的關(guān)系 會用提公因式法、公式法（直接用公 式不超過兩次）進行因式分解（指數(shù)是 正整數(shù)） 能運用因式分解的方法 進行代數(shù)式的變型，解 決有關(guān)問題 TO 考查因式分解能力，在中考試題中, 式分 解出現(xiàn)的頻率很高 板塊一：換元 【例 1】 分解因式：(A-2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 【例2】(“希望杯”培訓(xùn)試題)分解因式：(疋+5卄2)(十+5卄3)-12 【

2、鞏固】分解因式：(兀+ l)(x + 3)(兀+5)(x + 7) + 15 【鞏固】分解因式：(F+x+l)(/+兀+ 2)-12 【例3】證明:四個連續(xù)整數(shù)的乘積加1是整數(shù)的平方. 【鞏固】若“ y是整數(shù)，求證：(x + y)(兀+ 2y)(“3y)(x + 4y) + h是一個完全平方數(shù). 【例4】(湖北黃岡數(shù)學(xué)競賽題)分解因式(2“ + 5)(/-9)(2“-7)-91 【鞏固】分解因式(十+3x + 2)(3 + 8x + 4x)-90 【例5】 分解因式：4(3疋-x-1)(/ + lx - 3) - (4/ + x-4尸 【鞏固】分解因式：（+ 一 2ab）（a + b - 2）

3、 + （1 尸 【例6】（重慶市競賽題）分解因式：（x+1）-（卄3-272 【鞏固】分解因式：/+44+（“-4）4 板塊二:因式定理 因式定理：如果x = a時，多項式+. + qx + o的值為0 ,那么尤-。是該多項式的一個因式. 有理根:有理根。=匕的分子是常數(shù)項心的因數(shù)，分母是首項系數(shù)匕的因數(shù). q 【例7】分解因式，2弋-/-52 【鞏固】分解因式：x6 +2x5 +3x4 +4x3 +3x2 +2x + l 【鞏固】分解因式：x3 - 9x2y + 26xy2 -24/ 【例8】分解因式：x3 - (a + b + c)x2 + (ab + be + ca)x-uhc 【鞏固】

4、分解因式：(/ + nt)x3 +(31 + 2m-n)x2 +一m3n)x-2(m + n) 板塊三：待定系數(shù)法 如果兩個多項式恒等，則左右兩邊同類項的系數(shù)相等. 即，如果+ 咳用 + + +X + 心=V + bf + +blXl + b0 那么afl=bn ,我小,a=h f a0 =b0. 【例9】用待定系數(shù)法分解因式：x+x + l 【鞏固】x4-x2 + l是否能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的乘積？ 【鞏固】卡+十_1能否分解為兩個整系數(shù)的三次因式的積? 【例10】分解因式：大4+分+2疋-卄3 板塊四:輪換式與對稱式 對稱式：兀、y 的多項式 x + y9 xy, x2 + y2,

5、 x3 + y , x2y + xy2 ,. 在字母x與y互換時，保持不變.這樣的多項式稱為兀、y的對稱式. 類似地，關(guān)于x、y、z 的多項式A- + y + z,x2 + y2+z2 ,卩 + .vz + b , aj + /+z3, a-2y + x2z + y2z + y2x + z2x + z2y , x)z，在字母x、y、z中任意兩字互換時，保持不變 這樣的多項式稱為x、y z的對稱式 輪換式:關(guān)于 x、y、Z 的多項式 x + y + z,x2 + y2 + z2 , xy + yz + zx , x + y+z , x2y + y2z + z2x , xy1 +yz2 +zx2

6、txyz 在將字母兒八Z輪換(即將X換成y , y換成z , z換成X)時，保持不變. 這樣的多項式稱為X、y、Z的輪換式顯然，關(guān)于X、y、Z的對稱式一定是兀、y、Z的輪換式. 但是，關(guān)于X、y , z的輪換式不一定是對稱式. 例如,xy +)，z + zx就不是對稱式. 次數(shù)低于3的輪換式同時也是對稱式. 兩個輪換式(對稱式)的和、差、積、商(假定被除式能被除式整除)仍然是輪換式(對稱式). 【例11】分解因式：X2(y - z) + y2(Z - x) + z2(x- y) 【例 12】分解因式：xy(x2 -y2) + yz(y2 -z2) + zx(z2-x2) 練習(xí)1.分解因式：4U

7、 + 5)(x + 6心+ 10)(x + 12) - 3疋 練習(xí)2.要使(_l)(x + 3)(x-4)(x-8) + w為完全平方式，則常數(shù)加的值為 練習(xí) 3.分解因式：(%2 +6x + 8)(x2 +14x + 48) + 12 練習(xí)4.分解因式:(A2 + Q + b)2+于) 練習(xí)5.分解因式：2x3-x2-5.r-2 練習(xí)6.分解因式：+6a2 +1 lx+ 6 練習(xí)7.用待定系數(shù)法分解：f+F+l 練習(xí) 8.分解因式:a (b -c) + b (c - a) + c3(a - b) 嘗t!例題精講) 板塊一:換元 【例 13】分解因式：(x2 + 4x + 8尸 + 3x(x2

8、 + 4x + 8) + 2x2 【解析】將a-2+4a+8 = M看成一個字母，可利用十字相乘得 原式=“ + 3xu + 2.v2 = (u + x)(u + 2a) = (x2 + 4x + 8 + x)(x2 + 4x + 8 + 2a) =(x2 + 5x + 8)(x2 + 6a + 8) =(x + 2)(x + 4)(x2 + 5x + 8) 【例14】(“希望杯”培訓(xùn)試題)分解因式：3+5x + 2)(r+5x + 3)-12 【解析】方法1:將F+5x看作一個整體，設(shè)”+5兀=/，則 原式二(/ + 2)(/ + 3)-12 = r2+5r-6 = (r-l)(/ + 6)

9、 = (x + 2)(x+3)(x2+5x-l) 方法2 :將疋+5x4-2看作一個整體設(shè)+5x + 2 = /，貝I 原式二心 + 1)-12“+/-12 = (/-3)(+ 4)=(兀 + 2心 + 3)(宀5兀-1) 方法3:將F+5x + 3看作一個整體，過程略.如果學(xué)生的能力到一定的程度，甚至連換元都不用， 直接把a-2+5x看作一個整體，將原式展開，分組分解即可， 貝lj 原式=( + 5x)2 +5(x2 + 5x) - 6 = (x2 +5x-l)(x2 + 5x + 6) = (x + 2)(x + 3) (x2 +5x-l) 【鞏固】分解因式：(x + l)(x + 3)(

10、x + 5)(x+7) + 15 【解析】(x + 2)(x + 6)(x2+8a + 10) 【鞏固】分解因式：(十+x + l)(F+x + 2)-12 解析(x- l)(x + 2)(x2 +x + 5) 【例15】證明：四個連續(xù)整數(shù)的乘積加1是整數(shù)的平方. 【解析】設(shè)這四個連續(xù)整數(shù)為：x + K x + 2、x + 3. x+4 (x + l)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 =(x + l)(x + 4)(x + 2)(x + 3) +1 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) + 1 u=x2 +5x + 4 + 6 2 驚式=(十 +5x +

11、5)-l(x2 +5a +5) + l + l =(x2 +5x + 5)，1 + 1 =(x2 +5x + 5)2 【鞏固】若是整數(shù)，求證：(兀+y)(兀+ 2y)(“3y)(“4y) +才是一個完全平方數(shù) 【解析】(x + y)(x + 2y)(x + 3)(x4-4y) + / = (x + y)(x + 4y)(x+2y)(x + 3-)J4-/ =(x2 + 5xy + 4y2 )(a2 + 5.xy + 6y2) + y4 令疋 + 5xy + 4y2 = u 上式 w(w + 2y2) + y4 =(w + y2)2 =(x2 +5xy + 5y2)2 即(兀 + y)(兀 +

12、2y)(x + 3v)(.v + 4y) + y4 = (x2 + 5q + 5/)2 【例16】(湖北黃岡數(shù)學(xué)競賽題)分解因式(2“ + 5)(/-9)(2“-7)-91 【解析】原式=(加 + 5)(“ - 3)(a + 3)(2“ - 7) -91 = (2a1 - “ -15)(2/ 一“一 21) -91 設(shè) 2a2 -15 = x，原式=兀(只一6) 91 =x2 一6入 一91 = (x-13)(x + 7) -(2a2 一“一 28)(2/ - “一8) =(“一4)(2/+ 7)(2n 一“一8) 【鞏固】分解因式(F+3x + 2)(3 + 8x + 4*)-90 解析】原

13、式=(x + l)(x + 2)(2x + l)(2.v + 3)-90 = (2x2 + 5x + 3)(2x2 + 5x + 2) - 90 y = 2x2 + 5x 原式=(y + 3)( y + 2)-90 = y2 + 5y - 84 = (y + 12)(y - 7) = (2x2 + 5x +12)(2% + 7)( a- 1) 【例17】分解因式：4(3/7-1)(+23)-(4/+ 4)2 【解析】咋一看，很不好下手，仔細觀察發(fā)現(xiàn)：(3x2-a-1) + (x2+2x-3) = 4x2+a-4 , O 故可設(shè) 3x2-x-1 = A,F+2x-3 = B ,貝 Ux2+x-4

14、 = A + B 故原式=4AB (A + B)2 =-A2 -B2+2AB = -(A-B)2 =(3兀2 兀1) (x，+ 2x 3) = (2.L 3x + 2) 【鞏固】分解因式:(a+b-2ab)(a+b-2) + (-ab)2 【解析】由于題中以整體形式出現(xiàn)的式子有兩個，共4個地方，故采取換元法后會大大簡化計算過程， 不妨設(shè) + = 則原式=(x-2y)(x-2) + (l- y) =x2 -2xy + y2 +2y-2x +1 = (x y)2 一 2(x 一 y) +1 = (x y 1) = (“ + Z? “b 1) = (1 一 a)2 (1 -b)2 【例18】(重慶市

15、競賽題)分解因式：(x + l)4-(x + 3r - 272 【解析】設(shè)，=廠： - =x + 2,則原式二(y-1)4 + (y +1)4-272 = 2(/ + 6/ +1)-272 =2(/ + 6v2 -135) = 2(/ -9)(/ +15) = 2(y + 3)(y - 3)(y2 +15) =2(x + 5)(a- 1)(x2 + 4x +19) 【鞏固】分解因式：/+0+(“-4 【解析】為方便運算，更加對稱起見,我們令a=-2 a4 +44 +(“一4)4 =(x+2)4 +(x-2)4 + 44 = (x2 +4x + 4)2 +(x2 -4x + 4)2 +44 =2

16、(x4 + 24x2 +16) + 256 =2(x4 + 24x2 +144) = 2(x2 +12)2 = 2(a 一 2尸 +122 = 2(a2 一 4“ +16)2 板塊二:因式定理 因式定理：如果x = a時,多項式anxn +. + ax + a0的值為0 ,那么x-a是該多項式的一個因式. 有理根:有理根*上的分子是常數(shù)項心的因數(shù)，分母g是首項系數(shù)心的因數(shù) q 【例19】分解因式：5兀一2 【解析】5=4的因數(shù)是1 , 2,5=2的因數(shù)是1 , 2 2.v2-3a-2 x + 1)2H5a-2 2/ + 2十 -3x2-5x 一3十 一 3x -2x-2 2x 2 0 因此，原

17、式的有理根只可能是土 1,2(分母為1) , 丄 2 因為/(1) = 2-1-5-2 = -6丿(-1)=-2-1 + 5-2 = 0, 于是-1是f(x)的一個根，從而x + 1是/(X)的因式， 這里我們可以利用豎式除法，此時一般將被除式按未知數(shù)的降寡排列， 沒有的補0: 可得原式=(2x2 - 3a - 2)(x + 1) = (x- 2)(2x + l)(x +1) 【點評】觀察，如果多項式/(x)的奇數(shù)次項與偎數(shù)次項的系數(shù)和互為相反數(shù)，則 說明 /(1) = 0 ; 如果多項式的奇數(shù)次項與偶數(shù)次項的系數(shù)和相等，則說明/(-1) = 0 . 【鞏固】分解因式：亍+2弋+3“4+4丘+

18、3疋+2人+ 1 解析】本題有理根只可能為1.+1當(dāng)然不可能為根(因為多項式的系數(shù)全是正的),經(jīng)檢驗_1是根， 所以原式有因式x+1 , 原式=(x + l)(x5 + a4 + 2x3 + 2x2 + x +1) 容易驗證-1也是x5 + x4 + 2xi + 2x2 + x + 1的根， x5+x4+2x3+2a*2+x + 1 =(x+1)(x4+2x2 + 1) =(a + 1)(x2 +1)2 f 所以? + 2蘭 + 3x4 + 4x3 +3x2+2x+ =(x + l)2(x2 +1)2 【鞏固】分解因式:-9小,+ 26, - 24y3 【解析】- 9x2y + 26xy2 -

19、 24y3 = (x - 2y)(x 3y)(x 4y) 【例20】分解因式：x3 - (a + /? + c)x2 + (ab + be + ca)x-abc 【解析】常數(shù)項-尿的因數(shù)為a , /? , +c , +ah , bc , 土ca ,abc 把x = d代入原式，得 / (“ + + c)u2 + (ah + be + ca)a 一 abc = a3 ce ba2 ca2 + a2b + abc + ere 一 abc = 0 所以d是原式的根,x-a是原式的因式，并且 /-(“+/? + c)x2 + (ab + bc + ca)x 一 abc =(x3 一 ax2 )-( +

20、 c)x2 一 a(h + c)x + (bex 一 abc) = (x-“)x -(b + c)x + bc = (x - a)(x -b)(x -c). 【鞏固】分解因式：(/ + nt)+(3/ + 2m n)x2 + 一m 3n)x-2(/n + n) 【解析】如果多項式的系數(shù)的和等于0 ,那么1 定是它的根；如果多項式的偶次項系數(shù)的和減去奇次項系 數(shù)的和等于0,那么-1一定是它的根現(xiàn)在正是這樣： -(/ + n) + (3/ + 2mn)(2/ 加一3/7) 2(m + n) = 0 所以x + l是原式的因式，并且 (/ + m)x3 + (3/ + 2m -n)x2 + (21

21、一/n 3n)x - 2(m + n) =(/ + m)x3 +(/ + m)x2 + (21 + m - n)x2 + (2/ + m - n)x - 2(m + n)x + 2(m + n) =(x +1)(/ + m)x2 + (2/ + m n)x 一 2(m + n) = (x + l)(x + 2)(lx + mx m ?) 板塊三:待定系數(shù)法 如果兩個多項式恒等，則左右兩邊同類項的系數(shù)相等. 即，如果 anx +心/7 +a_2xn-2 + + %* +a0=bnx +VZ_，+也嚴(yán) + +b0 那么 an = bn ,= Vi 5= S，a0= bQ. 【例21】用待定系數(shù)法分

22、解因式：x+x+l 【解析】原式的有理根只可能為1，但是這2個數(shù)都不能使原式的值為0,所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒有 (有理系數(shù)的)一次因式. 故x5 + 兀 +1 = (x + ax + l)(x3 + bx1 + cc +1)或x5 + x + 1 = (x + ox l)(x3 + bx2 +cx-) x5 + x +1 = (x2 + ax +1)( %3 + bx2 +cx+) = x5 +(a + b)x4 + (ab + c + l)x5 + (ac+b + l)x2 + (a + c)x +1 c + /? +1 = 0 心 + b +1 = 0 a = 1 ，解得、/? =

23、一1 f 所以 a5 +x +1 = (x2 + x + l)(x5 x2 +1) c = 0 事實上，分解式是惟一的,所以不用再考慮其它情況. 【鞏固】疋-疋+1是否能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的乘積? 【解析】我們知道x4+x2+ = (x2+x + l)(x2-x+l) x4-x2+l不能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的乘積 如果x4 2 +1能夠分解,那么一定分解為(x2 +or + l)(x2 +加+1)或(x2 +ax-)(x2 +加-1) 比較十與疋的系數(shù)可得 a + b = 0 2 = 1 由(1)得 =_a，代入(2 )得宀2 +1，即宀3或/ = -1，沒有整數(shù)a能滿足這兩個方

24、程. 所以，x4-F+l不能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的積 (從而也不能分解成兩個有理系數(shù)的二次因式的積). 【鞏固】卡+疋-1能否分解為兩個整系數(shù)的三次因式的積？ 【解析設(shè) x6 + x3 -1 =(X3 + ax2 +bx + l)(x3 + ex2 + dx 1), a+ c = 0 比較/，疋及x的系數(shù),得加+ bc = +l b d=O 由第一個方程與第三個方程可得c = -a,d=b,再把它們代入第二個方程中，得ah-ab = 矛盾! 所以,x6+x3-l不可能分解為兩個整系數(shù)的三次因式的積. 【例22】分解因式:+F+才_卄3 【解析】原式的有理根只可能為1 , 3,但是這四個數(shù)

25、都不能使原式的值為0 ,所以原式?jīng)]有有理根，因而 也沒有(有理系數(shù)的)一次因式我們設(shè)想十+疋+2工-x + 3可以分為兩個整系數(shù)的二次因式的乘積. 由于原式是首1的(首項系數(shù)為1),兩個二次因式也應(yīng)當(dāng)是首1的. 于是,設(shè)十 + x +2a，- x + 3 =(x +ax + b)(x2 +cx + d) 其中整系數(shù)“、b、6 d有待我們?nèi)ゴ_定比較式兩邊疋,X2 , X的系數(shù) 這樣的方程組，一般說來是不容易解的不過，別忘了 k 是整數(shù)！根據(jù)這一點, 2 = 3十 或， c/ = l 從(5)可以得出 方=1十 或匕 3 ,xy +xy2 ,. 在字母x與y互換時，保持不變這樣的多項式稱為兀、y的

26、對稱式 類似地，關(guān)于x、y、z 的多項式x+y + z,x2 + y2 +z2 , xy + yz + zx , x3 + y3 + z3 , x2y + x2z + y2z + y2x + z2x + z2y ,，在字母x、y、z中任意兩字互換時保持不變. 這樣的多項式稱為x、yz的對稱式 輪換式:關(guān)于 X、 Z 的多項式 x+y+z , X2 + y2 + z2 , xy +yz + zx ,x3 + z31 x2y +y2z +z2x , xy2 + yz2 + zx2 , xyz . 在將字母X、，、z輪換(即將X換成y , y換成2 , z換成x)時,保持不變 這樣的多項式稱為x、y

27、、z的輪換式.顯然，關(guān)于兀、y、z的對稱式一定是x、y、z的輪換式. 但是，關(guān)于x、y,z的輪換式不一定是對稱式 例如,xy + yS + zx就不是對稱式. 次數(shù)低于3的輪換式同時也是對稱式. 兩個輪換式(對稱式)的和、差、積、商(假定被除式能被除式整除)仍然是輪換式(對稱式). 【例23】分解因式：x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x- y) 【解析】x2(y- z) + y2(z -x) + zz(x- y)是關(guān)于x、y z的輪換式. 如果把x2(y - z) + y2 (z - x) + z2(x - _y)看作關(guān)于x的多項式，那么在兀=y時， 它的值為 y2(y-

28、z) + y2(z - y) + z2(y- y) = 0. 因此,x-y 是-v2( - z) + y2(z -x) + z2(x- y)的因式. 由于 x2(y-z) + y2(z-x)+z2(x-y)是x、y、z 的輪換式， 可知y-z與z-x也是它的因式.從而它們的積(x-y)(_y-z)(z-x) 是 x2(y-z) + y2 (z - ) + z2 (x - y)的因式. 由于、都是兀、y、z的三次多項式，所以兩者至多相差一個常數(shù)因數(shù)k,即有 x2(y-z) + y2(z-.x) + z2 (a- y) = k(x- y)(-z)(z- x) 現(xiàn)在我們來確定常數(shù)斤的值為此，比較的兩

29、邊x的系數(shù)：左邊系數(shù)為1 , 右邊系數(shù)為Tl.因此,k = -. 于是 a-2(-z) + y2(z - x) + z2(x-刃=-x - y)(y- z)(z - x) 【例24】分解因式：xy(x2 -y2) + yz(y2 -z2) + zx(z2 -x2) 【解析】此式是關(guān)于x , y , z的四次齊次輪換式，注意到x = y時，原式=0 ,故t-y是原式的一個因式. 同理,y-z , Z-x均是原式的因式，而(x-y)(y-z)(z-x)是三次輪換式，故還應(yīng)有一個一 次輪換式，設(shè)其為饑x + y + z), 故原式=k(x + y + zX-y)(y- zXz-x)開并比較系數(shù)可知，

30、k=-, 故原式=-(x + y + z)(a- )( z)(z - x). 家庭作業(yè)） 練習(xí)9.分解因式：4(x + 5)(x + 6心+ 10心+ 12)-3疋 【解析】原式= 4(x+17x + 60)(十+16x + 60)-3x =4 (x2 +16.v + 60) + xJ(x2 +16x + 60) 3x2 =4(x2 +16x + 60)2 + 4x(x2 +16x + 60) 一 3x2 = 2(x2 + 16x + 60) -力2(/ + 16x + 60) + 3x =(2x2 + 3 lx +120)(2.r2 + 35x +120) = (2x +15)(x + 8)( 2 疋 + 35x +120) 練習(xí)10.要使(x-l)(x + 3)(x-4)(x-8) +加為完全平方式，則常數(shù)川的值為 【解析】(x-l)(x + 3)(x-4)(x-8)+ / =(x2 -5x + 4)(x2 5x24) + m = (x2 -5x)2 一 20(x2 -5x) -96 + m 則川= 196 練習(xí) 11.分解因式：(x2+6a+8)(x2+14.y + 48) + 12 【解析】原式= (x+2Xx+4)(x+6Xx+8) + 12 =(x + 2)(x + 4)(x +