2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程2.4拋物線2.4.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案新人教B版選修2-1

PAGEPAGE12．4.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.了解拋物線的形成過程．2.理解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)思想．3.駕馭拋物線的定義、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．1．拋物線的定義平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)(eq\f(p,2)，0)x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)(－eq\f(p,2)，0)x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)(0，eq\f(p,2))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)(0，－eq\f(p,2))y＝eq\f(p,2)1．推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線．()(2)拋物線的方程都是y關(guān)于x的二次函數(shù)．()(3)方程x2＝2ay(a≠0)是表示開口向上的拋物線．()答案：(1)×(2)×(3)×2．拋物線x＝－eq\f(1,8)y2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(－2，0) B．(2，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,32))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,32)))答案：A3．拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線方程是()A．x＝1 B．x＝－1C．y＝1 D．y＝－1答案：D4．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是()A．y2＝－8x B．y2＝8xC．y2＝－4x D．y2＝4x答案：B5．以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(3,4)))為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．答案：x2＝－3y求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求滿意下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過點(diǎn)(－3，2)；(2)焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上．【解】(1)當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，把點(diǎn)(－3，2)代入得22＝－2p×(－3)，所以p＝eq\f(2,3)，所以所求拋物線方程為y2＝－eq\f(4,3)x.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)拋物線方程為x2＝2py(p>0)，把(－3，2)代入得(－3)2＝2p×2，所以p＝eq\f(9,4)，所以所求拋物線方程為x2＝eq\f(9,2)y.綜上，所求拋物線的方程為y2＝－eq\f(4,3)x或x2＝eq\f(9,2)y.(2)直線x－2y－4＝0與x軸的交點(diǎn)為(4，0)，與y軸的交點(diǎn)為(0，－2)，故拋物線焦點(diǎn)為(4，0)或(0，－2)，當(dāng)焦點(diǎn)為(4，0)時(shí)，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，因?yàn)閑q\f(p,2)＝4，所以p＝8，所以拋物線方程為y2＝16x；當(dāng)焦點(diǎn)為(0，－2)時(shí)，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，因?yàn)椋璭q\f(p,2)＝－2，所以p＝4，所以拋物線方程為x2＝－8y.綜上，所求拋物線的方程為y2＝16x或x2＝－8y.eq\a\vs4\al()(1)用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(2)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)需留意的三個(gè)問題①把握開口方向與方程間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．②當(dāng)拋物線的類型沒有確定時(shí)，可設(shè)方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以削減探討狀況的個(gè)數(shù)．③留意p與eq\f(p,2)的幾何意義．分別依據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)準(zhǔn)線方程為y＝eq\f(2,3)；(2)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是5.解：(1)因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線平行于x軸，且在x軸上面，且eq\f(p,2)＝eq\f(2,3)，則p＝eq\f(4,3).所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－eq\f(8,3)y.(2)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5，知p＝5，又焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－10x.拋物線定義的應(yīng)用(1)若動(dòng)圓M與圓C：(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．(2)已知點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)(0，2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值．【解】(1)設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為R，由已知可得定圓圓心為C(2，0)，半徑r＝1.因?yàn)閮蓤A外切，所以|MC|＝R＋1.又動(dòng)圓M與已知直線x＋1＝0相切，所以圓心M到直線x＋1＝0的距離d＝R.所以|MC|＝d＋1.即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)C(2，0)的距離等于它到定直線x＋2＝0的距離．由拋物線的定義可知，點(diǎn)M的軌跡是以C為焦點(diǎn)，x＋2＝0為準(zhǔn)線的拋物線，且eq\f(p,2)＝2，p＝4，故其方程為y2＝8x.(2)由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離．由圖可知，P點(diǎn)、(0，2)點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最小，所以最小距離d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))\s\up12(2)＋(2－0)2)＝eq\f(\r(17),2).1．若將本例(2)中的點(diǎn)(0，2)改為點(diǎn)A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值．解：將x＝3代入y2＝2x，得y＝±eq\r(6).所以A在拋物線內(nèi)部．設(shè)P為其上一點(diǎn)，P到準(zhǔn)線(設(shè)為l)x＝－eq\f(1,2)的距離為d，則|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由圖可知，當(dāng)PA⊥l時(shí)，|PA|＋d最小，最小值是eq\f(7,2).即|PA|＋|PF|的最小值是eq\f(7,2).2．若將本例(2)中的點(diǎn)(0，2)換為直線l1：3x－4y＋eq\f(7,2)＝0，求點(diǎn)P到直線3x－4y＋eq\f(7,2)＝0的距離與P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值．解：如圖．作PQ垂直于準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q，|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.A1F的最小值為F到直線3x－4y＋eq\f(7,2)＝0的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,2)＋\f(7,2))),\r(32＋(－4)2))＝1.即所求最小值為1.eq\a\vs4\al()拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．依據(jù)拋物線的定義，拋物線上隨意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問題．(2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題．若拋物線y2＝－2px(p>0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為－9，且點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為10，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．解：由拋物線方程y2＝－2px(p>0)，得焦點(diǎn)坐標(biāo)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝eq\f(p,2).設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d，則d＝|MF|＝10，即eq\f(p,2)－(－9)＝10，得p＝2，故拋物線方程為y2＝－4x.設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為y0，由點(diǎn)M(－9，y0)在拋物線上，得y0＝±6，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－9，6)或(－9，－6)．與拋物線相關(guān)的應(yīng)用問題某河上有一座拋物線形的拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時(shí)，水面寬8米．一木船寬4米，高2米，載貨的木船露在水面上的部分為0.75米，當(dāng)水面上漲到與拱頂相距多少時(shí)，木船起先不能通航？【解】以橋的拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，拱高所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖)．設(shè)拋物線的方程是x2＝－2py(p>0)，由題意知A(4，－5)在拋物線上，故16＝－2p×(－5)?p＝eq\f(8,5)，則拋物線的方程是x2＝－eq\f(16,5)y(－4≤x≤4)，設(shè)水面上漲，木船面兩側(cè)與拋物線形拱橋接觸于B、B′時(shí)，木船起先不能通航．設(shè)B(2，y′)，所以22＝－eq\f(16,5)y′?y′＝－eq\f(5,4).故當(dāng)水面上漲到與拋物線形拱橋的拱頂相距eq\f(5,4)＋eq\f(3,4)＝2米時(shí)，木船起先不能通航．eq\a\vs4\al()求解拋物線實(shí)際應(yīng)用題的五個(gè)步驟噴灌的噴頭裝在直立管柱OA的頂部A處，噴出的水流的最高點(diǎn)為B，距地面5m，且與管柱OA相距4m，水流落在以O(shè)為圓心，半徑為9m的圓上，求管柱OA的長(zhǎng)．解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)．又點(diǎn)C(5，－5)在拋物線上，所以25＝－2p·(－5)，2p＝5，即x2＝－5y.點(diǎn)A(－4，y0)在拋物線上，所以16＝－5y0，y0＝－eq\f(16,5)＝－3.2，所以|OA|＝5－3.2＝1.8(m)，即管柱OA的長(zhǎng)是1.8m.1．“p”是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以p的值恒久大于0.特殊留意，當(dāng)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，不要出現(xiàn)錯(cuò)誤．如y2＝－4x.其中p＝2.2．只有頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的拋物線方程才有標(biāo)準(zhǔn)形式．3．拋物線的開口方向取決于一次項(xiàng)變量(x或y)的取值范圍．如拋物線x2＝－2y，一次項(xiàng)變量y≤0，所以拋物線開口向下．確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從形式上看，只需求一個(gè)參數(shù)p，但由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類型，因此，還應(yīng)確定開口方向(或焦點(diǎn)位置)，當(dāng)開口方向不確定時(shí)，應(yīng)進(jìn)行分類探討．為避開探討，也可設(shè)拋物線方程為統(tǒng)一形式，如：①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，拋物線方程可設(shè)為y2＝2ax(a≠0)或y2＝ax(a≠0)；②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，拋物線方程可設(shè)為x2＝2ay(a≠0)或x2＝ay(a≠0).1．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(0，2) B．(0，1)C．(2，0) D．(1，0)解析：選D．由題意得2p＝4，p＝2，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)．2．設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A．4 B．6C．8 D．12解析：選B．由拋物線的方程得eq\f(p,2)＝eq\f(4,2)＝2，再依據(jù)拋物線的定義，可知所求距離為4＋2＝6.3．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則實(shí)數(shù)a的值為()A．eq\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C．8 D．－8解析：選B．由y＝ax2，得x2＝eq\f(1,a)y，eq\f(1,4a)＝－2，a＝－eq\f(1,8).4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，且過點(diǎn)P(2，4)，則該拋物線的方程是________．解析：由題意可設(shè)拋物線方程為y2＝2ax，因?yàn)辄c(diǎn)P(2，4)在拋物線上，所以42＝4a，所以a＝4.即所求拋物線的方程為y2＝8x.答案：y2＝8x[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．經(jīng)過點(diǎn)P(4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．y2＝x或x2＝－8y B．y2＝x或y2＝8xC．y2＝－8x D．x2＝－8y解析：選A．因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限，所以拋物線開口向右或向下．當(dāng)開口向右時(shí)，設(shè)拋物線方程為y2＝2p1x(p1>0)，則(－2)2＝8p1，所以p1＝eq\f(1,2)，所以拋物線方程為y2＝x.當(dāng)開口向下時(shí)，設(shè)拋物線方程為x2＝－2p2y(p2>0)，則42＝4p2，p2＝4，所以拋物線方程為x2＝－8y.2．已知點(diǎn)A(－2，3)在拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為()A．－eq\f(4,3) B．－1C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)解析：選C．因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上，所以－eq\f(p,2)＝－2，所以該拋物線的焦點(diǎn)為F(2，0)，所以kAF＝eq\f(3－0,－2－2)＝－eq\f(3,4).3．已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝eq\f(5,4)x0，則x0＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：選A．由題意知拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(1,4).因?yàn)閨AF|＝eq\f(5,4)x0，所以依據(jù)拋物線的定義可得x0＋eq\f(1,4)＝|AF|＝eq\f(5,4)x0，解得x0＝1.4．已知P是拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2x－y＋3＝0和y軸的距離之和的最小值是()A．eq\r(3) B．eq\r(5)C．2 D．eq\r(5)－1解析：選D．由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)．設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1，所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d＋|PF|的最小值為eq\f(|2＋3|,\r(22＋(－1)2))＝eq\r(5)，所以d＋|PF|－1的最小值為eq\r(5)－1.5．在同一坐標(biāo)系中，方程a2x2＋b2y2＝1與ax＋by2＝0(a>b>0)的曲線大致是()解析：選D．a(chǎn)2x2＋b2y2＝1其標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,\f(1,a2))＋eq\f(y2,\f(1,b2))＝1，因?yàn)閍>b>0，所以eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2)，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；ax＋by2＝0其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－eq\f(a,b)x，表示焦點(diǎn)在x的負(fù)半軸的拋物線．6．已知圓x2＋y2－6x－7＝0與拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線相切，則p＝________．解析：由題意知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝16，圓心為(3，0)，半徑為4，拋物線的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，由題意知3＋eq\f(p,2)＝4，所以p＝2.答案：27．在拋物線y2＝－12x上，與焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．解析：由方程y2＝－12x，知焦點(diǎn)F(－3，0)，準(zhǔn)線l：x＝3.設(shè)所求點(diǎn)為P(x，y)，則由定義知|PF|＝3－x.又|PF|＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6eq\r(2).所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(－6，6eq\r(2))，(－6，－6eq\r(2))．答案：(－6，6eq\r(2))，(－6，－6eq\r(2))8．已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為________．解析：因?yàn)閨AF|＋|BF|＝xA＋xB＋eq\f(1,2)＝3，所以xA＋xB＝eq\f(5,2).所以線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(5,4).答案：eq\f(5,4)9．依據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是5；(2)焦點(diǎn)F在y軸上，點(diǎn)A(m，－2)在拋物線上，且|AF|＝3.解：(1)由題意知p＝5，則2p＝10，因?yàn)闆]有說明焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸和開口方向，所以四種類型的拋物線都有可能，故方程為y2＝10x或y2＝－10x或x2＝10y或x2＝－10y.(2)由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)．由|AF|＝3，得eq\f(p,2)＋2＝3，所以p＝2，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－4y.10．如圖，已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過點(diǎn)A作AB垂直于y軸，垂足為點(diǎn)B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．解：(1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，于是4＋eq\f(p,2)＝5，p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x.(2)由題意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)．又F(1，0)，所以kAF＝eq\f(4,3)，則FA的方程為y＝eq\f(4,3)(x－1)．因?yàn)镸N⊥FA，所以kMN＝－eq\f(3,4)，則MN的方程為y＝－eq\f(3,4)x＋2.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(3,4)x＋2，,y＝\f(4,3)(x－1)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(4,5)，))所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).[B實(shí)力提升]11．若動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)F(1，1)和直線l：3x＋y－4＝0的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．直線解析：選D．法一：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)．則eq\r((x－1)2＋(y－1)2)＝eq\f(|3x＋y－4|,\r(10)).整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，即(x－3y＋2)2＝0，所以x－