2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.7三角函數(shù)的應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊1

PAGE2-5.7三角函數(shù)的應(yīng)用【素養(yǎng)目標(biāo)】1．會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡潔的實(shí)際問題．(數(shù)學(xué)抽象)2．體會(huì)三角函數(shù)是描述周期改變現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．(邏輯推理)3．通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，使學(xué)生學(xué)會(huì)把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型的思想方法．(邏輯推理)【學(xué)法解讀】在本節(jié)學(xué)習(xí)中，對生活中周期現(xiàn)象作分析，再把課本中實(shí)例與三角函數(shù)結(jié)合，構(gòu)建三角函數(shù)模型，使學(xué)生駕馭解決此類問題的思路，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模實(shí)力．必備學(xué)問·探新知基礎(chǔ)學(xué)問學(xué)問點(diǎn)1三角函數(shù)模型的作用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中__周期現(xiàn)象__的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來探討許多問題，在刻畫周期改變規(guī)律、預(yù)料將來等方面發(fā)揮著重要作用．思索：三角函數(shù)模型的應(yīng)用主要體現(xiàn)在哪幾個(gè)方面？提示：三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個(gè)方面：①已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；②把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，抽象出有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)學(xué)問解決問題．學(xué)問點(diǎn)2利用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟第一步：閱讀理解，審清題意．讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字，理解題目所反映的實(shí)際背景，在此基礎(chǔ)上分析出已知什么、求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題．其次步：收集、整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型．依據(jù)收集到的數(shù)據(jù)找出改變規(guī)律，運(yùn)用已駕馭的三角函數(shù)學(xué)問、物理學(xué)問及相關(guān)學(xué)問建立關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)與三角函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，即建立三角函數(shù)模型，從而實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化．第三步：利用所學(xué)的三角函數(shù)學(xué)問對得到的三角函數(shù)模型予以解答．第四步：將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題的答案．基礎(chǔ)自測1．下列說法正確的個(gè)數(shù)是(B)①三角函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界中周期改變現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．②與周期有關(guān)的實(shí)際問題都必需用三角函數(shù)模型解決．③若一個(gè)簡諧振動(dòng)的振動(dòng)量的函數(shù)解析式是y＝3sin(4x＋eq\f(π,6))，則其往復(fù)振動(dòng)一次所需時(shí)間為eq\f(1,2)秒．④若電流I(A)隨時(shí)間t(s)改變的關(guān)系是I＝4sin200πt，t∈[0，＋∞)，則電流的最大值為4A．A．1 B．2C．3 D．4[解析]①④正確，②③錯(cuò)誤，故選B．2．電流I(A)隨時(shí)間t(s)改變的關(guān)系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，則電流I改變的周期是(A)A．eq\f(1,50)s B．50sC．eq\f(1,100)s D．100s[解析]T＝eq\f(2π,100π)＝eq\f(1,50)s，故選A．3.如圖，單擺從某點(diǎn)起先來回?fù)u擺，離開平衡位置O的距離scm和時(shí)間ts的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sin(2πt＋eq\f(π,6))，那么單擺來回?fù)u擺一次所需的時(shí)間為(D)A．2πs B．πsC．0.5s D．1s[解析]本題已給出了單擺離開平衡位置O的距離scm和時(shí)間ts的函數(shù)關(guān)系式，單擺來回?cái)[一次所需的時(shí)間即為此函數(shù)的一個(gè)周期．即ω＝2π，所以T＝eq\f(2π,ω)＝1.4．商場人流量被定義為每分鐘通過入口的人數(shù)，勞動(dòng)節(jié)某商場的人流量滿意函數(shù)F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，則在下列哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)人流量是增加的(C)A．[0,5] B．[5,10]C．[10,15] D．[15,20][解析]由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(t,2)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，知函數(shù)F(t)的增區(qū)間為[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.當(dāng)k＝1時(shí)，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]．關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用例1已知表示電流強(qiáng)度I與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)．(1)若電流強(qiáng)度I與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，試依據(jù)圖象寫出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)為了使I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))中t在隨意一段eq\f(1,100)秒的時(shí)間內(nèi)電流強(qiáng)度I能同時(shí)取得最大值A(chǔ)與最小值－A，那么正整數(shù)ω的最小值是多少？[分析]對于(1)，由于解析式的類型已經(jīng)確定，只需依據(jù)圖象確定參數(shù)A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值與最小值確定，ω可由周期確定，φ可通過特別點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程求得．對于(2)，可利用正弦型函數(shù)的圖象在一個(gè)周期中必有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)來解．[解析](1)由題圖知，A＝300.T＝eq\f(1,60)－(－eq\f(1,300))＝eq\f(1,50)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝100π.∵(－eq\f(1,300)，0)是該函數(shù)圖象的第一個(gè)零點(diǎn)，∴－eq\f(φ,ω)＝－eq\f(1,300).∴φ＝eq\f(ω,300)＝eq\f(π,3).符合|φ|<eq\f(π,2)，∴I＝300sin(100πt＋eq\f(π,3))(t≥0)．(2)問題等價(jià)于T≤eq\f(1,100)，即eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,100)，∴ω≥200π.∴正整數(shù)ω的最小值為629.[歸納提升]解決函數(shù)圖象與解析式對應(yīng)問題的策略利用圖象確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，實(shí)質(zhì)就是確定其中的參數(shù)A，ω，φ.其中A由最值確定；ω由周期確定，而周期由特別點(diǎn)求得；φ由點(diǎn)在圖象上求得，確定φ時(shí)，留意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.【對點(diǎn)練習(xí)】?本例(1)中，在其他條件不變的狀況下，當(dāng)t＝10秒時(shí)的電流強(qiáng)度I應(yīng)為多少？[解析]由例1(1)可得I＝300sin(100πt＋eq\f(π,3))(t≥0)，將t＝10秒代入可得，I＝150eq\r(3)安培．題型二三角函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用例2如圖為一半徑為3m的水輪，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪自點(diǎn)B起先1min旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y(m)與時(shí)間x(s)滿意函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋2，則有(A)A．ω＝eq\f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq\f(15,2π)，A＝3C．ω＝eq\f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq\f(15,2π)，A＝5[解析]由1min旋轉(zhuǎn)4圈，則轉(zhuǎn)1圈的時(shí)間為T＝eq\f(1,4)min＝eq\f(1,4)×60＝15(s)，則ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,15).又由圖可知，A＝3.[歸納提升]1.解決與三角函數(shù)模型相關(guān)問題，關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)模型．2．三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在簡諧運(yùn)動(dòng)中，其中對彈簧振子和單擺的運(yùn)動(dòng)等有關(guān)問題考查最多，尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法．【對點(diǎn)練習(xí)】?如圖，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為P0(eq\r(2)，－eq\r(2))，角速度為1，那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為(C)[解析]∵P0(eq\r(2)，－eq\r(2))，∴∠P0Ox＝eq\f(π,4).按逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)間t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－eq\f(π,4).此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2sin(t－eq\f(π,4))，∵d＝2|sin(t－eq\f(π,4))|.當(dāng)t＝0時(shí)，d＝eq\r(2)，解除A、D；當(dāng)t＝eq\f(π,4)時(shí)，d＝0，解除B．誤區(qū)警示對物理概念理解不清，錯(cuò)求初相例3如圖，彈簧掛著一個(gè)小球作上下運(yùn)動(dòng)，小球在t秒時(shí)相對于平衡位置的高度h(厘米)由如下關(guān)系式確定：h＝2sin(eq\f(π,4)t＋φ)，t∈[0，＋∞)，φ∈(－π，π)．已知當(dāng)t＝3時(shí)，小球處于平衡位置，并起先向下移動(dòng)，則小球在起先振動(dòng)(即t＝0)時(shí)h的值為__eq\r(2)__.[錯(cuò)解]∵當(dāng)t＝3時(shí)，h＝0，∴2sin(eq\f(3π,4)＋φ)＝0，∴φ＝－eq\f(3π,4).故h＝2sin(eq\f(π,4)t－eq\f(3π,4))，∴當(dāng)t＝0時(shí)，h＝2sin(－eq\f(3π,4))＝－eq\r(2).[錯(cuò)因分析]沒有仔細(xì)審題，不懂利用題目中的“并起先向下移動(dòng)”條件求初相．[正解]∵當(dāng)t＝3時(shí)，h＝0，∴2sin(eq\f(3π,4)＋φ)＝0.又∵當(dāng)t＝3時(shí)，h＝0，并起先向下移動(dòng)，∴eq\f(3π,4)＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.∵φ∈(－π，π)，∴φ＝eq\f(π,4)，故h＝2sin(eq\f(π,4)t＋eq\f(π,4))．∴當(dāng)t＝0時(shí)，h＝2sineq\f(π,4)＝eq\r(2).[方法點(diǎn)撥]在利用零點(diǎn)求初相時(shí)，要留意函數(shù)在零點(diǎn)處的單調(diào)性，當(dāng)函數(shù)在零點(diǎn)處單調(diào)遞增時(shí)，ωx＋φ＝2kπ(k∈Z)；當(dāng)函數(shù)在零點(diǎn)處單調(diào)遞減時(shí)，ωx＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)．學(xué)科素養(yǎng)數(shù)據(jù)擬合三角函數(shù)問題處理此類問題時(shí)，先要依據(jù)表格或數(shù)據(jù)正確地畫出散點(diǎn)圖，然后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法求出問題中所須要的相關(guān)量，如周期、振幅等，最終依據(jù)三角函數(shù)的相關(guān)學(xué)問解決問題．例4已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：小時(shí))的函數(shù)，記作：y＝f(t)．下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：t(時(shí))03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b.(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達(dá)式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，推斷一天的上午8：00時(shí)至晚上20：00時(shí)之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行活動(dòng)？[分析]本題以實(shí)際問題引入，留意通過表格供應(yīng)的數(shù)據(jù)來抓住圖形的特征．[解析](1)由表中數(shù)據(jù)，知周期T＝12，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.又由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，∴A＝0.5，b＝1.0，即振幅為eq\f(1,2).∴y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1.(2)由題意知，當(dāng)y>1時(shí)才對沖浪者開放，∴eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1>1，∴coseq\f(π,6)t>0，∴2kπ－eq\f(π,2)<eq\f(π,6)t<2kπ＋eq\f(π,2)，即12k－3<t<12k＋3.∵0≤t≤24，∴令k分別為0,1,2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，∴在規(guī)定時(shí)間上午8∶00時(shí)至晚上20∶00時(shí)之間有6個(gè)小時(shí)可供沖浪者進(jìn)行活動(dòng)，即上午9∶00至下午15∶00.[歸納提升]處理此類問題時(shí)，先要依據(jù)圖表或數(shù)據(jù)正確地畫出簡圖，然后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求出問題中的關(guān)鍵量，如周期、振幅等．課堂檢測·固雙基1．已知簡諧運(yùn)動(dòng)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋φ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，則該簡諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期T和初相φ分別為(A)A．T＝6，φ＝eq\f(π,6) B．T＝6，φ＝eq\f(π,3)C．T＝6π，φ＝eq\f(π,6) D．T＝6π，φ＝eq\f(π,3)[解析]T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6.由圖象過(0,1)點(diǎn)得sinφ＝eq\f(1,2).∵－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).2．某星星的亮度改變周期為10天，此星星的平均亮度為3.8星等，最高亮度距離平均亮度0.2星等，則可近似地描述此星星亮度與時(shí)間之間關(guān)系的一個(gè)三角函數(shù)可以是下列中的(C)A．y＝0.2sin10t＋3.8 B．y＝3.8sineq\f(π,5)t＋0.2C．y＝0.2sin(eq\f(π,5)t＋φ)＋3.8 D．y＝3.8sin10t＋0.2[解析]設(shè)所求函數(shù)為y＝Asin(ωt＋φ)＋b，依題意得T＝10，ω＝eq\f(π,5)，A＝0.2，b＝3.8，所以解析式可以為y＝0.2sin(eq\f(π,5)t＋φ)＋3.8，故選C．3．某人的血壓滿意函數(shù)式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)為血壓，t為時(shí)間，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為(C)A．60 B．70C．80 D．90[解析]由于ω＝160π，故函數(shù)的周期T＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)，所以f＝eq\f(1,T)＝80，即每分鐘心跳的次數(shù)為80.故選C．4.