2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系課時分層作業(yè)含解析新人教B版選擇性必修第一冊

PAGE1-課時分層作業(yè)(二十五)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．已知雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的右焦點為F，過點F作一條直線與其中一條漸近線垂直，垂足為A，O為坐標(biāo)原點，則S△OAF＝()A．3 B．3eq\r(5)C．2eq\r(5) D．eq\r(5)D[雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的右焦點為F(3,0)，F(xiàn)到漸近線eq\r(5)x＋2y＝0的距離FA＝eq\f(3\r(5),\r(5＋4))＝eq\r(5)．則AO＝eq\r(OF2－FA2)＝eq\r(32－5)＝2．則S△OAF＝eq\f(1,2)FA·OA＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×2＝eq\r(5)．]2．直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A、B兩點，過兩點向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為()A．48 B．56C．64 D．72A[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－3.))消去y得，x2－10x＋9＝0，∴x＝1或9，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2.))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝6.))∴|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，∴|PQ|＝8，梯形APQB的面積為48，故選A．]3．過橢圓x2＋2y2＝4的左焦點F作傾斜角為eq\f(π,3)的弦AB，則弦AB的長為()A．eq\f(6,7) B．eq\f(16,7)C．eq\f(7,16) D．eq\f(7,6)B[橢圓的方程可化為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，∴F(－eq\r(2)，0)．又∵直線AB的斜率為eq\r(3)，∴直線AB的方程為y＝eq\r(3)x＋eq\r(6)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x＋\r(6)，,x2＋2y2＝4，))得7x2＋12eq\r(2)x＋8＝0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(12\r(2),7)，x1·x2＝eq\f(8,7)，∴|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\f(16,7)．]4．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為K，點A在C上且|AK|＝eq\r(2)|AF|，則△AFK的面積為()A．4 B．8C．16 D．32B[因為拋物線C：y2＝8x的焦點為F(2,0)，準(zhǔn)線為x＝－2，所以K(－2,0)，設(shè)A(x0，y0)，如圖所示，過點A向準(zhǔn)線作垂線，垂足為B，則B(－2，y0)．因為|AK|＝eq\r(2)|AF|，又|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，所以由|BK|2＝|AK|2－|AB|2，得yeq\o\al(2,0)＝(x0＋2)2，即8x0＝(x0＋2)2，解得x0＝2，y0＝±4，所以S△AFK的面積為eq\f(1,2)|KF|·|y0|＝eq\f(1,2)×4×4＝8．]5．假如AB是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的隨意一條與x軸不垂直的弦，O為橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點，則kAB·kOM的值為()A．e－1 B．1－eC．e2－1 D．1－e2C[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點M(x0，y0)，由點差法，eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，作差得eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝eq\f(y2－y1y2＋y1,b2)，所以kAB·kOM＝eq\f(y2－y1,x2－x1)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(－b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1．]二、填空題6．直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點，則k＝．0或1[當(dāng)k＝0時，直線與拋物線有唯一交點，當(dāng)k≠0時，聯(lián)立方程消y得：k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由題意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1．]7．若點O和點F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的隨意一點，則eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))的最大值為．6[由eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1可得F(－1,0)．設(shè)P(x，y)，－2≤x≤2，則eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時，eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))取得最大值6．]8．設(shè)雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，假如直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為．eq\f(\r(5)+1,2)[設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b>0)，如圖所示，雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，而kBF＝－eq\f(b,c)．∴eq\f(b,a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,c)))＝－1，整理得b2＝ac．∴c2－a2－ac＝0．兩邊同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)．]三、解答題9．已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A，B兩點．(1)求證：OA⊥OB；(2)當(dāng)△OAB的面積等于eq\r(10)時，求k的值．[解](1)如圖所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝－x,y＝kx＋1))消去x得，ky2＋y－k＝0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－eq\f(1,k)．∵A，B在拋物線y2＝－x上，∴yeq\o\al(2,1)＝－x1，yeq\o\al(2,2)＝－x2，∴yeq\o\al(2,1)·yeq\o\al(2,2)＝x1x2．∵kOA·kOB＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(1,y1y2)＝－1，∴OA⊥OB．(2)設(shè)直線與x軸交于點N，明顯k≠0．令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝eq\f(1,2)|ON||y1|＋eq\f(1,2)|ON||y2|＝eq\f(1,2)|ON|·|y1－y2|，∴S△OAB＝eq\f(1,2)·1·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(1,2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))eq\s\up12(2)＋4)．∵S△OAB＝eq\r(10)，∴eq\r(10)＝eq\f(1,2)eq\r(\f(1,k2)＋4)，解得k＝±eq\f(1,6)．10．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b>0)，離心率是eq\f(1,2)，原點與C和直線x＝1的交點圍成的三角形面積是eq\f(3,2)．若直線l過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,7)，0))，且與橢圓C相交于A，B兩點(A，B不是頂點)，D是橢圓C的右頂點，求證∠ADB是定值．[證明]由題意可知：e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(1,2)，所以a2＝eq\f(4,3)b2，由直線x＝1與橢圓相交，交點P(1，y)(y＞0)，由題意可知：eq\f(1,2)×1×2y＝eq\f(3,2)，解得y＝eq\f(3,2)，將Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))代入橢圓方程：eq\f(x2,\f(4,3)b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，解得b2＝3，a2＝4，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，即4y2＋3x2－12＝0．所以D點坐標(biāo)為(2,0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,7)，\f(12,7)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,7)，－\f(12,7)))，∴eq\o(DA,\s\up7(→))·eq\o(DB,\s\up7(→))＝0，∴∠ADB＝eq\f(π,2)．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l：x＝my＋eq\f(2,7)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(2,7)，,4y2＋3x2－12＝0))得(196＋147m2)y2＋84∵l與C有兩個交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴Δ＞0，且y1y2＝eq\f(－576,196＋147m2)，y1＋y2＝eq\f(－84m,196＋147m2)，∴x1＋x2＝eq\f(－84m2,196＋147m2)＋eq\f(4,7)，x1x2＝eq\f(－600m2,196＋147m2)＋eq\f(4,49)，∵eq\o(DA,\s\up7(→))＝(x1－2，y1)，eq\o(DB,\s\up7(→))＝(x2－2，y2)，eq\o(DA,\s\up7(→))·eq\o(DB,\s\up7(→))＝x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2＋4，∴eq\f(－432m2－576,196＋147m2)＋eq\f(144,49)＝eq\f(－432m2－576＋432m2＋576,196＋147m2)＝0，∴∠ADB＝eq\f(π,2)．綜上，∠ADB＝eq\f(π,2)．11．(多選題)已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓交x軸于M，N兩點，設(shè)線段AB的中點為Q．若拋物線C上存在一點E(t,2)到焦點F的距離等于3．則下列說法正確的是()A．拋物線的方程是x2＝2yB．拋物線的準(zhǔn)線是y＝－1C．sin∠QMN的最小值是eq\f(1,2)D．線段AB的最小值是6BC[拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，得拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(p,2)，點E(t,2)到焦點F的距離等于3，可得2＋eq\f(p,2)＝3，解得p＝2，則拋物線C的方程為x2＝4y，所以A不正確；拋物線的準(zhǔn)線方程：y＝－1，所以B正確；由題知直線l的斜率存在，F(xiàn)(0,1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為y＝kx＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))消去y得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，所以AB的中點Q的坐標(biāo)為(2k,2k2＋1)，|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4k2＋2＋2＝4k2＋4，所以圓Q的半徑為r＝2k2＋2，在等腰△QMN中，sin∠QMN＝eq\f(|yQ|,r)＝eq\f(2k2＋1,2k2＋2)＝1－eq\f(1,2k2＋2)≥1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)k＝0時取等號．所以sin∠QMN的最小值為eq\f(1,2)．所以C正確；線段AB的最小值是：y1＋y2＋2＝4k2＋4≥4．所以D不正確．]12．點P為拋物線y2＝2px上任一點，F(xiàn)為焦點，則以PF為直徑的圓與y軸()A．相交 B．相切C．相離 D．位置由F確定B[如圖，拋物線的焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，M為PF的中點，準(zhǔn)線是l：x＝－eq\f(p,2)．作PH⊥l于H，交y軸于Q，那么|PF|＝|PH|，且|QH|＝|OF|＝eq\f(p,2)，作MN⊥y軸于N，則MN是梯形PQOF的中位線，即|MN|＝eq\f(1,2)(|OF|＋|PQ|)＝eq\f(1,2)|PH|＝eq\f(1,2)|PF|，故以PF為直徑的圓與y軸相切．]13．(一題兩空)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)第一象限上一點與中心、右焦點構(gòu)成一個正三角形，則此橢圓的離心率e＝，當(dāng)此三角形的面積是4eq\r(3)，則b2＝．eq\r(3)－18eq\r(3)[如圖，由△OPF為正三角形，可得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))，代入橢圓方程，可得eq\f(c2,4a2)＋eq\f(3c2,4b2)＝1，又b2＝a2－c2，得(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，解得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1，若S△OPF＝eq\f(1,2)×c×eq\f(\r(3),2)c＝4eq\r(3)，則c＝4，a2＝eq\f(c2,\r(3)－12)＝eq\f(16,4－2\r(3))＝16＋8eq\r(3)，則b2＝a2－c2＝8eq\r(3)．]14．已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為．16[因為F為y2＝4x的焦點，所以F(1,0)．由題意直線l1，l2的斜率均存在，且不為0，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為－eq\f(1,k)，故直線l1，l2的方程分別為y＝k(x－1)，y＝－eq\f(1,k)·(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k2＋4,k2)))eq\s\up12(2)－4)＝eq\f(41＋k2,k2)．同理可得|DE|＝4(1＋k2)．所以|AB|＋|DE|＝eq\f(41＋k2,k2)＋4(1＋k2)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1＋1＋k2))＝8＋4eq\b\lc\(\