2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.1.5三視圖學(xué)案新人教B版必修2

PAGEPAGE11．1．5三視圖1．了解三視圖的概念．2．理解三視圖的畫法特征．3．會畫簡潔幾何體的三視圖．1．正投影(1)定義：在物體的平行投影中，假如投射線與投射面垂直，則稱這樣的平行投影為正投影．(2)正投影的性質(zhì)：①垂直于投射面的直線或線段的正投影是點(diǎn)；②垂直于投射面的平面圖形的正投影是直線或直線的一部分．2．三視圖(1)三視圖的定義①水平投射面、俯視圖：一個(gè)投射面水平放置，叫做水平投射面；投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做俯視圖．②直立投射面、主視圖：一個(gè)投射面放置在正前方，這個(gè)投射面叫做直立投射面；投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做主視圖．(也有的叫做正視圖)③側(cè)立投射面、左視圖：和直立、水平兩個(gè)投射面都垂直的投射面叫做側(cè)立投射面，通常把這個(gè)平面放在直立投射面的右面，投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做左視圖．(也有的叫做側(cè)視圖)④將空間圖形向水平投射面、直立投射面、側(cè)立投射面作正投影，然后把這三個(gè)投影按肯定的布局放在一個(gè)平面內(nèi)，這樣構(gòu)成的圖形叫做空間圖形的三視圖．(2)三視圖的畫法要求①三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是人從物體的正前方、正上方、正左方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形．②一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在主視圖的下面，長度與主視圖一樣，左視圖放在主視圖的右面，高度與主視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．③記憶口訣a．長對正，高平齊，寬相等；b．主左一樣高，主俯一樣長，俯左一樣寬．1．畫出如圖所示的正三棱柱和圓臺的三視圖．解：題圖(1)所示的正三棱柱的三視圖如圖(3)所示(3)題圖(2)所示的圓臺的三視圖如圖(4)所示(4)2．三視圖與直觀圖的聯(lián)系與區(qū)分是什么？解：三視圖與直觀圖都是用平面圖形來刻畫空間圖形的位置特征與度量特征，二者有以下區(qū)分：①三視圖從細(xì)微環(huán)節(jié)上刻畫了空間幾何體的結(jié)構(gòu)，由三視圖可以得到一個(gè)精確的幾何體，如零件、建筑圖紙都是三視圖．②直觀圖是對空間幾何體的整體刻畫，可視性高，立體感強(qiáng)，由此可以想象實(shí)物的形態(tài)．正投影問題如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BB1，BC的中點(diǎn)，則圖中陰影部分在平面ADD1A1上的正投影是()【解析】因?yàn)槿齻€(gè)關(guān)鍵點(diǎn)M，N，D在平面ADD1A1上的正投影分別是AA1的中點(diǎn)，AD的中點(diǎn)及點(diǎn)D，故選A．【答案】Aeq\a\vs4\al()正投影問題是一種新奇題型，在解決這類問題時(shí)肯定要牢牢把握一個(gè)原則：過主要點(diǎn)向投射面作垂線，得到投影點(diǎn)，連點(diǎn)成線，由線得圖．如圖所示，E，F(xiàn)分別為正方風(fēng)光 ADD′A′、面BCC′B′的中心，則四邊形BFD′E在該正方體的面上的正投影可能是下圖中的________．解析：在面ADD′A′和面BCC′B′的正投影如圖③所示，在其他面上的正投影如圖②所示．答案：②③幾何體三視圖的畫法畫出如圖所示的正四棱錐的三視圖．【解】四棱錐的三視圖如圖所示．eq\a\vs4\al()(1)在畫三視圖時(shí)，務(wù)必做到主(視圖)左(視圖)高平齊，主(視圖)俯(視圖)長對正，俯(視圖)左(視圖)寬相等．(2)三視圖的排列方法是主視圖與左視圖在同一水平位置，且主視圖在左，左視圖在右，俯視圖在主視圖的正下方．1．將長方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為()解析：選D．由三視圖的畫法可知，該幾何體的左視圖應(yīng)為選項(xiàng)D．2．畫出如圖所示幾何體的三視圖．解：圖①為六棱柱，可按棱柱的三視圖畫法畫出；圖②為一個(gè)圓柱與一個(gè)長方體的組合體，按圓柱、長方體的三視圖畫出它們的組合形態(tài)，三視圖如圖所示．由三視圖還原為實(shí)物圖如圖，已知幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖．【解】畫法：(1)畫軸．如圖(1)，畫x軸、y軸、z軸，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．(2)畫圓柱的兩底面．先畫出底面⊙O．在z軸上取O′，使OO′等于三視圖中相應(yīng)的高度，過點(diǎn)O′作Ox的平行線O′x′，Oy的平行線O′y′，利用O′x′與O′y′畫出底面⊙O′(與畫⊙O一樣)．(3)畫圓錐的頂點(diǎn)．在Oz上取點(diǎn)P，使PO′等于三視圖中相應(yīng)的高度．(4)成圖．連接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖，如圖(2)．eq\a\vs4\al()由三視圖還原為實(shí)物圖是由幾何體畫三視圖的逆向思維，在還原時(shí)要首先確定好投視方向，要從三視圖所反映的幾何體的輪廓線推想該幾何體的大致形態(tài)，又要依據(jù)三視圖畫圖規(guī)則中反映的對齊關(guān)系畫準(zhǔn)其大小比例．還要弄清虛實(shí)線的含義，綜合分析，想象實(shí)物圖，從而精確無誤畫實(shí)物圖(直觀圖)．已知某幾何體的三視圖如圖所示，試畫出其直觀圖．解：由三視圖可知，該幾何體由正方體和四棱柱組成，如圖所示．1．三視圖是指主視圖、俯視圖和左視圖，畫圖時(shí)應(yīng)遵循“長對正、高平齊、寬相等”或“主左一樣高，主俯一樣長，俯左一樣寬”的原則，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線．在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，不行見輪廓線要用虛線畫出．2．畫組合體的三視圖的步驟3．由三視圖畫直觀圖的步驟1．畫三視圖時(shí)要留意的問題(1)先畫主體部分，后畫次要部分．(2)幾個(gè)視圖要協(xié)作著畫．一般是先畫主視圖再確定左視圖和俯視圖．(3)組合體的各部分之間要畫出分界線．2．由三視圖畫直觀圖的留意事項(xiàng)一個(gè)幾何體一旦視察的方向確定，則三視圖是唯一的，但從三視圖反過來考慮幾何體時(shí)，它有多種可能性．例如球的主視圖是圓，但主視圖是圓的幾何體還可以是圓柱、圓錐等．1．下列幾何體中，主視圖、左視圖、俯視圖都相同的幾何體的序號是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：選D．正方體主視圖、左視圖、俯視圖都是正方形，球的主視圖、左視圖、俯視圖都是圓，故選D．2．一件物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在主視圖的________，長度與主視圖一樣，左視圖放在主視圖的______，高度與主視圖一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．答案：下面右面3．某個(gè)幾何體的三視圖如圖，這個(gè)幾何體是________．答案：圓錐,[學(xué)生用書P85(單獨(dú)成冊)])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．有一個(gè)圓柱形筆筒如圖放置，它的左視圖是()答案：C2．下列說法中正確的是()A．任何物體的三視圖都與物體的擺放位置有關(guān)B．任何物體的三視圖都與物體的擺放位置無關(guān)C．有的物體的三視圖與物體的擺放位置無關(guān)D．正方體的三視圖肯定是三個(gè)全等的正方形解析：選C．球的三視圖與它的擺放位置無關(guān)，從任何方向看都是圓．3．如圖所示，有且僅有兩個(gè)視圖相同的幾何體是()A．①② B．①③C．①④ D．②④解析：選D．在這四個(gè)幾何體中，圖②與圖④均只有主視圖和左視圖相同．4．一個(gè)長方體去掉一角，如圖所示，關(guān)于它的三視圖，下列畫法正確的是()解析：選A．由于去掉一角后，出現(xiàn)了一個(gè)小三角形的面．主視圖中，長方體上底面和右邊側(cè)面上的三角形的兩邊的正投影分別和矩形的兩邊重合，故B錯(cuò)；左視圖中的線應(yīng)是虛線，故C錯(cuò)；俯視圖中的線應(yīng)是實(shí)線，故D錯(cuò)．5．某幾何體的主視圖和左視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不行能是()解析：選D．由于該幾何體的主視圖和左視圖相同，且上部分是一個(gè)矩形，矩形中間無實(shí)線和虛線，因此俯視圖不行能是D．6．如圖是長和寬分別相等的兩個(gè)矩形．給定下列三個(gè)命題：①存在三棱柱，其主視圖、俯視圖如圖；②存在四棱柱，其主視圖、俯視圖如圖；③存在圓柱，其主視圖、俯視圖如圖．其中真命題的個(gè)數(shù)是__________．解析：①②③均是正確的，對于①，底面是等腰直角三角形的直三棱柱，讓其直角三角形直角邊對應(yīng)的一個(gè)側(cè)面平臥；對于②，長方體即符合題意；對于③，圓柱平臥．所以共有3個(gè)真命題．答案：37．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、C1D1的中點(diǎn)，G是正方形BCC1B1的中心，則四邊形AGFE在該正方體的各個(gè)面上的投影可能是圖中的________．解析：要畫出四邊形AGFE在該正方體的各個(gè)面上的投影，只需畫出四個(gè)頂點(diǎn)A、G、F、E在每個(gè)面上的投影，再順次連接即得在該面上的投影，并且在兩個(gè)平行平面上的投影是相同的，可得在平面ABCD和平面A1B1C1D1上的投影是圖①；在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的投影是圖②；在平面ABB1A1和平面DCC1D1上的投影是圖③．答案：①②③8．已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且底面是邊長為2的等邊三角形．若三棱柱的主視圖(如圖所示)的面積為8，則左視圖的面積為________．解析：設(shè)該三棱柱的側(cè)棱長為a，則2a＝8，所以a＝4．該三棱柱的左視圖是一個(gè)矩形，一邊長為4，另一邊長等于三棱柱底面等邊三角形的高，為eq\r(3)，所以左視圖的面積為4eq\r(3)．答案：4eq\r(3)9．如圖是一個(gè)幾何體的直觀圖，試畫出它的三視圖．解：該組合體是一個(gè)正六棱柱中間挖去了一個(gè)圓柱，它的三視圖，如圖所示．10．如圖是一個(gè)棱柱的三視圖，請依據(jù)三視圖的作圖原則列出方程組，求出x，y的值．解：棱柱的底面是一個(gè)直角三角形，依據(jù)“長對正，高平齊，寬相等”的原則可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝8，,x－y＋5＝3y，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝10，,x－4y＝－5，))解得x＝7，y＝3．[B實(shí)力提升]11．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()解析：選B．從主視圖和俯視圖可解除A、C，由左視圖可知D錯(cuò)誤．故選B．12．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體最長的棱長等于________．解析：由三視圖可知此幾何體的直觀圖如圖所示，其中AB⊥AC，DC⊥AC，DC⊥BC，則BC＝eq\r(32＋42)＝5，DA＝eq\r(32＋52)＝eq\r(34)，DB＝eq\r(52＋52)＝5eq\r(2)，因?yàn)?＜eq\r(34)＜5eq\r(2)，所以最長的棱長為5eq\r(2)．答案：5eq\r(2)13．如圖是依據(jù)某一種型號的滾筒洗衣機(jī)抽象出來的幾何體，數(shù)據(jù)如圖所示(單位：cm)，試畫出它的三視圖．解：這個(gè)幾何體是由一個(gè)長方體和一個(gè)圓柱體構(gòu)成