一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計（4）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計（4）1.經(jīng)驗回歸方程：我們將

稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線.

這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法.2.最小二乘估計：經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù)計算公式為：

復(fù)習(xí)引入3.殘差：對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為

值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的

稱為

，

減去

稱為殘差，即

.4.殘差分析：

是隨機誤差的估計結(jié)果，通過對

的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為

.觀測預(yù)測值觀測值預(yù)測值殘差殘差殘差分析5.殘差圖法：在殘差圖中，如果殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合效果越好.6.求非線性經(jīng)驗回歸方程的步驟：

（1）確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是響應(yīng)變量；（2）由經(jīng)驗確定非線性經(jīng)驗回歸方程的模型；（3）通過變換，將非線性經(jīng)驗回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗回歸模型；（4）按照公式計算經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗回歸方程；（5）消去新元，得到非線性經(jīng)驗回歸方程.編號12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95問題：人們常將男子短跑100m的高水平運動員稱為“百米飛人”.下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀錄產(chǎn)生的年份和世界紀錄的數(shù)據(jù).試依據(jù)這些成對數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀錄關(guān)于紀錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗回歸方程.以成對數(shù)據(jù)中的世界紀錄產(chǎn)生年份為橫坐標(biāo),世界紀錄為縱坐標(biāo)作散點圖,得到下圖令x=ln(t-1895).通過x=ln(t-1895)，將年份變量數(shù)據(jù)進行變換，得到新的成對數(shù)據(jù)(精確到0.01)，如下表所示.編號12345678x0.002.833.263.563.714.114.174.29Y/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95根據(jù)最小二乘法，可得新的經(jīng)驗回歸方程為①將x=ln(t-1895)代入(*)式，得到由創(chuàng)紀錄年份預(yù)報世界紀錄的經(jīng)驗回歸方程(1)直接觀察法在同一坐標(biāo)系中畫出成對數(shù)據(jù)散點圖、非線性經(jīng)驗回歸方程②的圖象(藍色)以及經(jīng)驗回歸方程①的圖象(紅色)，如圖(5)所示.我們發(fā)現(xiàn)，散點圖中各散點都非常靠近②的圖象，表明非線性經(jīng)驗回歸方程②對于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠遠好于經(jīng)驗回歸方程①.(5)下面通過殘差來比較這兩個經(jīng)驗回歸方程對數(shù)據(jù)刻畫的好壞.思考：對于男子短跑100m世界紀錄關(guān)于紀錄產(chǎn)生年份關(guān)系的問題，我們建立了兩個回歸模型，得到了兩個回歸方程，你能判斷哪個回歸方程擬合的精度更好嗎？在上表中，用ti表示編號為i的年份數(shù)據(jù)，用yi表示編號為i的紀錄數(shù)據(jù)，則經(jīng)驗回歸方程①和②的殘差計算公式分別為兩個經(jīng)驗回歸方程的殘差(精確到0.001)如下表所示.觀察各項殘差的絕對值，發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗回歸方程②遠遠小于①，即經(jīng)驗回歸方程②的擬合效果要遠遠好于①.編號12345678t189619121921193019361956196019680.591-0.284-0.301-0.218-0.1960.1110.0920.205-0.0010.007-0.0120.015-0.0180.052-0.021-0.022

②①編號12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95在一般情況下，直接比較兩個模型的殘差比較困難，因為在某些散點上一個模型的殘差的絕對值比另一個模型的小，而另一些散點的情況則相反.可以通過比較殘差的平方和來比較兩個模型的效果.由可知Q2小于Q1.因此在殘差平方和最小的標(biāo)準下，非線性回歸模型的擬合效果要優(yōu)于一元線性回歸模型的擬合效果.（2）

殘差分析通過前面的討論我們知道，當(dāng)殘差的平方和越小，經(jīng)驗回歸模型的擬合效果就越好，故我們可以用決定系數(shù)R2來驗證模型的擬合效果.決定系數(shù)R2的計算公式為在R2表達式中，由于與經(jīng)驗回歸方程無關(guān)，殘差平方和

與經(jīng)驗回歸方程有關(guān)，因此R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；

R2越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.（3)利用決定系數(shù)R2刻畫回歸效果.顯然0≤R2≤1，R2越接近1，則線性回歸刻畫的效果越好.還可以證明，在一元線性回歸模型中R2=r2，即決定系數(shù)R2等于響應(yīng)變量與解釋變量的樣本相關(guān)系數(shù)r的平方.決定系數(shù)R2的計算公式為編號12345678t189619121921193019361956196019680.591-0.284-0.301-0.218-0.1960.1110.0920.205-0.0010.007-0.0120.015-0.0180.052-0.021-0.022由上述殘差表可算出經(jīng)驗回歸方程①和②的決定系數(shù)R2分別為由于因此經(jīng)驗回歸方程②的刻畫效果比經(jīng)驗回歸方程①的好很多.課本120頁在回歸分析中，分析殘差能夠幫助我們解決哪些問題?解：分析殘差可以幫助我們解決以下幾個問題:(1)尋找殘差明顯比其他殘差大很多的異常點，如果有，檢查相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)是否有錯.(2)分析殘差圖可以診斷選擇的模型是否合適，如果不合適，可以參考殘差圖提出修改模型的思路.例：為研究質(zhì)量x(單位：g)對彈簧長度y(單位：cm)的影響，對不同質(zhì)量的6個物體進行測量，數(shù)據(jù)如表所示：

(1)作出散點圖，并求經(jīng)驗回歸方程；(2)求出R2；(3)進行殘差分析．x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8例題(2)求出R2；x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8解：列表如下：0.050.005－0.08－0.0450.040.025－2.24－1.37－0.540.411.412.31解：由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這個數(shù)據(jù)的時候是否有人為的錯誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點比較均勻地落在不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與質(zhì)量成線性關(guān)系．0.050.005－0.08－0.0450.040.025－2.24－1.37－0.540.411.412.31(3)進行殘差分析．(1)確定研究對象,明確哪個變量是解釋變量,哪個變量是響應(yīng)變量．(2)畫出解釋變量與響應(yīng)變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)．(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型．(4)按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù).(5)得出結(jié)果后需進行線性回歸分析.①殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.②決定系數(shù)R2取值越大，說明模型的擬合效果越好.建立線性回歸模型的基本步驟：注意:若題中給出了檢驗回歸方程是否理想的條件，則根據(jù)題意進行分析檢驗即可.歸納總結(jié)1.已知某種商品的單價x(單位:元)與需求量y(單位:件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù):x1416182022y1210753求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并說明回歸模型擬合效果的好壞.解：練習(xí)列殘差表如下：y1210753129.77.45.12.800.3－0.4－0.10.24.62.6－0.4－2.4－4.4故回歸模型的擬合效果很好.(1)作GDP和年份的散點圖，根據(jù)該圖猜想它們之間的關(guān)系可以用什么模型描述；課本120頁2.1997-2006年我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)的數(shù)據(jù)如下:年份GDP/億元年份GDP/億元199779715.02002121727.4199885195.52003137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5解：畫GDP與年份的散點圖，如圖所示，可以觀察到隨著年份的增加GDP也隨之增加，GDP值與年份呈現(xiàn)近似線性關(guān)系，可以用一元線性回歸模型刻畫.(2)建立年份為解釋變量，GDP為響應(yīng)變量的一元線性回歸模型，并計算殘差;課本120頁2.1997-2006年我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)的數(shù)據(jù)如下:年份GDP/億元年份GDP/億元199779715.02002121727.4199885195.52003137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5解：用y表示GDP的值，t表示年份，用一元線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計軟件計算，得到經(jīng)驗回歸方程為殘差的計算結(jié)果見下表.年份1997199819992000200120022003200420052006殘差171267752-1734-6873-11145-15145-14296-4732589223157(3)根據(jù)你得到的一元線性回歸模型，預(yù)測2017年的GDP，看看你的預(yù)測值與實際的GDP的誤差是多少;課本120頁2.1997-2006年我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)的數(shù)據(jù)如下:年份GDP/億元年份GDP/億元199779715.02002121727.4199885195.52003137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5解：2017年的GDP預(yù)報值為359684億元，2017年的實際的GDP為820754億元，預(yù)測值比實際值少461070億元.(4)你認為這個模型能較好地刻畫GDP和年份的關(guān)系嗎?請說明理由.課本120頁2.1997-2006年我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)的數(shù)據(jù)如下:年份GDP/億元年份GDP/億元199779715.02002121727.4199885195.52003137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5解：上面建立的回歸方程的R2=0.9213，說明在1997-2006年內(nèi)，該模型年份能夠解釋92.13%的GDP值變化，因此所建立的模型較好地刻畫了GDP和年份的關(guān)系.但因為殘差呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，中間是負數(shù)，兩邊是正數(shù)，所以可以考慮用非線性回歸模型擬合數(shù)據(jù).(5)隨著時間的發(fā)展，又收集到2007-2016年的GDP數(shù)據(jù)如下:建立年份(1997-2016)為解釋變量，GDP為響應(yīng)變量的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2017年的GDP，與實際的GDP誤差是多少?你能發(fā)現(xiàn)什么?年份GDP/億元年份GDP/億元2007270232.32012540367.42008319515.52013595244.42009349081.42014643974.02010413030.32015689052.12011489300.62016744127.2課本120頁解：仍用y表示GDP的值，t表示年份，用一元線性回歸模型擬合1997-2016年的數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計軟件計算，得到經(jīng)驗回歸方程為利用上述模型，預(yù)測2017年的GDP值為704025億元，而2017年GDP的實際值820754億元，預(yù)測值比實際值少116729億元通過兩個模型預(yù)測2017年的GDP值，發(fā)現(xiàn)第2個模型預(yù)測的更準確，說明建立的模型自變量的取值范圍決定了模型的適用范圍，通常不能超出太多，否則會出現(xiàn)較大的誤差.在使用經(jīng)驗回歸方程進行預(yù)測時，需要注意下列問題:(1)經(jīng)驗回歸方程只適用于所研究的樣本的總體.例如，根據(jù)我國父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗回歸方程，不能用來描述美國父親身高與兒子身高之間的關(guān)系.同樣，根據(jù)生長在南方多雨地區(qū)的樹高與胸徑的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗回歸方程，不能用來描述北方干旱地區(qū)的樹高與胸徑之間的關(guān)系.(2)經(jīng)驗回歸方程一般都有時效性.例如，根據(jù)20世紀80年代的父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗回歸方程，不能用來描述現(xiàn)在的父親身高與兒子身高之間的關(guān)系.(3)解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠.一般解釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，經(jīng)驗回歸方程的預(yù)報效果會比較好，超出這個范圍越遠，預(yù)報的效果越差.(4)不能期望經(jīng)驗回歸方程得到的預(yù)報值就是響應(yīng)變量的精確值.事實上，它是響應(yīng)變量的可能取值的平均值.哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好()A.甲B.乙C.丙D.丁1.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時，分別選擇了4種不同模型，計算可得它們的決定系數(shù)R2分別如下表：

甲乙丙丁R20.980.780.500.85解析:決定系數(shù)R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好.隨堂檢測哪位同學(xué)的試驗結(jié)果體現(xiàn)擬合A，B兩變量關(guān)系的模型擬合精度高(

)A.甲B.乙C.丙D.丁

甲乙丙丁散點圖殘差平方和1151061241033.某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量x(噸)與所需某種原料y(噸)的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集4組對應(yīng)數(shù)據(jù)(x，y)如下表所示：5.9x3467y2.534m解析：根據(jù)樣本(4,3)處的殘差為－0.15，4.某電腦公司有6名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與