2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．設(shè)集合A=，B=，則“”是“a=2”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)，，向量，，，且，，則等于（）A． B．3 C． D．44．某城市收集并整理了該市2019年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫（單位：℃）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.已知該市的各月最低氣溫與最高氣溫具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．最高氣溫的極差范圍B．10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫C．最低氣溫低于0℃的月份有4個(gè)D．月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月5．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，且，，則邊（）A． B． C． D．6．設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線與圓相切，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（

）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．不能確定7．直線過點(diǎn)，則直線與軸、軸的正半軸圍成的三角形的面積最小值為（

）A．9 B．12 C．18 D．248．已知P是直線l：上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則四邊形PACB的外接圓的面積的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．關(guān)于非零向量，，下列命題中，正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則10．已知直線l：，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．當(dāng)直線l與直線平行時(shí)，B．當(dāng)直線l與直線垂直時(shí)，C．當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，直線，恒過點(diǎn)D．原點(diǎn)到直線l的距離最大值為11．已知圓，設(shè)點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為2B．過點(diǎn)的直線與圓截得的最短弦長(zhǎng)為6C．的最大值為1D．過點(diǎn)作圓的切線有2條三、填空題（本大題共3小題）12．已知，兩點(diǎn)，則以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．13．已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為14．已知曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓的圓心在直線上，且過，兩點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.16．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且，求邊的值．17．某校高一年級(jí)設(shè)有羽毛球訓(xùn)練課，期末對(duì)學(xué)生進(jìn)行羽毛球五項(xiàng)指標(biāo)（正手發(fā)高遠(yuǎn)球?定點(diǎn)高遠(yuǎn)球?吊球?殺球以及半場(chǎng)計(jì)時(shí)往返跑）考核，滿分100分.參加考核的學(xué)生有40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)由頻率分布直方圖，求出圖中的值，并估計(jì)考核得分的第60百分位數(shù)；(2)為了提升同學(xué)們的羽毛球技能，校方準(zhǔn)備招聘高水平的教練.現(xiàn)采用分層抽樣的方法（樣本量按比例分配），從得分在）內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再?gòu)闹刑舫鰞扇诉M(jìn)行試課，求兩人得分分別來自和80,90的概率；18．如圖1，在梯形中，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).將沿折起到的位置，得到三棱錐，使得二面角為直二面角（如圖2）.

(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的大??；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.19．個(gè)有次序的實(shí)數(shù)，，…，所組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)維向量，其中稱為該向量的第個(gè)分量.特別地，對(duì)一個(gè)維向量，若，，稱為維信號(hào)向量.設(shè)，則和的內(nèi)積定義為，且.(1)寫出所有3維信號(hào)向量；(2)直接寫出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量；(3)證明：不存在14個(gè)兩兩垂直的14維信號(hào)向量；

答案1．【正確答案】D【分析】由復(fù)數(shù)除法求得后可得其對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出正確選項(xiàng)．【詳解】由題意，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限．故選：D．2．【正確答案】B【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】，則，，或，充分性不滿足，時(shí)，，因此有，必要性也滿足，因此是必要不充分條件．故選：B．3．【正確答案】B【詳解】由題意可得解得，所以，，則，所以.故選：B.4．【正確答案】C【詳解】A選項(xiàng)，最高氣溫最低的月為月，最高氣溫最高的月為月，觀察圖象可知，最高氣溫的極差范圍，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，通過觀察折線圖可知，10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，最低氣溫低于0℃的月份有個(gè)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，通過觀察折線圖可知，月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月，D選項(xiàng)正確.故選：C5．【正確答案】C【詳解】由，解得，由余弦定理得，所以.故選：C.6．【正確答案】B【詳解】因與圓相切，則.則到圓心的距離為，則在圓外.故選：B7．【正確答案】B【詳解】設(shè)直線：，，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，即，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，則直線與軸、軸的正半軸圍成的三角形面積.故選B.8．【正確答案】D【詳解】圓的方程，即為，圓心，易知四邊形PACB的外接圓的直徑為PC，PC的最小值為圓心C到直線的距離，即，則四邊形PACB的外接圓的半徑為，所以四邊形PACB的外接圓的面積的最小值為.故選：D9．【正確答案】BC【詳解】A選項(xiàng)，向量的模相等，可能方向不相等，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，兩個(gè)向量互為相反向量，則這兩個(gè)向量平行，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，非零向量，，若，，則成立，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，向量不能比較大小，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10．【正確答案】AB【詳解】對(duì)于A，直線的斜率為，直線l與直線平行，所以直線的斜率為，所以故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，直線l與直線垂直時(shí)，則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由，則，則，所以，所以直線過定點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)且僅當(dāng)原點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為原點(diǎn)到直線l的距離時(shí)，原點(diǎn)到直線l的距離最大，即，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.11．【正確答案】AD【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，對(duì)于選項(xiàng)A：點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋芍c(diǎn)在圓內(nèi)，所以最短弦長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)楸硎局本€的斜率，

當(dāng)與圓相切時(shí)，此時(shí)，取到最大值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，可知點(diǎn)在圓外，所以過點(diǎn)作圓的切線有2條，故D正確；故選：AD.12．【正確答案】【詳解】依題意，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故13．【正確答案】4【詳解】，表示直線上的點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離和，如圖，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)重合時(shí)，最小，最小值為4.故414．【正確答案】【詳解】直線恒過點(diǎn).由得，表示以為圓心，為半徑的半圓，該半圓在直線的上方.

當(dāng)直線與半圓相切于點(diǎn)時(shí)，直線方程可化為：，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑得：，解得，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)直線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）由，，則中點(diǎn)為，，易知圓心在的中垂線上，且中垂線斜率，則中垂線方程為，即，聯(lián)立，解得，即圓心，半徑，所以圓的方程為；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，即，圓心到直線的距離，則弦長(zhǎng)為，解得，即直線；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)為成立；綜上所述，直線的方程為或.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，所以．?）因?yàn)辄c(diǎn)為邊的中點(diǎn)，所以，所以，解得或（舍），由余弦定理得，所以．17．【正確答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題意得：，解得，因?yàn)?，，設(shè)第60百分位數(shù)為，則，解得，即第60百分位數(shù)為85.（2）由題意知，抽出的5位同學(xué)中，得分在的有人，設(shè)為，在80,90的有人，設(shè)為.則“從中挑出兩人進(jìn)行試課”這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為：，，設(shè)事件“兩人得分分別來自和80,90”，則，因此所以兩人得分分別來自和80,90的概率為.18．【正確答案】(1)證明見詳解(2)(3)存在，【分析】(1)連接，由已知題設(shè)，可證明四邊形為平行四邊形，得到為的中點(diǎn)，再由三角形中位線性質(zhì)與線面平行的判定定理即可證明；(2)先求得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)平面法向量求解平面夾角即可；(3)可設(shè)，求得平面與平面的法向量，再根據(jù)法向量垂直列出方程求解即可.【詳解】（1）證明：在梯形中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，連接，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（2）在平行四邊形中，因?yàn)椋运倪呅螢榱庑危?，所以在三棱錐中，.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以即為二面角的平面角，所以，?如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得.易知平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面的夾角的大小為.（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面平面，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，易?設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得.由，解得，所以當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，此時(shí).19．【正確答案】(1)答案見解析(2)答案見解析（答案不唯一，符合題意即可）(3)證明見解析【詳解】（1）所有3維信號(hào)向量如下：.