2024-2025學年河南省南陽市高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學年河南省南陽市高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學質(zhì)量檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．設，向量，，，且，，則等于（）A． B．3 C． D．42．已知，，，若，，共面，則（

）A．0 B．1 C．2 D．－13．已知空間三點，則下列命題正確的是（）A．若為的中點，則點的坐標為B．若四邊形為平行四邊形，則點的坐標為C．向量與向量夾角為D．以為鄰邊的平行四邊形面積為4．已知是直線的方向向量，是平面的法向量，若，則（）A． B． C． D．5．已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則直線與平面的關系是（

）A． B． C． D．或6．設向量是平面的法向量，向量是直線的方向向量，且，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，若E為DD1的中點，F(xiàn)在BD上，且BF＝2FD，則等于（）A． B．C． D．8．棱長為的正四面體中，點是AD的中點，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若是空間的一個基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．下面關于空間直角坐標系的敘述正確的是（）A．點與點關于軸對稱B．點與點關于軸對稱C．點與點關于平面對稱D．空間直角坐標系中的三條坐標軸組成的平面把空間分為八個部分11．已知空間中三點，則（）A．B．方向上的單位向量是C．是平面的一個法向量D．在上的投影向量的模為三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，，則，.13．設直線，的方向向量分別為，，若，則.14．如圖，在正六棱柱中.

（1）化簡：；（2）化簡：.四、解答題（本大題共5小題）15．已知空間三點，設(1)求；(2)若向量與互相垂直，求實數(shù)k的值.16．如圖，在棱長為6的正四面體中，，點E為AD的中點，設，，.

(1)試用向量，，表示向量：(2)求OE的長.17．如圖，在正方體中，分別是棱的中點.(1)證明：；(2)證明：；18．如圖所示，在直二面角中，四邊形是邊長為2的正方形，，F(xiàn)為上的點，且平面.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面．19．如圖，在直三棱柱中，，，P為上的動點，Q為棱的中點．(1)設平面平面，若P為的中點，求證：；(2)設，問線段上是否存在點P，使得平面？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

答案1．【正確答案】B【詳解】由題可得，所以向量，，所以，所以.故選：B.2．【正確答案】D【詳解】因為共面，所以，即，則解得.故選：D.3．【正確答案】D【詳解】對于A，因為為的中點，所以，即，故A錯誤；對于B，因為四邊形為平行四邊形，所以，由，設，則，所以，解得，即，故B錯誤；對于C，由，，則，，，所以，所以向量與向量夾角為，故C錯誤；對于D，由C知，，，，所以以為鄰邊的平行四邊形面積為：，故D正確.故選：D.4．【正確答案】D【詳解】因為是直線的方向向量，是平面的法向量，且，則，則，所以，，解得，，因此，.故選：D.5．【正確答案】D【詳解】因為，所以，則或.故選：D6．【正確答案】C【詳解】因為，由“”可以推出“”，由“”也可以推出“”，故“”是“”的充要條件.故選：C.7．【正確答案】B【詳解】.故選：B.8．【正確答案】A【詳解】因為，所以，又，，，，所以．故選：A．9．【正確答案】ABD【詳解】由已知，，不共面，則，，不共面，A選項正確；設，即方程無解，所以，，不共面，B選項正確；設，即，解得：，即，所以，，共面，C選項錯誤；設，顯然三個向量不共面，D選項正確；故選：ABD.10．【正確答案】AD【詳解】點關于軸對稱的點是，所以A選項正確；點關于軸對稱的點是，所以B選項錯誤；點關于平面對稱的點是，所以C選項錯誤；空間直角坐標系中的三條坐標軸組成的平面把空間分為八個部分，所以D選項正確．故選：AD.11．【正確答案】ACD【詳解】由題意：，，.對A：因為，故A正確；對B：因為，即方向上的單位向量是，故B錯誤；對C：因為，，所以成立，故是平面的一個法向量，故C正確；對D：由，故D正確.故選：ACD12．【正確答案】【詳解】空1，因為向量，所以；空2，因為向量，，所以.故；.13．【正確答案】【詳解】由已知，即，則，解得，故答案為.14．【正確答案】【詳解】（1）.（2）故15．【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）先求出的坐標，再利用向量數(shù)量積的坐標公式計算即得；（2）先求出和，再利用向量垂直的充要條件列出方程，代入化簡計算即得k值.【詳解】（1）由題意，，則；（2）由（1）可得因向量與互相垂直，則得：，解得，或.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）解：依題意，，即.（2）解：因為，所以，即OE的長.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則,故,由于，故，顯然，不重合，故；；（2）故，因此，故18．【正確答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）∵為正方形，∴，∵二面角為直二面角，∴平面，以線段的中點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過點平行于的直線為軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，設()，∵為上的點，，∴設，∴，∴，，，∵平面，、平面，∴，且，解得，，∴，，所以，，∴，∴，∵平面，平面，∴，又，、平面，∴平面；（2）由題意可知，平面的法向量為，設面的法向量為，，，∴且，取，則，，∴，∴，∴平面平面.19．【正確答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【詳解】（1）證明：設的中點為，連接，因為P為的中點，Q為的中點，所以，，，在直三棱柱中，，