上海市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024－2025學(xué)年上海市高二年級上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷2024.12一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1－6題每個(gè)空格填對得4分，7－12題每個(gè)空格填對得5分，否則一律得0分．1．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察兩枚骰子出現(xiàn)“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等”的概率為_______．2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a?=1，a??=73．事件A、B互斥，它們都不發(fā)生的概率為25，且P（A）=3P（B），則P（B）=_______4．已知圓錐的母線長為10，側(cè)面展開圖的圓心角為65π，則該圓錐的體積為_______5．某次數(shù)學(xué)考試后，隨機(jī)選取14位學(xué)生的成績，得到如下莖葉圖，其中個(gè)數(shù)部分作為“葉”，百位數(shù)和十位數(shù)作為“莖”，若該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是87，則x的值為_______．6．已知某組數(shù)據(jù)為x，y，8，10，11．它的平均數(shù)為8，方差為6，則．x2＋y2的值為7．某校抽取100名學(xué)生測身高，其中身高最大值為186cm，最小值為154cm，根據(jù)身高數(shù)據(jù)繪制頻率組距分布直方圖，組距為5，且第一組的下限為153．5，則組數(shù)為_______．8．某圓柱形容器里有一個(gè)球，該球與圓柱形容器的底面和側(cè)面都相切，若球的體積為86π，9．如圖，在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E是棱CC?的中點(diǎn)，記平面AD?E與平面ABCD的交線l?，平面AD?E與平面ABB?A?的交線l?，若直線AB與l?所成角為α，直線AB與l?所成角為β，則sin（2α－β）的值是_______．10．甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五項(xiàng)不同的工作，每項(xiàng)工作由一人完成，每人至少完成一項(xiàng)，且E工作只有乙能完成，則不同的安排方式在_______種．11．一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個(gè)面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6．隨機(jī)地拋擲該骰子三次（各次拋擲結(jié)果相互獨(dú)立），所得的點(diǎn)數(shù)依次為a?，a?，a?，則事件a?，a?，12．將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以Pn表示沒有出現(xiàn)連續(xù)2次正面的概率，則P??二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13．某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對生產(chǎn)的50個(gè)零件進(jìn)行抽樣測試，先將50個(gè)零件進(jìn)行編號，編號分別為01，02，……，50．從中抽取5個(gè)樣本，下面提供隨機(jī)數(shù)表的第1行到第2行：若從表中第1行第7個(gè)數(shù)字開始向右依次讀取數(shù)據(jù)，則得到的第5個(gè)樣本編號是（）．A．09 B．05 C．65 D．7114．設(shè)無窮等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a?，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，則“a1＋q=1”是A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件15．在數(shù)列{an}中，如果存在正整數(shù)T，使得am＋T=am，對于任意的正整數(shù)m均成立，那么稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{an}的周期．已知數(shù)列{x?}滿足．x???=|x???-x?|，如果x?=1A．674 B．1348 C．1350 D．202416．如圖，在三棱錐A－A?B?C?中，AA?⊥平面A?B?C?，∠A?B?C?=90°．A?B?=2A?A=2B?C?=2，P：為線段AB?的中點(diǎn)，M，N分別為線段AC?和線段B?C?上任意一點(diǎn)，則5PMA．352 c．5 D．2三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S??=110，且a?，a?，a?成等比數(shù)列（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若b?=a?＋3a，求數(shù)列{b?18．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，D，E，F(xiàn)，G分別為AA?，AC，A?C?，BB?的中點(diǎn)，AB=BC=2（1）求證：AC⊥GF；（2）求異面直線FG與BD所成角的余弦值．19．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）某類型題目需要從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選出正確答案（四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)是正確的），其評分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對則得6分，部分選對則得部分分?jǐn)?shù)（兩個(gè)答案的每個(gè)答案3分，三個(gè)答案的每個(gè)答案2分），有選錯(cuò)的得0分．（1）有一道考試甲不會(huì)做，假設(shè)他隨機(jī)選擇兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)，且寫下每種答案的可能性相等，若該題的正確的答案為ABD，求考生甲本題得4分的概率；（2）現(xiàn)有2道兩個(gè)正確答案的多項(xiàng)選擇題，根據(jù)訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，每道題考生乙得6分的概率為14，得3分的概率為12；考生丙得6分的概率為16，得3分的概率為1320．（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）如圖1，四面體ABCD中，△ABC為等邊三角形，且AB=2，△ADC為等腰直角三角形，且∠ADC=90°．（1）當(dāng)BD=7時(shí)，求二面角D－－AC－B（2）當(dāng)BD=7時(shí)，當(dāng)P為線段BD中點(diǎn)時(shí)，求直線AD與平面APC（3）當(dāng)BD=2時(shí)，若DP=λDB（0<λ<1），且PH⊥平面ABC，H為垂足，CD中點(diǎn)為M，AB中點(diǎn)為N；直線MN與平面APC的交點(diǎn)為G，當(dāng)三棱錐21．（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，約定滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制：滿十進(jìn)一就是十進(jìn)制；滿十六進(jìn)一，就是十六進(jìn)制等等．一般地，若k是一個(gè)大于1的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字符號連寫在一起的形式其中an，an-1，?a例如十進(jìn)制數(shù)25=2×32＋2×3＋1，所以25在三進(jìn)制下可寫為（1）設(shè)正整數(shù)m在三進(jìn)制下的各位數(shù)字之和為S（m）：①將滿足S（m）=3的數(shù)從小到大排成一列，直接寫出該列數(shù)的前四個(gè)數(shù)；②在十進(jìn)制1至2025中任選一個(gè)正整數(shù)m，求S（m）為3的倍數(shù)的概率．（2）已知正整數(shù)a≤31，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=a2，且S?S???＋

2024－2025學(xué)年上海市高二年級上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷2024.12一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1－6題每個(gè)空格填對得4分，7－12題每個(gè)空格填對得5分，否則一律得0分．1．【答案】【解析】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為Ⅰ號和Ⅱ號），基本事件總數(shù)，觀察兩枚骰子出現(xiàn)“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等”包含的基本事件有：，（6，6），共6個(gè)，觀察兩枚骰子出現(xiàn)“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等”的概率為．2．【答案】48【解析】．3．【答案】【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，事件、互斥，它們都不發(fā)生的概率為，則，則有，解可得，即．4．【答案】【解析】設(shè)圓錐底面的半徑為，根據(jù)題意得，解得，所以圓錐的高，所以圓錐的體積．5．【答案】7【解析】，則是數(shù)據(jù)從小到大排列后的第四位數(shù)是87，則．6．【答案】65【解析】因?yàn)椋钠骄鶖?shù)為8，所以，解得，由，得，則，即．7．【答案】7【解析】，則組數(shù)為7．8．【答案】【解析】可設(shè)球的半徑為，則根據(jù)題意可知圓柱的底面半徑也為，圓柱的高等于直徑，即為，由球的體積為，利用球的體積公式可得：，解得：，再由圓柱的表面積公式得：．9．【答案】【解析】延長與直線相交于，連接，則平面與平面的交線為，即為直線，故即為，又，是棱的中點(diǎn)，且，，又為銳角，且，則，又平面平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，又，故直線與所成角為，又，故，所以．10．【答案】50【解析】由題意可分為兩類（1）若乙只完成工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四項(xiàng)工作，則一共有種安排方式；（2）若乙不止完成工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四項(xiàng)工作，則一共有種安排方式．綜上共有種安排方式．11．【答案】【解析】所有投擲結(jié)果共有種，由事件“”，可得，，設(shè)，則，還有一個(gè)數(shù)為，由題意得．當(dāng)時(shí)，三個(gè)數(shù)為對應(yīng)，有種方法，當(dāng)時(shí)，三個(gè)數(shù)為對應(yīng)有種方法，當(dāng)時(shí)，三個(gè)數(shù)為對應(yīng)有種方法，當(dāng)時(shí)，三個(gè)數(shù)為對應(yīng)有種方法，一共有種，事件“”發(fā)生的概率為．12．【答案】【解析】由題意知，設(shè)首次為正面向上時(shí)，第次拋硬幣正面向上的結(jié)果數(shù)為，反面向上的結(jié)果數(shù)為，則首次為反面向上時(shí)，第次拋硬幣正面向上的結(jié)果數(shù)為，反面向上的結(jié)果數(shù)為，首次為正面向上時(shí)，第次拋硬幣正面向上的結(jié)果數(shù)為，反面向上的結(jié)果數(shù)為，首次為反面向上時(shí)，第次拋硬幣正面向上的結(jié)果數(shù)為，反面向上的結(jié)果數(shù)為，首次為正面向上時(shí)，第次拋硬幣正面向上的結(jié)果數(shù)為，反面向上的結(jié)果數(shù)為，首次為反面向上時(shí)，第次拋硬幣正面向上的結(jié)果數(shù)為，反面向上的結(jié)果數(shù)為，所以，設(shè)，則有，解得，即設(shè)，解得，所以有，即數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，依次代入，即可得．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13．【答案】A【解析】依次讀取的數(shù)據(jù)依次是37，14，05，11，09，則得到的第5個(gè)樣本編號是09，故選A．14．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，則，故“”是“”不充分條件，若“”，則，即“”，故“”是“”必要條件，綜上可得：“”是“”成立必要非充分條件，故選：B．15．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)閿?shù)列是周期數(shù)列，而，當(dāng)時(shí)，可得，則，即，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，則，即，解得或（舍去），則，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，則，即，則或，當(dāng)時(shí)，，即，解得（舍去），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即，又，即，則或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，即，解得（舍去），所以且，故，此時(shí)，，，滿足題意，所以數(shù)列的周期最小值為3，此時(shí)；；…，故此時(shí)數(shù)列的前2024項(xiàng)和是．故選：C．16．【答案】C【解析】平面，，又，平面，，在中，．過點(diǎn)分別作，垂足分別，，，，，故選：C．三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由，且成等比數(shù)列，得，解得：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，得，．18．【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）證明：在直三棱柱中，D，E，F(xiàn)，G分別為，的中點(diǎn)，．在直三棱柱中，平面，四邊形為矩形，又，分別為，的中點(diǎn)，，且，，，，，平面，平面，平面．（2）由（1）知，平面，平面，平面，，，，，．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由題意得，，，，，，，異面直線所成角的范圍為，異面直線與所成角的余弦值為．19．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）【答案】（1）；（2）【解析】（1）甲同學(xué)所有可能的選擇答案有10種：，，，，，，，，，，設(shè)事件表示“猜對本題得4分”，則，有3個(gè)樣本點(diǎn)，所以．（3）由題意得乙得0分的概率為，丙得0分的概率為，乙、丙總分剛好得18分的情況包含：事件：乙得12分有一種情況，丙得6分有三種情況，則，事件：乙得9分有兩種情況，丙得9分有兩種情況，則，事件：乙得6分有三種情況，丙得12分有一種情況，則，所以乙、丙總分剛好得18分的概率．20．（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）【答案】（1）；（2）；（3）1【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，所以，則，所以，又因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，所以為二面角的平面角，，所以，所以二面角的正弦值為．?）過點(diǎn)作軸垂直平面，又因?yàn)椋⑷鐖D所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，設(shè)平畫的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，，直線與平面所成角正弦值為．（3）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，所以，則，所以，又因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)椋瑑蓛上嗷ィ怪?，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，，設(shè)，因?yàn)?，所以由，可得：，所以，由?）知，平面，又平面，所以在上，因?yàn)?，所以，，所以，即，所以，所以，三棱錐體積為：，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，三棱錐體積最大為，此時(shí)，分別為，的中點(diǎn)，所以，，，，，，設(shè)，設(shè)因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵谄矫嫔?，所以設(shè)，所以，所以解得，所以，所以．21．（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）【答案】（1）5，7，