談盈虧問題的解法

談盈虧問題的解法/談盈虧問題的解法小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的盈虧問題是把一定數(shù)量的物品平均分給若干對象，每個對象少分，則物品有余；如果每個對象多分，則物品不足。所以分物時經(jīng)常出現(xiàn)盈（有余）、虧（不足）、盡（恰好分完）的情況，所以古人把這類問題稱為盈不足問題。盈虧問題情況多樣，解法巧妙，倍受古人重視，在許多古代算書上留下了不少好題。例1：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)，物價各幾何？

題意：有一群人湊錢買一件物品。如果每人出8枚錢幣，就比物價多出3個錢幣。如果每人出7枚錢幣，就比物價少4個錢幣。求人數(shù)和錢數(shù)各是多少？分析與解答：這是屬于“一盈一虧”類的問題。當(dāng)?shù)谝淮蚊咳顺?枚錢幣時多3枚，但第二次每人出7枚錢幣時不但沒得多，還要少4枚，即共少了4＋3＝7枚。這是由于第二次比第一次每人少出了8－7＝1枚錢幣。相差7枚，就說明有7÷1＝7人。這樣物價也就可以算出來了。解法一：人數(shù)：（4＋3）÷（8－7）＝7（人）物價：8×7－3＝53（枚）或7×7＋4＝53（枚）答：人數(shù)為7人，物價53枚。

小結(jié)：“一盈一虧”類的問題，如果運(yùn)用算術(shù)方法來解，解題公式是：（盈數(shù)＋虧數(shù)）÷兩次分?jǐn)?shù)數(shù)量差＝分物對象的個數(shù)事實上，古代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在計算人數(shù)（即分物對象的個數(shù)）時，還有一個簡單易記、瑯瑯上口的口訣：“有余加不足，大減小來除”。這種算法的絕妙之處在于它幾乎可以不動腦筋，只要把幾個數(shù)按口訣對號入座，馬上可以得出答案。

例2今有散錢不知其數(shù)，作七十七陌穿之，欠五十湊穿；作七十八陌穿之，不多不少。問錢數(shù)幾何？

題意：有一些零散的錢幣，如果每77枚穿成一串，那么還會剩50枚沒穿；如果78枚穿成一串，正好穿完。這些錢幣共有多少枚？

分析與解答這道題屬于“一盈一虧”類的問題。當(dāng)77枚錢幣為一串時，還余50枚沒穿，當(dāng)78枚錢幣為一串時，正好穿完。表明原先的每一串77枚，都加上1枚（78－77＝1枚）時，余下的50枚剛好被穿完，說明有50串。解：串?dāng)?shù)：50÷（78－77）＝50（串）

錢數(shù)：78×50＝3900（枚）或錢數(shù)：77×50＋50＝3900（枚）小結(jié)“一盈一盡”類的問題，可用公式：盈數(shù)÷兩次分物數(shù)量差＝分物對象的個數(shù)例3今有人共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。問人數(shù)、羊價各幾何？題意有若干人共同買羊，如果每人出5枚錢，則還缺45枚錢；如果每人出7枚錢，則仍缺3枚錢。求買關(guān)的人數(shù)和羊價分別是多少？分析與解答這道題與前兩題的不同在于，無論按哪種方法分，都不足，即屬于“兩虧”。當(dāng)每人出5枚錢，缺45枚錢；每人出7枚錢，仍缺3枚錢。所以，每人出5枚錢時比每人出7枚錢時，要少：45－3＝42（枚）。為什么要少42枚？因為先前每人出5枚，而后來每人出7枚，也就是說，先前每人比后來每人少出7－5＝2枚。先前每人少出2枚，共比后來少出42枚。所以買羊人數(shù)為：（45－30）÷（7－5）＝21（人）羊的價格是：5×21＋45＝150（枚）

或

7×21＋3＝150（枚）小結(jié)：對于兩虧類的盈不足問題，可以用公式來計算分?jǐn)?shù)對象的個數(shù)。（大虧－小虧）÷兩次分物數(shù)量差＝分物對象的個數(shù)對于和“兩虧”相反的“兩盈”類問題，我們可以舉一反三：（大盈－小盈）÷兩次分?jǐn)?shù)數(shù)量差＝分?jǐn)?shù)對象的個數(shù)環(huán)保小組的同學(xué)上山植樹，如果每人種3棵，則還剩3棵；如果每人種4棵，則還差2棵。環(huán)保小組有多少人？一共植樹多少棵？分析與解：這是一道典型的盈虧應(yīng)用題。盈，就是多余；虧，就是不足、少的意思。比較兩種植樹方式，第一種多了3棵，第二種少了2棵，一多一少共相差（棵）。顯然，相差5棵的原因是第二種植樹方式每人種的棵數(shù)比第一種多了（棵）。根據(jù)“相差的總數(shù)÷相差的每份數(shù)＝份數(shù)”得出，環(huán)保小組的人數(shù)是（人），一共植樹（棵），或（棵）。從中得出：解盈虧問題，要先比較“盈”與“虧”兩種情況，求出兩種情況下總數(shù)之間的差，像上題是一盈一虧，差＝盈＋虧；再找出出現(xiàn)這個差的原因是每份數(shù)不同，求出兩個每份數(shù)之間的差；最后根據(jù)“差��差”對應(yīng)求出份數(shù)以及總數(shù)。盈虧問題還有另外兩種情況：兩盈與兩不足。有些題還要通過轉(zhuǎn)化，先找出“盈虧”數(shù)。例4.工程隊修一條路，如果每天修150米，則可以提前2天完成任務(wù)；如果每天修180米，則可以提前5天完成任務(wù)。這條路全長多少米？分析與解：這道題沒有直接給出“盈虧”數(shù)，但由題意可知，第一種情況如果再修2天，還可以修（米）；第二種情況如果再修5天，還可以修（米）。這300米與900米就是兩個“盈”數(shù)。因此，可以把條件轉(zhuǎn)化為：如果每天修150米，可以多修300米；如果每天修180米，可以多修900米。顯然，這道題是“兩盈”類盈虧問題，相差的總數(shù)是900-300米，相差的每份數(shù)是180-150米，所以計劃修的天數(shù)是（900-300）÷（180-150）＝20（天），這條路全長150×（20-2）=2700（米），或180×（20-5）=2700（米）。例5、如果每間房住5人，則有14人未住房，如果每間住7人，有4間房未住人，問：房間有幾間?人數(shù)有多少？分析：每間房住5人，則有多14人（盈）