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文檔簡介
2025屆吉林省舒蘭一中,蛟河一中等百校聯(lián)盟高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的大致圖像為()A. B.C. D.2.若函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為().A. B. C. D.3.若函數(shù)在處有極值,則在區(qū)間上的最大值為()A. B.2 C.1 D.34.如圖,拋物線:的焦點為,過點的直線與拋物線交于,兩點,若直線與以為圓心,線段(為坐標(biāo)原點)長為半徑的圓交于,兩點,則關(guān)于值的說法正確的是()A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不確定5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸出的時,則輸入的的值為()A.-2 B.-1 C. D.6.如圖所示,已知某幾何體的三視圖及其尺寸(單位:),則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.7.一小商販準(zhǔn)備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品,甲每件進(jìn)價元,乙每件進(jìn)價元,甲商品每賣出去件可賺元,乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益,則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件8.新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革,深入推動優(yōu)化升級和融合發(fā)展,持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給,實現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收增長情況,則下列說法錯誤的是()A.2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收均逐年增加B.2016年我國數(shù)字出版業(yè)營收超過2012年我國數(shù)字出版業(yè)營收的2倍C.2016年我國新聞出版業(yè)營收超過2012年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍D.2016年我國數(shù)字出版營收占新聞出版營收的比例未超過三分之一9.若為過橢圓中心的弦,為橢圓的焦點,則△面積的最大值為()A.20 B.30 C.50 D.6010.函數(shù)的最小正周期是,則其圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)的一條對稱軸是()A. B. C. D.11.已知集合則()A. B. C. D.12.已知正方體的棱長為1,平面與此正方體相交.對于實數(shù),如果正方體的八個頂點中恰好有個點到平面的距離等于,那么下列結(jié)論中,一定正確的是A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知不等式組所表示的平面區(qū)域為,則區(qū)域的外接圓的面積為______.14.對于任意的正數(shù),不等式恒成立,則的最大值為_____.15.一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是,,,,則該四面體的外接球的體積為__________.16.能說明“在數(shù)列中,若對于任意的,,則為遞增數(shù)列”為假命題的一個等差數(shù)列是______.(寫出數(shù)列的通項公式)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中國,不僅是購物,而且從共享單車到醫(yī)院掛號再到公共繳費,日常生活中幾乎全部領(lǐng)域都支持手機(jī)支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國人民大學(xué)和法國調(diào)查公司益普索合作,調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶,從中隨機(jī)抽取了60名,統(tǒng)計他們出門隨身攜帶現(xiàn)金(單位:元)如莖葉圖如示,規(guī)定:隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下(不含100元)的為“手機(jī)支付族”,其他為“非手機(jī)支付族”.(1)根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù),將列聯(lián)表補充完整,并判斷有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān)?(2)用樣本估計總體,若從騰訊服務(wù)的用戶中隨機(jī)抽取3位女性用戶,這3位用戶中“手機(jī)支付族”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的期望和方差;(3)某商場為了推廣手機(jī)支付,特推出兩種優(yōu)惠方案,方案一:手機(jī)支付消費每滿1000元可直減100元;方案二:手機(jī)支付消費每滿1000元可抽獎2次,每次中獎的概率同為,且每次抽獎互不影響,中獎一次打9折,中獎兩次打8.5折.如果你打算用手機(jī)支付購買某樣價值1200元的商品,請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析,選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算?附:0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.19.(12分)已知某種細(xì)菌的適宜生長溫度為12℃~27℃,為了研究該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量(單位:個)隨溫度(單位:℃)變化的規(guī)律,收集數(shù)據(jù)如下:溫度/℃14161820222426繁殖數(shù)量/個2530385066120218對數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后,得到了一些統(tǒng)計量的值,如表所示:20784.11123.8159020.5其中,.(1)請繪出關(guān)于的散點圖,并根據(jù)散點圖判斷與哪一個更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量關(guān)于溫度的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由);(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表格數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程(結(jié)果精確到0.1);(3)當(dāng)溫度為27℃時,該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報值為多少?參考公式:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二成估計分別為,,參考數(shù)據(jù):.20.(12分)已知數(shù)列中,(實數(shù)為常數(shù)),是其前項和,且數(shù)列是等比數(shù)列,恰為與的等比中項.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式;(3)若,當(dāng)時,的前項和為,求證:對任意,都有.21.(12分)已知,,設(shè)函數(shù),.(1)若,求不等式的解集;(2)若函數(shù)的最小值為1,證明:.22.(10分)近年來,隨著“霧霾”天出現(xiàn)的越來越頻繁,很多人為了自己的健康,外出時選擇戴口罩,在一項對人們霧霾天外出時是否戴口罩的調(diào)查中,共調(diào)查了人,其中女性人,男性人,并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)畫出等高條形圖如圖所示:(1)利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關(guān)系并說明理由;(2)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立一個列聯(lián)表;(3)能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩的關(guān)系.附:
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
通過取特殊值逐項排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為,當(dāng)時,,排除B和C;當(dāng)時,,排除A.故選:D.【點睛】本題考查圖象的判斷,取特殊值排除選項是基本手段,屬中檔題.2、C【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值.【詳解】解:把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上,,,則當(dāng)最大時,,求得,故選:C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
根據(jù)極值點處的導(dǎo)數(shù)為零先求出的值,然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計算即可.【詳解】解:由已知得,,,經(jīng)檢驗滿足題意.,.由得;由得或.所以函數(shù)在上遞增,在上遞減,在上遞增.則,,由于,所以在區(qū)間上的最大值為2.故選:B.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)極值的性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問題的基本思路,屬于中檔題.4、A【解析】
利用的坐標(biāo)為,設(shè)直線的方程為,然后聯(lián)立方程得,最后利用韋達(dá)定理求解即可【詳解】據(jù)題意,得點的坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為,點,的坐標(biāo)分別為,.討論:當(dāng)時,;當(dāng)時,據(jù),得,所以,所以.【點睛】本題考查直線與拋物線的相交問題,解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程,屬于基礎(chǔ)題5、B【解析】若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,符合題意;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;綜上選B.6、C【解析】
由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,據(jù)此可計算出答案.【詳解】由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,該幾何體的表面積.故選:C【點睛】本題主要考查了三視圖的知識,幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復(fù)幾何體是解題的關(guān)鍵.7、D【解析】
由題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù),數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】設(shè)購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別,利潤為元,由題意,畫出可行域如圖所示,顯然當(dāng)經(jīng)過時,最大.故選:D.【點睛】本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題,解決此類問題要注意判斷,是否是整數(shù),是否是非負(fù)數(shù),并準(zhǔn)確的畫出可行域,本題是一道基礎(chǔ)題.8、C【解析】
通過圖表所給數(shù)據(jù),逐個選項驗證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項A正確;對于選項B:,正確;對于選項C:,故C不正確;對于選項D:,正確.選C.【點睛】本題主要考查柱狀圖是識別和數(shù)據(jù)分析,題目較為簡單.9、D【解析】
先設(shè)A點的坐標(biāo)為,根據(jù)對稱性可得,在表示出面積,由圖象遏制,當(dāng)點A在橢圓的頂點時,此時面積最大,再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可求解.【詳解】由題意,設(shè)A點的坐標(biāo)為,根據(jù)對稱性可得,則的面積為,當(dāng)最大時,的面積最大,由圖象可知,當(dāng)點A在橢圓的上下頂點時,此時的面積最大,又由,可得橢圓的上下頂點坐標(biāo)為,所以的面積的最大值為.故選:D.【點睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì),以及三角形面積公式的應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.10、D【解析】
由三角函數(shù)的周期可得,由函數(shù)圖像的變換可得,平移后得到函數(shù)解析式為,再求其對稱軸方程即可.【詳解】解:函數(shù)的最小正周期是,則函數(shù),經(jīng)過平移后得到函數(shù)解析式為,由,得,當(dāng)時,.故選D.【點睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換,屬基礎(chǔ)題.11、B【解析】
解對數(shù)不等式可得集合A,由交集運算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運算可得,故選:B.【點睛】本題考查了集合交集的簡單運算,對數(shù)不等式解法,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【詳解】如圖(1)恰好有3個點到平面的距離為;如圖(2)恰好有4個點到平面的距離為;如圖(3)恰好有6個點到平面的距離為.所以本題答案為B.【點睛】本題以空間幾何體為載體考查點,面的位置關(guān)系,考查空間想象能力,考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和知識方法的遷移能力,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先作可行域,根據(jù)解三角形得外接圓半徑,最后根據(jù)圓面積公式得結(jié)果.【詳解】由題意作出區(qū)域,如圖中陰影部分所示,易知,故,又,設(shè)的外接圓的半徑為,則由正弦定理得,即,故所求外接圓的面積為.【點睛】線性規(guī)劃問題,首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線,其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等,最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.14、【解析】
根據(jù)均為正數(shù),等價于恒成立,令,轉(zhuǎn)化為恒成立,利用基本不等式求解最值.【詳解】由題均為正數(shù),不等式恒成立,等價于恒成立,令則,當(dāng)且僅當(dāng)即時取得等號,故的最大值為.故答案為:【點睛】此題考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,關(guān)鍵在于合理進(jìn)行等價變形,此題可以構(gòu)造二次函數(shù)求解,也可利用基本不等式求解.15、【解析】
將四面體補充為長寬高分別為的長方體,體對角線即為外接球的直徑,從而得解.【詳解】采用補體法,由空間點坐標(biāo)可知,該四面體的四個頂點在一個長方體上,該長方體的長寬高分別為,長方體的外接球即為該四面體的外接球,外接球的直徑即為長方體的體對角線,所以球半徑為,體積為.【點睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法:補體法,通過補體得到長方體的外接球從而得解,屬于基礎(chǔ)題.16、答案不唯一,如【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到滿足條件的數(shù)列.【詳解】由題意知,不妨設(shè),則,很明顯為遞減數(shù)列,說明原命題是假命題.所以,答案不唯一,符合條件即可.【點睛】本題考查對等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的理解,關(guān)鍵是假設(shè)出一個遞減的數(shù)列,還需檢驗是否滿足命題中的條件,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)列聯(lián)表見解析,99%;(2),;(3)第二種優(yōu)惠方案更劃算.【解析】
(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表,再根據(jù)獨立性檢驗得出結(jié)論;(2)有數(shù)據(jù)可知,女性中“手機(jī)支付族”的概率為,知服從二項分布,即,可求得其期望和方差;(3)若選方案一,則需付款元,若選方案二,設(shè)實際付款元,,則的取值為1200,1080,1020,求出實際付款的期望,再比較兩個方案中的付款的金額的大小,可得出選擇的方案.【詳解】(1)由已知得出聯(lián)列表:,所以,有99%的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān);(2)有數(shù)據(jù)可知,女性中“手機(jī)支付族”的概率為,,;(3)若選方案一,則需付款元若選方案二,設(shè)實際付款元,,則的取值為1200,1080,1020,,,,選擇第二種優(yōu)惠方案更劃算【點睛】本題考查獨立性檢驗,二項分布的期望和方差,以及由期望值確定決策方案,屬于中檔題.18、≤x≤【解析】由題知,|x-1|+|x-2|≤恒成立,故|x-1|+|x-2|不大于的最小值.∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,當(dāng)且僅當(dāng)(a+b)·(a-b)≥0時取等號,∴的最小值等于2.∴x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解,解不等式得≤x≤.19、(1)作圖見解析;更適合(2)(3)預(yù)報值為245【解析】
(1)由散點圖即可得到答案;(2)把兩邊取自然對數(shù),得,由計算得到,再將代入可得,最終求得,即;(3)將代入中計算即可.【詳解】解:(1)繪出關(guān)于的散點圖,如圖所示:由散點圖可知,更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量關(guān)于的回歸方程類型;(2)把兩邊取自然對數(shù),得,即,由.∴,則關(guān)于的回歸方程為;(3)當(dāng)時,計算可得;即溫度為27℃時,該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報值為245.【點睛】本題考查求非線性回歸方程及其應(yīng)用的問題,考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力及運算能力,是一道中檔題.20、(1)見解析(2)(3)見解析【解析】
(1)令可得,即.得到,再利用通項公式和前n項和的關(guān)系求解,(2)由(1)知,.設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以,再根據(jù)恰為與的等比中項求解,(3)由(2)得到時,,,求得,再代入證明。【詳解】(1)解:令可得,即.所以.時,可得,當(dāng)時,所以.顯然當(dāng)時,滿足上式.所以.,所以數(shù)列是等差數(shù)列,(2)由(1)知,.設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以,恰為與的等比中
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