2025屆安徽省宿州市宿城第一中學(xué)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆安徽省宿州市宿城第一中學(xué)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知向量，，則與共線的單位向量為()A． B．C．或 D．或3．若非零實(shí)數(shù)、滿足，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．4．雙曲線：（），左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．函數(shù)在上為增函數(shù)，則的值可以是()A．0 B． C． D．6．集合的真子集的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．7．已知，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則（）A． B．C． D．9．如圖所示，正方體的棱，的中點(diǎn)分別為，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．10．在正方體中，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，過點(diǎn)作平面使平面，平面若直線平面，則的值為（）A． B． C． D．11．射線測厚技術(shù)原理公式為，其中分別為射線穿過被測物前后的強(qiáng)度，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為被測物厚度，為被測物的密度，是被測物對(duì)射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241（）低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對(duì)鋼板的半價(jià)層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的吸收系數(shù)為（）（注：半價(jià)層厚度是指將已知射線強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，，結(jié)果精確到0.001）A．0.110 B．0.112 C． D．12．已知函數(shù)，若,且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值為，則實(shí)數(shù)的值是_______．14．若點(diǎn)在直線上，則的值等于______________.15．已知，圓，直線PM，PN分別與圓O相切，切點(diǎn)為M，N，若，則的最小值為________.16．在編號(hào)為1，2，3，4，5且大小和形狀均相同的五張卡片中，一次隨機(jī)抽取其中的三張，則抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)的概率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式的解集包含，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知向量，函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，三內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，成等差數(shù)列，且，求a的值．19．（12分）誠信是立身之本，道德之基，我校學(xué)生會(huì)創(chuàng)設(shè)了“誠信水站”，既便于學(xué)生用水，又推進(jìn)誠信教育，并用“”表示每周“水站誠信度”，為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期，如表為該水站連續(xù)十二周（共三個(gè)周期）的誠信數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：第一周第二周第三周第四周第一周期第二周期第三周期（Ⅰ）計(jì)算表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)；（Ⅱ）若定義水站誠信度高于的為“高誠信度”，以下為“一般信度”則從每個(gè)周期的前兩周中隨機(jī)抽取兩周進(jìn)行調(diào)研，計(jì)算恰有兩周是“高誠信度”的概率；（Ⅲ）已知學(xué)生會(huì)分別在第一個(gè)周期的第四周末和第二個(gè)周期的第四周末各舉行了一次“以誠信為本”的主題教育活動(dòng)，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說明兩次主題教育活動(dòng)的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.20．（12分）已知函數(shù)，設(shè)的最小值為m.（1）求m的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，b，使得，？并說明理由.21．（12分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的周長是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值，如果沒有，請(qǐng)說明理由.22．（10分）如圖，在四棱錐中，，，，底面為正方形，、分別為、的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)樗?故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、D【解析】

根據(jù)題意得，設(shè)與共線的單位向量為，利用向量共線和單位向量模為1，列式求出即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，則，所以，設(shè)與共線的單位向量為，則，解得或所以與共線的單位向量為或.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線定理和單位向量的定義.3、C【解析】

令，則，，將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得、后，然后取絕對(duì)值作差比較可得．【詳解】令，則，，，，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題．4、B【解析】

首先求得雙曲線的一條漸近線方程，再利用左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，列方程即可求出，進(jìn)而求出漸近線的方程.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，一條漸近線的方程為，由左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，可得，所以漸近線方程為，即為,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.5、D【解析】

依次將選項(xiàng)中的代入，結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上不單調(diào)，故A不正確；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故B不正確；當(dāng)時(shí)，在上不單調(diào)，故C不正確；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性，涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是一道容易題.6、C【解析】

根據(jù)含有個(gè)元素的集合，有個(gè)子集，有個(gè)真子集，計(jì)算可得；【詳解】解：集合含有個(gè)元素，則集合的真子集有（個(gè)），故選：C【點(diǎn)睛】考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對(duì)于含有個(gè)元素的集合，有個(gè)子集，有個(gè)真子集，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將與對(duì)比，即可求出結(jié)論.【詳解】由題知，，則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小，注意與特殊數(shù)的對(duì)比，屬于基礎(chǔ)題..8、C【解析】

轉(zhuǎn)化函數(shù)，，的零點(diǎn)為與，，的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，即得解.【詳解】函數(shù)，，的零點(diǎn)，即為與，，的交點(diǎn)，作出與，，的圖象，如圖所示，可知故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.9、C【解析】

以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值．【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，則，，，取平面的法向量為，設(shè)直線EF與平面AA1D1D所成角為θ，則sinθ＝|，直線與平面所成角的正弦值為.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了線面角的正弦值的求法，也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．10、B【解析】

作出圖形，設(shè)平面分別交、于點(diǎn)、，連接、、，取的中點(diǎn)，連接、，連接交于點(diǎn)，推導(dǎo)出，由線面平行的性質(zhì)定理可得出，可得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，同理可得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示：設(shè)平面分別交、于點(diǎn)、，連接、、，取的中點(diǎn)，連接、，連接交于點(diǎn)，四邊形為正方形，、分別為、的中點(diǎn)，則且，四邊形為平行四邊形，且，且，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，則存在直線平面，使得，若平面，則平面，又平面，則平面，此時(shí)，平面為平面，直線不可能與平面平行，所以，平面，，平面，平面，平面平面，，，所以，四邊形為平行四邊形，可得，為的中點(diǎn)，同理可證為的中點(diǎn)，，，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查線段長度比值的計(jì)算，涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是找出平面與正方體各棱的交點(diǎn)位置，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.11、C【解析】

根據(jù)題意知,，代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因?yàn)?所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查知識(shí)的遷移能力,把數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)相融合;重點(diǎn)考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程；屬于中檔題.12、A【解析】分析：作出函數(shù)的圖象，利用消元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得到結(jié)論.詳解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，若，且，則當(dāng)時(shí)，得，即，則滿足，則，即，則，設(shè)，則，當(dāng)，解得，當(dāng)，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，即的取值范圍是，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)，求解新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

把向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，用表示，利用基本不等式可求實(shí)數(shù)的值.【詳解】，解得＝1．故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積應(yīng)用，綜合了基本不等式，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14、【解析】

根據(jù)題意可得，再由，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，得，又，解得，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，綜上，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由可知R為中點(diǎn),設(shè),由過切點(diǎn)的切線方程即可求得,，代入，，則在直線上，即可得方程為，將，代入化簡可得，則直線過定點(diǎn),由則點(diǎn)在以為直徑的圓上，則.即可求得.【詳解】如圖，由可知R為MN的中點(diǎn)，所以，，設(shè)，則切線PM的方程為，即，同理可得，因?yàn)镻M，PN都過，所以，，所以在直線上，從而直線MN方程為，因?yàn)?，所以，即直線MN方程為，所以直線MN過定點(diǎn),所以R在以O(shè)Q為直徑的圓上，所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系,考查圓的切線方程,定點(diǎn)和圓上動(dòng)點(diǎn)距離的最值問題,考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和計(jì)算能力,難度較難.16、【解析】

先求出所有的基本事件個(gè)數(shù)，再求出“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”這一事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可算出結(jié)果.【詳解】一次隨機(jī)抽取其中的三張，所有基本事件為：1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10個(gè)，其中“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”包含6個(gè)基本事件，因此“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”的概率為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）按進(jìn)行分類，得到等價(jià)不等式組，分別解出解集，再取并集，得到答案；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，按和分類討論，分別得到不等式恒成立時(shí)對(duì)應(yīng)的的范圍，再取交集，得到答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于或或，解得或或，所以不等式的解集為：.（2）依題意即在時(shí)恒成立，當(dāng)時(shí)，，即，所以對(duì)恒成立∴，得；當(dāng)時(shí)，，即，所以對(duì)任意恒成立，∴，得∴，綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查分類討論解絕對(duì)值不等式，分類討論研究不等式恒成立問題，屬于中檔題.18、（1），（2）【解析】

（1）利用向量的數(shù)量積和二倍角公式化簡得，故可求其周期與單調(diào)性；（2）根據(jù)圖像過得到，故可求得的大小，再根據(jù)數(shù)量積得到的乘積，最后結(jié)合余弦定理和構(gòu)建關(guān)于的方程即可．【詳解】（1），最小正周期：，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由可得：，所以．又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以而，．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）兩次活動(dòng)效果均好，理由詳見解析.【解析】

（Ⅰ）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，代入平均數(shù)公式求解即可；（Ⅱ）設(shè)抽到“高誠信度”的事件為，則抽到“一般信度”的事件為，則隨機(jī)抽取兩周，則有兩周為“高誠信度”事件為，利用列舉法列出所有的基本事件和事件所包含的基本事件，利用古典概型概率計(jì)算公式求解即可；（Ⅲ）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)判斷即可.【詳解】（Ⅰ）表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù).（Ⅱ）設(shè)抽到“高誠信度”的事件為，則抽到“一般信度”的事件為，則隨機(jī)抽取兩周均為“高誠信度”事件為，總的基本事件為共15種，事件所包含的基本事件為共10種，由古典概型概率計(jì)算公式可得，.（Ⅲ）兩次活動(dòng)效果均好.理由：活動(dòng)舉辦后，“水站誠信度'由和看出，后繼一周都有提升.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)公式和古典概型概率計(jì)算公式；考查運(yùn)算求解能力；利用列舉法正確列舉出所有的基本事件是求古典概型概率的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.20、（1）（2）不存在；詳見解析【解析】

（1）將函數(shù)去絕對(duì)值化為分段函數(shù)的形式，從而可求得函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得m.（2）由，