專題02 空間向量的應(yīng)用（13大考點知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）

專題02空間向量的應(yīng)用知識點1直線的方向向量與平面的法向量1、直線的方向向量的定義及表示（1）定義：若A、B是直線上的任意兩點，則為直線的一個方向向量；與平行的任意非零向量也是直線的方向向量。（2）空間直線的向量表示式：直線l的方向向量為a，且過點A。如圖，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))②，①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．2、平面的法向量的定義及表示（1）定義：如圖，若直線，取直線的方向向量，稱為平面的法向量；過點A且以為法向量的平面完全確定，可以表示為集合（2）利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟=1\*GB3①設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為n＝(x，y，z)=2\*GB3②選向量：在平面內(nèi)選取兩個不共線向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))=3\*GB3③列方程組：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up7(→))＝0，))列出方程組=4\*GB3④解方程組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up7(→))＝0.))=5\*GB3⑤賦非零值：取其中一個為非零值(常取±1)=6\*GB3⑥得結(jié)論：得到平面的一個法向量知識點2空間中直線、平面的平行1、線線平行的向量表示：若分別為直線的方向向量，則使得.2、線面平行的向量表示法1：設(shè)直線的方向向量，是平面的法向量，，則.法2：在平面內(nèi)取一個非零向量，若存在實數(shù)，使得，且，則.法3：在平面內(nèi)取兩個不共線向量，若存在實數(shù)，使得，且，則.3、面面平行的向量表示設(shè)分別是平面的法向量，則，使得.知識點3空間中直線、平面的垂直1、線線垂直的向量表示：若分別為直線的方向向量，則.2、線面垂直的向量表示：設(shè)直線的方向向量，是平面的法向量，法1：，使得.法2：在平面內(nèi)取兩個不共線向量，若.則.3、面面垂直的向量表示：設(shè)分別是平面的法向量，則.知識點4向量法求空間夾角1、異面直線所成角：若分別為直線的方向向量，為直線的夾角，則.2、直線與平面所成角（1）夾角定義：設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，直線與平面的夾角為.則.（2）利用空間向量求異面直線所成角的步驟：=1\*GB3①建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，=2\*GB3②求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)，=3\*GB3③利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角，=4\*GB3④結(jié)合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角。3、平面與平面的夾角（1）平面與平面的夾角：兩個平面相交形成四個二面角,我們把這四個二面角中不大于的二面角稱為這兩個平面的夾角.（2）若分別為平面的法向量，為平面的夾角，則.知識點5向量法求空間距離1、點到直線的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．2、點到平面的距離已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的任一點，是平面外一點,過點作則平面的垂線，交平面于點，則點到平面的距離為（如圖）.3、線面距與面面距線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進行求解。（1）直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。（2）兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。考點1向量法解決線線平行問題【例1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知直線的方向向量分別為和，若，則.【變式1-1】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點，為的中點，，求證：．【變式1-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知棱長為1的正方體在空間直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，分別為棱的中點，求證：.【變式1-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，求證：.考點2向量法解決線面平行問題【例2】（2022秋·福建泉州·高二?？计谥校┤糁本€的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則可能使的是（）A．，B．，C．，D．，【變式2-1】（2023·全國·高二課堂例題）如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，點M，N分別在對角線BD，AE上，且，．求證：平面CDE．【變式2-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四面體中，平面，，，．是的中點，是的中點，點在線段上，且．證明：平面；【變式2-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點.求證：平面.【變式2-4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點，在線段上，且.求證：平面；考點3向量法解決面面平行問題【例3】（2023秋·高二課時練習(xí)）若平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，且，則的值是（）A．－3B．－4C．3D．4【變式3-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，平面平面，四邊形為正方形，是直角三角形，且，，，分別是線段，，的中點，求證：平面平面．【變式3-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，正四棱的底面邊長1，側(cè)棱長4，中點為，中點為．求證：平面平面.【變式3-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點．求證：平面平面.【變式3-4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點，求證：平面EFG∥平面PBC．考點4向量法解決線線垂直問題【例4】（2023秋·寧夏銀川·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）在等腰梯形中，M，N分別是，的中點，沿將折起至，使平面平面（如圖）.已知，下列四個結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【變式4-1】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，在空間四邊形中，，．證明：．【變式4-2】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，點，分別在對角線，上，且，．求證：.【變式4-3】（2023秋·河南商丘·高二校考階段練習(xí)）如圖所示，已知是一個正方體，求證：．【變式4-4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，在直四棱柱中，，，，，.證明：.考點5向量法解決線面垂直問題【例5】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，E是PC的中點．證明：PD⊥平面ABE.【變式5-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，點分別為線段的中點，．證明：平面．【變式5-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點，在平面內(nèi)的射影為.求證：平面.【變式5-3】（2023秋·全國·高二隨堂練習(xí)）在正四棱柱中，，，E在線段上，且.求證：平面DBE.【變式5-4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，直三棱柱中，，，，側(cè)棱，側(cè)面的兩條對角線交點為D，的中點為M．求證：平面.考點6向量法解決面面垂直問題【例6】（2023·河南三門峽·高二統(tǒng)考期末）已知平面、的法向量分別為、，若，則等于（）A．1B．2C．0D．3【變式6-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面是梯形，點在上，．求證：平面平面.【變式6-2】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面是直角梯形，底面，且，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的一個法向量，判斷平面與平面是否有可能垂直？【變式6-3】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，已知正三棱柱的各條棱長均為，點是棱的中點．求證：平面平面．【變式6-4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點，.證明：平面平面.【變式6-5】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知在直三棱柱中，其中為的中點，點是上靠近的四等分點，與底面所成角的余弦值為．求證：平面平面.考點7向量法求異面直線夾角【例7】（2023秋·江蘇常州·高三校考開學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，已知異面直線，的方向向量分別為，，則，所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【變式7-1】（2023春·福建漳州·高二?？计谥校┤鐖D，在正方體中，是底面正方形的中心，點為的中點，點在上，則直線與所成的角為（）A．B．C．D．【變式7-2】（2023·四川眉山·高三校考模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，面，，則直線與直線夾角的余弦值為（）A．B．C．D．【變式7-3】（2023秋·河南商丘·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【變式7-4】（2023秋·吉林·高二?？茧A段練習(xí)）若三棱錐中，，，，點E為BC中點，點F在棱AD上（包括端點），則異面直線AE與CF所成的角的余弦值的取值范圍是．考點8向量法求直線與平面夾角【例8】（2023秋·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽馬”實為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽馬”中，平面，，則直線與面所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【變式8-1】（2023秋·河北滄州·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點P的四等分點，則與平面所成角的正弦值為（）．A．B．C．D．【變式8-2】（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是菱形，平面平面，分別是棱的中點.

（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【變式8-3】（2023秋·寧夏·高二校考階段練習(xí)）如圖，長方體是的中點.（1）求證：∥平面；（2）求直線與平面夾角的正弦值.【變式8-4】（2023秋·湖南常德·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，且，，，以為直徑的圓經(jīng)過點F．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值．考點9向量法求平面與平面夾角【例9】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為的中點，則二面角的余弦值為（）A．B．C．D．【變式9-1】（2023秋·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為1，則平面與平面所成的角為（）A．B．C．D．【變式9-2】（2023秋·江西宜春·高三校考開學(xué)考試）在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，則銳二面角的大小為（）A．30°B．45°C．60°D．75°【變式9-3】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在四棱臺中，四邊形是正方形，是邊上一點，平面平面．（1）求實數(shù)的值；（2）若，求二面角的余弦值．【變式9-4】（2023秋·四川眉山·高二仁壽一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，在菱形中，，，平面平面，，分別是線段?的中點.（1）求證：平面；（2）若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.考點10向量法求點到直線距離【例10】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知直線過點，直線的一個方向向量為，則到直線的距離等于（）A．B．C．D．5【變式10-1】（2023秋·吉林長春·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，是棱長為1的正方體，若在正方體內(nèi)部且滿足，則到直線的距離為（）A．B．C．D．【變式10-2】（2023·山東·高二?？奸_學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則到的距離為（）A．3B．C．D．【變式10-3】（2023秋·河北邢臺·高二?？茧A段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，則點到直線的距離為.【變式10-4】（2023秋·寧夏銀川·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線l的一個方向向量為，若點為直線l外一點，為直線l上一點，則點P到直線l的距離為.考點11向量法求異面直線的距離【例11】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖是一棱長為的正方體，則異面直線與之間的距離為（）A．B．C．D．【變式11-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）（多選）如圖，在棱長為1正方體中，為的中點，為與的交點，為與的交點，則下列說法正確的是（）A．與垂直B．是異面直線與的公垂線段，C．異面直線與所成的角為D．異面直線與間的距離為【變式11-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點，E和A，F(xiàn)，使，且已知，則線段的長為．【變式11-3】（2023秋·湖北武漢·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P為線段BC1上的動點，則點P到直線AC的距離的最小值為（）A．1B．C．D．【變式11-4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．（1）求異面直線與所成的角的余弦值；（2）求異面直線與之間的距離．考點12向量法求點到平面的距離【例12】（2023秋·陜西榆林·高二校考階段練習(xí)）在長方體中，，，為的中點，則點到平面的距離為（）A．B．C．D．【變式12-1】（2022秋·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期中）已知正方形的邊長為4，平面，，E是中點，F(xiàn)是靠近A的四等分點，則點B到平面的距離為（）A．B．C．D．【變式12-2】（2023秋·廣東梅州·高二校考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，點在平面內(nèi)，則當(dāng)取最小時，點的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【變式12-3】（2023秋·廣東梅州·高二校考階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，．（1）求證：；（2）求點到平面的距離．【變式12-4】（2023秋·廣西南寧·高二?？奸_學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，已知側(cè)面，，，，點為棱的中點.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離.考點13向量法求其他空間距離【例13】（2023秋·寧夏銀川·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．直線到平面的距離為（）．A．B．C．D．【變式13-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）正方體的棱長為1，則平面與平面的距離為（）A．B．C．D．【變式13-2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)正方體的棱長為2，求：（1）求直線到平面的距離；（2）求平面與平面間的距離.【變式13-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）直四棱柱中，底面為正方形，邊長為，側(cè)棱，分別為的中點，分別是的中點．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面的距離．【變式13-4】（2022·高二單元測試）如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，點M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，（1）證明：平面AMN∥平面EFBD；（2）求平面AMN與平面EFBD間的距離．1．（2022秋·浙江紹興·高二?？计谥校┮阎本€的方向向量是，平面的法向量是，則直線與平面的位置關(guān)系是（）A．或B．C．與相交但不垂直D．2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知向量為平面α的一個法向量，為一條直線l的方向向量，則∥是l⊥α的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）A．兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，，則l1∥l2B．直線l的方向向量，平面α的法向量是，則l⊥αC．兩個不同的平面α，β的法向量分別是，，則α⊥βD．直線l的方向向量，平面α的法向量是，則l∥α4．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在直三棱柱中，，，直線與平面所成角的正弦值為，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．5．（2023秋·河南商丘·高二校考階段練習(xí)）如圖，在長方體中，，，為中點，則到平面的距離為（）A．1B．C．D．26．（2023秋·江西贛州·高三?？奸_學(xué)考試）棱長為1的正方體中，點P在棱CD上運動，點Q在側(cè)面上運動，滿足平面，則線段PQ的最小值為（）A．B．1C．D．7．（2022秋·吉林長春·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）已知，分別是正方體的棱和的中點，則（）A．與是異面直線B．與所成角的大小為C．與平面所成角的正弦值為