2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)3.2函數(shù)與方程不等式之間的關(guān)系第1課時函數(shù)的零點二次函數(shù)的零點及其與對應(yīng)方程不等式解集之間的關(guān)系學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊

PAGE3.2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系素養(yǎng)目標·定方向課程標準學(xué)法解讀1．結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖像，了解函數(shù)零點、方程的解與不等式的關(guān)系．2．結(jié)合詳細連續(xù)函數(shù)及其圖像的特點，了解函數(shù)零點存在定理，了解用二分法求函數(shù)零點近似值具有一般性.本節(jié)在學(xué)習中首先利用方程的解引出函數(shù)的零點，體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象，再把函數(shù)的零點、方程的解與函數(shù)的圖像與x軸交點橫坐標三者統(tǒng)一，結(jié)合函數(shù)的圖像及性質(zhì)會推斷函數(shù)零點問題.第1課時函數(shù)的零點、二次函數(shù)的零點及其與對應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系必備學(xué)問·探新知基礎(chǔ)學(xué)問1．函數(shù)的零點(1)零點的概念：假如函數(shù)y＝f(x)在實數(shù)__a處的函數(shù)值等于0__，即__f(a)＝0__，則a為函數(shù)f(x)的零點．(2)零點的意義思索1：(1)函數(shù)的零點是點嗎？(2)全部的函數(shù)都有零點嗎？提示：(1)函數(shù)的零點是實數(shù)，而不是點．如函數(shù)f(x)＝x＋1的零點是－1，而不是(－1,0)．(2)并不是全部的函數(shù)都有零點，如函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)，y＝x2＋1均沒有零點．2．二次函數(shù)的零點及其對應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c，方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的判別式Δ＝b2－4判別式Δ＞0Δ＝0Δ＜0方程f(x)＝0的根有兩個不等的實數(shù)解x1，x2有兩個相等的實數(shù)解x1，x2沒有實數(shù)解函數(shù)y＝f(x)的圖像f(x)＞0的解集__{x|x＜x1或x＞x2}____{x|x≠－eq\f(b,2a)}____R__f(x)＜0的解集__{x|x1＜x＜x2}____?____?__思索2：二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c中，二次項系數(shù)a＜0時，怎樣求不等式f(x)＞0的解集？提示：對于二次項系數(shù)是負數(shù)(即a＜0)的不等式，可以先把二次項系數(shù)化成正數(shù)，再求解；也可以畫出二次項系數(shù)為負數(shù)時的函數(shù)圖像，再求解．基礎(chǔ)自測1．函數(shù)y＝x2－2x的零點是(A)A．0,2 B．－2,0C．1,0 D．－1,0解析：函數(shù)y＝x2－2x的零點就是方程x2－2x＝0的實數(shù)根，解x2－2x＝0，得x1＝0，x2＝2.故選A．2．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋6x－1有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是(A)A．a(chǎn)>－9且a≠0 B．a(chǎn)>－9C．a(chǎn)<－9 D．a(chǎn)>0或a<0解析：由題意可知f(x)＝0有兩個根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0,Δ＝36＋4a>0))，∴a>－9且a≠0.3．下列各圖像表示的函數(shù)中沒有零點的是(D)解析：選項D中，函數(shù)圖像與x軸沒有交點，故該函數(shù)沒有零點．4．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是__{x|x＝－eq\f(1,3)}__.解析：不等式可化為(3x＋1)2≤0，因此只有x＝－eq\f(1,3)，即解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝－\f(1,3))).5．若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的零點是2和－4，則a＝__2__，b＝__－8__.[解析]由題意可知，2和－4是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋－4＝－a,2×－4＝b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－8)).關(guān)鍵實力·攻重難類型求函數(shù)的零點┃┃典例剖析__■典例1求下列函數(shù)的零點：(1)y＝x－1；(2)y＝x2－x－6.思路探究：把每一個函數(shù)解析式因式分解，化為幾個因式之積的形式，最好為一次因式，然后令每一個因式等于零再解．解析：(1)令y＝x－1＝0，得x＝1，∴函數(shù)y＝x－1的零點是1.(2)y＝x2－x－6＝(x－3)(x＋2)，令(x－3)(x＋2)＝0，得x＝－2或x＝3，∴函數(shù)y＝x2－x－6的零點是－2和3.歸納提升：函數(shù)零點的求法：(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根．(2)幾何法：對于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以將它與函數(shù)y＝f(x)的圖像聯(lián)系起來，圖像與x軸的交點橫坐標即為函數(shù)的零點．┃┃對點訓(xùn)練__■1．求函數(shù)y＝(ax－1)(x＋2)的零點．解析：當a＝0時，y＝－(x＋2)，令y＝0；得x＝－2；當a≠0時，令y＝0，得x1＝eq\f(1,a)，x2＝－2.①當eq\f(1,a)＝－2，即a＝－eq\f(1,2)時，函數(shù)的零點為－2.②當eq\f(1,a)≠－2，即a≠－eq\f(1,2)時，函數(shù)的零點為eq\f(1,a)，－2.綜上所述，當a＝0或－eq\f(1,2)時，所求函數(shù)的零點為－2，當a≠0且a≠－eq\f(1,2)時，所求函數(shù)的零點為eq\f(1,a)，－2.類型零點個數(shù)的推斷┃┃典例剖析__■典例2推斷下列函數(shù)的零點個數(shù)：(1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－eq\f(1,x)；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,x－1，x＜0.))思路探究：由題目可知：(1)中f(x)為二次函數(shù)，解答本題可干脆推斷對應(yīng)的一元二次方程根的個數(shù)；(2)中求函數(shù)的零點可干脆解相應(yīng)的方程或轉(zhuǎn)化為兩個熟知的基本初等函數(shù)y＝x2與y＝eq\f(1,x)，看兩函數(shù)圖像交點的個數(shù)即可．(3)分段函數(shù)求零點在每段上分別求出即可．解析：(1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x2－7x＋12＝0有兩個不相等的實數(shù)根3,4，∴函數(shù)f(x)有兩個零點，分別是3,4.(2)解法一：由f(x)＝0，得x2－eq\f(1,x)＝0，∴eq\f(x3－1,x)＝0，∴x3－1＝0且x≠0，∴x＝1.故函數(shù)f(x)＝x2－eq\f(1,x)只有一個零點．解法二：由x2－eq\f(1,x)＝0，得x2＝eq\f(1,x).令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝eq\f(1,x)，在同一坐標系中畫出h(x)和g(x)的圖像，由圖可知兩函數(shù)圖像只有一個交點，故函數(shù)f(x)＝x2－eq\f(1,x)只有一個零點．(3)當x≥0時，令f(x)＝0，得x＋1＝0，解得x＝－1，與x≥0沖突；當x＜0時，令f(x)＝0，得x－1＝0，解得x＝1，與x＜0沖突，∴函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,x－1，x＜0))沒有零點．歸納提升：推斷函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)解方程法：轉(zhuǎn)化為解方程f(x)＝0，方程有幾個根，函數(shù)就有幾個零點．(2)圖像交點法：畫出函數(shù)y＝h(x)與y＝g(x)的圖像，依據(jù)圖像的交點個數(shù)推斷方程h(x)＝g(x)有幾個根，或函數(shù)y＝h(x)－g(x)有幾個零點．┃┃對點訓(xùn)練__■2．已知f(x)為偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝－(x－1)2＋1，則滿意f[f(a)]＝eq\f(1,2)的實數(shù)a的個數(shù)為(D)A．2 B．4C．6 D．8解析：作出f(x)的圖像，如圖，令f(t)＝eq\f(1,2)，結(jié)合圖像知，t有4個值，記為t1，t2，t3，t4，易知－2＜t1＜－1，－1＜t2＜0,0＜t3＜1,1＜t4＜2.視察圖像可知，f(a)＝t1有2個實根，f(a)＝t2有2個實根，f(a)＝t3有4個實根，f(a)＝t4沒有實根，故f(a)＝ti(i＝1,2,3,4)共有8個實根，即滿意f[f(a)]＝eq\f(1,2)的實數(shù)a的個數(shù)為8.類型已知零點個數(shù)求參數(shù)┃┃典例剖析__■典例3已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函數(shù)y＝f(x)有且僅有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是__(1，＋∞)__.思路探究：把函數(shù)f(x)的兩個零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝2|x－1|＋x與y＝a的圖像有且僅有兩個交點問題，畫出兩個函數(shù)的圖像，然后利用數(shù)形結(jié)合思想求出參數(shù)a的范圍．解析：函數(shù)f(x)＝2|x－1|＋x－a有且僅有兩個零點，即函數(shù)y＝2|x－1|＋x與y＝a有且僅有兩個交點．分別作出函數(shù)y＝2|x－1|＋x與y＝a的圖像，如圖所示．由圖易知，當a＞1時，兩函數(shù)的圖像有且僅有兩個不同的交點，故實數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞)．歸納提升：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)的方法1．干脆法：依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，通過解不等式(組)確定參數(shù)的取值范圍．2．數(shù)形結(jié)合法：先對f(x)的解析式變形，將f(x)＝0轉(zhuǎn)化為h(x)＝g(x)(h(x)，g(x)的圖像易畫出)，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)h(x)，g(x)的圖像，然后利用數(shù)形結(jié)合思想求解．┃┃對點訓(xùn)練__■3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(k,x)，x≥2，,x－12，x＜2.))若方程f(x)＝eq\f(1,2)有三個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是(B)A．(1,2] B．[1，＋∞)C．[1,2) D．[1,2]解析：當x＜2時，令(x－1)2＝eq\f(1,2)，解得x1＝eq\f(\r(2),2)＋1，x2＝－eq\f(\r(2),2)＋1，故f(x)＝eq\f(1,2)在x＜2時有兩個不同的實根．又方程f(x)＝eq\f(1,2)有三個不同的實根，則x≥2時，f(x)＝eq\f(1,2)有一個實根，由f(x)＝eq\f(k,x)＝eq\f(1,2)，得x＝2k≥2，所以k≥1.類型解簡潔的高次不等式┃┃典例剖析__■典例4求函數(shù)f(x)＝(x－2)(2x＋1)(3x－7)(x＋3)的零點，并作出函數(shù)的圖像的示意圖，寫出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．解析：函數(shù)的零點為－3，－eq\f(1,2)，2，eq\f(7,3)，函數(shù)的定義域被這四個點分為五部分，每一部分函數(shù)值的符號如下表：x(－∞，－3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，＋∞))f(x)＋－＋－＋所以函數(shù)的示意圖如圖：依據(jù)函數(shù)的圖像，知不等式f(x)≥0的解集為(－∞，－3]∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，＋∞))，不等式f(x)＜0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,3))).歸納提升：解簡潔高次不等式的一般步驟(1)將不等式右邊化為0，左邊分解因式．(2)計算對應(yīng)方程的根，求出函數(shù)的零點．(3)列表，推斷函數(shù)在各個區(qū)間上的正負．(4)依據(jù)函數(shù)在各個區(qū)間上的正負，畫出函數(shù)的示意圖．(5)依據(jù)函數(shù)圖像與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．┃┃對點訓(xùn)練__■4．求函數(shù)f(x)＝(x＋2)(3x－2)(2x－4)的零點，并作出函數(shù)的圖像的示意圖，寫出不等式f(x)＜0和f(x)＞0的解集．解析：函數(shù)的零點為－2，eq\f(2,3)，2，函數(shù)的定義域被這三個點分為四部分，每一部分函數(shù)值的符號如表：x(－∞，－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，＋∞))f(x)－＋－＋所以函數(shù)的示意圖如圖：依據(jù)函數(shù)的圖像，知不等式f(x)＜0的解集為(－∞，－2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))，不等式f(x)＞0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(2,3)))∪(2，＋∞)．類型一元二次方程根的分布問題┃┃典例剖析__■典例5關(guān)于x的一元二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在區(qū)間[0,2]上有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．解析：設(shè)f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，若f(x)＝0在區(qū)間[0,2]上有一個實數(shù)解，∵f(0)＝1＞0，∴f(2)＜0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2＝0，,－\f(m－1,2)≥2.))又f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m＜－eq\f(3,2).若f(x)＝0在區(qū)間[0,2]上有兩個實數(shù)解，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,0＜－\f(m－1,2)＜2，,f2≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－12－4≥0，,－3＜m＜1，,4＋m－1×2＋1≥0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥3或m≤－1，,－3＜m＜1，,m≥－\f(3,2)，))∴－eq\f(3,2)≤m≤－1.綜上，實數(shù)m的取值范圍為{m|m≤－1}．┃┃對點訓(xùn)練__■5．若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1的負零點有且僅有一個，則實數(shù)a的取值范圍是__eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,4)或a≥0))))__.解析：當a＝0時，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0，得x＝－1，符合題意；當a>0時，函數(shù)圖像開口向上，又f(0)＝－1<0，x＝－eq\f(－1,2a)＝eq\f(1,2a)>0，結(jié)合二次函數(shù)的圖像知符合題意；當a<0時，函數(shù)圖像開口向下，又f(0)＝－1<0，x＝－eq\f(－1,2a)＝eq\f(1,2a)<0，從而有Δ＝1＋4a＝0，即a＝－eq\f(1,4).綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,4)或a≥0)))).課堂檢測·固雙基1．函數(shù)y＝x