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文檔簡介
內蒙古自治區(qū)錫林郭勒盟太仆寺旗寶昌鎮(zhèn)第一中學2025屆高考數(shù)學押題試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有如下問題:“今有器中米,不知其數(shù),前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升(注:一斗為十升).問,米幾何?”下圖是解決該問題的程序框圖,執(zhí)行該程序框圖,若輸出的S=15(單位:升),則輸入的k的值為()?A.45 B.60 C.75 D.1002.將函數(shù)的圖象向右平移個周期后,所得圖象關于軸對稱,則的最小正值是()A. B. C. D.3.已知,滿足,且的最大值是最小值的4倍,則的值是()A.4 B. C. D.4.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車,它是中國境內一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長55千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調查.畫出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A.300, B.300, C.60, D.60,5.設i為虛數(shù)單位,若復數(shù),則復數(shù)z等于()A. B. C. D.06.已知平面向量滿足,且,則所夾的銳角為()A. B. C. D.07.已知函數(shù)且,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,過的直線與軸交于點,線段與交于點.若,則的方程為()A. B. C. D.9.已知實數(shù)x,y滿足,則的最小值等于()A. B. C. D.10.若等差數(shù)列的前項和為,且,,則的值為().A.21 B.63 C.13 D.8411.已知集合,,若AB,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知,,,,.若實數(shù),滿足不等式組,則目標函數(shù)()A.有最大值,無最小值 B.有最大值,有最小值C.無最大值,有最小值 D.無最大值,無最小值二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中的系數(shù)為________________.14.設,則_____,(的值為______.15.三對父子去參加親子活動,坐在如圖所示的6個位置上,有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有________種(比如:B與D、B與C是相鄰的,A與D、C與D是不相鄰的).16.設為銳角,若,則的值為____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在數(shù)列中,已知,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,數(shù)列的前項和為,證明:.18.(12分)在中,角的對邊分別為,且.(1)求角的大小;(2)若函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為且,求的值.19.(12分)已知函數(shù),(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;(2)當時,判斷函數(shù),()有幾個零點,并證明你的結論;(3)設函數(shù),若函數(shù)在為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,底面是矩形,,,分別是,的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)設,求三棱錐的體積.21.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質量,某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內100天的空氣質量指數(shù)()的檢測數(shù)據(jù),結果統(tǒng)計如下:空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質量指數(shù)屬于,的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天的經濟損失(單位:元)與空氣質量指數(shù)的關系式為,試估計該企業(yè)一個月(按30天計算)的經濟損失的數(shù)學期望.22.(10分)某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯,則一級濾芯每個160元,二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元,二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內更換濾芯的相關數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1:一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2:二級濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率;(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的二級濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學期望;(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)程序框圖中程序的功能,可以列方程計算.【詳解】由題意,.故選:B.【點睛】本題考查程序框圖,讀懂程序的功能是解題關鍵.2、D【解析】
由函數(shù)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式,再利用誘導公式得到關于的方程,對賦值即可求解.【詳解】由題意知,函數(shù)的最小正周期為,即,由函數(shù)的圖象平移變換公式可得,將函數(shù)的圖象向右平移個周期后的解析式為,因為函數(shù)的圖象關于軸對稱,所以,即,所以當時,有最小正值為.故選:D【點睛】本題考查函數(shù)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導公式及正余弦函數(shù)的性質;熟練掌握誘導公式和正余弦函數(shù)的性質是求解本題的關鍵;屬于中檔題、??碱}型.3、D【解析】試題分析:先畫出可行域如圖:由,得,由,得,當直線過點時,目標函數(shù)取得最大值,最大值為3;當直線過點時,目標函數(shù)取得最小值,最小值為3a;由條件得,所以,故選D.考點:線性規(guī)劃.4、B【解析】
由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù),同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為,∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為:,行駛速度超過的頻率為:.故選:B.【點睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.5、B【解析】
根據(jù)復數(shù)除法的運算法則,即可求解.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)運算,屬于基礎題.6、B【解析】
根據(jù)題意可得,利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.【詳解】因為即而所以夾角為故選:B【點睛】本題考查了向量數(shù)量積求夾角,需掌握向量數(shù)量積的定義求法,屬于基礎題.7、B【解析】
構造函數(shù),判斷出的單調性和奇偶性,由此求得不等式的解集.【詳解】構造函數(shù),由解得,所以的定義域為,且,所以為奇函數(shù),而,所以在定義域上為增函數(shù),且.由得,即,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調性和奇偶性解不等式,屬于中檔題.8、D【解析】
由題可得,所以,又,所以,得,故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得,所以,又,所以,得,,所以橢圓的方程為.故選:D【點睛】本題主要考查了橢圓的定義,橢圓標準方程的求解.9、D【解析】
設,,去絕對值,根據(jù)余弦函數(shù)的性質即可求出.【詳解】因為實數(shù),滿足,設,,,恒成立,,故則的最小值等于.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質,考查了運算能力和轉化能力,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.10、B【解析】
由已知結合等差數(shù)列的通項公式及求和公式可求,,然后結合等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】解:因為,,所以,解可得,,,則.故選:B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應用,屬于基礎題.11、D【解析】
先化簡,再根據(jù),且AB求解.【詳解】因為,又因為,且AB,所以.故選:D【點睛】本題主要考查集合的基本運算,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.12、B【解析】
判斷直線與縱軸交點的位置,畫出可行解域,即可判斷出目標函數(shù)的最值情況.【詳解】由,,所以可得.,所以由,因此該直線在縱軸的截距為正,但是斜率有兩種可能,因此可行解域如下圖所示:由此可以判斷該目標函數(shù)一定有最大值和最小值.故選:B【點睛】本題考查了目標函數(shù)最值是否存在問題,考查了數(shù)形結合思想,考查了不等式的性質應用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
在二項展開式的通項中令的指數(shù)為,求出參數(shù)值,然后代入通項可得出結果.【詳解】的展開式的通項為,令,因此,的展開式中的系數(shù)為.故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解,涉及二項展開式通項的應用,考查計算能力,屬于基礎題.14、7201【解析】
利用二項展開式的通式可求出;令中的,得兩個式子,代入可得結果.【詳解】利用二項式系數(shù)公式,,故,,故(=,故答案為:720;1.【點睛】本題考查二項展開式的通項公式的應用,考查賦值法,是基礎題.15、192【解析】
根據(jù)題意,分步進行分析:①,在三對父子中任選1對,安排在相鄰的位置上,②,將剩下的4人安排在剩下的4個位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分步進行分析:①,在三對父子中任選1對,有3種選法,由圖可得相鄰的位置有4種情況,將選出的1對父子安排在相鄰的位置,有種安排方法;②,將剩下的4人安排在剩下的4個位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,有種安排方法,則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法種;故答案為:【點睛】本題考查排列、組合的應用,涉及分步計數(shù)原理的應用,屬于基礎題.16、【解析】
∵為銳角,,∴,∴,,故.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解析】
(1)由已知變形得到,從而是等差數(shù)列,然后利用等差數(shù)列的通項公式計算即可;(2)先求出數(shù)列的通項,再利用裂項相消法求出即可.【詳解】(1)由已知,,即,又,則數(shù)列是以1為首項3為公差的等差數(shù)列,所以,即.(2)因為,則,所以,又是遞增數(shù)列,所以,綜上,.【點睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列通項公式、裂項相消法求數(shù)列的和,考查學生的計算能力,是一道基礎題.18、(1)(2)【解析】
(1)由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應用,正弦定理可求,即可求的值.(2)利用三角函數(shù)恒等變換的應用,可得,根據(jù)題意,得到,解得,得到函數(shù)的解析式,進而求得的值,利用三角函數(shù)恒等變換的應用可求的值.【詳解】(1)由題意,根據(jù)正弦定理,可得,又由,所以,可得,即,又因為,則,可得,∵,∴.(2)由(1)可得,所以函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為,∴,得,即,∴,又,∴,∴.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用,正弦定理在解三角形中的綜合應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于中檔題.19、(1)單調增區(qū)間,單調減區(qū)間為,;(2)有2個零點,證明見解析;(3)【解析】
對函數(shù)求導,利用導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調區(qū)間即可;函數(shù)有2個零點.根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理即可證明;記函數(shù),求導后利用單調性求得,由零點存在性定理及單調性知存在唯一的,使,求得為分段函數(shù),求導后分情況討論:①當時,利用函數(shù)的單調性將問題轉化為的問題;②當時,當時,在上恒成立,從而求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意知,,列表如下:020極小值極大值所以函數(shù)的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為,.(2)函數(shù)有2個零點.證明如下:因為時,所以,因為,所以在恒成立,在上單調遞增,由,,且在上單調遞增且連續(xù)知,函數(shù)在上僅有一個零點,由(1)可得時,,即,故時,,所以,由得,平方得,所以,因為,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上單調遞減,因為,所以,由,,且在上單調遞減且連續(xù)得在上僅有一個零點,綜上可知:函數(shù)有2個零點.(3)記函數(shù),下面考察的符號.求導得.當時恒成立.當時,因為,所以.∴在上恒成立,故在上單調遞減.∵,∴,又因為在上連續(xù),所以由函數(shù)的零點存在性定理得存在唯一的,使,∴,因為,所以∴因為函數(shù)在上單調遞增,,所以在,上恒成立.①當時,在上恒成立,即在上恒成立.記,則,當變化時,,變化情況如下表:極小值∴,故,即.②當時,,當時,在上恒成立.綜合(1)(2)知,實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間、極值、最值和利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點個數(shù)、利用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍;考查轉化與化歸能力、邏輯推理能力、運算求解能力;通過構造函數(shù),利用零點存在性定理判斷其零點,從而求出函數(shù)的表達式是求解本題的關鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.20、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取中點,連,,根據(jù)平行四邊形,可得,進而證得平面平面,利用面面垂直的性質,得平面,又由,即可得到平面.(Ⅱ)根據(jù)三棱錐的體積公式,利用等積法,即可求解.【詳解】(Ⅰ)取中點,連,,由,可得,可得是平行四邊形,則,又平面,∴平面平面,∵平面,平面,∴平面平面,∵,是中點,則,而平面平面,而,∴平面.(Ⅱ)根據(jù)三棱錐的體積公式,得.【點睛】本題主要考查了空間中線面位置關系的判定與證明,以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積,其中解答中熟記線面位置關系的判定定理和性質定理,以及合理利用“等體積法”求解是解答的關鍵,著重考查了推理與論證能力,屬于基礎題.21、(1)(2)9060元【解析】
(1)根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)的計算可得所求概率;(2)任選一天,設該天的經濟損失為元,分別求出,,,進而求得數(shù)學期望,據(jù)此得出該企業(yè)一個月經濟損失的數(shù)學期望.【詳解】解:(1)設為選取的3天中空氣質量為優(yōu)的天數(shù),則.(2)任選一天,設該天的經濟損失為元,則的可能取值為0,220,1480,,,,所以(元),故該企業(yè)一個月的經濟損失的數(shù)學期望為(元).【點睛】本題考查古典概型概率公式和組合數(shù)的計算及數(shù)學期望,屬于基礎題.22、(1)0.024;(2)分布列見解析,;(3)【解析】
(1)由題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,而由一級濾芯更換頻數(shù)分布表和二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可求出概率;(2)由二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一個二級
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