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湖南省益陽市龍湖中學(xué)2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,則,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,若的最大值為2,則實(shí)數(shù)k的值為()A.1 B. C.2 D.3.一袋中裝有個(gè)紅球和個(gè)黑球(除顏色外無區(qū)別),任取球,記其中黑球數(shù)為,則為()A. B. C. D.4.如圖,四面體中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小為,若四面體的頂點(diǎn)都在球上,則球的表面積為()A. B. C. D.5.若雙曲線:的一條漸近線方程為,則()A. B. C. D.6.下列函數(shù)中,值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是()A. B. C. D.7.已知函數(shù),,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.8.已知且,函數(shù),若,則()A.2 B. C. D.9.已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立,則下列不等式中一定成立的是()A.、B.、C.、D.、10.二項(xiàng)式的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()A.180 B.90 C.45 D.36011.已知,,則()A. B. C. D.12.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知滿足且目標(biāo)函數(shù)的最大值為7,最小值為1,則___________.14.若函數(shù)滿足:①是偶函數(shù);②的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.則同時(shí)滿足①②的,的一組值可以分別是__________.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)滿足,則______.16.已知四棱錐,底面四邊形為正方形,,四棱錐的體積為,在該四棱錐內(nèi)放置一球,則球體積的最大值為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于兩點(diǎn),求的值.18.(12分)已知,且.(1)請(qǐng)給出的一組值,使得成立;(2)證明不等式恒成立.19.(12分)在中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,且.求的值;設(shè)的平分線與邊交于點(diǎn),已知,,求的值.20.(12分)車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件,對(duì)之前加工的100個(gè)零件的加工時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:加工1個(gè)零件用時(shí)(分鐘)20253035頻數(shù)(個(gè))15304015以加工這100個(gè)零件用時(shí)的頻率代替概率.(1)求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)劉師傅準(zhǔn)備給幾個(gè)徒弟做一個(gè)加工該零件的講座,用時(shí)40分鐘,另外他打算在講座前、講座后各加工1個(gè)該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過100分鐘的概率.21.(12分)已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若的周長(zhǎng)是否有最大值?如果有,求出這個(gè)最大值,如果沒有,請(qǐng)說明理由.22.(10分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m).(1)當(dāng)m=7時(shí),求函數(shù)f(x)的定義域;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)題意,得,,則為減函數(shù),從而得出函數(shù)的單調(diào)性,可比較和,而,比較,即可比較.【詳解】因?yàn)椋业膱D象經(jīng)過第一、二、四象限,所以,,所以函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因?yàn)?,所以,又,,則|,即,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,還考查化簡(jiǎn)能力和轉(zhuǎn)化思想.2、B【解析】
畫出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示,,,要使得z能取到最大值,則,當(dāng)時(shí),x在點(diǎn)B處取得最大值,即,得;當(dāng)時(shí),z在點(diǎn)C處取得最大值,即,得(舍去).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結(jié)合思想,分類討論是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.3、A【解析】
由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值有、、、,計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率,進(jìn)而可求得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值有、、、,則,,,.因此,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為,然后分別過點(diǎn)作平面的垂線與過點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn),在中計(jì)算出,再利用勾股定理計(jì)算出,即可得出球的半徑,最后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】如下圖所示,分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,由于是以為直角等腰直角三角形,為的中點(diǎn),,,且、分別為、的中點(diǎn),所以,,所以,,所以二面角的平面角為,,則,且,所以,,,是以為直角的等腰直角三角形,所以,的外心為點(diǎn),同理可知,的外心為點(diǎn),分別過點(diǎn)作平面的垂線與過點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn),則點(diǎn)在平面內(nèi),如下圖所示,由圖形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半徑為,因此,球的表面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查球體的表面積,考查二面角的定義,解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置,同時(shí)考查了計(jì)算能力,屬于中等題.5、A【解析】
根據(jù)雙曲線的漸近線列方程,解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為,可化為,則,解得.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.,值域?yàn)椋瞧娣桥己瘮?shù),排除;B.,值域?yàn)?,奇函?shù),排除;C.,值域?yàn)?,奇函?shù),滿足;D.,值域?yàn)?,非奇非偶函?shù),排除;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性,意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.7、D【解析】
由變形可得,可知函數(shù)在為增函數(shù),由恒成立,求解參數(shù)即可求得取值范圍.【詳解】,即函數(shù)在時(shí)是單調(diào)增函數(shù).則恒成立..令,則時(shí),單調(diào)遞減,時(shí)單調(diào)遞增.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問題,考查恒成立時(shí)求解參數(shù)問題,考查學(xué)生的分析問題的能力和計(jì)算求解的能力,難度較難.8、C【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的解析式,知當(dāng)時(shí),且,由于,則,即可求出.【詳解】由題意知:當(dāng)時(shí),且由于,則可知:,則,∴,則,則.即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,由分段函數(shù)解析式求自變量.9、A【解析】
設(shè),利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件,得到,得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增,得到,進(jìn)而變形即可求解.【詳解】由題意,設(shè),則,又由,所以,即函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則,即,變形可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用,以及利用單調(diào)性比較大小,其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了構(gòu)造思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于中檔試題.10、A【解析】試題分析:因?yàn)榈恼归_式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以,,令,則,.考點(diǎn):1.二項(xiàng)式定理;2.組合數(shù)的計(jì)算.11、D【解析】
分別解出集合然后求并集.【詳解】解:,故選:D【點(diǎn)睛】考查集合的并集運(yùn)算,基礎(chǔ)題.12、C【解析】
把已知等式變形,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】解:由,得,∴.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的求法,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-2【解析】
先根據(jù)約束條件畫出可行域,再利用幾何意義求最值,表示直線在軸上的截距,只需求出可行域直線在軸上的截距最大最小值時(shí)所在的頂點(diǎn)即可.【詳解】由題意得:目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)B取得最大值為7,在點(diǎn)A處取得最小值為1,∴,,∴直線AB的方程是:,∴則,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值的方法,屬于基礎(chǔ)題.14、,【解析】
根據(jù)是偶函數(shù)和的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,即可求出滿足條件的和.【詳解】由是偶函數(shù)及,可取,則,由的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,得,,即,,可取.故,的一組值可以分別是,.故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦型三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
由已知寫出用代替的等式,兩式相減后可得結(jié)論,同時(shí)要注意的求解方法.【詳解】∵①,∴時(shí),②,①-②得,∴,又,∴().故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式,由已知條件.類比已知求的解題方法求解.16、【解析】
由題知,該四棱錐為正四棱錐,作出該正四棱錐的高和斜高,連接,則球心O必在的邊上,設(shè),由球與四棱錐的內(nèi)切關(guān)系可知,設(shè),用和表示四棱錐的體積,解得和的關(guān)系,進(jìn)而表示出內(nèi)切球的半徑,并求出半徑的最大值,進(jìn)而求出球的體積的最大值.【詳解】設(shè),,由球O內(nèi)切于四棱錐可知,,,則,球O的半徑,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,此時(shí).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的體積問題,內(nèi)切球問題,考查空間想象能力,屬于較難的填空壓軸題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)直線普通方程:,曲線直角坐標(biāo)方程:;(2).【解析】
(1)消去直線參數(shù)方程中的參數(shù)即可得到其普通方程;將曲線極坐標(biāo)方程化為,根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化原則可得其直角坐標(biāo)方程;(2)將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知,利用韋達(dá)定理求得結(jié)果.【詳解】(1)由直線參數(shù)方程消去可得普通方程為:曲線極坐標(biāo)方程可化為:則曲線的直角坐標(biāo)方程為:,即(2)將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,整理可得:設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為:,則,【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用;求解距離之和的關(guān)鍵是能夠明確直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,利用韋達(dá)定理來進(jìn)行求解.18、(1)(答案不唯一)(2)證明見解析【解析】
(1)找到一組符合條件的值即可;(2)由可得,整理可得,兩邊同除可得,再由可得,兩邊同時(shí)加可得,即可得證.【詳解】解析:(1)(答案不唯一)(2)證明:由題意可知,,因?yàn)?所以.所以,即.因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以.【點(diǎn)睛】考查不等式的證明,考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用.19、;.【解析】
利用正弦定理化簡(jiǎn)求值即可;利用兩角和差的正弦函數(shù)的化簡(jiǎn)公式,結(jié)合正弦定理求出的值.【詳解】解:,由正弦定理得:,,,,,又,為三角形內(nèi)角,故,,則,故,;(2)平分,設(shè),則,,,,則,,又,則在中,由正弦定理:,.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和兩角和差的正弦函數(shù)的化簡(jiǎn)公式,二倍角公式,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)分布列見解析,;(2)0.8575【解析】
(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)求得分布列,并計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.(2)根據(jù)對(duì)立事件概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式,計(jì)算出劉師傅講座及加工個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過分鐘的概率.【詳解】(1)的分布列如下:202530350.150.300.400.15.(2)設(shè),分別表示講座前、講座后加工該零件所需時(shí)間,事件表示“留師傅講座及加工兩個(gè)零件示范的總時(shí)間不超過100分鐘”,則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,考查對(duì)立事件概率計(jì)算,考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算,屬于中檔題.21、(Ⅰ);(Ⅱ)有最大值,最大值為3.【解析】
(Ⅰ)利用正弦定理將角化邊,再由余弦定理計(jì)算可得;(Ⅱ)由正弦定理可得,則,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;【詳解】(Ⅰ)由得再由正弦定理得因此,又因?yàn)椋?(Ⅱ)當(dāng)時(shí),的周長(zhǎng)有最大值,且最大值為3,理由如下:由正弦定理得,所以,所以.因?yàn)椋?,所以?dāng)即時(shí),取到最大值2,所以的周長(zhǎng)有最大值,最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.22、(1),
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