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2025屆廣州天河區(qū)一一三中高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合,,則A. B. C. D.3.已知等差數(shù)列的公差為-2,前項(xiàng)和為,若,,為某三角形的三邊長(zhǎng),且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為,則的最大值為()A.5 B.11 C.20 D.254.如圖所示,三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一個(gè)內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米粒(大小忽略不計(jì),?。?,則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.20 B.27 C.54 D.645.若2m>2n>1,則()A. B.πm﹣n>1C.ln(m﹣n)>0 D.6.為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)(指標(biāo)值滿分為100分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖,則下面敘述不正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)7.已知非零向量滿足,,且與的夾角為,則()A.6 B. C. D.38.已知,,分別為內(nèi)角,,的對(duì)邊,,,的面積為,則()A. B.4 C.5 D.9.已知,函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)極值點(diǎn),則正實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.10.若樣本的平均數(shù)是10,方差為2,則對(duì)于樣本,下列結(jié)論正確的是()A.平均數(shù)為20,方差為4 B.平均數(shù)為11,方差為4C.平均數(shù)為21,方差為8 D.平均數(shù)為20,方差為811.已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若為線段中點(diǎn)且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.12.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,,則的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)函數(shù),,其中.若存在唯一的整數(shù)使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.14.已知向量,且,則實(shí)數(shù)的值是__________.15.執(zhí)行以下語(yǔ)句后,打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是:_____.16.若點(diǎn)在直線上,則的值等于______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知直線與拋物線交于兩點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4時(shí),求直線的斜率;(2)已知點(diǎn),直線過(guò)點(diǎn),記直線的斜率分別為,當(dāng)取最大值時(shí),求直線的方程.18.(12分)已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?,且?dāng)時(shí),.(1)求函數(shù)的解析式;(2)記函數(shù),若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線:交于,兩點(diǎn),且當(dāng)時(shí),.(1)求的值;(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為,拋物線在點(diǎn)處的切線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn),證明:軸.20.(12分)已知直線l的極坐標(biāo)方程為,圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)請(qǐng)分別把直線l和圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)求直線l被圓截得的弦長(zhǎng).21.(12分)如圖,已知在三棱臺(tái)中,,,.(1)求證:;(2)過(guò)的平面分別交,于點(diǎn),,且分割三棱臺(tái)所得兩部分幾何體的體積比為,幾何體為棱柱,求的長(zhǎng).提示:臺(tái)體的體積公式(,分別為棱臺(tái)的上、下底面面積,為棱臺(tái)的高).22.(10分)已知函數(shù),的最大值為.求實(shí)數(shù)b的值;當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;當(dāng)時(shí),令,是否存在區(qū)間,,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)??若存在,求?shí)數(shù)k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為的形式,然后判斷復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限,即可求得答案.【詳解】對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為在第二象限故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】分析:根據(jù)集合可直接求解.詳解:,,故選C點(diǎn)睛:集合題也是每年高考的必考內(nèi)容,一般以客觀題形式出現(xiàn),一般解決此類問(wèn)題時(shí)要先將參與運(yùn)算的集合化為最簡(jiǎn)形式,如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決,若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進(jìn)行運(yùn)算.3、D【解析】

由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減,再由余弦定理結(jié)合通項(xiàng)可求得首項(xiàng),即可求出前n項(xiàng)和,從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2,可知數(shù)列單調(diào)遞減,則,,中最大,最小,又,,為三角形的三邊長(zhǎng),且最大內(nèi)角為,由余弦定理得,設(shè)首項(xiàng)為,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前項(xiàng)和.故的最大值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查求前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題,同時(shí)還考查了余弦定理的應(yīng)用.4、B【解析】

設(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為,從而求得小正方體的邊長(zhǎng)為,設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為,利用概率模擬列方程即可求解?!驹斀狻吭O(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為,則小正方體的邊長(zhǎng)為,設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為,則,解得:故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。5、B【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【詳解】若2m>2n>1=20,∴m>n>0,∴πm﹣n>π0=1,故B正確;而當(dāng)m,n時(shí),檢驗(yàn)可得,A、C、D都不正確,故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小,根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系,需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合特值法得出選項(xiàng).6、D【解析】

根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙,故A正確;對(duì)于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分,故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),故B正確;對(duì)于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為,乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為,故C正確;對(duì)于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算為80分,不是最強(qiáng)的,故D錯(cuò)誤;故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計(jì)算,考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則,判斷四邊形的形狀,推出結(jié)果即可.【詳解】解:非零向量,滿足,可知兩個(gè)向量垂直,,且與的夾角為,說(shuō)明以向量,為鄰邊,為對(duì)角線的平行四邊形是正方形,所以則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義,向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由正弦定理可知,從而可求出.通過(guò)可求出,結(jié)合余弦定理即可求出的值.【詳解】解:,即,即.,則.,解得.,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面積公式,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過(guò)正弦定理結(jié)合已知條件,得到角的正弦值余弦值.9、B【解析】

先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出,函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)極值點(diǎn)即為三個(gè)最值點(diǎn),解出,,再建立不等式求出的范圍,進(jìn)而求得的范圍.【詳解】解:令,解得對(duì)稱軸,,又函數(shù)在區(qū)間恰有個(gè)極值點(diǎn),只需解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成或的形式;(2)根據(jù)自變量的范圍確定的范圍,根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.10、D【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10,方差為2,所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點(diǎn)睛】樣本的平均數(shù)是,方差為,則的平均數(shù)為,方差為.11、B【解析】

設(shè),代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而得到的等式,求出離心率.【詳解】,設(shè),則,兩式相減得,∴,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題方法是點(diǎn)差法,即出現(xiàn)雙曲線的弦中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.12、C【解析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,判斷出最小時(shí)的值,由此求得的最小值.【詳解】依題意,解得,所以.由解得,所以前項(xiàng)和中,前項(xiàng)的和最小,且.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算,考查等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的求法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫出圖像,再根據(jù)存在唯一的整數(shù)使得數(shù)形結(jié)合列出臨界條件滿足的關(guān)系式求解即可.【詳解】解:函數(shù),且畫出的圖象如下:因?yàn)?且存在唯一的整數(shù)使得,故與在時(shí)無(wú)交點(diǎn),,得;又,過(guò)定點(diǎn)又由圖像可知,若存在唯一的整數(shù)使得時(shí),所以,存在唯一的整數(shù)使得所以.根據(jù)圖像可知,當(dāng)時(shí),恒成立.綜上所述,存在唯一的整數(shù)使得,此時(shí)故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)范圍的問(wèn)題,需要根據(jù)題意分別分析定點(diǎn)右邊的整數(shù)點(diǎn)中為滿足條件的唯一整數(shù),再數(shù)形結(jié)合列出時(shí)的不等式求的范圍.屬于難題.14、【解析】∵=(1,2),=(x,1),則=+2=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,4),=2﹣=2(1,2)﹣(x,1)=(2﹣x,3),∵∴3(1+2x)﹣4(2﹣x)=1,解得:x=.點(diǎn)睛:由向量的數(shù)乘和坐標(biāo)加減法運(yùn)算求得,然后利用向量共線的坐標(biāo)表示列式求解x的值.若=(a1,a2),=(b1,b2),則⊥?a1a2+b1b2=1,∥?a1b2﹣a2b1=1.15、1【解析】

根據(jù)程序框圖直接計(jì)算得到答案.【詳解】程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量的取值如下所示:是否繼續(xù)循環(huán)ix循環(huán)前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循環(huán),所以打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是:1故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.16、【解析】

根據(jù)題意可得,再由,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,得,又,解得,當(dāng)時(shí),則,此時(shí);當(dāng)時(shí),則,此時(shí),綜上,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)設(shè),根據(jù)直線的斜率公式即可求解;(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程,由韋達(dá)定理得,,結(jié)合直線的斜率公式得到,換元后討論的符號(hào),求最值可求解.【詳解】(1)設(shè),因?yàn)?,即直線的斜率為1.(2)顯然直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組,可得則,令,則則當(dāng)時(shí),;當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),解得時(shí),取“=”號(hào),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),綜上所述,當(dāng)時(shí),取得最大值,此時(shí)直線的方程是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的斜率公式,直線與拋物線的位置關(guān)系,換元法,均值不等式,考查了運(yùn)算能力,屬于難題.18、(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)奇函數(shù)定義,可知;令則,結(jié)合奇函數(shù)定義即可求得時(shí)的解析式,進(jìn)而得函數(shù)的解析式;(2)根據(jù)零點(diǎn)定義,可得,由函數(shù)圖像分析可知曲線與直線在第三象限必1個(gè)交點(diǎn),因而需在第一象限有2個(gè)交點(diǎn),將與聯(lián)立,由判別式及兩根之和大于0,即可求得的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),且,故;當(dāng)時(shí),,,則;故.(2)令,解得,畫出函數(shù)關(guān)系如下圖所示,要使曲線與直線有3個(gè)交點(diǎn),則2個(gè)交點(diǎn)在第一象限,1個(gè)交點(diǎn)在第三象限,聯(lián)立,化簡(jiǎn)可得,令,即,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式,分段函數(shù)圖像畫法,由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1)1;(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)設(shè),,聯(lián)立直線和拋物線方程,得,寫出韋達(dá)定理,根據(jù)弦長(zhǎng)公式,即可求出;(2)由,得,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出拋物線在點(diǎn)點(diǎn)處切線方程,進(jìn)而求出,即可證出軸.【詳解】解:(1)設(shè),,將直線代入中整理得:,∴,,∴,解得:.(2)同(1)假設(shè),,由,得,從而拋物線在點(diǎn)點(diǎn)處的切線方程為,即,令,得,由(1)知,從而,這表明軸.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,涉及聯(lián)立方程組、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式以及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.20、(1).x2+y2=1.(2)16【解析】

(1)直接利用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程公式化簡(jiǎn)得到答案.(2)圓心到直線的距離為,故弦長(zhǎng)為得到答案.【詳解】(1),即,即,即.,故.(2)圓心到直線的距離為,故弦長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程,圓的弦長(zhǎng),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.21、(1)證明見(jiàn)解析;(2)2【解析】

(1)在中,利用勾股定理,證得,又由題設(shè)條件,得到,利用線面垂直的判定定理,證得平面,進(jìn)而得到;(2)設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為,根據(jù)棱臺(tái)的體積公式,列出方程求得,得到,即可求解.【詳解】(1)由題意,在中,,,所以,可得,因?yàn)?,可?又由,,平面,所以平面,因?yàn)槠矫?,所?(2)因?yàn)椋傻?,令,,設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為,則,整理得,即,解得,即,又由,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面垂直的判定與應(yīng)用,以及幾何體的體積公式的應(yīng)用,其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理,以及熟練應(yīng)用幾何體的體積公式進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.22、(1);(2)時(shí),在單調(diào)增;時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;時(shí),同理在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(3)不存在.【解析】分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當(dāng)時(shí),取得極大值,也是最大值,由,可得結(jié)果;(2)求出,分三種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(3)假設(shè)存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)

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