專題08 數列求通項與求和（考點清單+知識導圖+17個考點清單-題型解讀）（解析版）-25學年高二數學上學期期末考點大串講

清單08數列求通項與求和（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】累加法（疊加法）若數列滿足，則稱數列為“變差數列”，求變差數列的通項時，利用恒等式求通項公式的方法稱為累加法?！厩鍐?2】累乘法（疊乘法）若數列滿足，則稱數列為“變比數列”，求變比數列的通項時，利用求通項公式的方法稱為累乘法?！厩鍐?3】數列求通項（法）對于數列，前項和記為；①；②②：法歸類角度1：已知與的關系；或與的關系用，得到例子：已知，求角度2：已知與的關系；或與的關系替換題目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左側含有：作差法（類似）例子：已知求【清單04】構造法用“待定系數法”構造等比數列形如（為常數，）的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數列，先求出的通項，從而求出數列的通項公式.【清單05】倒數法用“倒數變換法”構造等差數列類型1：形如（為常數，）的數列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構造出新的等差數列，先求出的通項，即可求得.類型2：形如（為常數，，，）的數列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡為：（此類型符構造法類型1：用“待定系數法”構造等比數列：形如（為常數，）的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數列，先求出的通項，從而求出數列的通項公式.）【清單06】裂項相消法1、等差型=1\*GB3①特別注意②如：（尤其要注意不能丟前邊的）2、無理型=1\*GB3①如：3、指數型①如：【考點題型一】累加法求通項核心方法：形如：【例1】（24-25高二上·山東·期中）在數列中，，則的通項公式為．【答案】；【知識點】對數的運算、累加法求數列通項、由遞推關系式求通項公式【分析】求出，利用累加法求和得到通項公式.【詳解】，故，所以.故答案為：【變式1-1】（24-25高二上·上?！て谥校┤魯盗袧M足，且（其中，），則的通項公式是．【答案】【知識點】累加法求數列通項、求等差數列前n項和【分析】根據給定條件，利用累加法求出數列的通項.【詳解】在數列中，，當時，，則，滿足上式，所以的通項公式是.故答案為：【考點題型二】累乘法求通項核心方法：形如：【例2】（2024·陜西西安·模擬預測）設數列的前項和為，且．(1)求數列的通項公式；【答案】(1)【知識點】裂項相消法求和、累乘法求數列通項、利用an與sn關系求通項或項、數列不等式恒成立問題【分析】（1）根據條件，利用與間的關系，得到，再利用累積法，即可求出結果；【詳解】（1）因為①，所以當時，②，由①②得到，整理得到，又，所以，得到，所以當時，，當，滿足，所以.【變式2-1】（23-24高三上·四川成都·期末）已知數列數列滿足，，其中n∈N*．(1)求數列的通項公式；【答案】(1)【知識點】錯位相減法求和、累乘法求數列通項【分析】（1）根據已知條件，利用累乘法求；【詳解】（1）由得：，故，，，……，，，以上個式子相乘得，，故；【考點題型三】已知與的關系；或與的關系核心方法：用，得到【例3】（24-25高三上·遼寧沈陽·期中）已知數列的前項和為，且滿足.(1)求數列的通項公式；【答案】(1)【知識點】裂項相消法求和、利用an與sn關系求通項或項、構造法求數列通項【分析】（1）利用、等比數列定義可得答案；【詳解】（1）當時，，解得，因①，當時，②，①②得，，即，則，即，，又.所以是以為首項，為公比的等比數列，可得，即；【變式3-1】（2024·廣東佛山·一模）已知數列的前項和為，且.(1)求數列的通項公式；(答案】(1)【分析】（1）根據數列的前項和，可構造數列的遞推公式，再構造等比數列，可求數列的通項公式.【詳解】（1）當時，.當時，，，兩式相減得：.所以是以為首項，以2為公比的等比數列，所以.當時，上式也成立.所以數列的通項公式為：【考點題型四】已知與的關系；或與的關系核心方法：替換題目中的【例4】（2024高三·全國·專題練習）已知數列的前n項和為，，且，求通項公式．【答案】【知識點】利用定義求等差數列通項公式、利用an與sn關系求通項或項【分析】根據的關系及已知得到，由等差數列的定義寫出的通項公式，進而求通項公式.【詳解】由，，，，即是以2為公差，1為首項的等差數列，，即，當時，，顯然，時，上式不成立，所以．【變式4-1】（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知數列中，，且，為數列的前項和，，數列bn是等比數列，，．(1)求數列和bn的通項公式；【答案】(1)，【知識點】等比數列通項公式的基本量計算、裂項相消法求和、利用an與sn關系求通項或項【分析】（1）根據與關系和平方差公式可得，再結合等比數列的基本量計算，可得；【詳解】（1）由已知當時，，，所以，又，所以，所以，所以數列是以為首項，為公差的等差數列，所以，所以當時，，又，所以，設等比數列bn的公比為，因為，，所以，，解得，所以；【考點題型五】已知等式中左側含有：核心方法：作差法（類似）【例5】（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）已知數列滿足：，數列bn滿足：.(1)求數列的前15項和；【答案】(1)130【知識點】含絕對值的等差數列前n項和、錯位相減法求和、分組（并項）法求和、利用an與sn關系求通項或項【分析】（1）由題意得，去絕對值后利用分組求和，結合等差數列的前項和公式計算即可.【詳解】（1）因為，解得，所以.【變式5-1】（24-25高三上·重慶·期中）已知數列滿足，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【知識點】利用an與sn關系求通項或項【分析】利用時，，推得，代入，求出答案．【詳解】由題意可得①，所以時，②，①②得，所以，所以．故選：C．【考點題型六】數列求通項之構造法（形如）【例6】（24-25高三上·四川綿陽·階段練習）已知數列滿足，且，則.【答案】【知識點】寫出等比數列的通項公式、構造法求數列通項【分析】利用構造法，構造等比數列求通項公式.【詳解】設，解得：，所以，又，則，故是以為首項，為公比的等比數列，所以，即，故答案為：.【變式6-1】（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）在數列中，，則．【答案】【知識點】寫出等比數列的通項公式、構造法求數列通項【分析】利用構造法構造數列，即可求解．【詳解】解：因為，所以，所以，所以數列是一個等比數列，所以，所以．故答案為：．【變式6-2】（23-24高三上·新疆烏魯木齊·階段練習）設數列滿足，．(1)求數列的通項公式；【答案】(1)(2)【知識點】寫出等比數列的通項公式、分組（并項）法求和、構造法求數列通項【分析】（1）推導出數列為等比數列，確定該數列的公比和第二項的值，即可求得數列的通項公式；【詳解】（1）解：因為數列滿足，，則，且，所以，數列是等比數列，且該數列的第二項為，公比為，所以，，則.【考點題型七】數列求通項之構造法（形如）【例7】（2024高二·全國·專題練習）已知數列滿足，且，則數列的通項公式為．【答案】【知識點】由遞推關系式求通項公式、構造法求數列通項【分析】結合遞推公式的結構特點構建一個等差數列，利用等差數列的通項公式求出構建的數列的通項公式，進而得解.【詳解】將兩邊同時除以，得，即．由等差數列的定義知，數列是以為首項，為公差的等差數列，所以，故．故答案為：.【變式7-1】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·開學考試）數列滿足，則數列的通項公式為．【答案】【知識點】由遞推關系式求通項公式、利用定義求等差數列通項公式、構造法求數列通項【分析】利用數列的遞推關系求數列的通項公式，將，經化簡可知新的數列是等差數列，在變形可求得.【詳解】由題意知將等式兩邊同時除以，可得，因為，所以可知，則數列是以為首項，為公差的等差數列，所以，所以.故答案為：【變式7-2】（2024高三·全國·專題練習）在數列中，已知，，求的通項公式．【答案】【知識點】由遞推關系式求通項公式、寫出等比數列的通項公式、構造法求數列通項【分析】通過湊配法證得是等比數列，進而求的通項公式.【詳解】由，得，整理得，所以是首項為，公比為的等比數列．故，則．【考點題型八】數列求通項之倒數法（形如）【例8】（2024高二上·全國·專題練習）已知數列的首項，，，記，若，則正整數的最大值為.【答案】【知識點】求等比數列前n項和、構造法求數列通項【分析】根據遞推公式，通過構造數列法求得，再利用等比數列的前項和公式，求得Sn，再解不等式即可.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，所以數列為等比數列，所以，所以，所以，若，則，所以，故正整數的最大值為99，故答案為：99.【點睛】本題考查通過構造數列法求通項公式，以及利用公式法求等比數列的前項和，屬中檔題.【變式8-1】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知數列的前項和為，若，且，則．【答案】【知識點】由遞推關系式求通項公式、寫出等比數列的通項公式、構造法求數列通項【分析】構造數列，證明該數列是等比數列，再根據等比數列的通項公式求的通項公式.【詳解】由，即，因為，所以數列是首項為，公比為的等比數列，即，所以．故答案為：【變式8-2】（2024高三·全國·專題練習）若數列{an}中，，則這個數列的【答案】【知識點】由遞推關系式求通項公式、構造法求數列通項【解析】取倒數，推出數列是等差數列，然后求解數列的通項公式即可．【詳解】解：由題意，數列中，，可得，所以數列表示首項為1，公差為3的等差數列，所以，即，故答案為：【點睛】本題考查數列的遞推關系式的應用，通項公式的求法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．【考點題型九】數列求和之倒序相加法【例9】（24-25高二上·上海·階段練習）已知函數，數列是正項等比數列，且，(1)計算的值；(2)用書本上推導等差數列前n項和的方法，求的值.【答案】(1)1；(2).【知識點】求函數值、等比數列下標和性質及應用、倒序相加法求和【分析】（1）直接代入化簡即可；（2）由（1），結合等比數列性質，即可求解.【詳解】（1）因為函數，所以（2）因數列是正項等比數列，且，則，所以，同理，令，又，則有，故，所以.【變式9-1】（2024·浙江·一模）若，已知數列中，首項，，，則.【答案】158【知識點】由遞推關系式求通項公式、倒序相加法求和【分析】利用已知確定數列的通項公式，得出，，由函數解析式得出，結合倒序相加法求和．【詳解】，則，所以，整理得，即是常數數列，又，所以，，，則，所以，又，所以，，所以，所以．故答案為：158．【變式9-2】（24-25高三上·山東濟寧·期中）已知函數，，則的對稱中心為；若（），則數列的通項公式為．【答案】【知識點】函數奇偶性的定義與判斷、函數奇偶性的應用、判斷或證明函數的對稱性、倒序相加法求和【分析】利用中心對稱的定義求出圖象的對稱中心，利用函數的對稱性及倒序相加法求出通項.【詳解】函數的定義域為R，，由，得，則，因此函數圖象的對稱中心是；由，得，當時，，，，于是，即，所以數列的通項公式為.故答案為：；【考點題型十】數列求和之分組求和法（形如）【例10】（2024·海南?？凇つM預測）記為數列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【答案】(1)(2)【知識點】寫出等比數列的通項公式、分組（并項）法求和、利用an與sn關系求通項或項【分析】（1）令，可求出的值；令，由可得，兩個等式作差推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，即可求出數列的通項公式；（2）求出數列的通項公式，利用分組求和法可求得.【詳解】（1）解：因為為數列的前項和，且，當時，則有，解得；當時，由可得，上述兩個等式作差可得，整理得，所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，因此，.（2）解：因為，所以，.【變式10-1】（2024·貴州銅仁·模擬預測）已知正項等差數列滿足：且，，成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)若數列bn滿足：，，求數列的前項和.【答案】(1)或(2)或【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、等比中項的應用、求等比數列前n項和、分組（并項）法求和【分析】（1）由等比中項的性質以及等差數列的通項公式可求出公差，從而得到通項公式；（2）利用分組求和法，分別計算兩種情況下數列的前項和.【詳解】（1）設正項等差數列的公差為，由成等比數列，得，則，又，即，解得或.當時，.當時，.所以數列的通項公式為或.（2）由題意得，當時，，則，所以數列的前項和當時，，則，且，故bn是以為首項，為公比的等比數列，則.故數列的前項和或.【變式10-2】（24-25高三上·北京·階段練習）已知是各項均為正數的等比數列，，且，，成等差數列．(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和．【答案】(1)(2)【知識點】寫出等比數列的通項公式、等比數列通項公式的基本量計算、分組（并項）法求和【分析】（1）設公比為，根據等差中項可得，根據等比數列通項公式列式求解即可；（2）由（1）可知：，利用分組求和結合等差、等比數列求和公式運算求解.【詳解】（1）設等比數列的公比為，且，因為，，成等差數列，則，即，解得或（舍去），所以的通項公式為.（2）由（1）可知：，則，所以.【考點題型十一】數列求和之分組求和法（形如）【例11】（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知數列的前項和為，等差數列bn的前項和為.(1)求和bn的通項公式;(2)設求數列的前項和.【答案】(1)，(2)【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、錯位相減法求和、分組（并項）法求和、利用an與sn關系求通項或項【分析】（1）利用的關系求出，利用等差數列的基本量求解；（2）可分組求和，分別依據等差數列求和與錯位相減求和.【詳解】（1）解：因為，①所以當時，，又，所以.當時，，②①式減去②式得，所以.又，所以，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以.設等差數列bn的公差為，因為，可得，解得，所以，即bn的通項公式為.（2）解：因為可得則數列的前2n項和，令，，則，所以，，.【變式11-1】.（24-25高三上·黑龍江大慶·階段練習）已知數列的前項和為，且滿足.(1)求證:數列為等比數列;(2)已知，求數列的前2n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】由遞推關系證明等比數列、錯位相減法求和、分組（并項）法求和、利用an與sn關系求通項或項【分析】（1）當n=1時代入求出，當時仿寫作差即可；（2）將數列bn的前2n項和轉化為，利用等比數列的求和公式求出，利用錯位相減法求出即可；【詳解】（1）當n=1時，，解得，當時，由，可得，兩式相減得，所以，又因為，所以是首項為，公比為2的等比數列.（2）由（1）可知，所以，設數列bn的前項和為，所以，即，令，知，，，作差得，化簡，所以【變式11-2】（23-24高二下·黑龍江大慶·期末）記數列的前項和為，已知且．(1)求的通項公式；(2)記，求數列的前項和【答案】(1)(2)【知識點】分組（并項）法求和、累乘法求數列通項、利用an與sn關系求通項或項【分析】（1）由與的關系式可得數列的遞推公式，利用累乘法可求通項公式；（2）由（1）知，所以，利用分組求和法求.【詳解】（1）根據題意，，，則，兩式相減得，即，所以，故的通項公式為；（2）由（1）知，，所以，故，.【考點題型十二】數列求和之列項相消法（形如）【例12】（24-25高二上·上海·期中）已知點是指數函數圖像上一點，等比數列的前項和為，數列的首項為，且數列bn的前項和Sn滿足.(1)求數列的通項公式；(2)求數列bn(3)若數列前項和為，問的最小正整數是多少？【答案】(1)(2)(3)72【知識點】裂項相消法求和、利用an與sn關系求通項或項、等差數列通項公式的基本量計算、等比數列通項公式的基本量計算【分析】（1）先設函數，由等比數列的前n項和為求出，再求出，進一步求出公比，確定其通項公式；（2）分解因式為，結合條件判斷為等差數列，再利用當，求.（3）裂項求得數列的前n項和為，求解關于n的不等式可得最小正整數.【詳解】（1）設指數函數，則，即，．，．又數列成等比數列，，．又公比，．（2），又，，，故為首項為1、公差為1的等差數列，．當，，當時也滿足，（3），則由，得，即，則最小正整數為72【變式12-1】（24-25高二上·福建莆田·階段練習）已知數列滿足：，且，等差數列的公差為正數，其前項和為，，且、、成等比數列．(1)求、、；(2)求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；(3)若，數列的前項和為，求證：．【答案】(1)，，(2)證明見解析，(3)證明見解析【知識點】由定義判定等比數列、數列不等式恒成立問題、根據數列遞推公式寫出數列的項、裂項相消法求和【分析】（1）利用遞推公式逐項計算可得出、、的值；（2）由已知條件可得出，利用等比數列的定義可證得結論成立，確定數列的首項和公比，即可求得數列的通項公式；（3）設等差數列的公差為，由等差數列的求和公式可得出的值，結合已知條件求出的值，結合等差數列的通項公式可求得數列的通項公式，利用裂項相消法求出，結合數列的單調性可證得結論成立.【詳解】（1）解：因為知數列滿足：，且，由，可得，由，可得，由，可得.（2）解：由可得，且，所以，數列是公比和首項都為的等比數列，所以，，故.（3）解：設等差數列的公差為，且，因為，可得，因為、、成等比數列，即，因為，解得，所以，，，且數列的前項和為，則數列單調遞增，所以，，因為，綜上所述，對任意，.【變式12-2】（24-25高二上·甘肅白銀·期中）設數列的前n項和為，，．(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．【答案】(1)，(2)，【知識點】寫出等比數列的通項公式、利用an與sn關系求通項或項、裂項相消法求和【分析】（1）由得，相減可得遞推公式，進而判斷為等比數列，從而可得等比數列的通項公式；（2）根據題意計算可得數列bn的通項公式，進而通過裂項相消法可得前n【詳解】（1）由，得，兩式相減得，即．因為，所以，得，滿足．所以是首項為8，公比為4的等比數列，，．（2）因為，所以．所以.故數列bn的前n項和為，.【考點題型十三】數列求和之列項相消法（形如）【例13】（2024高三·全國·專題練習）已知等差數列的前項和為，公差為，若為函數的兩個零點，且．(1)求數列的通項公式；(2)若求數列的前項和．【答案】(1)(2)【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、裂項相消法求和、等差數列前n項和的基本量計算【分析】（1）運用零點概念，結合等差數列的求和公式和通項公式計算即可；（2）運用裂項相消計算即可.【詳解】（1）因為為函數的兩個零點，且，所以，又因為，所以，解得，所以是首項為3，公差為2的等差數列，所以．（2）因為所以【變式13-1】（2024·陜西渭南·模擬預測）已知等差數列的前n項和為，，．(1)求的通項公式及；(2)設______，求數列的前n項和．在①；②；③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解．注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)，；(2)答案見解析【知識點】求等差數列前n項和、等差數列通項公式的基本量計算、裂項相消法求和、利用定義求等差數列通項公式【分析】（1）設出等差數列的公差，由題意列方程求出首項和公差，即可求得答案；（2）不論選①、選②還是選③，都要利用（1）的結果，可得的表達式，利用裂項相消法求和，即得答案.【詳解】（1）由題意知等差數列的前n項和為，，，設公差為d，則，解得，故，；（2）若選①，則，故；若選②，則，故；若選③，則，故.【考點題型十四】數列求和之列項相消法（形如）【例14】（24-25高三上·江西贛州·階段練習）已知數列的前項和為，，.(1)求數列的通項公式；(2)已知數列bn，，其前項和為，求使得對所有都成立的自然數的值.【答案】(1)(2)【知識點】裂項相消法求和、利用an與sn關系求通項或項【分析】（1）令，求出的值，令，由可得，兩式作差推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，即可求得數列的通項公式；（2）利用裂項相消法求出的表達式，求出的取值范圍，可得出關于的不等式，即可得出符合條件的自然數的值.【詳解】（1）（1）解：因為數列的前項和為，，，當時，有，解得，當時，由可得，上述兩個等式作差可得，可得，所以，數列是首項為，公比為的等比數列，則.（2）（3）解：因為，所以，，因為，且，故數列單調遞增，所以，，且，故對任意的，，因為不等式對所有恒成立，所以，，解得，因為，則的值為.【變式14-1】（24-25高二上·山東青島·階段練習）已知數列的前項和為，，，且.(1)求的通項公式；(2)若，數列的前n項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】數列不等式恒成立問題、利用an與sn關系求通項或項、裂項相消法求和、由遞推關系式求通項公式【分析】（1）根據數列遞推式可推出，求出，由此可求得答案；（2）結合（1）可得的表達式，利用裂項求和法求出表達式，即可證明結論.【詳解】（1）將兩邊同時除以，得.所以是等差數列.當時，，公差是，得，則，①當時，，②①-②，得，整理得，則，也符合，所以.（2）證明：由（1）得，所以，因為，所以.【變式14-2】（2024·福建泉州·二模）已知數列和bn的各項均為正，且，bn是公比3的等比數列．數列的前n項和滿足．(1)求數列，bn的通項公式；(2)設，求數列的前n項和．【答案】(1)，(2)【知識點】裂項相消法求和、分組（并項）法求和、等比數列通項公式的基本量計算、利用an與sn關系求通項或項【分析】（1）利用遞推公式可證得數列是等差數列，可求出數列的通項；利用等比數列的性質，可求出bn通項；（2）根據裂項相消和分組求和法求解即可；【詳解】（1）由題設，當時或（舍），由，知，兩式相減得，（舍）或，即，∴數列是首項為2，公差為2的等差數列，．又．（2）則當n為偶數時，；當n為奇數時，．所以.【考點題型十五】數列求和之錯位相減法【例15】（2024·福建·三模）已知等差數列的前項和為，若，.(1)求數列的通項公式及前項和；(2)若，求數列的前項和.【答案】(1)，；(2)【知識點】利用定義求等差數列通項公式、等差數列通項公式的基本量計算、求等比數列前n項和、錯位相減法求和【分析】（1）設出公差，根據題目條件得到方程組，求出，得到通項公式和前項和；（2），利用錯位相減法求和得到答案.【詳解】（1）設公差為，則，，解得，故；；（2），故①，則②，式子①-②得，所以.【變式15-1】（24-25高三上·江蘇蘇州·期中）已知數列是公差大于1的等差數列，，且，，成等比數列，若數列前項和為，并滿足，.(1)求數列，的通項公式.(2)若，求數列前項的和.【答案】(1)；(2)【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、錯位相減法求和、利用an與sn關系求通項或項【分析】（1）利用等差數列的基本量可求出；利用和的關系，構造出即可求出；（2）利用錯位相減法求解即可.【詳解】（1）設等差數列的公差為，由，且，，成等比數列知：，整理得：，即或者，因為公差大于1，故.且，故.數列前項和為，并滿足①，且，解得，故當時，②，①式減②式得：，即，故是公比為2的等邊數列，則，故（2），故則故故則【變式15-2】（23-24高二上·河南商丘·期末）已知數列滿足，且．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和．【答案】(1)(2)【知識點】求等比數列前n項和、錯位相減法求和、利用an與sn關系求通項或項【分析】（1）分和兩種情況，根據前n項積與之間的關系分析求解；（2）由（1）可知，利用錯位相減法運算求解.【詳解】（1）因為，當時，；當時，，可得；且符合，所以．（2）由（1）可知，則，可得，兩式相減得，所以．【考點題型十六】數列求和之通項含絕對值求和【例16】（24-25高二上·福建寧德·階段練習）在等差數列中，的前項和為．(1)求數列的通項公式；(2)求的最大值；(3)設，求．【答案】(1)(2)36(3)【知識點】利用定義求等差數列通項公式、等差數列通項公式的基本量計算、求等差數列前n項和、含絕對值的等差數列前n項和【分析】（1）求出等差數列的公差和首項，即可求得通項公式；（2）利用等差數列的前項和公式，即可求得答案；（3）判斷數列的項的正負情況，討論的取值，結合等差數列的前項和公式，即可求得答案.【詳解】（1）解：由題意知在等差數列中，，設公差為，則，解得，則，故，∴通項公式為；（2）解：由（1）可得前項和，∴當時，取最大值；（3）解：∵，∴當時，得，即時有，時有，當時，，當時，，綜上所述.【變式16-1】（23-24高二上·天津東麗·階段練習）在各項均為正數的等比數列中，，且成等差數列.(1)求等比數列的通項公式和前n項和；(2)若數列滿足，求數列的前項和的最大值.(3)求數列的前項和【答案】(1)，；(2)25；(3).【知識點】含絕對值的等差數列前n項和、二次函數法求等差數列前n項和的最值、等比數列通項公式的基本量計算、求等比數列前n項和【分析】（1）根據給定條件，求出數列的公比即可求出通項及前n項和.（2）求出，再利用等差數列前n項和公式求解即得.（3）判斷數列的正數項與負數項，再借助（2）中結論分段求和即得.【詳解】（1）設數列的公比為，，由成等差數列，得，即，整理得，而，解得，又，所以數列的通項公式，.（2）由（1）得，，則，且，于是數列是首項為9，公差為的等差數列，所以，所以當時，取得最大值25.（3）由（2）知，當時，，當時，，當時，，；當時，，所以.【變式16-2】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）已知等差數列的前項和為，且，(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列bn的前項和．【答案】(1)(2)【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、求等差數列前n項和、等差數列前n項和的基本量計算、含絕對值的等差數列前n項和【分析】（1）由，求得，再由，得到，求得，進而求得數列的通項公式；（2）由（1），利用等差數列的求和公式，求得,令，得到時，，時，，根據，分類討論，即可求解.【詳解】（1）解：設等差數列的公差為，因為，可得，所以，又因為，所以，所以，所以數列的通項公式為.（2）解：由（1）知，，可得,令，即，解得，所以，當時，；當時，，因為，且數列bn的前項和，當時，；當時，，綜上可得，數列bn的前項和.【考點題型十七】數列中新定義題【例17】（2024高三·全國·專題練習）若數列滿足，則稱為“自然遞增數列”.(1)若，，試判斷：數列，是否為“自然遞增數列”？(2)若等差數列是“自然遞增數列”，且，求的公差的取值范圍.(3)若數列是“自然遞增數列”，共有5項，且，求所有滿足條件的數列中的概率.【答案】(1)答案見解析(2)(3)【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、計算古典概型問題的概率、數列新定義【分析】（1）由，單調遞增即可判斷，對于數列bn，通過反例即可說明；（2）通過討論或.兩類情況可求解；（3）通過，和確定基本事件總數，再結合古典概型概率計算公式即可求解.【詳解】（1）對于數列，，隨的增大而增大，滿足，所以是“自然遞增數列”.對于數列bn，，則，，，，，不滿足，故bn不是“自然遞增數列”.（2）由題意可得，則，由是“自然遞增數列”可得對任意的，單調遞增，由可得，解得或.當時，令，得，所以當時，單調遞增，又，所以對任意的，單調遞增，符合條件.當時，，由，可得單調遞增，符合條件.綜上可知，公差的取值范圍為.（3）由可知的最小值為0，最大值為5.（ⅰ）若，則或，則，，，，所以，或，或，或，此時滿足條件的數列的個數為.（ⅱ）若，則，則或4.①若，則或，則，即或，則，即或，則，即，此時滿足條件的數列的個數為.②若，則.當時，，若，則，則或，即或，若，則或，則，即；當時，或，則，，即或，.此時，滿足條件的數列的個數為.綜上可知，所有滿足條件的數列的個數為.故所有滿足條件的數列中的概率.【點睛】新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現新信息與所學知識的聯系，并從描述中體會信息的本質特征與規(guī)律；【變式17-1】（24-25高三上·山東青島·期中）已知數列為有窮數列，且，若數列滿足如下兩個性質，則稱數列為的增數列：①；②對于，使得的正整數對恰有個．(1)若等差數列1，3，5，7，9為的增數列，求的值；(2)若數列為的8增數列，求的最小值；(3)若存在60的增數列，求的最大值．【答案】(1)35(2)8(3)450【知識點】數列新定義【分析】（1）根據題意，由m的k增數列的定義求得m和k的值.（2）根據題意，由m的8增數列的定義，有，并且對于，使得的正整數對恰有個，根據這兩個條件分析m的取值范圍，求出最小值.（3）由題意得，若存在60的增數列，則根據定義分析當k最大時數列各項的特征，包括各項是否相等，各項的值為多少，相鄰項的差值是多少，確定出數列的特征后再具體計算出k的值.【詳解】（1）由題意得，根據m的k增數列的定義，，因為，所以對于，使得的正整數對有：共10對，所以，于是.（2）由題意得，數列為的8增數列，即，且對于，使得的正整數對恰有個.所以數列各項中必有不同的項，所以且.若，則滿足要求的數列中有五項為1，一項為2，所以，不符合題意，所以；若，則滿足要求的數列中有四項為1，兩項為2，此時數列為，滿足要求的整數對分別為，符合m的8增數列，所以當時，存在m的8增數列，故m的最小值為8.（3）由題意得，若數列中的每個項都相等，則，若，則數列中存在大于1的項，若首項，則將拆分成個1后k變大，所以此時k不是最大值，故.當時，若，則交換和順序后k變?yōu)椋源藭rk不是最大值，所以.若，則，此時將變?yōu)?，并在數列首位添加一?，則k值變大，所以此時k不是最大值，所以.若數列中存在相鄰的兩項，設此時中有x項為2，將改為2，并在數列首位前添加個1后，k的值至少變?yōu)?，所以此時k也不是最大值.綜上，若k為最大值，則數列中的各項只能為1或2，所以數列為的形式.設其中有x項為1，y項為2，因為存在60的k增數列，所以，所以，所以當且僅當時，k取最大值450.【點睛】本題是數列有關的新定義問題，這類問題的關鍵是要準確理解題中對于“的增數列”的定義，特別是條件②中的正整數對指的是數列下標而非數列項本身；其次在最后一問的證明過程中，需要把多種情況都考慮到，只有全面分析數列滿足的條件才能準確得出項的特征，而考慮的方面其實從前兩問中可以分析出來.【變式17-2】（24-25高二上·福建漳州·期中）若數列滿足為正整數，p為常數)，則稱數列為等方差數列，p為公方差.(1)已知數列，的通項公式分別為：，，判斷上述兩個數列是否為等方差數列，并說明理由；(2)若數列既是等方差數列，又是等差數列，證明：數列為常數列．(3)若數列是首項為1，公方差為2的等方差數列，在的條件下，在與之間依次插入數列中的k項構成新數列：，，，，，，，，，，……，求數列中前30項的和【答案】(1)為等方差數列，不是等方差數列，理由見解析(2)證明見解析(3)【知識點】利用定義求等差數列通項公式、求等差數列前n項和、求等比數列前n項和、數列新定義【分析】（1）根據等方差數列的定義，即可判斷；（2）根據等差數列及等方差數列的定義即可求解；（3）首先說明是等比數列，再根據等比數列和等差數列求和公式，即可求解．【詳解】（1）因為常數)，所以數列為等方差數列，1為公方差；因為，所以數列不是等方差數列．（2）證明：因為是等差數列，設其公差為d，則又是等方差數列，所以故，所以，即，所以，故是常數列.（3）由題意知數列是首項為1，公方差為2的等方差數列，故，而，所以；是首項為1，公比為3的等比數列，而新數列中項(含前共有項，令，結合，解得，故數列中前30項含有的前7項和數列的前23項，所以數列中前30項的和.【點睛】解答與數列有關的新定義問題的策略：（1）通過給定的與數列有關的新定義，或約定的一種新運算，或給出的由幾個新模型來創(chuàng)設的新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據題設所提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的.（2）遇到新定義問題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點，搞清新定義的本質，按新定義的要求“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使問題得以順利解決.（3）類比“熟悉數列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數列，向“熟悉數列”的性質靠攏.提升訓練一、單選題1．（24-25高三上·安徽馬鞍山·期中）已知數列滿足（），記數列前n項為，若對于任意，不等式恒成立，則實數k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】由遞推關系證明等比數列、裂項相消法求和【分析】將數列通項與前項和的關系，求得數列遞推公式，進而可得通項，將題設中的數列的通項展開裂項，運用裂項相消法求和，求得和式的范圍即得.【詳解】依題意，當時，，解得，當時，，可得，即.故是以1為首項，2為公比的等比數列，故.所以，所以，因不等式恒成立，故的取值范圍是.故選：A2．（24-25高二上·山東青島·期中）已知數列滿足，且，則（

）A．1023 B．1124 C．2146 D．2145【答案】C【知識點】求等差數列前n項和、求等比數列前n項和、分組（并項）法求和【分析】分析奇數項和偶數項的特點，分組求和即可.【詳解】根據遞推公式可知：數列的奇數項依次為：，，，…，為等比數列；數列的偶數項為：，，，…，為等差數列.所以.故選：C3．（24-25高三上·山東濟寧·開學考試），利用課本中推導等差數列前項和的公式的方法，可求得（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】倒序相加法求和【分析】利用求解即可.【詳解】，故，故……，故.故選：D4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）設數列的通項公式為，數列的前m項和，則m的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．20【答案】A【知識點】裂項相消法求和【分析】運用裂項相消法，結合指數的運算性質進行求解即可.【詳解】由題意得，則，則，得，解得，故選：A5．（24-25高三上·山東泰安·期中）已知函數，其中，記，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】對數的運算、求等差數列前n項和、裂項相消法求和【分析】根據給定條件，可得，再利用對數運算法則求得，利用裂項相消法求和即得.【詳解】函數，由，得，，因此，，所以.故選：A6．（2024·河北·模擬預測）已知函數滿足，且，設數列滿足，則數列的前n項和的表達式為（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】累加法求數列通項、由遞推關系式求通項公式、數列求和的其他方法【分析】利用累加法計算數列通項再求和即可.【詳解】由題意可知，則，累加可得，且，即，滿足上式，所以，所以的前n項和的表達式為.故選：C7．（2024高二·全國·專題練習）已知數列是等差數列，，，設為數列的前項和，則（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】特殊角的三角函數值、誘導公式二、三、四、等差數列通項公式的基本量計算、分組（并項）法求和【分析】由誘導公式和特殊角三角函數值求，結合等差數列通項公式求公差，由此可求，再利用組合求和法求.【詳解】由已