專題10 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)切線+單調(diào)性+極值+最值問題（期末壓軸專項訓(xùn)練30題）（解析版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講

專題10利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)切線+單調(diào)性+極值+最值問題（期末壓軸專項訓(xùn)練30題）一、單選題1．已知為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運算法則、由奇偶性求參數(shù)【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)求出，再由導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，最后由點斜式求出直線方程即可；【詳解】因為為奇函數(shù)，且定義域為，所以，即，所以，經(jīng)檢驗符合題意，則，曲線y=fx在點處的切線斜率為，又所以曲線y=fx在點處的切線方程為，即.故選：D2．已知函數(shù)與偶函數(shù)在交點處的切線相同，則函數(shù)在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題、導(dǎo)數(shù)的乘除法【分析】求得，得到且，根據(jù)題意，得到與相切于，且，再由為偶函數(shù)，求得，且，進(jìn)而求得切線方程.【詳解】由函數(shù)，可得，所以且，因為函數(shù)與偶函數(shù)在交點處的切線相同，所以函數(shù)與相切于，且，又因為為偶函數(shù)，所以，且，所以函數(shù)在處的切線方程為，即．故選：D.3．若過點可以作的三條切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求過一點的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】設(shè)出切點坐標(biāo)，求導(dǎo)并利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，用表示出，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)圖象性質(zhì)，進(jìn)而求出的范圍.【詳解】依題意，設(shè)切點坐標(biāo)為，由，求導(dǎo)得，則函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，由切線過點，得，令，依題意，直線與函數(shù)的圖象有3個公共點，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，而當(dāng)時，恒有，又，因此當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有3個公共點，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的問題，求解時應(yīng)把握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)圖象在切點處的切線斜率，切點未知，設(shè)出切點是解題的關(guān)鍵.4．若過點可作3條直線與曲線相切，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求過一點的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍【分析】設(shè)過點P的直線與曲線相切點，斜率相等列等式可得方程有3個不同的實數(shù)根，最后結(jié)合零點存在定理列式計算即可.【詳解】設(shè)過點P的直線與曲線相切于點，則=，其中表示直線的斜率，即，整理，得.過點P可作3條直線與曲線相切等價于方程有3個不同的實數(shù)根.設(shè)，則.由，得或，易知和是的兩個極值點.方程有3個不同的實數(shù)根，即有3個不同的零點，所以，即，解得.故選:B．5．已知拋物線：，過直線：上的動點可作的兩條切線，記切點為，則直線（

）A．斜率為2 B．斜率為 C．恒過點 D．恒過點【答案】D【知識點】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、求過一點的切線方程、拋物線中的直線過定點問題、求拋物線的切線方程【分析】設(shè)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)幾何意義得到切線方程，設(shè)，將其代入兩切線方程，得到直線的方程為，得到過定點.【詳解】設(shè)，則，，由于，故過點的切線方程為，即，即，同理可得過點的切線方程為，設(shè)，過點的兩切線交于點，故，整理得，同理，整理得，故直線的方程為，斜率不為定值，AB錯誤，當(dāng)時，，恒過點，C錯誤，D正確.故選：D6．已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值、已知切線（斜率）求參數(shù)【分析】利用已知條件求出切點的橫坐標(biāo)，從而得到，利用基本不等式即可求解.【詳解】由于直線與曲線相切，設(shè)切點為，且，所以，則切點的橫坐標(biāo)，則，即.又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為1.故選：D7．拋物線與的兩條公切線（同時與兩條曲線相切的直線叫做兩曲線的公切線）的交點坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】導(dǎo)數(shù)的運算法則、求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題【分析】設(shè)出切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再聯(lián)立求解作答.【詳解】設(shè)直線與拋物線相切的切點為，與拋物線相切的切點為，由求導(dǎo)得：，由求導(dǎo)得：，則拋物線在點處切線為，即，拋物線在點處切線為，即，依題意，，解得，因此兩條公切線方程分別為，，由，解得，所以兩條公切線的交點坐標(biāo)為.故選：C8．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A． B． C． D．【答案】D【知識點】導(dǎo)數(shù)的加減法、簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題【分析】設(shè)出兩個切點坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得.將切點代入兩條曲線，聯(lián)立方程可分別求得,代入其中一條曲線即可求得的值，由此可求.【詳解】直線是曲線的切線,也是曲線的切線,則兩個切點都在直線上,設(shè)兩個切點分別為則兩個曲線的導(dǎo)數(shù)分別為,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,則且切點在各自曲線上,所以則將代入可得可得由可得代入中可知所以，所以.故選：D.二、填空題9．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)【分析】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到函數(shù)在上成立，再由題意即可得出的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上函數(shù)，所以設(shè)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以只需即可.故答案為：.10．已知函數(shù)，．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是．【答案】．【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)【分析】將函數(shù)在上單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為在上恒成立,然后分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題來解決.【詳解】由題意得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，即在上恒成立，∴在上恒成立，令，二次函數(shù)的圖象開口向上，且對稱軸為直線，∴，∴，故實數(shù)a的取值范圍是，故答案為：．11．已知函數(shù)，若在定義域上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增列不等式，分離常數(shù)后，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】解：依題意，當(dāng)時，恒成立，即恒成立，所以，在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則，由得x>1，由得所以函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以，函數(shù)在處取得極小值也即是最小值，故，所以，，即實數(shù)的取值范圍是故答案為：.12．函數(shù)在內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是.【答案】【知識點】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用在內(nèi)有解即可.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，得不等式在內(nèi)有解，不等式，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，因此，所以的取值范圍是.故答案為：13．已知函數(shù)在上存在遞減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】【知識點】一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)【分析】求導(dǎo)得，由題意可得在區(qū)間上能成立，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意得的定義域為，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上存在遞減區(qū)間，即在區(qū)間上能成立.設(shè)，，開口向上，對稱軸為，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，所以，則，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為:.14．設(shè).若是函數(shù)的極大值點，則.【答案】【知識點】根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，再結(jié)合函數(shù)極大值點導(dǎo)數(shù)值為0建立關(guān)于a的關(guān)系式，最后結(jié)合極大值的定義，討論最終a的取值.【詳解】由題意得，，因為是函數(shù)的極大值點，所以有，解得或.又當(dāng)時，，或，，故函數(shù)在和遞增，在遞減，此時是函數(shù)的極小值點，不符題意；而當(dāng)時，，或，，故函數(shù)在和遞增，在遞減，此時是函數(shù)的極大值點.故答案為：.15．已知函數(shù)，當(dāng)時，是唯一的極值點，則的取值范圍是．【答案】【知識點】根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】由的導(dǎo)函數(shù)形式，結(jié)合極值點的概念可得在時無變號零點，根據(jù)的單調(diào)性求的取值范圍即可.【詳解】由題意可得，因為當(dāng)時，是唯一的極值點，所以是的唯一變號零點，所以在時恒大于等于0或恒小于等于0，又由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，故答案為：16．已知在區(qū)間上有最小值，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的運算法則、根據(jù)極值點求參數(shù)、已知函數(shù)最值求參數(shù)【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)的極小值點，結(jié)合題意列出不等式組，即可求得答案.【詳解】由函數(shù)，可得，當(dāng)或時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，即為函數(shù)的極小值點；要使得函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則滿足，即，因為，可得，即，解得，所以，即實數(shù)的取值為.故答案為：17．已知為自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)的最大值與函數(shù)的最小值相等，則實數(shù)的值是.【答案】/【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、已知函數(shù)最值求參數(shù)【分析】利用導(dǎo)數(shù)求的最小值，根據(jù)題設(shè)知先增后減，得到，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其最大值，列方程求參數(shù)值.【詳解】對于，有，時，即在上單調(diào)遞減，時，即在上單調(diào)遞增，所以，故的最大值為1，對于且，有，顯然先增后減，故，時，即在上單調(diào)遞增，時，即在上單調(diào)遞減，所以，則.故答案為：三、解答題18．已知函數(shù)，其中.(1)若曲線在點處的切線垂直于直線，求a的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)；(2)答案見解析.【知識點】已知切線（斜率）求參數(shù)、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合垂直關(guān)系求出值.（2）分類討論判斷值的正負(fù)情況，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，由曲線在點處的切線垂直于直線，得，所以.（2）函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，方程中，，若，則，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，則，關(guān)于x的方程有兩個正根，，，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的極值；(2)討論的單調(diào)性．【答案】(1)極大值為，極小值為(2)答案見解析【知識點】求已知函數(shù)的極值、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的極值.（2）先求得f′x，對進(jìn)行分類討論，從而求得的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的極大值是，極小值為.（2），，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.綜上：當(dāng)時，fx在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.20．設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的極值；(2)當(dāng)時，判斷的單調(diào)性．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)答案見解析【知識點】求已知函數(shù)的極值、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）對求導(dǎo)，將代入，結(jié)合導(dǎo)數(shù)正負(fù)求解原函數(shù)的極值即可；（2）結(jié)合，和二次函數(shù)性質(zhì)判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，再判斷單調(diào)性即可.【詳解】（1）由已知，的定義域為，，當(dāng)時，令，得，又，所以．當(dāng)時，；當(dāng)時，．因此，當(dāng)時，有極小值，極小值為，無極大值．（2）由已知，的定義域為，，令，則在上遞減，在上遞增，因此，有最小值．①當(dāng)時，，則，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，可解得，或此時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減．綜上：時，在上單調(diào)遞增；時，在和上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減.21．設(shè)函數(shù)在處取得極值.(1)求的解析式；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最值.【答案】(1)；(2)最大值為3，最小值為.【知識點】根據(jù)極值求參數(shù)、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)極值有，列方程求參數(shù)，注意驗證；（2）利用導(dǎo)數(shù)確定的區(qū)間單調(diào)性，進(jìn)而求最值.【詳解】（1）由題設(shè)，且，，所以，故，此時，故在上，在上，所以fx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極值，滿足題設(shè)，綜上，.（2）由（1）知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，在區(qū)間中，在上遞增，在上遞減，由，，，，綜上，函數(shù)的最大值為3，最小值為.22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，證明：；(2)若函數(shù)有極小值，且的極小值小于，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】根據(jù)極值求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【分析】（1）當(dāng)時，證明出即可；（2）對實數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性，可得出，根據(jù)題意可得出，可得出，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性可解不等式即可.【詳解】（1）證明：要證，只需證.當(dāng)時，則，其中，可得，令得，，列表如下：1遞減極小值遞增所以，函數(shù)在處取得即小值，亦即最小值，即，所以，.（2）解：因為，其中，則，當(dāng)時，，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，可得，列表如下：遞減極小值遞增所以，，由題意可得，即.令，其中，且.不等式即為，.，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，.所以，函數(shù)在單調(diào)遞增，又，則.因此，實數(shù)的取值范圍是.23．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線;(2)當(dāng)時，若的極小值小于0，求的取值范圍【答案】(1)(2).【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）【分析】（1）求出切線斜率與切點坐標(biāo)，應(yīng)用直線的點斜式求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出的極小值，再構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，解即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，所以，所以函數(shù)在處的切線為，即；（2）的定義域為，且，當(dāng)時，令，則，所以單調(diào)遞增；令，則，所以單調(diào)遞減.故當(dāng)時，取極小值，所以.設(shè)，則，所以是增函數(shù).因為，所以時，.綜上所述，的取值范圍是.24．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】(1)(2)【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合題意求解即可；（2）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后分，，三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解最小值.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，令f′x>0，得；令f′所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，，，要使關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，則，即實數(shù)的取值范圍為.（2）由，，則，由得．①當(dāng)，即時，f′x>0，在上為增函數(shù)，則；②當(dāng)，即時，在時，，為減函數(shù)，在時，f′x≥0，則；③當(dāng)，即時，f′x<0，在上為減函數(shù)，則．綜上所述，．25．已知函數(shù)在點處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)y=f′x的圖象經(jīng)過點1,0，2,0(1)的值；(2)，，的值；(3)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)，，(3)，【知識點】根據(jù)極值點求參數(shù)、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、根據(jù)極值求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可得原函數(shù)單調(diào)性，知在處取得極大值，求得；（2）利用，，構(gòu)造方程組可求得結(jié)果；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知，，求出函數(shù)值即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由圖象可知：在上，；在上，；在上，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，；（2）因為且，，，得：，解得：，，；（3）由（2）得，則，可知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，又，，，，，.26．已知函數(shù)在處取得極大值6.(1)求實數(shù)的值；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值.【答案】(1)，(2)1【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、根據(jù)極值求參數(shù)【分析】（1）由即可求出，再由極值的定義檢驗即可.（2）對求導(dǎo)，得出的單調(diào)性和極值，結(jié)合端點值即可求出函數(shù)在的最小值.【詳解】（1），因為在處取得極大值6.所以，得此時，令f′x<0可得：；令f′x>0所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增所以在處取得極大值，符合題意，所以.又，所以（2），所以列表如下：00,1122,33f+00+1極大值6極小值510由于，故時，.27．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】(1)(2)最大值為36，最小值為【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、求在曲線上一點處的切線方程（斜率）【分析】（1）求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）令得到或1，分別求得極值和區(qū)間的端點值求解.【詳解】（1）解：函數(shù)，定義域為R，則，所以，又因為，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即；（2）函數(shù)，，則，令得，或1，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，f′x<0，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又因為，f1=0，，