專題02 空間向量研究距離、夾角問題（考點清單+知識導(dǎo)圖+ 12個考點清單-題型解讀）（原卷版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講

清單02空間向量研究距離、夾角問題（個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】點到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.【清單02】用向量運算求兩條直線所成角已知，為兩異面直線，，與，分別是，上的任意兩點，，為所成的角為，則①②.【清單03】用向量運算求直線與平面所成角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）【清單04】用向量運算求平面與平面的夾角若于，于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面，的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負），則；【考點題型一】利用空間向量求點面距核心方法：【例1】（24-25高二上·云南普洱·期中）如圖，在棱長為4的正方體中，M，N分別是，的中點，則點D到截面的距離為（

）

A． B． C． D．【變式1-1】（24-25高二上·山東青島·期中）已知//面，平面的一個法向量，平面內(nèi)一點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，則直線到平面的距離為．【變式1-2】（24-25高二上·安徽阜陽·期中）在棱長為2的正方體中，點，分別是底面、側(cè)面的中心，點分別是棱，所在直線上的動點，且，當(dāng)取得最小值時，點到平面的距離為.【變式1-3】（24-25高二上·上?！て谥校┤鐖D，在長方體中，，，則棱與平面的距離為.【考點題型二】利用等體積法求點面距核心方法：等體積法【例2】（24-25高二上·上?！て谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面，底面是邊長為的正方形，，分別是的中點．(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．【變式2-1】（24-25高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為1的菱形，高為2，，則點到截面的距離為．

【變式2-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面是正三角形，平面平面，M是PD的中點.

(1)證明：平面PCD；(2)若，求點C到平面的距離.【考點題型三】異面直線所成角核心方法：向量法【例3-1】（24-25高二上·浙江紹興·期中）如圖所示，已知直四棱柱中，底面是邊長為2的菱形，且，，，，分別是，，的中點，則異面直線，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【例3-2】（24-25高二上·四川成都·期中）在平行六面體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式3-1】（24-25高二上·湖北·期中）如圖所示，在正三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【變式3-2】（24-25高二上·福建福州·期中）在三棱錐中，平面BCD，，且，M為AD的中點，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【考點題型四】異面直線所成角的最值或范圍核心方法：向量法【例4】（24-25高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知點A，B，C，D，P，Q都在同一個球面上，為正方形，若直線PQ經(jīng)過球心，且平面.則異面直線所成的角的最小值為（

）A． B． C． D．【變式4-1】（23-24高二上·安徽蚌埠·期中）在正方體中，點在上運動（包括端點），則與所成角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式4-2】（23-24高二上·湖北武漢·期中）四棱柱中，側(cè)棱底面，，底面中滿足，，，為上的動點，為四棱錐外接球的球心，則直線與所成角的正弦值的最小值為（

）A． B． C． D．【變式4-3】（2024·山東濱州）在正方體中，是棱的中點，是底面內(nèi)（包括邊界）的一個動點，若平面，則異面直線與所成角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【考點題型五】已知線線角求參數(shù)核心方法：向量法【例5】（24-25高二上·山西·期中）如圖，已知多面體中，底面是邊長為的正方形，，，平面，平面，，若異而直線與所成的角的余弦值為，則的值為（

）A． B． C． D．【變式5-1】.（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）已知四棱錐S－ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，SD⊥平面ABCD，邊AB、SC的中點分別為E，F(xiàn).若直線EC與BF所成角的余弦值為，則SD＝（

）A．2 B． C．4 D．1【變式5-2】（24-25高二上·重慶云陽·）在三棱錐中，，，平面，點M，N分別為，的中點，，Q為線段上的點（不包括端點A，B），若使異面直線與所成角的余弦值為，則（

）A．或4 B． C． D．【變式5-3】（24-25高二上·浙江寧波）在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，E為PB的中點，若，則（

）A．1 B． C．3 D．2【考點題型六】直線與平面所成角（定值）核心方法：向量法，法向量【例6】（24-25高二上·福建泉州·期中）P為長方體的對角線上一點，平面平面，若，則與面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【變式6-1】（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）如圖，直三棱柱各棱長都相等，D是棱CC?的中點，E是棱上的動點，F(xiàn)是棱AC的中點．設(shè)，隨著增大，直線BF與平面BDE所成角是（

）A．增大 B．減小 C．先增大再減小 D．先減小再增大【變式6-2】（23-24高二下·甘肅甘南·期中）正方體的棱長為是棱的中點，是四邊形內(nèi)一點（包含邊界），且，當(dāng)三棱錐的體積最大時，與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【變式6-3】（23-24高二上·山東煙臺·期中）如圖，在正四棱柱中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【考點題型七】直線與平面所成角（最值或范圍）核心方法：向量法，法向量，二次函數(shù)，基本不等式【例7-1】（24-25高二上·北京·期中）如圖，在四棱柱中，底面為正方形，側(cè)棱底面，，，是側(cè)面內(nèi)的動點，且，記與平面所成的角為，則的最大值為（

）.A． B． C．2 D．【例7-2】（24-25高二上·安徽六安·階段練習(xí)）在正方體中，是中點，點在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式7-1】（23-24高二上·北京·期中）如圖，在正方體中，點是線段上任意一點，則與平面所成角的正弦值不可能是（

）

A． B． C． D．1【變式7-2】（23-24高二上·山東泰安·階段練習(xí)）三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，N是BC的中點，點P在上，且滿足，當(dāng)直線PN與平面ABC所成的角最大時的正弦值為（

）

A． B． C． D．【考點題型八】直線與平面所成角（探索性問題）核心方法：向量法，法向量【例8】（24-25高二上·四川達州·期中）如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面平面，為的中點.(1)證明：.(2)試問在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【變式8-1】（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，且.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在棱上是否存在點（與不重合），使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說明理由.【變式8-2】（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）如圖，已知四棱錐中，，側(cè)面為邊長等于4的正三角形，底面為菱形，為的中點，側(cè)面與底面所成的二面角為．(1)求點到平面的距離；(2)已知點為直線上的動點，若直線與面所成角的正弦值為，求線段的長度．【變式8-3】（24-25高三上·山西太原·期中）如圖，三棱錐中，，，，為中點，點滿足.(1)證明：平面；(2)求二面角的大??；(3)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【考點題型九】兩個平面所成角（定值）核心方法：向量法，法向量【例9-1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，底面是邊長為2的正方形，半圓面底面，點為圓弧上的動點．當(dāng)三棱錐的體積最大時，二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【例9-2】（24-25高二上·浙江·期中）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為2，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為1和2，對應(yīng)的圓心角為，則圖中平面與平面所成角的余弦值為.【變式9-1】（24-25高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）在正方體中，平面經(jīng)過點B，D，平面經(jīng)過點A，，當(dāng)平面，分別截正方體所得截面面積最大時，平面與平面的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式9-2】（23-24高二上·河南焦作·階段練習(xí)）如圖，過二面角內(nèi)一點作于于，若，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．【考點題型十】兩個平面所成角（最值或范圍）核心方法：向量法，法向量，二次函數(shù)，基本不等式【例10】（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）長方體，，，動點滿足，，則二面角的正切值的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式10-1】（2024高二下·浙江）如圖，棱長均相等的三棱錐中，點是棱上的動點（不含端點），設(shè)，二面角的大小為.當(dāng)增大時，（

）

A．增大 B．先增大后減小C．減小 D．先減小后增大【變式10-2】（24-25高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，三棱錐中，底面ABC與側(cè)面VAC都是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且側(cè)面VAC垂直底面ABC，設(shè)E為線段AC的中點，F(xiàn)為直線AB上的動點，若平面VEF與平面VBC所成銳二面角的平面角為，則的最大值是（

）A． B． C． D．【變式10-3】（24-25高二上·四川綿陽·期中）如圖所示，在四面體中，為等邊三角形，，則平面與平面夾角的最大值是.【考點題型十一】兩個平面所成角（探索性問題）核心方法：向量法，法向量【例11】（24-25高二上·湖北省直轄縣級單位·期中）如圖，在四棱錐中，，，點為棱上一點．(1)證明：PD⊥平面ABCD；(2)當(dāng)點為棱的中點時，求直線PB與平面所成角的正弦值；(3)當(dāng)二面角的余弦值為時，求．【變式11-1】（24-25高三上·黑龍江大慶·期中）如圖在斜三棱柱中，，，，平面平面ABC，E是棱上一點，D，F(xiàn)分別是AC，AB的中點.(1)當(dāng)，證明：平面BED；(2)判斷當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，銳二面角的余弦值為【變式11-2】（24-25高二上·湖南·期中）如圖，在四棱臺中，底面ABCD是正方形，，平面(1)證明：平面(2)求直線與平面所成角的正弦值.(3)棱BC上是否存在一點P，使得二面角的余弦值為若存在，求線段BP的長;若不存在，請說明理由.【變式11-3】（24-25高二上·北京·期中）圖1是邊長為的正方形，將沿折起得到如圖2所示的三棱錐，且.(1)證明：平面平面；(2)棱上是否存在一點，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【考點題型十二】空間向量新定義題【例12】（24-25高二上·安徽蕪湖·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點.若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程可表示為，一般式方程可表示為.(1)若平面，平面，直線為平面和平面的交線，求直線的方向向量（寫出一個即可）；(2)若三棱柱的三個側(cè)面所在平面分別記為，其中平面經(jīng)過點，點，點，平面，平面，求出點到平面的距離;(3)已知集合，記集合中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為，求和的值.【變式12-1】.（24-25高二上·廣東深圳·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，過點且以為方向向量的直線方程可表示為；過點且以為法向量的平面方程可表示為.(1)在四面體中，點為坐標(biāo)原點，點在平面內(nèi)，平面以為法向量，平面的方程為，求點的坐標(biāo)；(2)若直線與都在平面內(nèi)，求平面的方程；(3)若集合中所有的點構(gòu)成了多面體的各個面，求的體積和相鄰兩個面所在平面的夾角的余弦值.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·四川雅安·期中）如圖，平行六面體的所有棱長均相等，且，則異面直線AC與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知平面的一個法向量為，點在外，點在內(nèi)，且，則點到平面的距離（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知空間中的點，則到直線AB的距離為（

）A． B． C． D．24．（24-25高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．25．（24-25高二上·遼寧·期中）如圖，在直三棱柱中，，，，，點是棱的中點，點在棱上運動，則點到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·河南許昌·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，為的中點，為的中點，在線段上，則直線與平面所成角的最大值為（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，三棱錐中，，且平面與底面垂直，為中點，，則平面與平面夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．（24-25高二上·北京·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，點為BC的中點，點在線段上，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（23-24高二下·江蘇常州·期中）直線的方向向量為，兩個平面的法向量分別為，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則直線平面B．若，則平面平面C．若，則平面所成銳二面角的大小為D．若，則直線與平面所成角的大小為10．（24-25高二上·遼寧·期中）如圖所示，在長方體中，分別在棱和上，，則下列說法正確的是（

）

A．B．直線與所成角的余弦值為C．直線和平面所成角的正弦值為D．若為線段的中點，則直線平面三、填空題11．（24-25高二上·遼寧·期中）