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文檔簡介

2024高考數(shù)學講義:求函數(shù)的值域

目錄

1.基礎知識:...................................................................1

2.典型例題:將介紹求值域的幾種方法,并通過例題進行體現(xiàn)......................4

3.附:分式函數(shù)值域的求法:...................................................17

3.1.所用到的三個函數(shù)(其性質(zhì)已在前文介紹)...................................18

3.2.分式函數(shù)值域的求法......................................................18

作為函數(shù)三要素之一,函數(shù)的值域也是高考中的一個重要考點,并且值域

問題通常會滲透在各類題目之中,成為解題過程的一部分。所以掌握一些求值

域的基本方法,當需要求函數(shù)的取值范圍時便可抓住解析式的特點,尋找對應

的方法從容解決。

1.基礎知識:

1、求值域的步驟:

(1)確定函數(shù)的定義域

(2)分析解析式的特點,并尋找相對應的方法(此為關(guān)鍵步驟)

(3)計算出函數(shù)的值域

2、求值域的常用工具:盡管在有些時候,求值域就像神仙施法念口訣一

樣,一種解析式特點對應一個求值域的方法,只要掌握每種方法并將所求函數(shù)

歸好類即可操作,但也要掌握一些常用的思路與工具。

(1)函數(shù)的單調(diào)性:決定函數(shù)圖像的形狀,同時對函數(shù)的值域起到?jīng)Q定性作

用。若為單調(diào)函數(shù),則在邊界處取得最值(臨界值)。

(2)函數(shù)的圖像(數(shù)形結(jié)合):如果能作出函數(shù)的圖像,那么值域便一目了然

(3)換元法:/(X)的解析式中可將關(guān)于A■的表達式視為一個整體,通過換

元可將函數(shù)解析式化歸為可求值域的形式。

(4)最值法:如果函數(shù)在[。,可連續(xù),且可求出/(E)的最大最小值

M,m,則/(x)的值域為上小

注:一定在/(x)連續(xù)的前提下,才可用最值來解得值域

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3、常見函數(shù)的值域:在處理常見函數(shù)的值域時,通??梢酝ㄟ^數(shù)形結(jié)

合,利用函數(shù)圖像將值域解出,熟練處理常見函數(shù)的值域也便于將復雜的解析

式通過變形與換元向常見函數(shù)進行化歸。

(1)一次函數(shù)(y=H+〃):一次函數(shù)為單調(diào)函數(shù),圖像為一條直線,所以

可利用邊界點來確定值域

(2)二次函數(shù)(),=o?+A+c):二次函數(shù)的圖像為拋物線,通常可進行配

方確定函數(shù)的對稱軸,然后利用圖像進行求解。(關(guān)鍵點:①拋物線開口方

向,②頂點是否在區(qū)間內(nèi))

例:f(-^)=x2-2x-3,xe[-1,4]

解:/(x)=(x-l)2-4

:對稱軸為:x=\

.\/(X)G[-4,5]

(1)圖像關(guān)于原點中心對稱

⑵當x0

當xf-oo,yf0

(4)對勾函數(shù):y=x+-\a>0)

①解析式特點:%的系數(shù)為1;4>0

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注:因為此類函數(shù)的值域與。相關(guān),求。的值時要先保證X的系數(shù)為1,再

去確定。的值

4(2>

例:y=2x+-,并不能直接確定。=4,而是先要變形為y=2x+—,

xk

再求得。=2

②極值點:x=4a,x=->/a

③極值點坐標:

(&2GM-瘋-2&)

④定義域:(-co,。)(0,4oo)

⑤自然定義域下的值域:(-co,-2亞]一〔2&+00)

(5)函數(shù):y=.v--(6/>0)注意與對勾函數(shù)進行對比

X

①解析式特點:工的系數(shù)為1;。>0

②函數(shù)的零點:X=±G

③值域:R

第3頁共21頁

對象。

(4)換元也是將函數(shù)拆為兩個函數(shù)復合的過程。在高中階段,與指對數(shù),三

角函數(shù)相關(guān)的常見的復合函數(shù)分為兩種

①),=a"y=k)gj/(x)k,=sin[ya)]:此類問題通常以指對,三角

作為主要結(jié)構(gòu),在求值域時可先確定/(X)的范圍,再求出函數(shù)的范圍

v

②y=/(tz),=f(log<zx),y=y(sinx):此類函數(shù)的解析式會充斥的大

量括號里的項,所以可利用換元將解析式轉(zhuǎn)為),=/(,)的形式,然后求值域即

可。當然要注意有些解析式中的項不是直接給出,而是可作轉(zhuǎn)化:例如

=4'-2"J8可轉(zhuǎn)化為y=(2')2-2?2、-8,從而可確定研究對象為t=2V

例1:函數(shù)f[x)=2x->JX-\的值域是()

「17、5

A.B.—,+8C.—,+ooD.

8J4

15

—,4-00

8

思路:解析式中只含一個根式,所以可將其視為一個整體換元,從而將解

析式轉(zhuǎn)為二次函數(shù),求得值域即可。

解:/(X)的定義域為[1,+8)

令f=Jx-l.-./>o,則x=『+l

15

???y=2(/+1)-+一

<4,8

rG[0,+OO)

.?J(X)的值域為£,+8

o

例2(1)函數(shù)y=3H的值域為()

A.(0,+co)B.(OJ)U(U-^)C.{x|xwl}D.

(1,+co)

⑵函數(shù)/(x)=4X-2X+,-8,X€[-2,2]的值域為

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x+1

(3)函數(shù)y=In」P的值域為_______

e-I

思路:(1)本題可視為),=3小)的形式,所以可將指數(shù)進行換元,從而轉(zhuǎn)化

為指數(shù)函數(shù)值域問題:令t=」一,則止(e,O)U(O,心),所以可得

x-1

),=3'£(O,1)U(1,3)

(2)如前文所說,“月=4,-2川-8=(2)-22-8,將2,視為一個整體

令f二21則可將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得值域

vA+,r2X

解:/(x)=4-2-8=(2)-2-2-8

令f=2"vxe卜2,2]

tG?4

y=r2-2r-8=(r-l)2-9

.?J(x)的值域為[-90]

(3)所求函數(shù)為ln[/(x)]的形式,所以求得沼的范圍,再取對數(shù)即可。

X

對P'々+I進行變形可得:二P+I=1+23,從而將視為一個整體,即可

e-1e-1e-1

轉(zhuǎn)為反比例函數(shù),從而求得范圍

解:定義域:-1>0=>xe(0,+oo)

x4.12

V—e——=1+———令f=/./€(0,+oo)

ex—1ex—1

/.1H--G(l,+8)

.ex+1/八、

y=ln——-G(0,+CO)

e—1

答案:⑴B(2)[-9,0][3)(0,4W)

例3:已知函數(shù)/(x)=3+log2X,x?l,4],則g(x)=/(x2)—[/(x)了的值

域為()

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A.[-18,-2]B.[-11,-6]C.[-18,6]D.

[一11,一2]

思路:依題意可知

22

^(x)=3+log2x-(3+log2x)-=-(log2x)-41og2x-6,所以可將logzX視為

一個整體換元,從而將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)值域,但本題要注意的是g")的

定義域.,由已知/")的定義域為[1,4],則g(x)=/(d)—[”切2的定義域

1"一"4,解得:而不是「4]

為:<

1<x<4

2

解:g(X)=3+log2X-(3+log2x)

2

=3+2log2x-|^(log2x)+61og2x+9

2

=-(log2x)-41og2x-6

?."(£)的定義域為[1,4],且g(x)=f(巧一"(叫2

解得:XE[1,2]

1<X<4L」

令ulogzX,則

y=-r-4r-6=-(r+2)2-2

ye[-l1,-6],即的值域為[T1,-6]

答案:C

2、數(shù)形結(jié)合:即作出函數(shù)的圖像,通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確

定值域,以下函數(shù)常會考慮進行數(shù)形結(jié)合

(1)分段函數(shù):盡管分段函數(shù)可以通過求出每段解析式的范圍再取并集的方

式解得值域,但對于一些便于作圖的分段函數(shù),數(shù)形結(jié)合也可很方便的計算值

域。

(2)/")的函數(shù)值為多個函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值,此時需將多個

函數(shù)作于同一坐標系中,然后確定靠下(或靠上)的部分為該/")函數(shù)的圖

像,從而利用圖像求得函數(shù)的值域

(3J函數(shù)的解析式具備一定的幾何含義,需作圖并與解析幾何中的相關(guān)知識

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進行聯(lián)系,數(shù)形結(jié)合求得值域,如:分式T直線的斜率;被開方數(shù)為平方和的

根式T兩點間距離公式

例4:(1)設函數(shù)),=/(%)定義域為R,對給定正數(shù)例,定義函數(shù)

九3?則稱函數(shù)九(X)為/(X)的“攣生函數(shù)”,若給定函數(shù)

=則的值域為()

A.[-2,1]B.[-1,2]C.(-oo,2]D.

(-co,T

(2)定義min{a,Z?,c}為a,〃,c,中的最小值,設

/(x)=min|2x+3,x2+1,5-3x},則/(x)的最大值是_______

思路:⑴根據(jù)“攣生函數(shù)”定義不難發(fā)現(xiàn)其圖像特點,即以y=M為分界

線,/(x)圖像在y=M下方的圖像不變,在M上方的圖像則變?yōu)閥=M,通

過作圖即可得到fM(x)的值域為[-2,1]

(2)本題若利用min{?〃",}的定義將/(元)轉(zhuǎn)為分段函數(shù),則需要對三個式

子兩兩比較,比較繁瑣,故考慮進行數(shù)形結(jié)合,將三個解析式的圖像作在同一

坐標系下,則為三段函數(shù)圖像中靠下的部分,從而通過數(shù)形結(jié)合可得

〃工)的最大值點為y=1+1與y=5-3x在第一象限的交點,即

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y=x2+1x=\

n[尸2,所以/GL=2

y=5-3x

例5:已知函數(shù)/(力=%2一2(4+2)3+/遙(%)=一/+2(4一2)%一/+8,

設H}(x)=max{/(x),g(x)},(x)=min{/(x),g(x)},(其中max{p,q}表示

p,<7中的較大值,min{p,q}表示〃闖中的較小值)記乜(x)的值域為A,//2(x)

的值域為8,則ACB=

思路:由H(E),%(X)的定義可想到其圖像特點,即若將/(x),g(x)的圖

像作在同一坐標系中,那么“(X)為〃x),g(x)圖像中位于上方的部分,而

NW為/(力拓(外圖像中位于下方的部分。對/(x),g(x)配方可得:

/(刈=卜-(。+2)]r-4?-4

,其中4一4<4/+12,故g(x)的頂點在

g(x)=-2)]2-4a+\2

/(x)頂點的上方。由圖像可得:褐色部分為g(力的圖像,紅色部分為也(月

的圖像,其值域與〃x),g(x)的交點有關(guān),即各自的頂點

(a-2,T4+12),(a+2,T〃-4),所以乜(力的值域A=[-4a-4,+co),H2(x)

的值域8=(-co,To+12]。從而A。8=[-4〃-4,-4a+12]

答案:[-4tz-4,-4tz+12]

例6:⑴函數(shù)y=m+3,x£[2,4]的值域為

x—1

(2)函數(shù)y=+4+-2「+1。的值域為

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思路:(1)函數(shù)為分式,但無法用“變形+換元'的方式進行處理,雖然可以

用導數(shù),但求導后需對分子的符號進行進一步研究。那么換一個視角,從分式

的特點可聯(lián)想到直線的斜率,即y是(x,xlnx)與定點(1,-3)連線的斜率,那么

只需在坐標系中作出/(x)=xlnx在[2,4]的圖像與定點(1,-3),觀察曲線上的

點與定點連線斜率的取值范圍即可

解:所求函數(shù)y是(x,xlnx)與定點(1,-3)連線的斜率

設/(x)=A:lnx

/./(x)=l+lnx,當xe[2,4]時,/(x)>0恒成立

.-./(X)為增函數(shù)/(2)=21n2,/(4)=41n4=81n2

設曲線上兩點A(2,21n2),B(4,81n2)定點。(1,一3)

.,81n2+3

/.kAC=2In24-3,KHC=---------

???),同cAc]=21n2+3,^-+1

(2)思路:y=\/x2+4+\/x2-2x+\0=-Jx2+22+^(x-1)2+32,所以y可

視為點”,0)到點(0,2),(1,3)距離和的取值范圍。結(jié)合圖形可利用對稱性求出其

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最小值,且當動點向X軸兩側(cè)運動時,其距離和趨向無窮大,進而得到值域。

解:

y=五+4+-2-2X+10=次+(0—2)2+J(x_1)2+(0—3)2

1.y為動點P(x,0)到點A(0,2),B(l,3)距離和,即y=|PA|+|尸耳

作A點關(guān)于x軸的對稱點A(0,-2)

.■.|PA|+1PZ?|=|PA|+1PZ?|>|AB|=V26(等號成立條件:P,A',3共線)

當x—>+oo或x—>-oo時,|E4|+|PB|—>-F00

.??函數(shù)的值域為[腐,+8)

小煉有話說:本題在選擇點時要盡量讓更少的點參與進來簡化問題,所以

要抓住兩個距離共同的特點(例如本題中都抓住含根式中的匕0,所以找到了一

個共同的動點(x,0))

答案:(1)21n2+3,^y^+l(2)[后,+8)

3、函數(shù)單調(diào)性:如果一個函數(shù)為單調(diào)函數(shù),則由定義域結(jié)合單調(diào)性(增、減)即

可快速求出函數(shù)的值域

(1)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法與結(jié)論:

①增+增一增減+減->減

(-l)x增一減若函數(shù)的符號恒正或恒負,則1一減

②復合函數(shù)單調(diào)性:復合函數(shù)可拆成y=〃f)/=g(x),則

若),=〃r)/=g(x)的單調(diào)性相同,則),=/"(切單調(diào)遞增;若

y=/⑺,f=g(x)的單調(diào)性相反,則),=/[履初單調(diào)遞減

③利用導數(shù):設國像不含水平線的函數(shù)〃工)的導數(shù)/(X),則

f(x)20=/(/)單增;/(X)?0=/(x)單減

(2)在利用單調(diào)性求值域時,若定義域有一側(cè)趨近于+00或-OO,則要估計

當Xf+8或XfYO時,函數(shù)值是向一個常數(shù)無限接近還是也趨近于+00或YO

(即函數(shù)圖象是否有水平漸近線),;同樣若/(X)的定義域摳去了某點或有一側(cè)

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取不到邊界,如XW(4句,則要確定當Xf4時,“X)的值是接近與一個常數(shù)

(即臨界值)還是趨向或-8(即函數(shù)圖象是否有豎直漸近線),這樣可以使得

值域更加準確

例7:⑴函數(shù)/(x)=+的值域為()

A.[-3,1]B.[-1,-FW)C.[2,25/2]D.

[1,2>/2-1]

(2)函數(shù)/(力=1一^^的值域為()

X+11-x|

A.(-00J)B.(-oo,l]C.(0,1]D.

[°』

A/3-2X+5

⑶函數(shù)/3=的值域為

x/2x—2+1

思路:(1)函數(shù)的定義域為[-35,含有雙根式,所以很難依靠傳統(tǒng)的換元

Vx+3-V1-A

解決問題,但/(X)的導數(shù)/(月=較易分析出單調(diào)性,所以考

2\/17?Jx+3

慮利用導數(shù)求出/(X)的單調(diào)區(qū)間,從而求得最值

11Jx+3--x

f(x)=

2J1—X2,yJX+32J1—X?X+3

令/(x)>0即解K等式:

/.X+3>1-X=>A>-1

??./(x)在(-3,-1)單調(diào)減,在(-1,1)單調(diào)遞增

v/(-l)=2V2-l,/(-3)=l,/(l)=l

.?./")的值域為[1,2a-1]

小煉有話說:本題還可以利用換元解決,但利用的是三角換元:觀察到被

開方數(shù)的和為常數(shù),所以想到(后:『十(4TT/=4,從而可設

IVl-x=2sina由隹。

可知"畤'所以原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求

|Jx+3=2cosaIVx+3>()

第12頁共21頁

y=2sina+2cosa-l的值域,從而有y=2&sina+--1,由aw0,—可

求得yw[l,2后-1]。由此題可知:含雙根式的函數(shù)若通過變形可得到被開方

數(shù)的和為常數(shù),則可通過三角換元轉(zhuǎn)為三角函數(shù)值域問題

(2)思路:函數(shù)的定義域為了《1,從而發(fā)現(xiàn)|1-目=1-x,所以函數(shù)的解析

式為/(人)=人_"37,觀察可得/(人)為增函數(shù),且人—時,

/(X)—>-00,所以當/£(-00,1]時,/(X)的值域為(-8,1]

小煉有話說:①本題中函數(shù)的定義域?qū)馕鍪降幕営袠O大的促進作用。

所以在求函數(shù)的值域時,若發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式較為特殊,則先確定其定義域

②本題也可用換元法,設z==7后即可將函數(shù)轉(zhuǎn)為二次函數(shù)求值域,

但不如觀察單調(diào)性求解簡便。

⑶思路:先確定函數(shù)的定義域:“X)為分式且

含有根式,求導則導函數(shù)較為復雜。觀察分子分母可知:行3+5>0且關(guān)

于九單減,=1+1>0且關(guān)于犬單增,即r=」一單減,所以

\j2x-2+1

省3+5為減函數(shù),由、£1,-可知/(x)的值域為-,6

V2X-2+1

小煉有話說:在函數(shù)單調(diào)性的判斷中有“增+增一增”,那么如果一個函數(shù)可

表示為兩個函數(shù)的乘法,例如〃(工)=/3超3,則當/a),g(x)均為增(減)

函數(shù),且/(x)送(x)恒大于o,才能得到〃(工)為增(減)函數(shù)

答案:(1)D(2)B(3)|,6

4、方程思想:本方法是從等式的角度觀察函數(shù),將其視為一個含參數(shù)),

的關(guān)于x的方程方(乂);)=0。由函數(shù)的對應關(guān)系可知,對于值域中的任一值

),,必能在定義域中找到與之對應的X。這個特點反應在方程中,即為若X)在

值域中,則關(guān)于大的方程b(x,),)=0在),=),。時只要有一個根。從而將求值域

問題轉(zhuǎn)化為“y取何值時,方程尸(蒼),)=0有解”的問題。利用方程的特點即可

第13頁共21頁

列出關(guān)于),的條件,進而解出),的范圍即值域

9r24-4r-7

例8:⑴函數(shù)y=:大的值域為()

x+2x+3

D.

(2)函數(shù)),二曲二1的值域為

cosx+2

思路:(1)觀察分式特點可發(fā)現(xiàn)若將去掉分母后可構(gòu)造為一個關(guān)于x的二次

方程(其中),為參數(shù)):(y_2)d+(2y_4)x+3y+7=0,因為函數(shù)的定義域為

R,所以y的取值要求只是讓方程有解即可,首先對最高次數(shù)系數(shù)是否為0進

行分類討論;當),=2,方程為13=0,無解;當yw2時,二次方程有解的條

件為ANO,即得到關(guān)于),的不等式,求解即可

解:由y=2,+4「一7可得:

x+2x+3

x2y+2xy+3y=2x2+4x-7

.'.(y-2)x2+(2y-4)x+3y+7=0

???/+2.1+3=(1+1『+2>().?.函數(shù)的定義域為R

/.y的取值只需讓方程有解即可

當),=2時,13=0不成立,故舍去

當),/2時,△=(2y—4)2一4(),-2)(3y+7)>0

即:(2y+9)(y-2)<0

9

r聲2

9

綜上所述:函數(shù)的值域為32

小煉有話說:①對于二次分式,若函數(shù)的定義域為R,則可像例8這樣

通過方程思想,將值域問題轉(zhuǎn)化為“y取何值時方程有解”,然后利用二次方程

根的判定ANO得到關(guān)于〉的不等式從而求解,這種方法也稱為“判別式法”

第14頁共21頁

②若函數(shù)的定義域不是R,而是一個限定區(qū)間(例如可),那么如果也

想按方程的思想處理,那么要解決的問題轉(zhuǎn)化為:"),取何值時,方程在可

有根”,對于二次方程就變?yōu)榱烁植紗栴},但因為只要方程有根就行,會按

根的個數(shù)進行比較復雜的分類討論,所以此類問題通常利用分式的變形與換元

進行解決(詳見附)

(2)本題不易將函數(shù)變?yōu)閮H含4nx或cosx的形式,考慮夫分母得:

sinx-),cosx=2y+l則),的取值只要讓方程有解即可。觀察左側(cè)式子特點可想

到俯角公式,而得至UJl+)」sin(x+夕)=(2y+l)nsin(x+°)=,可

知方程有解的條件為:解出),的范圍即為值域

解:),=四匚1的定義域為R

cosx+2

sinx-1

且y==ycosx+2y=sinx-1

cosx+2

,sinx-ycosx=2y+1

Jl+Vsin(x+0)=(2y+l),KPsin(x+(p)=+*,其中l(wèi)an0=-y

V1+)產(chǎn)

因為該方程有解

<l=>(2y+l)2=l+y2

4

.\3/+4.y<0nyE—,0

3

小煉有話說:本題除了用方程思想,也可用數(shù)形結(jié)合進行解決,把分式視

為(85%輸司,(-2,1)連線斜率的問題,從而將問題轉(zhuǎn)化為定點(-2,1)與單位圓

上點連線斜率的取值范圍。作圖求解即可。本類型運用方程思想處理的局限性

在于輔角公式與y的取值相關(guān),不過因為xtR,所以均能保證只要sin(x+0)

在中,則必有解。但如果本題對x的范圍有所限制,則用方程的思想不

易列出),的不等式,所以還是用數(shù)形結(jié)合比較方便

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4

答案:⑴D(2)--,0

以上為求值域的四種常見方法,與求函數(shù)的理念息息相關(guān),有些函數(shù)也許

有多種解法,或是在求值域的過程中需要多種手段綜合在一起解決。希望你再

遇到函數(shù)值域問題時,能迅速抓住解析式的特點,找到突破口,靈活運用各種

方法處理問題。

例9:已知函數(shù)y=lg(Y+2x+"。的值域為R,則用的取值范圍是()

A.m>IB.m>1C.m<1

D.mwR

思路:木題可視為y=lgfj=x2+2x+機的復合函數(shù),函數(shù)的值域為R,

結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知/應取遍所有的正數(shù)(定義域可不為R),即若函數(shù)

/=的值域為A,則(O,+x>)=A,由二次函數(shù)的圖像可知,當A20

時,可滿足以上要求。所以A=4-4mN0解得mV1

答案:C

例10:在計算機的算法語言中有一種函數(shù)次]叫做取整函數(shù)(也稱高斯函

數(shù)),卜]表示不超過九的最大整數(shù),例如:[2]=2,[35=3卜2.6]=-3,設函數(shù)

=貝幅數(shù)片[/(切+[/(一切的值域為()

A.{0}B.{-1,0}C.卜1,0,1}

D.{-2,0}

思路:按卜]的定義可知,若要求出M,則要將確定里面R的范圍,所以

若求y=+的值域,則要知道/"),/(—)的范圍。觀察到

一[/(X)]+[/(-x)]為偶函數(shù),所以只需找到x>。的值域即可,

f(-X)=--------=—7-----r,/(X)=--------=—;-----r,即

八71+2.*220+2、)1+2"22(1+2')

f(x)=_f(r)成立,所以〃力為奇函數(shù),只需確定“力的范圍即可。對

/(x)中的分式進行分離常數(shù)可得:f(x)=—當x>0時,

V722“'+1

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2'+1e(2,4-00),從而;—-e0,—,所以,由

/(-x)=-f(x)ef-1()]oE|j[/(A-)]=0,[/(-x)]=-1,可得),=—l,再利用

偶函數(shù)性質(zhì)可得x<OE寸,),=-1。當x=0時,/(x)=/(-x)=0,所以

),=0,綜上所述:尸卜(切+[/(-切的值域為{-叫

答案:B

小煉有話說:(1)本題在處理值域時,函數(shù)奇偶性的運用大量簡化了運算。

首先判斷出所求函數(shù)為偶函數(shù),所以關(guān)于),軸對稱的兩部分值域相同,進而只

需考慮x>()的情況。另外從解析式的特點判斷出“冷為奇函數(shù),從而只需計

算“X)的范圍,再利用奇函數(shù)的性質(zhì)推出了(-”的范圍。所以在求函數(shù)值域

時,若能通過觀察或簡單的變形判斷出函數(shù)具備奇偶的性質(zhì),則解題過程能夠

達到事半功倍的效果。

2TI

/(-x)=———-

(2)本題在判斷的奇偶性時,由2很難直接看出

/(x)=-------

[1+2,2

f(X),“T)之間的聯(lián)系,但通過“通分”即可得到'7,奇偶性

2V-1

立即可見;在求〃力的范圍時,利用/(戈)=的形式,分式較為復

2(l+2r)

雜,分子分母均含變量,不易確定其范圍。但通過“分離常數(shù)”得到

--L則非常便于求其范圍。由以上的對比可知,在判斷奇偶性或

者分式的符號時,通常一個大分式較為方便;在求得分式函數(shù)值域時,往往通

過“分離常數(shù)”的手段簡化分式中的分子,從而便于求得范圍

3.附:分式函數(shù)值域的求法:

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分式函數(shù)也是高中所學函數(shù)的一個重要分支,求解分式函數(shù)的值域也考查

了學生分式變形的能力以及能否將分式化歸為可求值域的形式,學會求分式函

數(shù)值域也是處理解析兀何中范圍問題的重要工具。求分式函數(shù)值域的方法很

多,甚至也可以考慮對函數(shù)進行求導,但相對計算量較大,本節(jié)主要介紹的方

式為如何通過對分式函數(shù)進行變形,并用換元的方式將其轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)進

行求解。

3.1.所用到的三個函數(shù)(其性質(zhì)已在前文介紹)

1、反比例函數(shù):),=4

X

2、對勾函數(shù):y=x+—(a>O)

3、函數(shù):y=x--(a>0)注意與對勾函數(shù)進行對比

3.2.分式函數(shù)值域的求法

請看下面這個例子:

求y=3+—yxG[1,2]的值域

思路:此函數(shù)可看為1的結(jié)果再加上3所得,故可利用反比例函數(shù)求已,

xx

的范圍,再得到值域

r17,

解:vxe[l,2]A-ey=3+—e—,4

X2''x2

問題不難,但觀察可發(fā)現(xiàn):),=3+'=主里,所以當遇到的函數(shù)為

xx

),=主土1,總可以將分子的每一項均除以分母,從而轉(zhuǎn)化為),=3+,進行求

xx

解。由此得到第一個結(jié)論:

對于形如/(力二竺^的函數(shù),總可以變換成“到=〃+2轉(zhuǎn)化為反比例

XX

函數(shù)進行求解。

注:如果在分式中,分子的表達式可將一部分構(gòu)造為分母的形式,則可用

這部分除以分母與分式分離得到常數(shù),從而使得分式中的分子變得簡單,這種

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方法稱為“分離常數(shù)法”,是分式變形常用的一種手段

例:/(x)=——^,xe(l,3)

x+1

思路:本題分母為表達式,比較復雜,但如果視分母為一個整體(進行換

元),則可將分式轉(zhuǎn)化成為〃/)=巴史的形式,從而求解

解;令r=%+1/?2,4):.x=t-\

.?,/(/)=^=2--,進而可求出值域:ye(--,~

tt<24;

注:換元法是求函數(shù)值域時,通過將含有變量的一部分式子視為一個整

體,用一個變量表示,進而將陌生的函數(shù)

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