北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)章節(jié)復(fù)習(xí)講義（導(dǎo)圖+知識(shí)點(diǎn)+新題拔高卷）-第2章《有理數(shù)及其運(yùn)算》知識(shí)講練（學(xué)生版）

2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)章節(jié)知識(shí)講練知識(shí)點(diǎn)01:有理數(shù)的相關(guān)概念1．有理數(shù)的分類：（1）按定義分類：（2）按性質(zhì)分類：細(xì)節(jié)剖析：（1）用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量；（2）有理數(shù)“0”的作用：作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒(méi)有3個(gè)蘋果用+3表示，沒(méi)有蘋果用0表示表示某種狀態(tài)表示冰點(diǎn)表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點(diǎn)0非正非負(fù)，是一個(gè)中性數(shù)2．?dāng)?shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線．細(xì)節(jié)剖析：（1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)，數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示的是有理數(shù)，如．（2）在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)大．3．相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．細(xì)節(jié)剖析：（1）一對(duì)相反數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等，這兩點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的．（2）求任意一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在這個(gè)數(shù)的前面添上“”號(hào)即可．（3）多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：數(shù)字前面“”號(hào)的個(gè)數(shù)若有偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為正，若有奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù)．4．絕對(duì)值：（1)代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．?dāng)?shù)a的絕對(duì)值記作．（2)幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．知識(shí)點(diǎn)02:有理數(shù)的運(yùn)算1．法則：（1）加法法則：①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加．②絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．（2）減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．②任何數(shù)同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：①負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0．(6)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；③如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．細(xì)節(jié)剖析：“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：（1）多重負(fù)號(hào)的化簡(jiǎn)，這里奇偶指的是“－”號(hào)的個(gè)數(shù)，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數(shù)乘法，當(dāng)多個(gè)非零因數(shù)相乘時(shí)，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號(hào)，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如：，．2．運(yùn)算律：（1）交換律:①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:ab=ba；（2）結(jié)合律:①加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結(jié)合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac知識(shí)點(diǎn)03:有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：（1）數(shù)軸比較法；（2）法則比較法：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而??；(3)作差比較法．（4）作商比較法；（5)倒數(shù)比較法．知識(shí)點(diǎn)04:科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)大于10的數(shù)表示成的形式（其中1≤，是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法．例如：200000=．一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?藁城區(qū)二模）若要等式4〇（﹣6）＝﹣2成立，“〇”中應(yīng)填的運(yùn)算符號(hào)是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷2．（2分）（2023?江岸區(qū)模擬）小王在4張同樣的紙片上各寫了一個(gè)正整數(shù)，從中隨機(jī)抽取2張，并將它們上面的數(shù)相加．重復(fù)這樣做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一個(gè)數(shù)，并且這4個(gè)數(shù)都能取到．則小王寫下的四個(gè)整數(shù)的積可能是（）A．80 B．90 C．100 D．1203．（2分）（2022秋?滄州期末）我們定義一種新運(yùn)算：a*b＝a2﹣b．例如：1*2＝12﹣2＝﹣1，求（﹣4）*[2*（﹣3）]的值為（）A．﹣23 B．﹣3 C．4 D．94．（2分）（2022秋?滄州期末）在原點(diǎn)為O的數(shù)軸上，從左到右依次排列的三個(gè)點(diǎn)A，M，B，滿足MA＝MB，將點(diǎn)A，M，B表示的數(shù)分別記為a，m，b．若b＝8，BM＝3OM，則m的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．2或﹣45．（2分）（2022秋?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示．下列式子錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)＜c＜b B．|a﹣b|＝﹣（a﹣b） C．|a﹣1|＝a﹣1 D．|c﹣a|＝c﹣a6．（2分）（2022秋?海港區(qū)校級(jí)期末）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上位置如圖，則|a﹣c|﹣|a+b|+|b﹣c|的值為（）A．2a B．2a+2b﹣2c C．0 D．﹣2c7．（2分）（2022秋?汝城縣期末）如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么（a+b）2009的值是（）A．﹣2009 B．2009 C．﹣1 D．18．（2分）（2019秋?云岡區(qū)期末）下列四個(gè)算式：①﹣2﹣3＝﹣1；②2﹣|﹣3|＝﹣1；③（﹣2）3＝﹣6；④﹣2÷＝﹣6．其中，正確的算式有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)9．（2分）（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，數(shù)軸上的A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是a，b，如果|a|＞|b|且ab＜0，那么該數(shù)軸的原點(diǎn)O的位置應(yīng)該在（）A．點(diǎn)A的左邊 B．點(diǎn)B的右邊 C．點(diǎn)A與點(diǎn)B之間且靠近點(diǎn)A D．點(diǎn)A與點(diǎn)B之間且靠近點(diǎn)B10．（2分）（2022秋?欒城區(qū)校級(jí)期末）已知三個(gè)數(shù)a+b+c＝0，則這三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上表示的位置不可能是（）A． B． C． D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023春?萊山區(qū)期末）若a＞b＞0，則1，1+a，1+b這三個(gè)數(shù)用“＞”連接起來(lái)為．12．（2分）（2023春?肇東市期末）若|a|＝5，b＝6且a＜b，則2a﹣b＝．13．（2分）（2022秋?鄄城縣期末）點(diǎn)A在數(shù)軸上距原點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度，若將點(diǎn)A向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)A所表示的數(shù)是．14．（2分）（2023春?泉港區(qū)期末）如圖，完全重合的兩個(gè)等邊△ABC、等邊△DEF的邊BC、EF都在數(shù)軸上，點(diǎn)B、C在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為3、9．若將△ABC向左平移m個(gè)單位，△DEF向右平移m個(gè)單位．當(dāng)點(diǎn)E、C為線段BF的三等分點(diǎn)時(shí)，則m的值為．?15．（2分）（2022秋?邯山區(qū)校級(jí)期末）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，則yx＝．16．（2分）（2022秋?平谷區(qū)期末）黑板上寫著7個(gè)數(shù)，分別為：﹣8，a，1，13，b，0，﹣6，它們的和為﹣10，若每次從中任意擦除兩個(gè)數(shù)，同時(shí)寫上一個(gè)新數(shù)（新數(shù)為所擦除的兩個(gè)數(shù)的和加上1），這樣操作若干次，直至黑板上只剩下一個(gè)數(shù)，則所剩的這個(gè)數(shù)是．17．（2分）（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）若|m﹣3|與（n﹣4）2互為相反數(shù)，則（﹣m）n的值為．18．（2分）（2022秋?安岳縣期末）定義新運(yùn)算：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運(yùn)算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2寫作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）寫作（﹣3）④，讀作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把（a≠0）記作：a?，讀作“a的圈n次方”．特別地，規(guī)定：a①＝a．通過(guò)以上信息，請(qǐng)計(jì)算：2022②×（﹣）④+（﹣1）?＝．19．（2分）（2022秋?黃埔區(qū)校級(jí)期末）已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|＝．20．（2分）（2022秋?深圳校級(jí)期中）已知a，b，c，d分別是一個(gè)四位數(shù)的千位，百位，十位，個(gè)位上的數(shù)字，且低位上的數(shù)字不小于高位上的數(shù)字，當(dāng)|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值時(shí)，這個(gè)四位數(shù)的最小值是．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?滄州期末）計(jì)算：（1）；（2）．22．（6分）（2023春?肇東市期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．化簡(jiǎn)代數(shù)式：|a﹣b|+|a+b|+|b﹣c|．23．（8分）（2022秋?鞍山期末）小明和同學(xué)們玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每張牌上的數(shù)字只能用一次，并使得運(yùn)算結(jié)果等于24．（1）小明抽到的牌如圖所示，請(qǐng)幫小明列出一個(gè)結(jié)果等于24的算式；（2）請(qǐng)你抽取任意數(shù)字不相同的4張撲克牌，并列出一個(gè)結(jié)果等于24的算式．24．（8分）（2022秋?祁陽(yáng)縣期末）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，點(diǎn)C表示數(shù)c，a，c滿足|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的負(fù)整數(shù)．（1）a＝，b＝，c＝．（2）若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，則點(diǎn)B與數(shù)表示的點(diǎn)重合；（3）點(diǎn)A，B，C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A和點(diǎn)B分別以每秒0.4個(gè)單位長(zhǎng)度和0.3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)C以每秒0.2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C到達(dá)原點(diǎn)后立即以原速度向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，若點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC，請(qǐng)問(wèn)：5AB﹣BC的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出5AB﹣BC的值．25．（8分）（2022秋?海興縣期末）如圖，已知在一條不完整的數(shù)軸上，從左到右的點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a，b，c，AC＝5，BC＝3．（1）若a+b＝0，則原點(diǎn)在點(diǎn)B的（填“左側(cè)”或“右側(cè)”）；（2）設(shè)原點(diǎn)為O，若bc＜0，且，求a+b+c的值；（3）在（2）的條件下，數(shù)軸上一點(diǎn)D表示的數(shù)為d，若BD＝2OC，求d的值．26．（8分）（2022秋?曹縣期末）觀察下列三個(gè)等式：，，，我們稱使等式a﹣b＝ab成立的一對(duì)有理數(shù)a，b為“有趣數(shù)對(duì)”，記為（a，b），例如數(shù)對(duì)，，都是“有趣數(shù)對(duì)”，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）數(shù)對(duì)是“有趣數(shù)對(duì)”嗎？試說(shuō)明理由．（2）若是“有趣數(shù)對(duì)”，求a的值．（3）若（2，m2+2m）是“有趣數(shù)對(duì)”，求10﹣6m2﹣12m的值．27．（8分）（2022秋?二七區(qū)期末）【概念學(xué)習(xí)】定義新運(yùn)算：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運(yùn)算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2寫作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）寫作（﹣3）④，讀作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把記作：a?，讀作“a的圈n次方”．特別地，規(guī)定：a①＝a．【初步探究】（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：2023②＝；（2）若n為任意正整數(shù)，下列關(guān)于除方的說(shuō)法中，正確的有；（橫線上填寫序號(hào)）A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1B．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)C．圈n次方等于它本身的數(shù)是1或﹣1D．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，那么有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？（3）請(qǐng)把有理數(shù)a（a≠0）的圈n（n≥3）次方寫成冪的形式：a?＝