北京市朝陽(yáng)區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市朝陽(yáng)區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共50分）一?選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.若直線(xiàn)l的斜率為，則l的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率是，可得，又因?yàn)椋?，即直線(xiàn)的傾斜角為.故選：C2.已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則（）A.3 B.6 C.9 D.27【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，，解得，所以.故選：C3.已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為，其左焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的距離為，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由雙曲線(xiàn)知，焦點(diǎn)在軸上，設(shè)左焦點(diǎn)，其中一條漸近線(xiàn)方程為，即.由實(shí)軸長(zhǎng)為得，解得；由左焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離,則雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為.故選：A.4.過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，則（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，得，設(shè)，，則，.故選：D.5.在正方體中，分別為和的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與.所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，則，由異面直線(xiàn)與.所成角為銳角，則余弦值面直線(xiàn)與.所成角的余弦值為.故選：B.6.若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，則，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.7.已知等比數(shù)列各項(xiàng)都為正數(shù)，前項(xiàng)和為，則“是遞增數(shù)列”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】等比數(shù)列各項(xiàng)都為正數(shù)，設(shè)公比為，則，①當(dāng)時(shí)，是遞增數(shù)列，，由，則,不滿(mǎn)足.所以是遞增數(shù)列.②當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)滿(mǎn)足，為常數(shù)列，不是遞增數(shù)列.所以是遞增數(shù)列.故“是遞增數(shù)列”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.8.為了響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排的號(hào)召，甲?乙兩個(gè)工廠(chǎng)進(jìn)行了污水排放治理，已知某月兩廠(chǎng)污水的排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.該月內(nèi)，甲乙兩廠(chǎng)中甲廠(chǎng)污水排放量減少得更多B.該月內(nèi)，甲廠(chǎng)污水排放量減少速度是先慢后快C.在接近時(shí)，甲乙兩廠(chǎng)中乙廠(chǎng)污水排放量減少得更快D.該月內(nèi)存在某一時(shí)刻，甲?乙兩廠(chǎng)污水排放量減少的速度相同【答案】D【解析】選項(xiàng)A，設(shè)，設(shè)甲工廠(chǎng)的污水排放量減少為，乙工廠(chǎng)的污水排放量減少為，結(jié)合圖像可知：，所以該月內(nèi)乙工廠(chǎng)的污水排放量減少得更多，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，作出如圖所示表示甲廠(chǎng)曲線(xiàn)的條切線(xiàn)可知，直線(xiàn)的傾斜程度小于的傾斜程度，直線(xiàn)的傾斜程度大于的傾斜程度，而這說(shuō)明該月內(nèi)，甲廠(chǎng)污水排放量減少的速度并非先慢后快，從圖象的變化也可以看出，甲廠(chǎng)污水排放量減少的速度先快再慢后快，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，設(shè)為接近的時(shí)刻且，從時(shí)刻到時(shí)刻，污水排放量平均變化率，由導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義可知，在接近時(shí)，在接近時(shí)污水排放量減少快慢，可以用在處切線(xiàn)的斜率的大小比較近似代替.設(shè)甲工廠(chǎng)在處切線(xiàn)的斜率為，乙工廠(chǎng)在處切線(xiàn)的斜率為，結(jié)合圖象可知，所以在接近時(shí)，甲工廠(chǎng)的污水排放量減少得更快，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，如圖，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，存在時(shí)刻，兩曲線(xiàn)切線(xiàn)的斜率相等，即甲?乙兩廠(chǎng)污水排放量的瞬時(shí)變化率相同，所以該月內(nèi)存在某一時(shí)刻，甲?乙兩廠(chǎng)污水排放量減少的速度相同.故D正確.故選：D.9.是圓上兩點(diǎn),,若在圓上存在點(diǎn)恰為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓，圓心，，由是弦的中點(diǎn)，且，則由圓的幾何性質(zhì)，，所以，故點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上.又在圓上存在點(diǎn)滿(mǎn)足題設(shè)，且其圓心，半徑，則由兩圓有公共點(diǎn)，得，即，解得，或.故選：C.10.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式.設(shè)，，若，則（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】由題意知，，則，由得，則，解得.故選：C.第二部分（非選擇題共100分）二?填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.兩條直線(xiàn)與之間的距離是__________.【答案】【解析】由兩條平行線(xiàn)的距離公式可得：.故答案為：.12.已知函數(shù)，則__________.【答案】【解析】由，則，所以.故答案：.13.以為直徑端點(diǎn)圓的方程是__________.【答案】【解析】是直徑端點(diǎn)，由兩點(diǎn)間距離公式得直徑長(zhǎng)為，故半徑為，且設(shè)圓心為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得圓心，故圓的方程為.故答案為：14.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)在平面內(nèi)，寫(xiě)出一個(gè)符合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)__________.【答案】（答案不唯一）【解析】點(diǎn)在平面內(nèi)，所以四點(diǎn)共面，則，所以，所以，則，所以滿(mǎn)足即可令，滿(mǎn)足，所以符合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)可以為.故答案為：（答案不唯一）.15.某學(xué)校球類(lèi)社團(tuán)組織學(xué)生進(jìn)行單淘汰制的乒乓球比賽（負(fù)者不再比賽），如果報(bào)名人數(shù)是2的正整數(shù)次冪，那么每2人編為一組進(jìn)行比賽，逐輪淘汰.以2022年世界杯足球賽為例，共有16支隊(duì)進(jìn)入單淘汰制比賽階段，需要四輪，場(chǎng)比賽決出冠軍.如果報(bào)名人數(shù)不是2的正整數(shù)次冪，則規(guī)定在第一輪比賽中安排輪空（輪空不計(jì)入場(chǎng)數(shù)），使得第二輪比賽人數(shù)為2的最大正整數(shù)次冪.（如20人參加單淘汰制比賽，第一輪有12人輪空，其余8人進(jìn)行4場(chǎng)比賽，淘汰4人，使得第二輪比賽人數(shù)為16.）最終有120名同學(xué)參加校乒乓球賽，則直到?jīng)Q出冠軍共需__________輪；決出冠軍的比賽總場(chǎng)數(shù)是__________.【答案】7;119【解析】因?yàn)?，所以第二輪需?4名同學(xué)參加比賽，則第一輪淘汰人，即第一輪有8人輪空，有112人進(jìn)行淘汰賽，共進(jìn)行了56場(chǎng)比賽，則第二輪有64名同學(xué)參加比賽，所以共進(jìn)行了32場(chǎng)比賽，淘汰了32人，則第三輪有32名同學(xué)比賽，則進(jìn)行了16場(chǎng)比賽，第四輪有16名同學(xué)參加比賽，共進(jìn)行了8場(chǎng)比賽，第五輪有8名同學(xué)參加比賽，共進(jìn)行了4場(chǎng)比賽，第六輪有4名同學(xué)參加比賽，共進(jìn)行了2場(chǎng)比賽，第七輪有2名同學(xué)參加比賽，共進(jìn)行了1場(chǎng)比賽，故直到?jīng)Q出冠軍共需7輪比賽，共進(jìn)行了場(chǎng)比賽，故答案為：7；119.16.如圖，在長(zhǎng)方體中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，給出下列四個(gè)結(jié)論：①動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一段圓??；②動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為；③動(dòng)點(diǎn)的軌跡與線(xiàn)段有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；④三棱錐的體積的最大值為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.【答案】①②④【解析】由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知：都與平面垂直，而在平面內(nèi)，所以，由，可知，即，故，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)辄c(diǎn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，故設(shè)，故所求點(diǎn)滿(mǎn)足，化簡(jiǎn)得，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為此圓在矩形內(nèi)的部分，是一段圓弧，故①正確；記圓心為，當(dāng)時(shí)，由，得，顯然動(dòng)點(diǎn)的軌跡與線(xiàn)段沒(méi)有公共點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由，得或（舍去），當(dāng)時(shí)，由，得或（舍去），則，，易得，又，則，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故②正確；顯然，動(dòng)點(diǎn)到平面的最大距離為點(diǎn)到平面的距離，即，所以三棱錐的體積的最大值為，故④正確.故答案為：①②④.三?解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.17.已知函數(shù).（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間.解：（1）由，的定義域?yàn)?則，所以，又，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.（2），由，得，或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.18.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿(mǎn)足，數(shù)列是等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，①，由已知②，②①得，，所以，由，得所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比，因?yàn)椋?設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，則，解得.所以.（2）設(shè)，則，設(shè)的前項(xiàng)和為，則.19.如圖，三棱錐中，，平面平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，再?gòu)臈l件①?條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.條件①：；條件②：直線(xiàn)與平面所成角為.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）選擇條件①.取的中點(diǎn)，連接.由于是等邊三角形，故，又平面平面，平面，平面平面，故平面，而平面，故，即，所以，又，故，則，即.因?yàn)?，平面，所以平面，平面，所?選擇條件②.取的中點(diǎn)，連接.由于是等邊三角形，故，又平面平面，平面，平面平面，故平面，所以在平面內(nèi)的射影是，所以是直線(xiàn)與平面所成角.所以.由平面，而平面，故，即，所以，又，故，則，即.因?yàn)?，平面，所以平面，平面，所?（2）由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，于是，由點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以，于是，又，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，又是平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，由題可知為銳角，所以.20.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)分別交直線(xiàn)軸，軸于點(diǎn)，求的值.解：（1）由題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得，可得直線(xiàn)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得，易知，設(shè)，所以，，所以，代入直線(xiàn)的方程得，所以，所以直線(xiàn)的方程為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，，所以..21.設(shè)正整數(shù)，若由實(shí)數(shù)組成的集合滿(mǎn)足如下性質(zhì)，則稱(chēng)為集合：對(duì)中任意四個(gè)不同的元素，均有.（1）判斷集合和是否為集合，說(shuō)明理由；（2）若集合為集合，求中大于1的元素的可能個(gè)數(shù)；（3）若集合為集合，求證：中元素不能全為正實(shí)數(shù).解：（1）集合是集合，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；集合不是集合，取，則，不滿(mǎn)足題中性質(zhì).（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.不妨設(shè)，①若，因?yàn)?，從而，與矛盾；②若，因?yàn)椋?，所?經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)是集合，元素大于1的個(gè)數(shù)為；③若，因?yàn)椋耘c矛盾；④若，因?yàn)?，故，所?經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)是集合，元素大于1的個(gè)數(shù)