《數(shù)字信號(hào)處理》課件-第2章

2.1引言2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換2.3離散時(shí)間信號(hào)的Z變換2.4LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析2.5離散時(shí)間信號(hào)與模擬信號(hào)時(shí)域和頻域的關(guān)系習(xí)題與上機(jī)題

信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時(shí)域分析方法和頻域分析方法。在第1章中我們已經(jīng)介紹了離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)在時(shí)域的分析方法，

該方法比較直觀，容易理解。但僅在時(shí)域分析和研究

有時(shí)會(huì)很困難，因此需要將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻率域來(lái)分析和研究。對(duì)離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析需要兩種數(shù)學(xué)工具，即傅里葉變換和Z變換。2.1引言這里的傅里葉變換指的是序列的傅里葉變換(SequenceFourierTransform，SFT)，它將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到實(shí)頻域，而Z變換作為傅里葉變換的推廣，將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到復(fù)頻域。正如連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換和拉氏變換在連續(xù)時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)中擔(dān)當(dāng)?shù)慕巧粯?，序列傅里葉變換和Z變換在

離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)中擔(dān)當(dāng)著類似的角色。本章將學(xué)習(xí)序列的傅里葉變換和Z變換，以及利用傅里葉變換和Z變換分析離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性。2.2.1離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換的定義

根據(jù)以前所學(xué)知識(shí)，我們知道，連續(xù)非周期信號(hào)xa(t)的傅里葉變換是連續(xù)非周期的，連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)變換是離散非周期的。根據(jù)時(shí)域和頻域的對(duì)偶關(guān)系，時(shí)域

的離散化必然造成頻域的周期延拓，因此我們可以預(yù)測(cè)離散非周期信號(hào)的傅里葉變換應(yīng)該是連續(xù)周期的。2.2離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換

1.序列傅里葉變換的引出

設(shè)離散時(shí)間信號(hào)x(n)的傅里葉變換為X(ejω)，因?yàn)殡x散非周期信號(hào)的傅里葉變換為連續(xù)周期的，所以只要X(ejω)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件，即可以展成正交函數(shù)線性組合

的無(wú)窮級(jí)數(shù)。設(shè)

(2.2.1)式中，e-jωn是單位復(fù)指數(shù)序列，集合{e-jωn}(n=0，±1，±2，…)是正交完備集?？梢宰C明

(2.2.2)對(duì)式(2.2.1)兩邊乘以ejωm并積分，有

(2.2.3)

根據(jù)上述討論，可以給出序列傅里葉變換的定義。令，有

2.序列傅里葉變換與反變換

對(duì)序列x(n)(-∞<n<+∞)，稱和式

(2.2.4)

為x(n)的序列傅里葉變換(SequenceFourierTransform)，簡(jiǎn)記為SFT，稱積分

(2.2.5)

為X(ejω)的序列傅里葉反變換，簡(jiǎn)記為ISFT。從式(2.2.4)可以看出，序列傅里葉變換是由一無(wú)窮級(jí)數(shù)給出的，因此級(jí)數(shù)收斂與否產(chǎn)生了序列傅里葉變換是否存在的問題。由無(wú)窮級(jí)數(shù)的理論知，若該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，即

(2.2.6)則x(n)的傅里葉變換存在。由式(2.2.6)可得

(2.2.7)這表明x(n)是絕對(duì)可求和的。反之，可以看出，若式(2.2.7)成立，則式(2.2.6)成立，即序列傅里葉變換存在。絕對(duì)可求和的序列為穩(wěn)定序列，因此穩(wěn)定序列的傅里葉變換必

然存在。對(duì)非穩(wěn)定序列的情形，如u(n)、ejωn、cosωn等序列，可以像連續(xù)時(shí)間信號(hào)一樣引入周期沖激函數(shù)，其傅里葉變換也是存在的。

3.序列傅里葉變換的特點(diǎn)

由式(2.2.4)可以看出，盡管序列x(n)是離散時(shí)間信號(hào)，但它的序列傅里葉變換對(duì)數(shù)字角頻率ω而言卻是連續(xù)函數(shù)，因此，序列x(n)的傅里葉變換是連續(xù)的。

另外，由式(2.2.4)可得

(2.2.8)式(2.2.8)表明，序列傅里葉變換X(ejω)是以2π為周期的周期函數(shù)，其原因正是由于ejωn對(duì)ω而言以2π為周期，也就是說(shuō)，數(shù)字角頻率相差2π的所有單位復(fù)指數(shù)序列等價(jià)。因此，對(duì)-∞<ω<+∞的所有單位復(fù)指數(shù)序列，只有一個(gè)周期，如(-π，π］中的序列才具有獨(dú)立的意義。對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)，同樣ω=0處表示信號(hào)的直流分量，由于ω的周期性，使得ω=0和2π的整數(shù)倍都表示信號(hào)的直流分量，而π的奇數(shù)倍，如π、-π等則表示信號(hào)的最高頻率分量。

【例2.2.1】

計(jì)算沖激序列δ(n)的序列傅里葉變換。

解

【例2.2.2】

計(jì)算單位矩形序列RN(n)的序列傅里葉變換。解將單位矩形序列RN(n)傅里葉變換寫成R(ejω)=

|R(ejω)|ejθ(ω)，設(shè)N=6，單位矩形序列傅里葉變換的模和相位如圖2.2.1所示，從圖中可以看出，序列的傅里葉變換是以2π為周期的。圖2.2.1矩形序列傅里葉變換的模和相位(a)模;(b)相位

【例2.2.3】

計(jì)算X(ejω)=cosω的序列傅里葉反變換x(n)。解

4.序列傅里葉變換的物理意義

從式(2.2.5)可看出，序列x(n)是許多復(fù)指數(shù)序列的疊加(積分)結(jié)果，這些復(fù)指數(shù)序列的數(shù)字角頻率為［-π，π］。這意味著，序列傅里葉反變換本質(zhì)上是序列的一種分解，它將一般序列分解為無(wú)窮多個(gè)數(shù)字角頻率［-π，π］中的復(fù)指數(shù)序列。這些復(fù)指數(shù)序列的幅度和相位由序列傅里葉變換X(ejω)唯一確定。由譜分析的理論知，這些復(fù)指數(shù)序列就是序列的不同頻率分量。因此，我們把X(ejω)稱為序列x(n)的頻譜，其模|X(ejω)|稱為幅頻特性，其幅角arg［X(ejω)］=θ(ω)稱為相頻特性。

【例2.2.4】

計(jì)算序列x(n)=e-0.2nu(n)的幅頻特性和相頻特性。

解因此序列x(n)的幅頻特性為

相頻特性為

x(n)的幅頻特性和相頻特性如圖2.2.2所示，都是以2π為周期的。圖2.2.2序列的幅頻特性和相頻特性(a)幅頻特性;(b)相頻特性2.2.2離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì)

序列傅里葉變換在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，它是離散信號(hào)譜分析、離散時(shí)間系統(tǒng)分析以及數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的重要理論基礎(chǔ)。序列傅里葉變換具有許多重要性質(zhì)，

本節(jié)將予以討論。

1.線性性質(zhì)

設(shè)a、b為任意給定的常數(shù)，則下式成立

SFT［ax1(n)+bx2(n)］=a·SFT［x1(n)］+b·SFT［x2(n)］

(2.2.9)

2.時(shí)移性質(zhì)

對(duì)任意給定的整數(shù)m，下式成立

SFT［x(n-m)］=e-jωm·X(ejω)

(2.2.10)

證明：這一性質(zhì)表明，序列線性移位的傅里葉變換等于原序列傅里葉變換和e-jωm相乘。乘因子e-jωm意味著各頻率分量的相位發(fā)生了相應(yīng)的變化。

【例2.2.5】

觀察序列x1(n)和x2(n)的頻譜關(guān)系，其中，

x1(n)={1，2，3，4，5，0，5，4，3，2，1}，x2(n)=x1(n-5)。

解

x1(n)的幅度特性和相位特性如圖2.2.3(a)所示，x2(n)的幅度特性和相位特性如圖2.2.3(b)所示，顯然，x1(n)和x2(n)的幅頻特性一致，只是相頻特性發(fā)生了變化。圖2.2.3例2.2.5序列的傅里葉變換(a)x1(n)的幅頻特性和相頻特性；(b)x2(n)的幅頻特性和相頻特性

【例2.2.6】

計(jì)算x(n)=δ(n-l)的序列傅里葉變換，l為任意給定的整數(shù)。

解因?yàn)镾FT［δ(n)］=1，所以，由時(shí)移性質(zhì)得

X(ejω)=SFT［δ(n-l)］=e-jωl

3.頻移性質(zhì)

設(shè)X(ejω)=SFT［x(n)］，對(duì)于任意給定的常數(shù)ω0，下式成立

(2.2.11)

證明：

這一性質(zhì)表明，序列x(n)和單位復(fù)指數(shù)序列相乘，其傅里葉變換為原序列傅里葉變換在頻域中的移位。

【例2.2.7】

設(shè)，2π/ω0為有理數(shù)，為以2π為周期的周期單位沖激函數(shù)，試計(jì)算其傅里葉反變換x(n)。

解雖然為非穩(wěn)定序列，但由于在其SFT中引入了連續(xù)周期沖激函數(shù),因此序列1的SFT也是存在的。

按照頻移性質(zhì)可得

即

(2.2.13)

其中，如圖2.2.4所示。(2.2.12)圖2.2.4圖示

【例2.2.8】

計(jì)算cosω0n和sinω0n(2π/ω0為有理數(shù))的序列傅里葉變換。

解

cosω0n的序列傅里葉變換如圖2.2.5所示。圖2.2.5cosω0n的序列傅里葉變換

4.共軛對(duì)稱性質(zhì)

在討論SFT的共軛對(duì)稱性質(zhì)之前，我們先集中討論一下序列的對(duì)稱性。

1)共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱

(1)共軛對(duì)稱。對(duì)于序列x(n)，若存在整數(shù)M，使下式成立:

x(n)=x*(M-n)，-∞<n<+∞

(2.2.14)

則稱x(n)關(guān)于c=M/2共軛對(duì)稱，記為xe(n)。

(2)共軛反對(duì)稱。對(duì)于序列x(n)，若存在整數(shù)M，使下式成立：

x(n)=-x*(M-n)，-∞<n<+∞

(2.2.15)

則稱x(n)關(guān)于c=M/2共軛反對(duì)稱，記為xo(n)。

當(dāng)M=0時(shí)，x(n)關(guān)于原點(diǎn)共軛對(duì)稱或反對(duì)稱，或直接稱x(n)共軛對(duì)稱或反對(duì)稱。對(duì)實(shí)序列而言，共軛對(duì)稱就是偶對(duì)稱，共軛反對(duì)稱就是奇對(duì)稱。

(3)序列共軛對(duì)稱分解定理。

對(duì)于任意給定的整數(shù)M，任何序列x(n)都可以分解成關(guān)于c=M/2共軛對(duì)稱的序列xe(n)和共軛反對(duì)稱的序列xo(n)之和，即

x(n)=xe(n)+xo(n)，-∞<n<+∞

(2.2.16a)

并且

(2.2.16c)

定理的證明留給讀者，下面我們舉一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。(2.2.16b)

【例2.2.9】

計(jì)算單位復(fù)指數(shù)序列x(n)=ejωn關(guān)于原點(diǎn)的共軛對(duì)稱和共軛反對(duì)稱部分。

解由式(2.2.16)可得

這表明，單位復(fù)指數(shù)序列ejωn的共軛對(duì)稱部分就是它本身，而共軛反對(duì)稱部分為零。換言之，單位復(fù)指數(shù)序列是共軛對(duì)稱的序列。

2)共軛對(duì)稱性質(zhì)

設(shè)xR(n)=Re［x(n)］，xI(n)=Im［x(n)］，Xe(ejω)和Xo(ejω)

分別是X(ejω)關(guān)于原點(diǎn)的共軛對(duì)稱和共軛反對(duì)稱部分，若X(ejω)=SFT［x(n)］，則

(2.2.17)另外，序列x(n)的共軛對(duì)稱和共軛反對(duì)稱部分和其傅里葉變換X(ejω)的實(shí)部和虛部(含j)分別是序列傅里葉變換對(duì)，即

(2.2.18)

證明：首先證明實(shí)序列的SFT。由

可得

由于

因此

同理可證純虛序列的SFT。這一性質(zhì)表明，序列x(n)的實(shí)部和虛部(含j)與其序列傅里葉變換X(ejω)的共軛對(duì)稱部分和共軛反對(duì)稱部分別是序列傅里葉變換對(duì)，反之亦然。

由于實(shí)序列的傅里葉變換是共軛對(duì)稱的，因此根據(jù)共軛對(duì)稱的性質(zhì)，可得

X(ejω)=|X(e-jω)|arg［X(ejω)］=-arg［X(e-jω)］

即實(shí)序列的幅頻特性偶對(duì)稱，相頻特性奇對(duì)稱。另外，如果序列x(n)=x(-n)，則有X(ejω=X(e-jω)。所以，如果序列x(n)既是實(shí)序列，又是偶對(duì)稱，則其序列傅里葉變換X(ejω)必然是實(shí)偶對(duì)稱的函數(shù)。類似地，如果序列x(n)分別是實(shí)奇對(duì)稱序列、虛奇對(duì)稱序列、虛偶對(duì)稱序列，其序列傅里葉變換各有什么特點(diǎn)，請(qǐng)讀者自己給出結(jié)論。

【例2.2.10】

分別計(jì)算、、

(為有理數(shù))的序列傅里葉變換。

解根據(jù)例2.2.7和例2.2.8的計(jì)算，有

我們看到，cosω0n是實(shí)偶對(duì)稱序列，其傅里葉變換是實(shí)偶對(duì)稱的，而sinω0n是實(shí)奇對(duì)稱序列，其傅里葉變換是虛奇對(duì)稱的。同時(shí)，cosω0n、sinω0n分別是的實(shí)部和虛部，它們的傅里葉變換正好又是的傅里葉變換的共軛對(duì)稱和共軛反對(duì)稱部分。

5.線性卷積性質(zhì)

設(shè)g(n)=x(n)*y(n)，則下式成立

SFT［g(n)］=X(ejω)·Y(ejω)

(2.2.19)

證明：

上述性質(zhì)表明，序列線性卷積的傅里葉變換等于每個(gè)序列傅里葉變換的乘積。因此，可以應(yīng)用序列傅里葉變換計(jì)算序列的線性卷積，方法是首先計(jì)算x(n)和y(n)的X(ejω)和Y(ejω)，將它們相乘，再計(jì)算乘積序列的傅里葉反變換就得到線性卷積g(n)。

6.帕斯瓦爾(Parseval)定理

(2.2.20)

上式表明，序列在時(shí)域和頻域的能量是一致的，即傅里葉變換沒有帶來(lái)能量損失，稱為帕斯瓦爾定理。

7.相乘性質(zhì)

設(shè)X(ejω)、Y(ejω)和G(ejω)分別為x(n)、y(n)和g(n)的SFT，若g(n)=x(n)·y(n)，則

(2.2.21)

證明：

為方便使用，表2.2.1對(duì)常用的傅里葉變換的性質(zhì)給出了總結(jié)。表2.2.1傅里葉變換的性質(zhì)表2.2.2給出了基本序列的傅里葉變換，熟悉這些傅里葉變換是非常有用的，例如在求傅里葉變換或反變換中，往往可以利用基本序列的傅里葉變換對(duì)來(lái)簡(jiǎn)化某些比較困難或

繁瑣的問題。表2.2.2基本序列的傅里葉變換2.3.1離散時(shí)間信號(hào)Z變換的定義

在模擬系統(tǒng)中用連續(xù)信號(hào)的傅里葉變換進(jìn)行頻域分析，拉氏變換作為其推廣，對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)頻域分析;在離散時(shí)間系統(tǒng)中用序列的傅里葉變換(SFT)進(jìn)行頻域

分析，Z變換作為其推廣，對(duì)離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)頻域分析。

對(duì)于序列x(n)，令

(2.3.1)2.3離散時(shí)間信號(hào)的Z變換式中，z是復(fù)變量，它所在的平面為復(fù)平面，稱X(z)是x(n)的Z變換(雙邊Z變換)，記為ZT。

從式(2.3.1)可以看出，序列的Z變換是由一無(wú)窮級(jí)數(shù)給出的，因此Z變換存在著是否收斂的問題。我們僅考慮ZT的絕對(duì)收斂性，通常稱使式(2.3.1)右側(cè)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的z值為

ZT的收斂點(diǎn)，而由所有收斂點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為ZT的收斂域，即

(2.3.2)圖2.3.1逆Z變換中的積分圍線序列x(n)的Z變換X(z)僅在收斂域內(nèi)存在，所以在討論Z變換時(shí)，收斂域是不可或缺的。一般序列的收斂域可用

描述，具體情況討論見2.3.3小節(jié)。

相應(yīng)地

(2.3.3)

稱為逆Z變換，記為IZT。積分圍線c是收斂域內(nèi)一條逆時(shí)針的閉合曲線，如圖2.3.1所示。

【例2.3.1】

計(jì)算單位脈沖序列δ(n)的ZT。

解

2.3.2離散時(shí)間信號(hào)Z變換與SFT的關(guān)系

Z變換是由SFT推廣得到的，相反地，如果某序列的Z變換的收斂域包括z=ejω，則也可以通過(guò)ZT求得序列的SFT。在式(2.3.1)中令z=ejω，則

(2.3.4)式(2.3.4)表明，SFT正是序列的ZT在z=ejω時(shí)的值。由于這時(shí)|z|=|ejω|=1，因此，式(2.3.4)描述了z平面上以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，稱為單位圓，序列的傅里葉變換是其

ZT在單位圓上的取值。

【例2.3.2】計(jì)算單位階躍序列u(n)的ZT。

解

對(duì)u(n)而言，其Z變換的收斂域?yàn)閨z|>1，不包括單位圓，無(wú)法通過(guò)z=ejω得到u(n)的傅里葉變換。2.3.3Z變換的收斂域與序列特性之間的關(guān)系

1.有限序列的收斂域

對(duì)于一般有限序列x(n)(［N1，N2］)，其ZT可表示如下:若N2≤0，則上式中全為z的正冪次項(xiàng)，z=∞處不收斂；若N1≥0，則上式中全為z的負(fù)冪次項(xiàng)，z=0處不收斂;若N1<0，N2>0，則上式中既存在著z的正冪次項(xiàng)，又存在著z的

負(fù)冪次項(xiàng)，則z=0、z=∞處不收斂。對(duì)于其他的z值，級(jí)數(shù)處處收斂。

2.右邊序列的收斂域

對(duì)于右邊序列x(n)，它的ZT表示式為

冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閨z-1|<R，因此，右邊序列ZT的收斂域是z平面上以原點(diǎn)為圓心的某個(gè)圓的外部。若N1<0，則ZT的冪級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)表示式中既包括z的正冪次

項(xiàng)，又有負(fù)冪次項(xiàng)，從而在z=∞時(shí)級(jí)數(shù)不收斂;反之，若N1≥0，即x(n)為因果序列，則收斂域包括z=∞。

3.左邊序列的收斂域

對(duì)于左邊序列x(n)，其ZT可作如下表示:

上式是一個(gè)以z為變量的冪級(jí)數(shù)，易知其收斂域?yàn)?，即左邊序列ZT的收斂域?yàn)閦平面上以原點(diǎn)為圓心的某個(gè)圓的內(nèi)部。若N2>0，則ZT的冪級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)表示式中既包括z的正冪次項(xiàng)，又有負(fù)冪次項(xiàng)，從而在z=0時(shí)級(jí)數(shù)不收斂;若N2≤0，則x(n)的收斂域包括z=0。

4.雙邊序列的收斂域

對(duì)于雙邊序列x(n)，其ZT可表示如下:

由上式可知，雙邊序列的Z變換可分解為左邊序列和右邊序列的Z變換之和，根據(jù)前面的討論，收斂域分別為和，即X(z)的收斂域是二者收斂域的公共部分。

若，則X(z)的收斂域?yàn)?，?/p>

，則X(z)不存在。

【例2.3.3】

計(jì)算序列x(n)=-u(-n-1)的ZTX(z)，并確定X(z)的收斂域。

解

將上例與例2.3.2比較，可以發(fā)現(xiàn)，盡管這兩個(gè)序列不同，但它們ZT的表達(dá)式是一樣的，所不同的僅僅是收斂域。由此可以看出收斂域的重要性，這正是我們重視ZT收斂域

的原因，它表明Z變換是由表達(dá)式和收斂域兩部分組成的，缺少任何一部分都不能給出完整的Z變換。表2.3.1給出了序列Z變換的收斂域。

為方便使用，表2.3.2給出幾個(gè)基本序列的Z變換。表2.3.1序列Z變換的收斂域表2.3.2基本序列的Z變換2.3.4逆Z變換

在離散時(shí)間系統(tǒng)的分析中，逆Z變換的計(jì)算也很重要，求逆Z變換的方法如下：

1.留數(shù)法或圍線積分法

按照逆Z變換的定義式：

由復(fù)變函數(shù)積分的理論知，可用留數(shù)計(jì)算X(z)的逆Z變換x(n)。X(z)zn-1在圍線c內(nèi)的極點(diǎn)用zk表示，假設(shè)有M個(gè)極點(diǎn)，根據(jù)留數(shù)定理有

(2.3.5)式中，Res［X(z)zn-1，zk］表示被積函數(shù)X(z)zn-1在極點(diǎn)zk的留數(shù)。求逆Z變換就是求圍線c內(nèi)所有極點(diǎn)的留數(shù)之和。如果極點(diǎn)zk是單階極點(diǎn)，則極點(diǎn)的留數(shù)可用下式計(jì)算:

(2.3.6)

如果極點(diǎn)zk是L階極點(diǎn)，則極點(diǎn)的留數(shù)可用下式計(jì)算:

(2.3.7)

式(2.3.7)中對(duì)于L階極點(diǎn)，需要求L-1次導(dǎo)數(shù)，比較復(fù)雜。如果圍線c內(nèi)有高階極點(diǎn)，圍線c外沒有高階極點(diǎn)，則可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求圍線c外的所有極點(diǎn)留數(shù)之和，使求解得

以簡(jiǎn)化。設(shè)X(z)zn-1在圍線內(nèi)有L1個(gè)極點(diǎn)z1k，圍線外有L2個(gè)極點(diǎn)z2k，L=L1+L2，有

(2.3.8)

式(2.3.8)成立的條件是X(z)zn-1分母的階次比分子的階次高二階或二階以上。

【例2.3.4】

已知序列x(n)的Z變換為

，|z|>|a|，試用留數(shù)法求x(n)。

解由于收斂域是|z|>|a|且包含∞，因此x(n)是因果序列。

當(dāng)n≥0時(shí)，z=a是圍線c內(nèi)的極點(diǎn)，z=0不是極點(diǎn)，因此

當(dāng)n<0時(shí)，z=a、z=0是圍線c內(nèi)的極點(diǎn)，其中z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)。因?yàn)閄(z)zn-1滿足式(2.3.8)成立的條件，所以可以通過(guò)求圍線c外的極點(diǎn)留數(shù)代替求圍線c內(nèi)的極點(diǎn)留數(shù)。

本例圍線c外沒有留數(shù)，因此x(n)=0，n<0(由于x(n)是因果序列，同樣有x(n)=0，n<0)。

2.部分分式法

由于常用序列的ZT都已計(jì)算出來(lái)且列成了表，因此可以很方便地通過(guò)查表2.3.2求逆Z變換。

但是，有時(shí)X(z)的表達(dá)式比較復(fù)雜，無(wú)法直接查表，這時(shí)可以將復(fù)雜的X(z)分解成若干較簡(jiǎn)單的部分，然后查表求出各部分的IZT，最后相加得到所需要的結(jié)果。部分分式法展開就是常用的一種分解方法。設(shè)X(z)是有理函數(shù)，則

(2.3.9)

(1)M<N，設(shè)X(z)有N個(gè)一階極點(diǎn)，有

(2.3.10)式中，Am是X(z)在一階極點(diǎn)zm處的留數(shù)，即

(2)M≥N，有

(2.3.11)式中

Matlab信號(hào)處理工具箱中提供了計(jì)算留數(shù)的庫(kù)函數(shù)“residuez”，調(diào)用格式為

［r，p，c］=residuez(b，a)其中，b和a是式(2.3.9)中分子和分母系數(shù)向量；p是X(z)的極點(diǎn)向量；r是極點(diǎn)向量中各個(gè)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的留數(shù)向量；c是式(2.3.11)中的多項(xiàng)式系數(shù)向量，僅在M≥N時(shí)存在。

【例2.3.5】

用Matlab的留數(shù)庫(kù)函數(shù)求

的逆Z變換。

解

Matlab程序?yàn)?/p>

b=［0，5］;a=［1，1，-6］;［r，p，c］=residuez(b，a);運(yùn)行程序結(jié)果為

r=［-1，1］;p=［-3，2］，c=［0］;

即極點(diǎn)為z1=-3，z2=2，在極點(diǎn)z1處的留數(shù)為-1，在極點(diǎn)z2處的留數(shù)為1，即有

查表2.3.2得

x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)

3.長(zhǎng)除法或冪級(jí)數(shù)法

對(duì)有理分式形式的X(z)，由ZT的定義式有

(2.3.12)可以看到，右側(cè)的級(jí)數(shù)是分子多項(xiàng)式除以分母多項(xiàng)式的結(jié)果。因此，可以用X(z)的分母多項(xiàng)式D(z)去除分子多項(xiàng)式N(z)，這樣得到的商就是以x(n)作系數(shù)的z(對(duì)應(yīng)左邊序列

)或z-1(對(duì)應(yīng)右邊序列)的多項(xiàng)式，把相應(yīng)的系數(shù)取出，就得到了x(n)。這種方法通常稱為長(zhǎng)除法或冪級(jí)數(shù)法。

如果N(z)和D(z)是高次多項(xiàng)式，則由長(zhǎng)除后的商式尋找出x(n)的規(guī)律就會(huì)很難，但只要不斷除下去，就可得到盡可能多的x(n)的值。如果所需的x(n)值很多，則可編程上機(jī)

運(yùn)算。能在計(jì)算機(jī)上做數(shù)值運(yùn)算，這是長(zhǎng)除法求IZT的優(yōu)點(diǎn)。2.3.5Z變換的性質(zhì)

1.線性性質(zhì)

對(duì)于任意給定的常數(shù)a和b，有

ZT［ax1(n)+bx2(n)］=a·ZT［x1(n)］+b·ZT［x2(n)］

(2.3.13)

ZT的收斂域?yàn)閮刹糠值墓矃^(qū)域。

2.時(shí)移性質(zhì)

對(duì)于任意給定的整數(shù)m，有

ZT［x(n-m)］=z-m·ZT［x(n)］(2.3.14)

移位序列ZT的收斂域基本上和原序列的收斂域相同，若m<0，收斂域可能要排除∞點(diǎn)，若m>0，則可能要排除z=0點(diǎn)。

3.尺度變換性質(zhì)

設(shè)X(z)=ZT［x(n)］，對(duì)于任意常數(shù)a≠0，有

ZT［an·x(n)］=X(a-1z)

(2.3.15)

若X(z)的收斂域?yàn)?，則X(a-1z)的收斂域?yàn)椋础?/p>

4.微分性質(zhì)

設(shè)X(z)=ZT［x(n)］，則有

(2.3.16)

5.共軛性質(zhì)

若X(z)=ZT［x(n)］，則有

ZT［x*(n)］=X*(z*)

(2.3.17)

由于ZT的收斂域都是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的，因此共軛運(yùn)算不影響結(jié)果的收斂域。

6.折卷性質(zhì)

設(shè)X(z)=ZT［x(n)］，則有

ZT［x(-n)］=X(z-1)

(2.3.18)

若X(z)的收斂域?yàn)?，則X(z-1)的收斂域?yàn)?/p>

。

7.線性卷積性質(zhì)

設(shè)g(n)=x(n)*y(n)，則有

ZT［g(n)］=ZT［x(n)］·ZT［y(n)］(2.3.19)

ZT［g(n)］的收斂域是ZT［x(n)］的收斂域與ZT［y(n)］的收斂域的公共部分。

8.帕斯瓦爾(Parseval)定理

(2.3.20)

若X(z)的收斂域?yàn)?，Y(z)的收斂域?yàn)?，，則有。

9.相乘性質(zhì)

設(shè)X(z)、Y(z)和G(z)分別是序列x(n)、y(n)和g(n)的ZT，若g(n)=x(n)·y(n)，則有

(2.3.21)上述積分中，圍線c須選在X(v)和Y(z/v)的公共收斂域。設(shè)X(z)和Y(z)的收斂域分別為，，則G(z)的收斂域?yàn)椤?/p>

為方便使用，表2.3.3對(duì)常用的Z變換的性質(zhì)給出了總結(jié)。表2.3.3Z變換的性質(zhì)2.4.1LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)

復(fù)指數(shù)序列和正弦序列在離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)中起著特別重要的作用。下面首先研究復(fù)指數(shù)序列和正弦序列作為L(zhǎng)TI系統(tǒng)輸入時(shí)，系統(tǒng)輸出所具有的特點(diǎn)，進(jìn)而給出LTI

系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。2.4LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析

1.LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

1)單位復(fù)指數(shù)序列作為L(zhǎng)TI系統(tǒng)的輸入

設(shè)LTI系統(tǒng)的輸入為單位復(fù)指數(shù)序列，即

x(n)=ejωn，-∞<n<+∞，-∞<ω<+∞

則系統(tǒng)輸出

(2.4.1)由于

(2.4.2)

因此

(2.4.3)式(2.4.3)表明，對(duì)于LTI系統(tǒng)，若輸入為單位復(fù)指數(shù)序列，則輸出也是復(fù)指數(shù)序列。輸出序列和輸入序列頻率相同，幅度和相位不同，其復(fù)增益由系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的序列傅里葉變換決定。

2)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、幅頻響應(yīng)與相頻響應(yīng)

為了表征LTI系統(tǒng)的上述性質(zhì)，提出了頻率響應(yīng)的概念。設(shè)LTI系統(tǒng)的輸入為單位復(fù)指數(shù)序列，則稱系統(tǒng)對(duì)于復(fù)指數(shù)輸入的復(fù)增益為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，記為H(ejω)，即

(2.4.4)所以，LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的序列傅里葉變換，若H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)，則稱|H(ejω)|是系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，θ(ω)是系統(tǒng)的相頻響應(yīng)。因此，由式(2.4.3)可以看出，|H(ejω)|表示系統(tǒng)對(duì)不同頻率信號(hào)的增益。由于穩(wěn)定序列的傅里葉變換存在，因此穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)也存在。在今后關(guān)于頻率響應(yīng)的討論中，一般設(shè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

【例2.4.1】

設(shè)某一LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=0.6nu(n)，試計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。

解由h(n)的序列傅里葉變換可得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為

因此，相應(yīng)的幅頻響應(yīng)為

相應(yīng)的相頻響應(yīng)為

離散LTI系統(tǒng)具有周期性的頻率響應(yīng)，這是它與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的重大區(qū)別。

3)正弦序列作為L(zhǎng)TI系統(tǒng)的輸入

若LTI系統(tǒng)的輸入序列為正弦序列

x(n)=A0sin(ωn+θ0)，-∞<n<+∞

(2.4.5)

式中，A0、ω和θ0分別為正弦序列的幅度、數(shù)字角頻率和初相位，則由歐拉公式有

(2.4.6)即輸入正弦序列等價(jià)于輸入兩個(gè)復(fù)指數(shù)序列。設(shè)頻率響應(yīng)為H(ejω)，由式(2.4.6)得到系統(tǒng)的輸出序列為

(2.4.7)對(duì)于系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為實(shí)序列的情形，由序列傅里葉變換的對(duì)稱性質(zhì)可知，頻率響應(yīng)H(ejω)是關(guān)于原點(diǎn)共軛對(duì)稱的，即

H(ejω)=H*(e-jω)

(2.4.8)

因此

|H(ejω)|=|H(e-jω)|

(2.4.9)

θ(ω)=-θ(-ω)

(2.4.10)

由式(2.4.7)可得

(2.4.11)

式(2.4.11)表明，對(duì)單位脈沖響應(yīng)為實(shí)序列的LTI系統(tǒng)，如果輸入為正弦序列，則輸出也是正弦序列，并且輸出序列和輸入序列的數(shù)字角頻率相同。輸出序列的幅度等于輸入序列的幅度和系統(tǒng)幅頻響應(yīng)在該數(shù)字角頻率處的幅度的乘積，而輸出序列的初相位等于輸入序列的初相位和系統(tǒng)相頻響應(yīng)該數(shù)字角頻率處的相位的和。因此，正弦序列通過(guò)LTI系統(tǒng)仍然是正弦序列，只是幅度和初相位發(fā)生了變化。

【例2.4.2】

設(shè)某一LTI系統(tǒng)，其頻率響應(yīng)為

若輸入為

求對(duì)全部n的輸出y(n)。

解由于H(ejω)=H*(e-jω)，所以根據(jù)SFT的共軛對(duì)稱性可知，h(n)為實(shí)數(shù)。

ω0=15π/4模2π后

因此

4)一般穩(wěn)定序列作為L(zhǎng)TI系統(tǒng)的輸入

對(duì)于一般穩(wěn)定序列x(n)作為系統(tǒng)輸入的情形，由序列傅里葉變換的線性卷積性質(zhì)，輸出序列y(n)可由下式得到:

(2.4.12)

2.LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)

由序列傅里葉變換和Z變換的關(guān)系可知，對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，其頻率響應(yīng)H(ejω)為H(z)在單位圓上的取值，即

H(ejω)=H(z)|z=ejω

設(shè)X(z)、

Y(z)、H(z)分別是x(n)、y(n)和h(n)的Z變換，根據(jù)ZT的線性卷積性質(zhì)可得

Y(z)=X(z)H(z)

(2.4.13)式(2.4.13)表明，LTI系統(tǒng)輸出序列的ZT是輸入序列和單位脈沖響應(yīng)序列ZT的乘積。

由此可以看出，若知道了H(z)，則系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系就完全確定了。因此，H(z)是確定系統(tǒng)性能的又一重要物理量，我們稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)或Z傳遞函數(shù)。

由于H(z)是h(n)的Z變換，因此由Z變換的定義式可得

同時(shí)

(2.4.14)

由于h(n)僅與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參量有關(guān)，與輸入和輸出序列無(wú)關(guān)，因此LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)也僅與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參量有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入輸出無(wú)關(guān)。H(z)從Z變換域描述了LTI系統(tǒng)的性能。2.4.2系統(tǒng)函數(shù)的收斂域和極點(diǎn)分布與

系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性的關(guān)系

1.系統(tǒng)函數(shù)的收斂域與系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性的關(guān)系

因果LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為因果序列。由于因果序列Z變換的收斂域?yàn)橐栽c(diǎn)為中心的某個(gè)圓的外部，即因此因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域也是。

我們可以由H(z)的收斂域判斷LTI系統(tǒng)的因果性，也就是說(shuō)，當(dāng)且僅當(dāng)H(z)的收斂域?yàn)闀r(shí)，LTI系統(tǒng)是因果的。對(duì)于穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)是穩(wěn)定序列，即

因此，系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)滿足下述條件:

(2.4.15)即H(z)在單位圓|z|=1上絕對(duì)收斂。顯然，若H(z)在單位圓上絕對(duì)收斂，則h(n)必定是絕對(duì)可求和的，也就是說(shuō)系統(tǒng)必然穩(wěn)定。由此可見，從z變換域來(lái)看，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包括單位圓，即

(2.4.16)

容易看出，若LTI系統(tǒng)既是因果的，又是穩(wěn)定的，則它的系統(tǒng)函數(shù)的收斂域必定同時(shí)滿足以上所給出的兩個(gè)條件，即

(2.4.17)

2.系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布與系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性的關(guān)系

由于線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)是復(fù)變函數(shù)，因此也可以由H(z)的極點(diǎn)位置判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。由前面的討論易知，因果系統(tǒng)的極點(diǎn)必在以原點(diǎn)為圓心的某個(gè)圓

內(nèi)，而穩(wěn)定系統(tǒng)的極點(diǎn)必定不在單位圓上。若系統(tǒng)為因果穩(wěn)定的，則H(z)的極點(diǎn)必定在單位圓內(nèi)。

【例2.4.3】

設(shè)因果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解由于系統(tǒng)是因果的，容易看出，只要H(z)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。

由于系統(tǒng)的二階極點(diǎn)為zx=0.5，在單位圓內(nèi)，因此本系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2.4.3系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)

頻率響應(yīng)特性的影響

將系統(tǒng)函數(shù)H(z)因式分解可得

(2.4.18)式中，A=影響系統(tǒng)函數(shù)的幅度大??；cr為系統(tǒng)的零點(diǎn)；dr為系統(tǒng)的極點(diǎn)；影響系統(tǒng)特性的正是cr、dr。將式(2.4.18)分子分母同乘以zN+M，得

(2.4.19)設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，則H(ejω)=H(z)|z=ejω，并且有

(2.4.20)圖2.4.1頻率響應(yīng)的幾何表示在z平面上，單位圓上的點(diǎn)B表示ejω，矢量表示為，ejω-cr可用由零點(diǎn)cr指向單位圓上ejω點(diǎn)的向量

來(lái)表示，而ejω-dr可用極點(diǎn)dr指向ejω的向量

表示，如圖

2.4.1所示，即

和分別稱為零點(diǎn)矢量和極點(diǎn)矢量。

令，則有

(2.4.21)

(2.4.22)

(2.4.23)式中，分別為零極點(diǎn)矢量模。由式(2.4.22)和(2.4.23)可見，幅頻響應(yīng)由從各零點(diǎn)、極點(diǎn)指向點(diǎn)的向量幅度來(lái)確定，而相頻響應(yīng)則由這些向量的幅角來(lái)確定，當(dāng)頻率ω由0到變化時(shí)，這些向量的終端點(diǎn)沿單位圓反時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一圈，由此算出幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)，從而估算出整個(gè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)來(lái)。對(duì)極點(diǎn)而言，當(dāng)單位圓上的B點(diǎn)轉(zhuǎn)到某個(gè)極點(diǎn)附近時(shí)，矢量最短，出現(xiàn)最小值，|H(ejω)|在這附近出現(xiàn)峰值。極點(diǎn)dr越靠近單位圓，振幅特性的峰值越大，當(dāng)dr出現(xiàn)

在單位圓上時(shí)，=0，振幅特性將出現(xiàn)無(wú)窮大，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

對(duì)零點(diǎn)而言，當(dāng)單位圓上的B點(diǎn)轉(zhuǎn)到某個(gè)零點(diǎn)附近時(shí)，

最短，振幅特性在零點(diǎn)附近形成谷點(diǎn)。當(dāng)零點(diǎn)在單位圓上時(shí)，該零點(diǎn)所在頻率上的振幅特性為零。零點(diǎn)還可以位于單位圓以外，不影響穩(wěn)定性。

處于坐標(biāo)原點(diǎn)的零、極點(diǎn)不影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。

利用系統(tǒng)零、極點(diǎn)特性來(lái)分析系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)時(shí)，僅對(duì)低階系統(tǒng)有效，而對(duì)于高階系統(tǒng)，由于零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)多，相互之間影響關(guān)系不直接，因此不容易畫出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。

【例2.4.4】

已知H(z)=1-z-N，試定性畫出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。

解

極點(diǎn)z=0處的N階極點(diǎn)，不影響頻率響應(yīng)，零點(diǎn)

k=0，1，2，…，N-1，即N個(gè)零點(diǎn)等間隔分布在單位圓上，如圖2.4.2(a)所示。圖2.4.2例2.4.4系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布和幅頻響應(yīng)(a)梳狀濾波器的零、極點(diǎn)分布；(b)梳狀濾波器的幅頻響應(yīng)由圖2.4.2(b)所示幅頻響應(yīng)可見該濾波器為梳狀濾波器，在ω=2πk/N(k=0，1，…，N-1)處的信號(hào)分量被濾除，可用來(lái)消除電網(wǎng)諧波及分離電視接收機(jī)中亮度和色度信號(hào)。由圖2.4.2(b)可見，該濾波器的過(guò)渡帶較寬，在ω=2πk/N附近的信號(hào)衰減較大。在5.4.3小節(jié)中，

我們將介紹另外一種梳狀濾波器，可以實(shí)現(xiàn)較陡的過(guò)渡帶。

【例2.4.5】

已知某LTI系統(tǒng)的，根據(jù)系統(tǒng)零極點(diǎn)位置的變化，用Matlab分析系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。

解系統(tǒng)的零點(diǎn)為a1、a2，極點(diǎn)為b1、b2。

(1)假設(shè)零點(diǎn)a1=0.5ej0.6π，a2=0.5e-j0.6π，極點(diǎn)b1=0.5ej0.1π，b2=0.5e-j0.1π，用Matlab畫出系統(tǒng)的零極點(diǎn)位置和幅頻響應(yīng)。

Matlab程序如下：

a1=0.5*exp(j*0.6*pi);

a2=0.5*exp(-j*0.6*pi)；

b1=0.5*exp(j*0.1*pi);

b2=0.5*exp(-j*0.1*pi)；

z=［a1，a2］′；

p=［b1，b2］′;

figure;zplane(z，p);

［b，a］=zp2tf(z，p，1);

w=0：0.005*pi：pi;

h=freqz(b，a，w);

hmax=max(abs(h));

w=w/pi;運(yùn)行程序，輸出波形如圖2.4.3所示，為低通濾波器。由圖可見，由于零、極點(diǎn)均離單位圓較遠(yuǎn)，因此在零極點(diǎn)處幅頻響應(yīng)的峰值和谷值不明顯。

圖2.4.3例2.4.5圖示一(a)零、極點(diǎn)分布圖;(b)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)

(2)假設(shè)零點(diǎn)a1=ej0.6π，a2=e-j0.6π，極點(diǎn)b1=0.9ej0.1π，b2=0.9e-j0.1π，即和假設(shè)(1)相比，零、極點(diǎn)更靠近單位圓，輸出波形如圖2.4.4所示。由圖可見，由于零點(diǎn)在單位圓上，因此在零點(diǎn)ω=0.6π處幅頻響應(yīng)為谷值，在極點(diǎn)ω=0.1π處幅頻響應(yīng)為峰值。圖2.4.4例2.4.5圖示二(a)零、極點(diǎn)分布圖;(b)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)

(3)假設(shè)零點(diǎn)a1=ej0.2π，a2=e-j0.2π，極點(diǎn)b1=0.9ej0.1π，b2=0.9e-j0.1π，即零點(diǎn)位置靠近極點(diǎn)位置，輸出波形如圖2.4.5所示。由圖可見，此時(shí)低通濾波器的過(guò)渡帶與假設(shè)(2)相比要陡。圖2.4.5例2.4.5圖示三(a)零、極點(diǎn)分布圖;(b)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)這種通過(guò)零點(diǎn)和極點(diǎn)的幾何位置分析系統(tǒng)頻率響應(yīng)的方法，為我們認(rèn)識(shí)零、極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響提供了一個(gè)直觀的概念，這一概念對(duì)系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)都十分重要。

由式(2.4.20)可見，當(dāng)系統(tǒng)的零點(diǎn)或極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，B點(diǎn)在單位圓上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈時(shí)，零點(diǎn)或極點(diǎn)矢量相位變化2π；當(dāng)零點(diǎn)或極點(diǎn)在單位圓外，B點(diǎn)在單位圓上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈時(shí)，零點(diǎn)或極點(diǎn)矢量相位無(wú)變化。一般情況下，M≠N，不妨假設(shè)M=Mi+Mo，

N=Ni+No，Mi、Ni為單位圓內(nèi)的零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)，Mo、No為單位圓外的零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)。當(dāng)B點(diǎn)在單位圓上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈時(shí)，系統(tǒng)相頻響應(yīng)的變化為

Δarg［H(ejω)］=2πMi-2πNi+2π(N-M)一般情況下，我們要求系統(tǒng)為因果的，極點(diǎn)不能在單位圓外，所以No=0。因此

Δarg［H(ejω)］=-2πMo

當(dāng)Mi=M，Mo=0時(shí)，Δarg［H(ejω)］=0，即當(dāng)系統(tǒng)的全部零、極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，B點(diǎn)在單位圓上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈時(shí)，系統(tǒng)的相位變化最小，稱為最小相位系統(tǒng)。

反之，當(dāng)Mi=0，M=Mo時(shí)，Δarg［H(ejω)］=-2πMo，

即H(z)的全部零點(diǎn)在單位圓外，系統(tǒng)的相位變化最大，則系統(tǒng)為最大相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)有很多優(yōu)點(diǎn)。首先，在幅頻響應(yīng)相同的因果穩(wěn)定系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相位延遲是最小的；其次，最小相位系統(tǒng)的逆系統(tǒng)仍是最小相位系統(tǒng);還可以證明，

任何一個(gè)非最小相位系統(tǒng)H(z)均可由一個(gè)最小相位系統(tǒng)Hmin(z)和一個(gè)全通系統(tǒng)Hap(z)級(jí)聯(lián)而成。正是這些優(yōu)點(diǎn)使得最小相位系統(tǒng)得到了廣泛應(yīng)用。在5.4.4小節(jié)將對(duì)最小相位系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)的講解。

【例2.4.6】

已知某最小相位系統(tǒng)的零點(diǎn)為0.9ej0.12π、0.9e-j0.12π、0.7ej0.3π、0.7e-j0.3π，極點(diǎn)為0.95ej0.01π、0.95

e-j0.01π、0.95ej0.1π、0.95e-j0.1π，保持該系統(tǒng)的極點(diǎn)不變，對(duì)上述四個(gè)零點(diǎn)分別取倒數(shù)得到一個(gè)最大相位系統(tǒng)。

(1)用Matlab畫出兩個(gè)系統(tǒng)零極點(diǎn)位置;

(2)用Matlab畫出兩個(gè)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng);

(3)假設(shè)兩個(gè)系統(tǒng)的輸入信號(hào)為x(n)=sin(0.08πn)，用Matlab畫出輸出信號(hào)。

解

Matlab程序與例2.4.5類似，不再給出。

(1)如圖2.4.6所示，(a)圖為最小相位系統(tǒng)的零、極點(diǎn)位置，(b)圖為最大相位系統(tǒng)的零、極點(diǎn)位置。圖2.4.6零、極點(diǎn)位置比較(a)最小相位系統(tǒng);(b)最大相位系統(tǒng)

(2)如圖2.4.7所示，(a)圖為最小相位系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，(b)圖為最大相位系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。

(3)如圖2.4.8所示，(a)圖為最小相位系統(tǒng)的輸出，(b)圖為最大相位系統(tǒng)的輸出。圖2.4.7幅頻特性比較(a)最小相位系統(tǒng);(b)最大相位系統(tǒng)圖2.4.8系統(tǒng)的輸出比較(a)最小相位系統(tǒng);(b)最大相位系統(tǒng)由圖2.4.6~圖2.4.8可見，例2.4.6中最小相位系統(tǒng)和最大相位系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)相同，但從輸出上看，最小相位系統(tǒng)的輸出延遲比最大相位系統(tǒng)的小，即在幅頻響應(yīng)相同的因果穩(wěn)定系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相位延遲是最小的。

2.4.4利用Z變換求解系統(tǒng)的輸出

在第1章中，我們介紹了通過(guò)線性卷積和差分方程的遞推解法求解離散LTI系統(tǒng)的輸出。本節(jié)介紹利用Z變換求解系統(tǒng)的輸出。設(shè)LTI系統(tǒng)的N階差分方程為

(2.4.24)

輸入信號(hào)x(n)是因果的，系統(tǒng)初始條件為y(-1)，y(-2)，…，y(-N)。對(duì)式(2.4.24)進(jìn)行Z變換，得

(2.4.25)式中，等號(hào)右邊第一項(xiàng)與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，只與輸入信號(hào)有關(guān)，稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng);第二項(xiàng)與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，只與系統(tǒng)初始狀態(tài)有關(guān)，稱為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)實(shí)際上就是直接對(duì)式(2.4.24)進(jìn)行雙邊Z變換的結(jié)果。Y(z)為全響應(yīng)。

【例2.4.7】

用Z變換重做例1.3.6。已知描述某LTI系統(tǒng)的差分方程為y(n)=1.5x(n)+0.7y(n-1),輸入序列x(n)=δ(n)，初始條件為y(-1)=1，求系統(tǒng)輸出y(n)。

解對(duì)給定的輸入信號(hào)和差分方程進(jìn)行Z變換，得到

代入初始條件得

因此系統(tǒng)輸出為

y(n)=2.2×0.7nu(n)

【例2.4.8】

設(shè)某一LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)與輸入序列分別為

試用ZT計(jì)算輸出序列y(n)(-∞<n<+∞)。

解查表2.3.2得

令x1(n)=(1/3)nu(n)，x2(n)=0.5nu(n)，則x(n)=x1(n)+0.5x2(-n-1)。

查表2.3.2得

由ZT的折卷和時(shí)移性質(zhì)可得

由ZT的線性性質(zhì)可得

用部分分式展開，可得

查表2.3.2得

2.5.1采樣信號(hào)與模擬信號(hào)的關(guān)系

離散時(shí)間信號(hào)可以由模擬信號(hào)通過(guò)采樣得到，相應(yīng)地，連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜可以用數(shù)字信號(hào)的頻譜表示和計(jì)算。在第3章和第4章引入離散傅里葉變換(DFT)和快速傅里葉變

換(FFT)后，連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜最終就可以用DFT、FFT計(jì)算。下面就分別從時(shí)域、頻域討論離散時(shí)間信號(hào)和模擬信號(hào)的關(guān)系。2.5離散時(shí)間信號(hào)與模擬信號(hào)時(shí)域和頻域的關(guān)系

1.采樣信號(hào)與模擬信號(hào)的時(shí)域關(guān)系

離散時(shí)間信號(hào)可以由連續(xù)時(shí)間信號(hào)通過(guò)采樣得到。對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa(t)，若用如下的周期單位沖激信號(hào)

(2.5.1)

和xa(t)相乘，即

(2.5.2)則稱為xa(t)的理想采樣信號(hào)(注意：此時(shí)采樣信號(hào)仍為連續(xù)時(shí)間信號(hào))，而由xa(t)得到的過(guò)程叫做理想采樣。、xa(t)和分別如圖2.5.1(a)、(b)、(c)所示。T稱為采樣周期，F(xiàn)s=1/T稱為采樣頻率，Ωs=2π/T稱為采樣角頻率。圖2.5.1采樣過(guò)程示意圖由式(2.5.2)，可以得到

(2.5.3)

由于δa(t-nT)只有在t=nT不為零，因此有

(2.5.4)

2.采樣信號(hào)與模擬信號(hào)的頻域關(guān)系

設(shè)xa(t)和的傅里葉變換分別為Xa(jΩ)和(jΩ)，根據(jù)連續(xù)時(shí)間信號(hào)與所學(xué)的知識(shí)，時(shí)域相乘的傅里葉變換為頻域相乘，故

(2.5.5)

因?yàn)?/p>

所以

(2.5.6)由式(2.5.6)可以清楚地看出，采樣信號(hào)的傅里葉變換

是周期為Ωs的周期函數(shù)，并且除了幅度乘以常數(shù)因子1/T外，是由Xa(jΩ)平移相加得到的。設(shè)Xa(jΩ)最

高非零頻率分量的角頻率為Ωmax，如圖2.5.2(a)所示，則若采樣角頻率Ωs<2Ωmax，將出現(xiàn)如圖2.5.2(b)所示的頻率交疊，這樣，由就不能無(wú)失真地得到Xa(jΩ)，不能由采樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)xa(t)了。圖2.5.2采樣信號(hào)與模擬信號(hào)的頻域關(guān)系示意圖顯然，為了避免這種交疊現(xiàn)象，應(yīng)該要求Ωs≥2Ωmax(即奈奎斯特采樣定理)，這種情況如圖2.5.2(c)所示。從

圖中可以看出，在Ωs≥2Ωmax的條件下，當(dāng)|Ω|≤Ωs/2時(shí)，

和Xa(jΩ)除幅度不同外(前者是后者幅度的1/T)，形狀是完全相同的。因此可由得到Xa(jΩ)，即由

采樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)xa(t)。

3.模擬信號(hào)的恢復(fù)

為了恢復(fù)信號(hào)xa(t)，可讓采樣信號(hào)通過(guò)一理想的模擬低通濾波器，頻率響應(yīng)如下:

(2.5.7)

其頻率響應(yīng)如圖2.5.3所示。圖2.5.3理想模擬低通濾波器的頻率響應(yīng)由圖2.5.2(c)和圖2.5.3可以清楚地看出，當(dāng)Ωs≥2Ωmax

時(shí)

(2.5.8)上式表明，在Ωs≥2Ωmax的條件下，采樣信號(hào)通過(guò)理想低通濾波器后的輸出就是原信號(hào)xa(t)。這意味著，應(yīng)用這種方法可以恢復(fù)原信號(hào)xa(t)。

由式(2.5.7)，運(yùn)用連續(xù)傅里葉反變換，可以得到理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)

(2.5.9)

由式(2.5.8)，根據(jù)傅里葉變換的卷積性質(zhì)，可得

式(2.5.10)給出了信號(hào)xa(t)的樣值xa(nT)和原信號(hào)的函數(shù)關(guān)系。2.5.2離散時(shí)間信號(hào)與模擬信號(hào)的關(guān)系

1.離散時(shí)間信號(hào)與模擬信號(hào)的時(shí)域關(guān)系

令

x(n)=xa(nT)=xa(t)|t=nT

(2.5.11)

即如果不考慮量化的影響，可以認(rèn)為離散時(shí)間信號(hào)x(n)可以由連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa(t)的樣值構(gòu)成。當(dāng)然量化效應(yīng)總是存在的，這一點(diǎn)將在8.6節(jié)進(jìn)行討論。反過(guò)來(lái)，采樣信號(hào)可由序列x(n)得到，由式(2.5.3)和式(2.5.11)，可以得到

(2.5.12)

2.離散時(shí)間信號(hào)與模擬信號(hào)的頻域關(guān)系

離散時(shí)間信號(hào)x(n)的序列傅里葉變換和連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa(t)的連續(xù)傅里葉變換有密切的關(guān)系。根據(jù)序列傅里葉變換的定義，有

由式(2.5.6)得

上式表明，只要把模擬頻率換成數(shù)字頻率，連續(xù)時(shí)間信號(hào)的連續(xù)傅里葉變換和離散時(shí)間信號(hào)x(n)的序列傅里葉變換是相同的，即

(2.5.13)式(2.5.13)給出了離散時(shí)間信號(hào)x(n)和模擬信號(hào)xa(t)的頻域關(guān)系，可以看出，如果在時(shí)域?qū)π盘?hào)抽樣，則其頻域的特征就是頻譜的周期延拓，這也是傅里葉變換的最基本特征。

離散信號(hào)和模擬信號(hào)的頻域關(guān)系如圖2.5.4所示。圖2.5.4離散信號(hào)和模擬信號(hào)的頻域關(guān)系(a)原信號(hào)頻譜;(b)采樣信號(hào)的頻譜;(c)離散時(shí)間信號(hào)的頻譜從圖2.5.4可以清楚地看出，根據(jù)數(shù)字角頻率和模擬角頻率的關(guān)系式ω=ΩT，模擬信號(hào)的頻譜圖中的Ωs映射到離散信號(hào)頻譜圖中的2π，相應(yīng)地，Ωs/2→π，Ωmax→ωmax。2.5.3A/D及D/A轉(zhuǎn)換

我們周圍的很多信號(hào)，如聲音和圖像信號(hào)大都是非電信號(hào)。為了將非電信號(hào)轉(zhuǎn)換成電信號(hào)，要用到各種相應(yīng)的傳感器。各種信號(hào)的傳感器是不同的，麥克風(fēng)是最普通的聲音傳

感器;光的變化可通過(guò)半導(dǎo)體器件記錄，如電荷藕合器件(CCD)，其載流能力隨著入射光的強(qiáng)度而變化;其他傳感器還有應(yīng)力傳感器、壓力傳感器和流量傳感器等。這些傳感器的

輸出通常為與被測(cè)信號(hào)成比例的模擬電信號(hào)(電壓或電流)，為了能夠用數(shù)字信號(hào)的處理方法對(duì)其進(jìn)行處理，模擬電信號(hào)必須轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)，即為模/數(shù)(A/D)轉(zhuǎn)換。

1.模／數(shù)(A/D)轉(zhuǎn)換

A/D轉(zhuǎn)換一般分兩步，第一步是采樣。采樣通常為等間隔采樣，在每一個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣，且將該采樣值保持到下一個(gè)采樣點(diǎn)，這一過(guò)程稱為采樣保持(Sampleand

Hold)。為了避免混疊，應(yīng)滿足采樣定理。

第二步是對(duì)采到的模擬值進(jìn)行量化(Quantization)和數(shù)字化。采樣保持期間有足夠的時(shí)間完成這一步。

對(duì)每個(gè)采樣點(diǎn)采樣結(jié)束后，轉(zhuǎn)換器盡快選擇與采樣保持電平最接近的量化電平，然后分配一個(gè)二進(jìn)制數(shù)字代碼來(lái)標(biāo)識(shí)這個(gè)量化電平，至此，便完成了模／數(shù)轉(zhuǎn)換過(guò)程。圖2.5.5模／數(shù)轉(zhuǎn)換過(guò)程示意圖上述過(guò)程如圖2.5.5所示，圖2.5.5(a)所示為某模擬信號(hào);圖2.5.5(b)為圖2.5.5(a)中模擬信號(hào)的采樣保持信號(hào)，圖中豎的虛線標(biāo)明采樣點(diǎn)；圖2.5.5(c)給出了圖2.5.5(b)的數(shù)字信號(hào)，

這個(gè)數(shù)字信號(hào)表示每個(gè)采樣點(diǎn)的量化電平，用每個(gè)采樣點(diǎn)上頂端帶小圓圈的豎線表示。數(shù)字信號(hào)只在采樣點(diǎn)這些離散時(shí)間點(diǎn)上有值。需要注意的是，由于計(jì)算機(jī)對(duì)信號(hào)的存儲(chǔ)是數(shù)字方式，因此圖2.5.5(c)中的數(shù)字信號(hào)值一般與該采樣點(diǎn)的模擬信號(hào)值不可能完全一致(產(chǎn)生量化誤差)。計(jì)算機(jī)所用的數(shù)值以二進(jìn)制形式存儲(chǔ)于存儲(chǔ)單元中。二進(jìn)制的位數(shù)取決于A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)。假設(shè)將取值-2.5~+1.5V的模擬電壓值轉(zhuǎn)換為2比特的數(shù)字信號(hào)，在2比特系統(tǒng)中，只有00、01、10、11這4種可能的數(shù)字值。而這些代碼必須能代表任意可能的輸入電壓值。例如，-2.5~-1.5V的值可能編碼為00，而-1.5~-0.5V的電壓編碼為01，依此類推。由于許多不同的電壓值具有同一個(gè)代碼，所以大多數(shù)A/D轉(zhuǎn)換器會(huì)引入量化誤差(QuantizationError)。量化時(shí)所用的比特?cái)?shù)越多，量化誤差越小，但不可能完全避免。

由此可見，A/D轉(zhuǎn)換器得到的數(shù)字信號(hào)有兩個(gè)重要特點(diǎn)：第一，所采到的數(shù)字信號(hào)的精度是由A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)決定的;第二，數(shù)字信號(hào)僅在采樣時(shí)刻有值，在采樣點(diǎn)之間沒有定義，這就是我們強(qiáng)調(diào)離散時(shí)間信號(hào)x(n)只在整數(shù)n上才有定義的原因。

2.數(shù)/模(D/A)轉(zhuǎn)換

對(duì)A/D轉(zhuǎn)換后的信號(hào)，用數(shù)字信號(hào)處理的方法處理完成后，如果需要輸出的是模擬信號(hào)，還要將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為模擬信號(hào)的形式，稱為數(shù)/模(D/A)轉(zhuǎn)換。例如，數(shù)字信號(hào)不適合驅(qū)動(dòng)揚(yáng)聲器，為了再現(xiàn)聲音，需要輸出模擬信號(hào)。D/A轉(zhuǎn)換一般也分兩步。第一步是把數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為與其成比例的模擬信號(hào)，也就是將數(shù)字信號(hào)保持一個(gè)采樣周期，稱為零階保持(ZeroOrderHold，ZOH)。零階保持信號(hào)是模擬信號(hào)，但其階梯形狀與最初被采樣的模擬信號(hào)不一致。因此，D/A轉(zhuǎn)換的第二步就是平滑該零階保持信號(hào)，該過(guò)程如圖2.5.6所示。圖2.5.6(a)所示為數(shù)字信號(hào)，每個(gè)采樣點(diǎn)處的高度對(duì)應(yīng)數(shù)字代碼得到的模擬電壓;圖2.5.6(b)所示為對(duì)應(yīng)的零階保持信號(hào);圖2.5.6(c)所示為最終的模擬信號(hào)。圖2.5.6數(shù)／模轉(zhuǎn)換過(guò)程示意圖作為總結(jié)，圖2.5