中考數(shù)學專項復習：整式乘法（知識串講+11大考點）（解析版）

專題02整式乘法

考點類型

考點1：計算單項式乘單項式

考點7：整式乘法一錯看問題

考點2：用科學計數(shù)法表示乘法

14.1整式乘法考點9：整式乘法一圖形面積問題

考點4：計算多項式乘多項式

考點10：整式乘法一新定義問題

考點5：整式乘法一求字母、代數(shù)式的值

考點11：整式乘法一四則混合運算

考點6：整式乘法一化簡求值

知識串講

(-)整式乘法

(1)單項式X單項式

單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)哥分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含

有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

單項式乘法易錯點:

單項式乘法概念易錯點

系數(shù)相乘先確定積的符號，再計算積的絕對值

同底數(shù)基相乘底數(shù)不變，指數(shù)相加。

只在一個單項式含有的字母，連同它的指相乘結果數(shù)據(jù)遺漏

數(shù)作為積的一個因式(出現(xiàn)字母照抄，避免遺漏數(shù)據(jù))

(2)單項式義多項式

單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加

【單項式乘以多項式注意事項】

①單項式乘多項式的結果是多項式，積的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同。

②單項式分別與多項式的每一項相乘時，要注意積的各項符號。(同號相乘得正，異號相乘得負)

③不要出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象，運算要有順序。

(3)多項式X多項式

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.

【多項式乘以多項式注意事項】

多項式與多項式相乘時，多項式的每一項都應該帶上它前面的正負號。多項式是單項式的和，每一項都包

括前面的符號，在計算時一定要注意確定各項的符號。

今考點訓練

考點1:計算單項式義單項式

典例1:(2023年陜西省中考數(shù)學試卷(A卷))計算：6盯2.(—緊3y3)=()

A.3%4y5B.—3%4y5C.3%3y6D.—3%3y6

【答案】B

【分析】利用單項式乘單項式的法則進行運算即可.

【詳解】解：6xy2?(—|x3y3)

1

=6x(―-)x1+3y2+3

=—3x4y5.

故選：B.

【點睛】本題主要考查單項式乘單項式，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握.

【變式1](2023春?廣西貴港?七年級統(tǒng)考期末)計算：(一3%2).(2%尸的結果是()

A.—6x5B.—24x5C.—18%6D.—6x6

【答案】B

【分析】直接根據(jù)積的乘方運算和單項式乘以單項式運算法則計算即可得出答案.

【詳解】解：(_37).(2%)3

=(—3x2)X8%3

=—24%5.

故選：B.

【點睛】本題考查了積的乘方運算和單項式乘以單項式，熟知運算法則是解題的關鍵.

【變式2](2023?河北衡水?校聯(lián)考二模)數(shù)學課上進行小組合作式學習，老師讓小組成員的2號同學寫出5

個常錯的式子，4號同學進行判斷，則判斷正確的個數(shù)是()

(1)(—a3)2=(—a2)3(x)

(2)a3—a2=a(x)

(3)a64-dz=a3(x)

(4)3a2—(—a2)—2a2(V)

(5)a4.a2=a8(x)

A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】B

【分析】利用同底數(shù)幕的除法的法則，合并同類項的法則，同底數(shù)幕的乘法的法則，積的乘方的法則對各

項進行運算即可.

【詳解】解：(1)(-a3)2=-(-a2)3,故(1)判斷正確；

(2)與一。2不屬于同類項，不能合并，故(2)判斷正確；

(3)a6H-a2=a4,故(3)判斷正確；

(4)3a2—(―a2)=4a2,故(4)判斷錯誤；

(5)a4a2=a6,故(5)判斷正確；

則判斷正確的有4個.

故選：B.

【點睛】本題主要考查同底數(shù)幕的除法，合并同類項，積的乘方，同底數(shù)基的乘法，解答的關鍵是對相應

的運算法則的掌握.

【變式3](2023?陜西西安?西安市慶安初級中學校聯(lián)考模擬預測)計算：—3k(2x2yf=()

A.24x7y3B.—6x7y3C.—24x6y3D.—24x7y3

【答案】D

【分析】先計算積的乘方，再根據(jù)單項式乘單項式的運算法則計算即可.

【詳解】解：—3“(2x2y『

=—3%-8久6y3

=—24%7y3,

故選：D.

【點睛】本題考查的是積的乘方及單項式乘單項式，單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別

相乘.

考點2:用科學計數(shù)法表示乘法

典例2：（2023春?黑龍江大慶?九年級?？茧A段練習）光在真空中的速度約為3xlO8m/s,太陽光照射到地

球上大約需要5X102s.地球距離太陽大約有多遠？（）

A.15X1011B.1.5X1011C.15X1016D.1.5X1016

【答案】B

【分析】直接利用有理數(shù)的乘法結合科學記數(shù)法表示方法得出答案.

【詳解】解：由題意可得，地球與太陽的距離大約是：3x108x5x102=1.5x1011（m）.

故選：B

【點睛】此題主要考查了科學記數(shù)法以及有理數(shù)乘法，正確掌握運算法則是解題關鍵.

【變式1］（2023春?全國?七年級專題練習）國家速滑館位于北京奧林匹克公園規(guī)劃范圍內(nèi)，是北京2022年

冬奧會標志性場館.主場館外觀大致呈橢圓形，有著一個很好聽的名字一一“冰絲帶"，其南北長約240米,

東西寬約174米，建筑高度為33.8米，總座席12058席，"冰絲帶"以約12000平方米的冰面成為亞洲之

最.建成后將與國家體育場"鳥巢"、國家游泳中心“水立方"共同組成北京這座世界首個“雙奧之城"的標志性

建筑群.將12000用科學記數(shù)法表示應為（）

A.1.2xl06B.0.12X105C.1.2xl04D.1.2xl03

【答案】C

【分析】用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)即把一個數(shù)寫成ax10兀的形式，其中1<|a|<10,n是原數(shù)的整數(shù)位

數(shù)減1,用這兩個條件逐一對比，排除錯誤項，選出正確選項.

【詳解】科學記數(shù)法的形式是ax10”,其中1<|a|<10,n是原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1,對于12000用科學記數(shù)

法表示時a=1.2,n=5-l=4,即1.2X103而A選項n=6,故錯誤；B選項a=0.12,n=5,故錯誤；C選項

a=1.2,n=4,故正確；D選項n=3,故錯誤.

故選：C.

【點睛】本題考查較大數(shù)（絕對值）用科學記數(shù)法表示.科學記數(shù)法是把原數(shù)寫成形如ax10'的形式，其

中的a是一位整數(shù)的數(shù)，n是整數(shù)位數(shù)減1,找準a、n是關鍵.

【變式2】（2023春?浙江,七年級專題練習）2021年5月22日，我國始發(fā)的火星車"祝融號"安全到達火星表

面.到目前已經(jīng)獲取約10G3原始科學數(shù)據(jù)，當?shù)厍蚺c火星處于最遠位置時，從火星表面發(fā)出的光到達地球

的時間為21分20秒，已知光速約為3X108米/秒，則地球與火星處于最遠位置時的距離是（）

A.3.84X1011米B.3.84x108米c3.784XIO11米D.3.784X1。8米

【答案】A

【分析】用光速乘時間，計算后再根據(jù)科學記數(shù)法的形式為“10〃的形式，其中〃為整數(shù)解

答.

【詳解】解：21分20秒=1280秒，

3X108X1280

=3.84x1011（米），

故選：A.

【點睛】此題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，準確確定。與〃值是關鍵.

【變式3］（2022?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）2022年6月5日10時44分07秒，神舟14號飛船成功發(fā)射，

將陳冬、劉洋、蔡旭哲三位宇航員送入了中國空間站.已知中國空間站繞地球運行的速度約為7.7X103m/

s,則中國空間站繞地球運行2xl02s走過的路程（m）用科學記數(shù)法可表示為（）

A.15.4X105B.1.54X106C.15.4X106D.1.54X107

【答案】B

【分析】先求出路程，再用科學記數(shù)法表示為aX10"的形式.

【詳解】解：路程=7.7X103x2x102=15.4X105=1.54x106m.

故選：B.

【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.科學記數(shù)法的表示

形式為。義10〃的形式，其中:LW|a|<10,〃為整數(shù).

考點3：計算單項式X多項式

典例3：計算：—5xy（2y+x—8）=—10盯2-5*2丫+口，口表示（）

A.—40xyB.—SxyC.-8D.4Oxy

【答案】D

【分析】運用單項式乘以多項式法則展開，再根據(jù)對應項相等，即可求解.

【詳解】解：—5xy（2y+%—8）=—10xy2—5x2y+40xy,

=4Oxy,

故選：D.

【點睛】本題考查單項式乘以多項式，熟練掌握單項式乘以多項式法則是解題的關鍵.

【變式1](2023春?河北石家莊?七年級?？茧A段練習)若規(guī)定小十幾=nrn(zn—①，貝ij(a+b)9a=()

A.a2b+ab2B.2a2b—b3C.2ab2—b3D.a^b—ab2

【答案】A

【分析】根據(jù)定義新運算的規(guī)則，進行計算即可.

【詳解】解：由題意，得：(a+b)十a(chǎn)=a(a+b)(a+b—a)=ab(a+6)=a2/,+(2爐；

故選A.

【點睛】本題考查定義新運算，單項式乘多項式.理解并掌握規(guī)定的新運算法則，是解題的關鍵.

【變式2](2021秋?廣東江門,八年級臺山市新寧中學?？计谥?對于任意有理數(shù)a,b,現(xiàn)有"*"定義一種運

算：a*b=b2—2ab,根據(jù)這個定義，代數(shù)式(久—y)*y可以化簡為()

A.2y2—xyB.3y2+2xyC.y2—2xyD.3y2—2xy

【答案】D

【分析】由題目中給出的運算方法，即可推出原式=必—2y(x—y),通過計算即可推出結果.

【詳解】解：?.?a*b=b2-2ab,

??-(%-y)*y=y2-2yo-y)

=y2—2xy+2y2

—3y2—2xy,

故選：D.

【點睛】此題主要考查了整式的運算，解題的關鍵是根據(jù)題意掌握新運算的規(guī)律.

【變式3](2023春?河南平頂山?七年級?？茧A段練習)己知a+b=m,ab=n,化簡(a-2)(6—2)的結果是

()

A.〃+4B.77-4C.z?-2m+4D.n-m-A

【答案】C

【分析】先按照整式乘法法則運算可得ab—2a—2b+4,再加括號可得ab—2(a+b)+4,最后將a+b=m

,ab=n整體代入即可解答.

【詳解】解：(a-2)(b-2),

=ab—2a—2b+4,

=ab—2(a+b)+4,

=n-2m+4.

故選C.

【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值、整式的乘法等知識點，靈活運用相關運算法則是解答本題的關鍵.

考點4：計算多項式X多項式

典例4：（2023春?浙江嘉興?七年級校聯(lián)考期中）計算（a+3b）（a+2b）的結果是（）

A.a2+5ah+5b2B.a2+5ab4-6b2C.a2+5b2D.a2+6/J2

【答案】B

【分析】利用多項式乘多項式的法則計算即可.

【詳解】解：（a+3b）（a+2b）

=原+3ab+2ab+6b2

=a2+5ab+662,

故選：B.

【點睛】本題考查了多項式乘多項式，熟練掌握多項式乘多項式的運算法則是解題的關鍵.

nn-22

【變式1]（2023春?安徽淮北?七年級校聯(lián)考期末）關于％的多項式anx+冊_1廿t+an_2x+???+a2x

+。6+劭，其中九為正整數(shù)，若各項系數(shù)各不相同且均不為0,我們稱這樣的多項式為〃親緣多項式〃.

①（2%-是〃親緣多項式〃.

2322

②若多項式的爐+a2x+ai%+a。和+b3x+b2x+必+b（）均為，親緣多項式”，則劭爐+a2x+arx

432

+a0+b4x+b3x+b2x+瓦+瓦也是“親緣多項式

4432

③多項式（2%—I）=b4x+b3x+b2x+bix+瓦是“親緣多項式”且3+久+為=41.

④關于％的多項式（aX+8）九，若QHb,ab0,九為正整數(shù)，貝！J（a%+力）"為“親緣多項式

以上說法中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】①將（2x-1）2展開，進行判斷即可；②合并同類項后，進行判斷即可；③計算出（2久一1）3進

行判斷即可；④利用特殊值法進行判斷即可.

【詳解】解：①???（2%—1）2=4/—4%+1,各項系數(shù)各不相同且均不為0,

??.（2%—1下是〃親緣多項式〃，故①正確；

323243

（2）,*,a3%+a2x+a1x+a0+久/+b3x+b2x+b1x+瓦=b4x+（a3+h3）x+（a2+力2）/+

（cii+歷）/+a0+b（）,并不能確定各項系數(shù)各不相同且均不為0,

???+劭++匕31++無不是“親緣多項式”,故②錯誤；

（3）（2%-I）4=16x4-32/+24/-8x+l,

■■（2x—1）4是“親緣多項式"，

4432

（2%—I）=b4x+b3x+b2x+bjx+b0,

432432

b4x+b3x+b2x+brx+b0-16x—32x+24x—8x+1,

*1?64+Z?2+b。=16+24+1=41；故③）正確；

④當a=l,b=-1,n=4時：（x—1尸=鈕3+6刀2_軌+1,三次項和一次項的系數(shù)相同，不是“親

緣多項式"，故④錯誤；

綜上：正確的有2個；

故選：B.

【點睛】本題考查整式的運算.理解并掌握"親緣多項式"的定義是解題的關鍵.

【變式2］（2023春?四川成都?七年級成都實外?？计谥校┤簦ň靡?）（2%—幾）=2比2+根%—15,貝U加、"的

值分別是（）

A.m=—7,幾=3B.m=7,n=—3C.m=—7,n=—3D.m=7,n=3

【答案】C

【分析】直接利用多項式乘以多項式運算法則去括號，進而得出關于加，〃的等式求出答案.

【詳解】解：,?,（%—5）（2%—n）=2%2+mx-15,

.9.2x2—（10+n）x+5n=2x2+mx—15,

MJ5n=—15

取Izn=—10—n'

解得:，

故選：c.

【點睛】此題主要考查了多項式乘以多項式，正確掌握多項式乘法運算法則是解題關鍵.

【變式3］（2023春,陜西西安?七年級陜西師大附中?？茧A段練習）現(xiàn)有如圖所示的卡片若干張，其中/類、

2類為正方形卡片，C類為長方形卡片，若用此三類卡片拼成一個長為2a+云寬為a+26的大長方形，則

需要C類卡片張數(shù)為（）

4類

||類］bC類

aba

A.5B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】利用多項式乘法算出大長方形的面積，找出含油項的系數(shù)，即可得解.

【詳解】解：由題意可得大長方形的面積為：

(2a+b)(a+2b)=2cz2+5ab+2b2,

可見要組成這樣一個長方形，需要/類、8類卡片各2張，C類卡片5張，

故選A.

【點睛】本題考查多項式乘法的幾何應用，熟練掌握多項式的乘法法則、正方形和長方形的面積求法是解

題關鍵.

考點5：整式乘法一一求字母、代數(shù)式的值

典例5：(2023春,浙江?七年級專題練習)5g(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4,則加一〃等于()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】B

【分析】首先根據(jù)單項式乘單項式的運算法則計算求出加，〃的值，然后代入計算即可.

［詳解］(-5產(chǎn)+?2f3n那)

=(—5x2)(am+1/?2n-1anbm)

:.-l0am+n+lb2n+m-l=-10^4

(m+n+l=4

*i2n+m—1=4

解得｛々黑

?=1-2=-1,

故選：B.

【點睛】本題主要考查代數(shù)式求值，掌握單項式乘單項式的運算法則是關鍵.

【變式1】(2023春?全國?七年級專題練習)已知邊長分別為a、b的長方形的周長為10,面積4,則ab?+a2b

的值為（）

A.10B.20C.40D.80

【答案】B

【分析】直接利用矩形周長和面積公式得出ab,a+b,進而利用提取公因式法分解因式得出答案.

【詳解】解：由邊長分別為a、b的長方形的周長為10,面積4,

.則2（a+b）=10,ab=4,則a+b=5,ab2+a2b=ab（b+a）=4x5=20.

故選B.

【點睛】本題主要考查了提取公因式法以及矩形的性質應用，正確分解因式是解題關鍵.

【變式2］（2023春?河北邢臺?七年級統(tǒng)考期中）今天數(shù)學課上，老師講了單項式乘多項式，放學回到家，

小明拿出課堂筆記復習，發(fā)現(xiàn)一道題：—7xy（2y—x—3）=-14xy2+7/y口，口的地方被鋼筆水弄污了，

你認為口內(nèi)應填寫（）

A.+21xyB.—21xyC.—3D.—lOxy

【答案】A

【分析】先把等式左邊的式子根據(jù)單項式與多項式相乘，先用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相

加，所得結果與等式右邊的式子相對照即可得出結論.

【詳解】解：?.?左邊=-7xy（2y—刀一3）,

=—14xy2+7x2y+21xy.

右邊=—14xy2+7x2yn,

二口內(nèi)上應填寫+21xy.

故選：A.

【點睛】本題考查的是單項式乘多項式，熟知單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，

再把所得的積相加是解答此題的關鍵.

【變式3］（2023春?廣東揭陽?七年級?？茧A段練習）若.x7"、2n=刀9/8,則4m—3/1=（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】D

【分析】先根據(jù)單項式乘以單項式，確定m,n的值，即可解答.

【詳解】［解析?/；產(chǎn)1=x3+m,2n=%9y8,...3+巾=9,

2n=8,.-.m=6,n=4,.-.4771—371=24—12=12,

故選D.

【點睛】本題考查了單項式乘以單項式，解題的關鍵是確定m,n的值.

考點6：整式乘法一一化簡求值

典例6：(2023春?浙江金華?七年級?？计谥?先化簡，再求值：

(1)(3%+l)(2x-3)-(6x-5)(x-4),其中％=—2；

(2)(2%—y)(x+y)—2x(—2x+3y)+6x(—x—|y),其中x=l,y—2.

【答案】⑴22x—23；-67

(2)—20xy—y2；—44

【分析】(])根據(jù)多項式乘以多項式的運算法則可將原式展開，再合并同類項，最后將x的值代入即可求

解；

(2)根據(jù)多項式乘以多項式以及單項式乘以多項式的運算法則可將原式展開，再合并同類項，最后將x、y

的值代入即可求解.

【詳解】(1)解：(3%+1)(2%—3)—(6%—5)(%—4)

=6x2—9%+2%—3—6x2+24%+5%—20

=22x—23,

當％=—2時，原式=—44—23=—67；

(2)解：(2%—y)(%+y)-2%(—2%+3y)+6x(—%—|y)

=2%2+2xy—xy—y2+4x2—6xy—6x2—15xy

=—20xy—y2,

當％=1,y=2時，原式=-20x1x2—22=—44.

【點睛】本題考查整式的混合運算，多項式乘多項式的法則，單項式乘多項式的法則等知識，解題的關鍵

是掌握乘法運算法則，屬于中考?？碱}型.

【變式1](2023春?廣東深圳?七年級?？计谥?如圖，某小區(qū)有一塊長為(2。+3b),寬為(3。+2力)的長方

形地塊，物業(yè)公司計劃在小區(qū)內(nèi)修一條平行四邊形小路，小路的底邊寬為。米，將陰影部分進行綠化.

(1)用含有a、b的式子表示綠化的總面積S；

(2)若a=3,b=6,求出此時綠化的總面積S.

【答案】(l)3a2+Hab+6b2

(2)441m2

【分析】(1)利用長方形的面積公式及平行四邊形的面積公式進行求解即可；

(2)把相應的值代入(1)中運算即可.

【詳解】(1)解：由題意得：

S=(3a+2b)(2a+3b)—a(3a+2b)

=6a2+9ab+4ab+6b2—3a2—2ab

=3a2+llab4-6b2；

(2)當a=3,b=6,

S=3x32+11x3x6+6x62=441.

答：當a=3,b=6時綠化的總面積為441m2.

【點睛】本題主要考查列代數(shù)式、整式乘法、求代數(shù)式的值，解答的關鍵是正確表示出綠化面積.

2

【變式2](2023春?浙江杭州?七年級校考階段練習)已知M=Q2EN=2a+3ab.

(1)當a=—3,b=—2,分別求N的值.

(2)若等=b,求(a+2)(6+2)的值.

【答案】⑴〃的值是—18,N的值是36；

(2)(a+2)(b+2)=4.

【分析】(1)直接將。、6值代入，利用有理數(shù)的混合運算法則即可求得N值；

(2)由等=上計算得到ab+2(a+b)=0,化簡(a+2)(。+2)得到ab+2(a+b)+4,再整體代入計算即

可求解.

22

【詳解】(1)解：=ab,N=2a+3ab,a=—3,b=—2f

.,.M=(—3)2x(—2)=—18,

N=2x(—3)2+3x(—3)x(—2)=18+18=36,

即M的值是一18,N的值是36；

(2)解：???M=a2b,N=2a2+3afo,---=b,

a

.-.a2b+2a2+3ab-ab,

整理得ab+2(a+b)=O

.?.(a+2)(b+2)=ab+2(a+b)+4=4.

【點睛】本題考查代數(shù)式的求值、有理數(shù)的混合運算、整式的混合運算，熟練掌握求代數(shù)式的值的方法，

第(2)中能用整體代入法是解答的關鍵.

【變式3](2023春?黑龍江哈爾濱?六年級統(tǒng)考期末)閱讀材料：我們知道，4%-2%+%=(4-2+1)%=3

x,類似地,我們把(a+6)看成一個整體，則4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+l)(a+b)=3

(a+6)."整體思想”是中學教學解題中的一種重要的思想方法，它在多項式的化簡與求值中應用極為廣泛,

嘗試應用整體思想解決下列問題：

⑴把(a-b)2看成一個整體，合并2(a-以-6(a-&)2+5(a-Z?)2；

(2)已知久2―2y=-2,求6,一12y-15的值;

(3)已知a—2b=-1,2d—c=5,c—d--10,求(a—c)+(2b—d)—(2b—c)的值.

【答案】⑴(a—6)2

(2)-27

⑶-6

【分析】(1)把(a—6)2提出了進行計算即可得；

(2)6x2-12y-15=6(x2-2y)-15,把/—2y=—2代入進行計算即可得；

(3)(a—c)+(2/?_d)—(26—c)=(a—2b)+(2b—c)+(c—d),把a—2b=-l,2b-c=5,c-d

=—10代入進行計算即可得.

【詳解】(1)解：2(a—b)2—6(a—b)2+5(a—b)2=(2—6+5)(a—b)2=(a—6)2.

2

⑵解：6x-12y-15=6(%2_2y)-15,

把比2—2y——2代入得，原式—6x(—2)—15——27.

(3)解：(^a-c)+(2b-d)-(2b-c)=a-c+2b-d-2b+c=(a-26)+(2b-c)+(c-d)

把a—2b=—1,2b—c=5,c—d=—10代入得，

原式=-1+5+(—10)=-6.

【點睛】本題考查了多項式的變形和整體代入的思想，解題的關鍵是理解題意，掌握這些知識點.

考點7：整式乘法一一錯看問題

典例7：(2023?全國?九年級專題練習)已知：A=2xf5是多項式，在計算B+Z時，小馬虎同學把8+A看

成了8?4結果得：/+京，你能幫他計算出正確的B+z的答案嗎？(寫出計算過程)

【答案】B+A=2%3+x2+2%

【分析】先根據(jù)4=2%,8+4的結果是%2+京，求出8=2%3+汽2,再求出8+4的值即可.

【詳解】解：?.?/=2%,B+4的結果是/+),

???B=2%(%2+1%)=2%3+%2,

???B+4=2x3+x2+2久.

【點睛】本題主要考查了整式加減運算和單項式乘多項式，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，準確計算.

【變式1](2022秋?陜西渭南?八年級?？茧A段練習)在計算(2x+a)(x+b)時，甲錯把b看成了6,得到

結果是：2%2+8%-24；乙錯把〃看成了-a,得到結果：2%2+14x+20.

(1)求出a,b的值；

(2)在(1)的條件下，計算(2X+Q)G+b)的結果.

【答案】⑴。=-4；6=5；(2)2%2+6x-20

【分析】(1)根據(jù)條件求出代數(shù)式的值，對比結果，分別求出。力的值；

(2)將(1)的Q力的值代入代數(shù)式求解即可.

【詳解】解：(1)甲錯把b看成了6,

(2x+a)(x+6)

=2x2+12%+ax+6Q

=2x2+(12+d)x+6a

=2x2+8%-24

?'?12+a=8,

即a=-4；

乙錯把a看成了-a,

(2x—q)(x+b)

=2x2+2bx-ax-ab

=2x2+(2b-a)x-ab

=2x2+14%+20

???26-。=14,把a=-4代入,

得b=5.

(2)當〃=-4,6=5時，

(2x+〃)(x+6)

=(2x—4)(x+5)

=2x2+10x-4x-20

=2x2+6x-20

【點睛】本題考查了整式的乘法運算，正確的計算是解題的關鍵.

【變式2](2023春?七年級?？紗卧獪y試)甲、乙兩人共同計算一道整式乘法題：(3%+a)(2x+b).甲由

于把第一個多項式中的〃+Q〃看成了〃一出‘，得到的結果為67—13%+6；乙由于漏抄了第二個多項式中x

的系數(shù)，得到的結果為3%2一7%—6.

⑴求正確的。、b的值.

⑵計算這道乘法題的正確結果.

【答案】⑴｛丁二馬

(2)6%2_5%_6

【分析】(1)按乙錯誤的說法得出的系數(shù)的數(shù)值求出。，6的值；

(2)把a,b的值代入原式求出整式乘法的正確結果.

【詳解】(1)解：,?,甲由于把第一個多項式中的"+優(yōu)'看成了"一a",得到的結果為6/—13久+6

(3%—a)(2x+b)=6x2+(36—2a)x—ab=6x2—13x+6.

???乙由于漏抄了第二個多項式中%的系數(shù)，得到的結果為3/—7x—6.

(3x+a)(x+b)=3x2+(3b+a)x+ab=3x2—7x—6.

(3b—2a=-13

"tt3b+a=—7

Ja=2

--lb=-3

(2)解：(3x+2)(2x—3)=6x2—5x—6.

【點睛】此題考查了多項式乘多項式；解題的關鍵是根據(jù)多項式乘多項式的運算法則分別進行計算，解題

時要細心.

【變式3】在計算Q+a)Q+b)時，甲錯把b看成了6,得到結果d+8刀+12；乙錯把a看成了—a,得到結

果%2+%一6.你能正確計算(％+a)(%+b)嗎？(a、b都是常數(shù))

【答案】x2+5x+6.

【分析】根據(jù)甲的做法求出〃的值，根據(jù)乙的做法求出b的值，代入原式中計算即可.

【詳解】解：?.?(％+a)(%+6)=+(6+。)％+6。=%2+8%+12,

.,.6+a=8,

.,.a=2；

,?,(%—a)(x+h)=%2+(6—a)x—ab=%2+%—6,

.,.fo—a=1,

;.b=3,

???(%+a)(%+b)

=(%+2)(%+3)

=x2+5%+6.

【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，考核學生的計算能力，根據(jù)甲乙兩位同學的做法求出a,b是解題

的關鍵.

考點8：整式乘法一一不含某項問題

典例8：已知(7+「久_1)(久2—3%+q)的展開式中不含久項與收項.

(1)求p、q的值

(2)求(一2P2q)2+(3pq)°+「202”2022的值.

【答案】(l)P=3,q=—g

⑵亍

【分析】(1)將展開式算出來后，利用條件中展開式中不含X項與療項，令相應的項系數(shù)為0即可;

(2)利用第(1)問中的結果，代入求值.

【詳解】(1)原式=/+(p—3)x3+(q—3p—|)x2+(1+pq)x—1(7，

展開式中不含x項與爐項，

[1+pq=0

tp-3=0'

(2)由(1)得p2q=-3,pq--1,

—2p2q)2+(3pq)°+p2021q2022

[2022

2

=[(-2)X(-3)]+[3X(-1)]°+32021X(--)

1.,2021]

=62+1+3x(--)x(--)

1

=36+l+(-l)2021x(--)

1

=37+(-1)x(一3)

1

=37+-

_112

【點睛】本題考查了多項式乘多項式的運算法則和求代數(shù)式的值，解題的關鍵是熟練掌握積的乘方及其運

算法則，零指數(shù)累的意義和過硬的計算能力.

【變式1】(2023春?安徽蚌埠,七年級統(tǒng)考期末)已知4B為多項式，且4=2/一?1%+1,B=nx2—3.

⑴若4與B的乘積中不含/項和久3項，求孫頻的值；

⑵在數(shù)軸上，將表示數(shù)6的點記為M,表示數(shù)n的點記為M在(1)的條件下，數(shù)軸上的點P滿足P到點M的

距離是P到點N距離的2倍，求點P表示的數(shù).

【答案】⑴m=0,n=6

(2)12或4

【分析】(1)根據(jù)整式的乘法的運算法則可知A?B=2n/—小建爐+⑺—6)/+3巾%—3,再根據(jù)力與B的

乘積中不含爐項和爐項列方程解答即可；

(2)設點P表示的數(shù)為a,根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式解答即可.

【詳解】(1)解：,.,力=2%2—772K+1,8=71%2—3,

：.A-B—(2%2—mx+l)(nx2-3)=2nx4—mnx3+(n—6)x2+3mx—3,

???4與B的乘積中不含/項和刀3項，

(—mn=0

,'In-6=0'

解得：G=6'

=0,幾=6；

(2)解：vm=0,n=6,

???點M表示的數(shù)為0,點N表示的數(shù)為6,

???設點P表示的數(shù)為小

|a—0|=2|Q—6|,

??-|a|=2\a—6|,

=2(a_6)或a=_2(a—6),

：.a=12或a=4,

???點P表示的數(shù)為12或4.

【點睛】本題考查了整式的乘法運算法則，多項式的定義，二元一次方程組的應用，數(shù)軸上兩點之間的距

離公式，掌握整式的乘法運算法則是解題的關鍵.

【變式2】(2023春?全國?七年級專題練習)已知。3+瓶％一九)(/一％+4)的計算結果中不含%3和％2項.

(1)求771、九的值；

(2)當771、九取第(1)小題的值時，化簡并求(7H+71)(7712—7rm+足)的值.

【答案】⑴血=一4,n=4

(2)m3+n3,0

【分析】(1)先計算多項式乘多項式，再根據(jù)計算結果中不含%3和久2項可得一個關于血刀的二元一次方程組,

利用消元法解方程組即可得；

(2)先計算多項式乘多項式，再計算整式的加減法，然后將血刀的值代入計算即可得.

【詳解】(1)解：(/+TH%—九)(/—%+4)

=%5—x4+4x3+mx3—mx2+4mx—nx2+nx—4n

=x5—%4+(4+m)x3—(m+ri)x2+(4m+n)x—4n,

???計算結果中不含%3和%2項，

(4+m=0

一I—(m+九)=0'

解得皿.

(2)解：(m+n)(m2—mn+n2)

=m3—m2n+mn2+m2n—mn2+n3

=m3+n3,

當7n=—4,九=4時，原式=（—4>+43=—64+64=0.

【點睛】本題考查了多項式乘多項式、以及化簡求值，熟練掌握多項式乘多項式的運算法則是解題關鍵.

【變式3]（2023春?湖南株洲?七年級統(tǒng)考期中）若（x+3p）（%2—x+款）的積中不含x項與廣項.

（1）求p、q的值：

⑵求代數(shù)式p2022q2023的值

【答案】（l）p=，z=3

（2）3

【分析】（1）根據(jù)多項式乘以多項式進行計算，根據(jù)不含/項與X項，得出3p—1=0,為—3p=0,即可

求解；

（2）根據(jù)（1）的結論，逆用積的乘方與同底數(shù)幕的乘法，進行計算即可求解.

【詳解】（1）解：原式=爐—%2+%x+3Px2—3px+pq

=/+（3p—l）x2+Qq-3p）x+pq

...不含%2項與％項

???3p—1=0,—3p=0

.??p=]q=3；

（2）當P=g,q=3時

原式=（I）x32022x3

（.、2022

=cX3）X3

=I2022x3

=1x3

=3.

【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，積的乘方與同底數(shù)嘉的乘法，熟練掌握以上運算法則是解題的關

鍵.

考點9：整式乘法一一圖形面積

典例9：(2023春?四川巴中?七年級統(tǒng)考期末)用不同的方法計算幾何圖形的面積，可得數(shù)學等式.如圖的

數(shù)學等式是()

A.(3a+b)(a+2b)=3a2+2b2B.(3a++2/>)=3a2+6ab+2b2

C.(3a+b)(a+26)=3口2+7ab+2b2D.(3a++2b)=3a2+7ab+4b2

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形，大長方形面積等于5個小正方形面積加上7個小長方形的面積和，列出等式即可.

【詳解】解：T長方形的面積=(3a+b)(a+26),

長方形的面積=3a2+7ab+2b2,

.,.(3a+6)(a+2b)-3a2+7ab+2b2

故選：C.

【點睛】本題考查多項式乘以多項式的幾何意義，通過幾何圖形之間的數(shù)量關系對多項式乘以多項式做出

幾何解釋.

【變式1](2023春?七年級課時練習)用兩種方式表示同一長方形的面積可以得到一些代數(shù)恒等式，小明從

圖中得到四個恒等式：

①(a—6)(a+b)=a2—b2；②a2—2ab+b2=(a—Z>)2；

③(a+b)(a—2b)=a2—ab—2b2；(4)a2+ab—2b2=(a+2b)(a—b),

其中正確的是()

A.①③B.①④C.②③④D.①②④

【答案】B

【分析】根據(jù)圖形，分別用含a和b的代數(shù)式表示圖中各個正方形和長方形的面積，再根據(jù)面積之間的關

系即可進行解答.

【詳解】解：由圖可知：

-<-----------a------------?—bf-b-

S3

s2

S4SsS6

Si+S4=*S2=S3=—b),S4=ab,=b2,

S2+S5=S3+S6=S4=ab,

①左邊=Si+S2,

右邊=(Si+S4)—5,5=S]+(S4—S5)=S]+S2，

??.①正確，符合題意；

②左邊=S1—2s4+S5,右邊不能用圖中的面積進行表示,

故②不符合題意；

③左邊的(a-2b)不能用圖中的線段進行表示，

故③不符合題意；

④左邊=⑸+S4)+⑸+S5)-⑸+S6)=S1+S2+S3,

右邊=S]+S2+S3,

故④正確，符合題意.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了用面積表示多項式的乘法，解題的關鍵是將各個正方形長方形的面積正確表示出

來.

【變式2](2023春?浙江,七年級期中)如圖，長為y(cm),寬為x(cm)的大長方形被分割為7小塊，除陰影

A,3外其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為4cm,下列說法中正確的有()

71B(一

T】

A

①小長方形的較長邊為y-12；

②陰影/的一條較短邊和陰影B的一條較短邊之和為x-y+4；

③若x為定值，則陰影N和陰影8的周長和為定值；

④當久=20時，陰影/和陰影3的面積和為定值.

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】觀察圖形，由大長方形的長及小長方形的寬，可得出小長方形的長為(y—12)cm,說法①符合題

意；②由大長方形的寬及小長方形的長、寬，可得出陰影/,8的較短邊長，將其相加可得出陰影/的較

短邊和陰影3的較短邊之和為(2久一y+4)cm,說法②不符合題意；由陰影2的相鄰兩邊的長度，利用

長方形的周長計算公式可得出陰影/和陰影8的周長之和為2(2X+4),結合x為定值可得出說法③符合題

意；由陰影4,8的相鄰兩邊的長度，利用長方形的面積計算公式可得出陰影/和陰影2的面積之和為

(xy-2Oy+240)cm2,代入x=20可得出說法④符合題意.

【詳解】解：???大長方形的長為ycm,小長方形的寬為4cm,

二小長方形的長為y—3X4=(y—12)cm,說法①符合題意；

,?,大長方形的寬為xcm,小長方形的長為(y—12)cm,小長方形的寬為4cm,

:陰影力的較短邊為無一2x4=(%-8)cm,

陰影3的較短邊為x-(y-12)=(x-y+12)cm,

???陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為x—8+x—y+12=(2X—y+4)cm,說法②不符合題意；

???陰影4的較長邊為(y—12)cm,較短邊為(x-8)cm,

陰影3的較長邊為3x4=12(cm),較短邊為(x—y+12)cm,

二陰影/的周長為2(y—12+x—8)=2(%+y—20)cm,

陰影B的周長為2(12+x—y+12)=2。-y+24)cm,

???陰影/和陰影8的周長之和為2(%+y—20)+2(%-y+24)=2(2久+4)cm,

二若x為定值，則陰影/和陰影8的周長之和為定值，說法③符合題意；

「陰影/的較長邊為(y—12)cm,較短邊為(x—8)cm,

陰影3的較長邊為3X4=12(cm),較短邊為(x—y+12)cm,

陰影/的面積為(y—12)(%—8)=(xy-12x—8y+96)cm2,

陰影3的面積為12(x—y+12)=(12%—12y+144)cm2,

???陰影”和陰影B的面積之和為

xy—12x—8y+96+12x—12y+144=(xy—2Oy+240)cm2,

當x=20時，%y-20y+240=240(cm2),說法④符合題意，

綜上所述，正確的說法有①③④，共3個，

故選：B.

【點睛】本題考查了列代數(shù)式以及整式的混合運算，根據(jù)圖形分別表示出相關邊長并能熟練運用整式加減

的運算法則是解題的關鍵.

【變式3](2023春?江蘇揚州?七年級校聯(lián)考階段練習)有若干個形狀大小完全相同的小長方形，現(xiàn)將其中3

個如圖1擺放，構造一個正方形；其中5個如圖2擺放，構造一個新的長方形(各小長方形之間不重疊且不留

空隙).若圖1和圖2中陰影部分的面積分別為39和106,則每個小長方形的面積為()

A.12B.14C.16D.18

【答案】B

【分析】設小長方形的長和寬分別為a和b,根據(jù)陰影部分的面積分別為39和106,列方程，再整體求解.

【詳解】解：設小長方形的寬為a,長為b,

由圖1得：(a+b)2—3ab=39,

?1?a2+b2—ab=39,

由圖2得：(2b+a)(2a+b)—5ab—106,

?1-4ab+2b2+2a2+ab—Sab=106則2a2+2b2=106,

BPa2+b2=53,

則53—a6=39,

解得：ab=14,

故每個小長方形的面積為：14.

故選：B.

【點睛】本題考查了整式的混合運算，表示陰影部分的面積是解題的關鍵.

考點10：整式乘法一一新定義問題

典例10：(2022秋?全國?七年級專題練習)設％,y為任意有理數(shù)，定義運算：x*y=(x+l)(y+l)-l,得

到下列五個結論：①％*y=y*%；②%*y+z=%*y+%*z；③(％+1)*(%—1)=%*%—1；④%*

0=0；⑤(％+1)*(%+1)=%*%+2*%+1.其中正確結論的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)題中定義的運算，對各結論中新定義的運算進行計算，判斷即可解答.

【詳解】解：=(%+l)(y+1)—1,

y*x=(y4-1)(%+1)—1,

.-.x*y=y*X,

故①正確；

,:x*y+z=(x+l)(y+1)—l+z=xy+x+y+z,

x*y+x*z=(x+l)(y+1)—1+(%+l)(z+1)—l=xy+x+y+xz4-x+z=xy+xz+2%+y+z,

.-.%*y+zHx*y+%*z,

故②錯誤；

?