一元二次函數(shù)（方程不等式）原卷版-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第04講一元二次函數(shù)（方程，不等式）

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)..............................................................1

第二部分：高考真題回顧.........................................................3

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò).......................................................3

高頻考點(diǎn)一：一元二次（分式）不等式解法（不含參）...........................3

高頻考點(diǎn)二：一元二次不等式解法（含參）.....................................4

高頻考點(diǎn)三：一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)（方程）的關(guān)系...................6

高頻考點(diǎn)四：一元二次不等式恒成立問(wèn)題.......................................7

角度1：VxeR上恒成立（優(yōu)選A法）......................................7

角度2：二€尺上成立（優(yōu)選A法）.........................................7

角度3：VxeD上恒成立（優(yōu)選分離變量法）................................8

角度4：*上成立（優(yōu)選分離變量法）..................................8

角度5：已知參數(shù)aeD,求x取值范圍（優(yōu)選變更主元法）....................8

高頻考點(diǎn)五：分式不等式....................................................10

高頻考點(diǎn)六：一元二次不等式的應(yīng)用..........................................11

第四部分：典型易錯(cuò)題型.........................................................13

備注：一元二次不等式最高項(xiàng)系數(shù)容易忽略化正。..............................13

備注：分式不等式容易直接乘到另一側(cè)忽略正負(fù)而漏解。........................13

第五部分：新定義題（解答題）..................................................13

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、二次函數(shù)

（1）形式：形如/（%）=以2+云+0（。彳0）的函數(shù)叫做二次函數(shù).

（2）特點(diǎn)：

①函數(shù)/（x）=奴2+法+式。w0）的圖象與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程+區(qū)+c=0（。w0）的實(shí)根.

②當(dāng)。＞0且/＜0（/W0）時(shí)，恒有/（X）＞0（/（x）20）；當(dāng)。＜0且/＜0（/W0）時(shí)，恒有/（x）＜。

（/W＜0）.

2、一元二次不等式

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.

3.（x—芭）（x一％）〉0或（x—西）（x—々）<0型不等式的解集

解集

不等式

再<x2玉=x2光1>x2

{九1%<玉或%>%}

(X-Q)(X-Z?)>0{犬1%W玉}{x\x<x2^x>Xy}

(1-〃)(%-/?)<0{x\x1<x<x2}0{x\x2<x<xr]

4、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系

判別式A=/—4acA>0A=0A<0

4^I￡

二次函數(shù)

/（無(wú)）=ax2+bx+c（a>0）的圖象X1V/2

O\X1=X2XE

有兩相等實(shí)數(shù)根

一元二次方程有兩相異實(shí)數(shù)根

b沒(méi)有實(shí)數(shù)根

ax2+Zzx+c=0(a>0)的根

々（X]<々）…一五

一元二次不等式

f,b、

{x\x<x^x>x2}{九|九w——}R

ax2+Z?x+c>0（<2>0）的解集2a

一元二次不等式

[x\Xy<X<X2}00

ax2+Z?x+c<0（tz>0）的角牟集

、分式不等式解法

(1)^^〉0o/(x)g(x)〉0

g{x)

(2)<0of(x)2(x)<0

gw

/(x)g(x)之0

(3)

g(x)〔g(x)豐0

do.七)gM。

(4)

g(x)[g(x)豐0

6、單絕對(duì)值不等式

(1)|ax+b\>cax+b>c^ax+b<-c

(2)\ax+b\<c^-c<ax+b<c

第二部分：高考真題回顧

1.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知集合〃={-2,—1,0,1,2},A^={xp-x-6>0},則McN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

2.（2023?全國(guó)?（新課標(biāo)I卷））設(shè)函數(shù)f（x）=2'（i）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.（-co,-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+4

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)

高頻考點(diǎn)一：一元二次（分式）不等式解法（不含參）

典型例題

例題L（2024上?江西南昌?高一校聯(lián)考期末）不等式52，-2-5,-3<0的解集是（）

A.（-w,log53）B.（log53,+oo）C.（-l,log53）D.（0,log53）

例題2.（2024上?安徽蕪湖?高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)/（x）=o?+法+3,關(guān)于尤的一元二次不等式/（力>0的

解集為（-3,1）.

（1）求不等式/+6+6>0的解集；

⑵若Vxe[T3],/（x"mx2,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

例題3.(2024上?湖南長(zhǎng)沙?高一?？计谀?解下列關(guān)于尤的不等式:

(1)-%2+2x+3>0;

2x-3

⑵>1.

x+1

練透核心考點(diǎn)

1.(2024上?廣東江門?高一統(tǒng)考期末)一元二次不等式-尤?+2尤+3<0的解集為.

2.(2024上?湖南岳陽(yáng)?高一?？计谀?已知不等式/+6+6<0的解集為{無(wú)卜l<x<2},設(shè)不等式

ax2+bx+3>Q的解集為集合A.

⑴求集合A；

(2)設(shè)全集為R,集合3=?-mx+2<0},若xeA是xeB成立的必要條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

3.(2024上?四川綿陽(yáng)?高一四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？计谀?已知集合

A={x[(x+2)(5-彳)<0},3={尤[24+1<尤<3。+5}.

(1)若a=-2,求Aug；

(2)若"xeA"是"xe3"的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

高頻考點(diǎn)二：一元二次不等式解法(含參)

典型例題

例題L(2024上?四川南充,高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(力=/一點(diǎn)+1.

(1)若關(guān)于x的不等式/(x)+〃TW。的解集為[-1,2],求實(shí)數(shù)機(jī)，〃的值；

(2)求關(guān)于x的不等式/(x)-x+m-l>。(meR)的解集.

例題2.(2024上?重慶?高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/'(x)=G?—(a+6)x+6.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；

(2)當(dāng)aWO時(shí),求不等式/(力＜0的解集.

例題3.(2024上?甘肅慶陽(yáng),高一校考期末)已知函數(shù)〃x)=-依2_2彳，其中aeR,a/0.

(1)若/(T)=。，求實(shí)數(shù)。的值；

⑵求不等式〃》)＞。的解集.

練透核心考點(diǎn)

1.(2024上?江蘇南京?高一南京師大附中?？计谀?設(shè)。為實(shí)數(shù)，則關(guān)于x的不等式(ar-2)(2x-4)＜。的

解集不可能是()

A.，之]B.(一°°,2)□]—,+＜?]

C.(2,+oo)D.J,-J

2.(2024上?四川宜賓?高一統(tǒng)考期末)已知集合A集合8=機(jī)-2)40,meR}.

⑴當(dāng)機(jī)=一2時(shí)，求AuB；

(2)若4仆5=5,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

3.(2024上?福建寧德?高一統(tǒng)考期末)已知/(%)=/+(3-a)x-3a(aGR).

(1)若/(%)=/(2—%),求，的值;

（2）求關(guān)于x的不等式/（尤）<0的解集.

高頻考點(diǎn)三：一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)（方程）的關(guān)系

典型例題

例題1.（多選）（2024上?湖南婁底?高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的不等式（2〃+3m）%2一（。一3M冗-1>0（?！?,

b>0）的解集為（-雙則下列結(jié)論正確的是（）

A.2a+b=lB.必的最大值為:

o

1711

C.一+7的最小值為4D.—+丁的最小值為3+2行

abab

例題2.（2024上?江西萍鄉(xiāng)?高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式“2一2》+1<0的解集為（。力）,

則3a+b的最小值為.

例題3.（2023上?江蘇南京?高一期末）已知不等式無(wú)分+6<0的解集為｛止l<x<2｝,設(shè)不等式

ax2+fox+3>0的解集為集合A.

（1）求集合A；

⑵設(shè)全集為R,集合8=｛小2-m+2<。｝,若xeA是成立的必要條件，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

練透核心考點(diǎn)

1.（多選）（2024上?山東臨沂?高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式依2+法+020的解集為｛x|x<-2

或龍21｝,貝!!（）

A.b>0且。<0B.4a+2Z?+c=0

C.不等式bx+c>0的解集為｛x|x>2｝D.不等式cx2-6x+a<0的解集為卜T<尤

2.（2024上?湖南?高一校聯(lián)考期末）已知/（力=加-2依-3（aeR）.

⑴若不等式蘇-2辦-3<0的解集是無(wú)<3},求實(shí)數(shù)。的值；

⑵若不等式/（x）<x-1對(duì)一切實(shí)數(shù)為恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3.（2023上?福建三明?高一校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)>=儂2+區(qū)一”+2.

⑴若關(guān)于x的不等式加+法-4+2>0的解集是{X[T<X<2},求實(shí)數(shù)。，6的值；

（2）若。>0,6=2,解關(guān)于天的不等式依2+版一4+2>0.

高頻考點(diǎn)四：一元二次不等式恒成立問(wèn)題

角度1:上恒成立（優(yōu)選八法）

典型例題

例題1.（2023上?云南昆明?高一官渡五中?？计谥校┤舨坏仁?h?+履-?<。的解集為R,則實(shí)數(shù)人的取

O

值范圍是（）

A.（-oo,-3）U[0,+<?）B.（-3,0）

C.（-3,0]D.H，0]

例題2.（2023上?重慶沙坪壩?高三重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）不等式如2-2了+1>0（oeR）恒成

立的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.a>2B.a>\C.a>\D.0<a<—

2

角度2：*eR上成立（優(yōu)選△法）

典型例題

例題1.（2023上?廣東珠海?高一校聯(lián)考期中）命題P：卻wR,（/〃-3）片+2<0為真命題，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍為.

角度3：以e。上恒成立（優(yōu)選分離變量法）

典型例題

例題1.（2023上?遼寧鐵嶺?高三校聯(lián)考期中）已知X/xe[l,2],Vye[2,3],y2-xy-rwc2＜0,則實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍是（）

A.[4,+co）B.[0,+co）C.[6,+oo）D.[8,+co）

角度4:上成立（優(yōu)選分離變量法）

典型例題

例題1.（2023上?浙江?高二校聯(lián)考期中）若關(guān)于尤的不等式爐-（機(jī)+l）x+94。在[1,4]上有解，則實(shí)數(shù)機(jī)

的最小值為（）

A.9B.5C.6D.—

4

角度5：已知參數(shù)收。，求x取值范圍（優(yōu)選變更主元法）

典型例題

例題L（2024上?福建福州,高一福建省長(zhǎng)樂(lè)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（力=。2/+2依一儲(chǔ)+i.

⑴當(dāng)0=2時(shí),求/（力40的解集;

⑵是否存在實(shí)數(shù)X,使得不等式//+2分一/+120對(duì)滿足。目_2,2]的所有。恒成立？若存在，求出X的

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

練透核心考點(diǎn)

1.（2023上?湖南張家界?高一慈利縣第一中學(xué)?？计谥校?）若關(guān)于x的不等式，+皿+相+3＜。在（3,-1）

上有解，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍；

（2）若Vxe[-2,1],不等式加＞2-工+1）＜2恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

2.（2024上?福建南平?高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)/（x）=a/+S-l）x+2.

（1）若。=11=-2,求不等式/（彳）＞0的解集；

⑵若關(guān)于x的不等式/（尤）＞bx的解集為R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

3.（2024上?安徽蕪湖?高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)/（彳）=雙2+云+3,關(guān)于x的一元二次不等式/（x）＞0的解

集為（T1）.

（1）求不等式V+ax+b＞0的解集；

⑵若Vxq-LRja"32,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

4.（2024上?四川內(nèi)江?高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)〃尤）的最小值為-9,且-1是其一個(gè)零點(diǎn)，VxeR都

有/（2-x）=/（2+x）.

⑴求f（x）的解析式;

（2）求“X）在區(qū)間［-1,向上的最小值；

⑶若關(guān)于x的不等式〃》）-7儂4-9在區(qū)間（1,3）上有解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

5.（2024上?安徽安慶?高一安慶一中校考期末）設(shè)定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，（x）=（2-鼻/7-（其中。為實(shí)數(shù)）.

⑴求。的值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)左和xe[T,3],使不等式/任一版）+〃2-另＞0成立？若存在，求出實(shí)數(shù)上的取值范圍;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

高頻考點(diǎn)五：分式不等式

典型例題

例題1.（2024上?山東濱州?高一統(tǒng)考期末）已知集合4={H一。＜了＜。+1},

（1）當(dāng)。=1時(shí)，求AuB;

⑵若&n3=A,求。的取值范圍.

例題2.（2024上?江蘇南京?高一南京師大附中?？计谀┮阎?={乂"-。-1乂*-24+3）＜0},集合

（1）當(dāng)。=2時(shí)，求Ac5；

（2）若人口3=4,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?陜西寶雞?高一統(tǒng)考期末）已知集合人=<0集合B=|x|2m+3<x<m21,mGR.

⑴當(dāng)機(jī)=一2時(shí)，求AuB；

⑵若兄eB是xeA的充分條件，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

2.（2024上?湖南長(zhǎng)沙?高一湖南師大附中校考期末）設(shè)全集U=R,集合A={%||x-l|<2）,B=>0

⑴求AcB；

（2）已知集合。=卜|1。-4v%<2〃+1},若（dB）cC=0,求〃的取值范圍.

高頻考點(diǎn)六：一元二次不等式的應(yīng)用

典型例題

例題L（2023上?貴州貴陽(yáng),高一?？茧A段練習(xí)）一家車輛制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條

流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x（單位：輛）與創(chuàng)造的價(jià)值J7（單位：元）之間有如下的關(guān)系：y=-2x2+220x.

若這家工廠希望在一個(gè)星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，則在一個(gè)星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)

（填寫區(qū)間范圍）輛摩托車？

例題2.（2024上?全國(guó)?高一專題練習(xí)）某新能源公司投資280萬(wàn)元用于新能源汽車充電樁項(xiàng)目，且

neN*）年內(nèi)的總維修保養(yǎng)費(fèi)用為C（w）=kn2+40"（左eR）萬(wàn)元，該項(xiàng)目每年可給公司帶來(lái)200萬(wàn)元的收入.

設(shè)到第且〃eN*）年年底，該項(xiàng)目的純利潤(rùn)（純利潤(rùn)=累計(jì)收入-累計(jì)維修保養(yǎng)費(fèi)-投資成本）為L(zhǎng)（n）

萬(wàn)元.已知到第3年年底，該項(xiàng)目的純利潤(rùn)為128萬(wàn)元.

⑴求實(shí)數(shù)%的值.并求該項(xiàng)目到第幾年年底純利潤(rùn)第一次能達(dá)到232萬(wàn)元；

（2）到第幾年年底，該項(xiàng)目年平均利潤(rùn)（平均利潤(rùn)=純利潤(rùn)十年數(shù)）最大？并求出最大值.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024下?西藏?高一開學(xué)考試）為發(fā)展空間互聯(lián)網(wǎng)，搶占6G技術(shù)制高點(diǎn)，某企業(yè)計(jì)劃加大對(duì)空間衛(wèi)星

網(wǎng)絡(luò)研發(fā)的投入.據(jù)了解，該企業(yè)研發(fā)部原有100人，年人均投入。（a>0）萬(wàn)元，現(xiàn)把研發(fā)部人員分成兩

類：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員有x名（xeN+且45VXV75）,調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增

加4x%,技術(shù)人員的年人均投入為。（根萬(wàn)元.

⑴要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的1