指、對、冪數比較大小問題（學生版）-2025年高考數學一輪復習專練（新高考專用）

重難點03指、對、幕數的大小比較問題【八大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1利用函數的性質比較大小】................................................................2

【題型2中間值法比較大小】......................................................................2

【題型3特殊值法比較大小】......................................................................3

【題型4作差法、作商法比較大小】................................................................3

【題型5構造函數法比較大小】....................................................................3

【題型6數形結合比較大小】......................................................................4

【題型7含變量問題比較大小】....................................................................4

【題型8放縮法比較大小】.........................................................................5

?命題規(guī)律

1、指、對、塞數的大小比較問題

指數與對數是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點，從近幾年的高考情況來看，指、對、幕數

的大小比較是高考重點考查的內容之一，是高考的熱點問題，主要考查指數、對數的互化、運算性質，以

及指數函數、對數函數和幕函數的性質，一般以選擇題或填空題的形式考查.這類問題的主要解法是利用函

數的性質與圖象來求解，解題時要學會靈活的構造函數.

?方法技巧總結

【知識點1指、對、塞數比較大小的一般方法】

1.單調性法：當兩個數都是指數幕或對數式時，可將其看成某個指數函數、對數函數或幕函數的函數值,

然后利用該函數的單調性比較，具體情況如下：

①底數相同，指數不同時，如和"2,利用指數函數>=優(yōu)的單調性；

②指數相同，底數不同時，如K和甘，利用幕函數y=x"單調性比較大?。?/p>

③底數相同，真數不同時，如1嗎再和地0馬,利用指數函數bg.x單調性比較大小.

2.中間值法：當底數、指數、真數都不同時，要比較多個數的大小，就需要尋找中間變量0、1或者其

它能判斷大小關系的中間量，然后再各部分內再利用函數的性質比較大小，借助中間量進行大小關系的判

定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數不一樣的對數比大?。?/p>

(2)作差或作商的難點在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法.

4.估算法：

(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；

(2)可以對區(qū)間使用二分法(或利用指對轉化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.

5.構造函數法：

構造函數，觀察總結“同構”規(guī)律，很多時候三個數比較大小，可能某一個數會被可以的隱藏了“同構”

規(guī)律，所以可能優(yōu)先從結構最接近的的兩個數來尋找規(guī)律，靈活的構造函數來比較大小.

6、放縮法：

(1)對數，利用單調性，放縮底數，或者放縮真數；

(2)指數和幕函數結合來放縮；

(3)利用均值不等式的不等關系進行放縮.

?舉一反三

【題型1利用函數的性質比較大小】

3

【例1】（2024?湖南衡陽?模擬預測）已知a=3°3,b=0.3,c=log0.33,則a,b,c的大小關系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

21

【變式（2024?四川自貢?三模）已知a=log2g,b=1.2%c=0.5,貝!Ja,b,。的大小關系是（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

034

【變式1-2]（2024?貴州貴陽?三模）已知a=4,b=（log4a）,c=log4（log4a）,則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

a

【變式1-3]（2024?山東泰安?模擬預測）已知a=log0.20.3,b=Ina,c=2,則a,5c的大小關系為（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

【題型2中間值法比較大小】

【例2】（23-24高三上?天津南開?階段練習）已知0=?°」，b=l-21g2,c=2-log310,則mb,c的

大小關系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

i

【變式2?1】（2024?陜西銅川?模擬預測）已知Q=（J人=Sg65,c=log56,貝（J（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【變式2-2]（2024?山東濰坊?二模）已知a=e-1,b=Iga,c=e°，則（）

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【變式2-3](2024?天津北辰?三模)已知a=0.53。，b=log090.3,c=logi^,貝!Ja,b,c的大小關系為()

32

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【題型3特殊值法比較大小】

【例3】（2024?陜西商洛?模擬預測）設a=logo.50.6,b=0.49-°3,c=0.6-06,則a,b,c的大小關系是

（）

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【變式3-11（23?24高二下?云南玉溪?期中）已知實數a,瓦c滿足2。+。=2,2匕+b=遮，c=log163,則

（）

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【變式3-2］（2024?寧夏銀川?二模）若Q=log1,b=（1）i,c=log34,d=（則（）

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

i

【變式3-3］（2024?天津和平一模）設弓）。=2,6=1。8工3—10829寓=@二，則有（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【題型4作差法、作商法比較大小】

【例4】（2023?四川成都,一模）若。=3一彳，人=（￡）\c=logi|,則a,b,c的大小關系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【變式4-1］（2023?貴州六盤水?模擬預測）若。=當，［=竽，。=竽，則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【變式4-2］（2024?四川成都?二模）若。=1口26,匕=41112,1113,。=（1+1113）2,則a,仇c的大小關系是（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【變式4-3］（2024?全國?模擬預測）若a=204,|=3025,c=logo/OS則的大小關系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【題型5構造函數法比較大小】

【例5】（2024?全國?模擬預測）已知a=In］b=ln7xln2,c=%則（）

2m2

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

_1r

【變式5-1］（2024?全國?模擬預測）設a=5彳，b=Z,c=log45,貝！Ja,b,c的大小關系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【變式5-2］（2024?天津和平?一模）已知a=log（）203b=logojOZc=log??,則a,b,c的大小關系為（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

/）

【變式5-3］（2023?河南?校聯(lián)考模擬預測）已知實數兄64滿足。2+1082a=0,2023-=log20236,c=log7V6,

則（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【題型6數形結合比較大小】

【例6】（2024?河南?模擬預測）已知。=Imr,"=log37i,c=訴>2,則a,hc的大小關系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【變式6-1]（2023?江西贛州?二模）若log?%=log4y=logsz〈一1,則（）

A.3%<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3%

c

【變式6-2］（2024?全國?模擬預測）已知。=0，G）=loga6,a=logic,則實數a,5c的大小關系為（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【變式6-3]（2024?廣東茂名?統(tǒng)考一模）已知%,y,z均為大于0的實數,且2%=3y=logsz,則%,大小關

系正確的是（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【題型7含變量問題比較大小】

[例7]（23-24高三上?天津濱海新?階段練習）設a、都是正數，且4a=6^=>，則下列結論錯誤的是（）

A.c<b<aB.ab+bc^acC.4b?》=4。?9。D.

cba

【變式7-1］（2024?江西?模擬預測）若ae。=blnb（a>0）,貝ij（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.無法確定

【變式7-21（2023?全國?模擬預測）已知3hc均為不等于1的正實數,且Inc=alnbjna=bine,則a,b,c

的大小關系是（）

A.c>a>bB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

【變式7-3]（2024?全國?模擬預測）已知正實數a,b,c滿足e，+e-a=e。+e-c,b=log23+log86,c+

log2c=2,則a,b,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【題型8放縮法比較大小】

【例8】（2024?陜西西安?模擬預測）若￡1=0.311-5,。=108312,0=10826）=「1,則有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

i

c=312

【變式8-1]（2023?河南鄭州?模擬預測）已知Q=log35,b=2d，°g7+log87,貝I」（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【變式8-2]（2023上?安徽?高二校聯(lián)考階段練習）已知Q=V19-V17fb=6-4,c=log53-|log35,則（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【變式8-3]（2024?全國?模擬預測）已知a=log&i4,b=log3,ie,c=ln2.1,,則（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

?過關測試

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預測）設Q=log62,b=log123,c=log405,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

2.（2024?安徽宿州?一模）已知3m=4,。=2血-3,b=47n—5,貝（j（）

A.a>0>bB.b>0>aC.a>b>0D.b>a>0

3.（2024?貴州畢節(jié)?一模）已知Q=31og83,b=—|logil6,c=log43,則a,b,c的大小關系為（）

23

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>c>aD.b>a>c

0.7/?、0.7

，b=J），c=log3（log4）,貝I（）

?3

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.a<c<b

5.（2024?云南昆明?模擬預測）已知a=e§,b=ln2,c=log32,則見《c的大小關系為（）

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

a2aa3ba5c

6.（2024?陜西寶雞?一模）已知實數a,b,c滿足彳=三=三=2,貝1J（）

A.a>b>cB.a<b<c

C.b>a>cD.c>a>b

7.（2023?湖南永州?一模）已知a=log3Wb=^―~：fc=——，則（）

log3H-l2-log3TT

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

8.（2023?陜西西安?一模）已知函數/（%）=-2%,若2。=log2/?=c,貝U（）

A.f（b）</（c）<f（a）B.f（a）<八b）<f（c）

C.f（a）</（c）<f（b）D./（c）</（b）<f（a）

二、多選題

9.（2024?河南洛陽?模擬預測）下列正確的是（）

-001-0001

A.2>2B.log2V3>log2n-1

-001

c.10gL85<logL75D.log33.01>e

10.（2024?重慶?模擬預測）若6>c>l,0<a<l,則下列結論正確的是（）

aa

A.b<cB.log/jti>logca

aa

C.cb<bcD.b\ogca>c\ogba

11.（2024?重慶?一模）已知3a=5^=15,則下列結論正確的是（）

A.Iga>IghB.a+b=ab

C